Петлевая квантовая гравитация - Loop quantum gravity

Теория квантовая гравитация, петля квантовой гравитации (LQG) попытки слиться квантовая механика и общая теория относительности, включая вопрос Стандартная модель в рамки, установленные для случая чистой квантовой гравитации. В качестве кандидата на квантовую гравитацию LQG конкурирует с теория струн.^[1]

Согласно с Альберт Эйнштейн, гравитация - это не сила, это свойство пространство-время сам. До сих пор все попытки рассматривать гравитацию как еще одну квантовую силу, равную по важности электромагнетизму и ядерным силам, потерпели неудачу, и петлевая квантовая гравитация - это попытка разработать квантовую теорию гравитации, основанную непосредственно на геометрической формулировке Эйнштейна, а не на трактовке гравитации. как сила. Для этого в теории LQG пространство и время квантованный аналогично тому, как такие величины, как энергия и импульс квантуются в квантовая механика. Теория дает физическую картину пространства-времени, где пространство и время гранулярны и дискретны непосредственно из-за квантования, как и фотоны в квантовой теории электромагнетизм и дискретный уровни энергии из атомы. Смысл квантованного пространства состоит в том, что существует минимальное расстояние.

LQG постулирует, что структура Космос состоит из конечных петель, вплетенных в очень тонкую ткань или сеть. Эти петлевые сети называются спиновые сети. Эволюция спиновой сети, или отжимная пена, имеет шкалу порядка Планковская длина, примерно 10⁻³⁵ метров, а меньшие масштабы бессмысленны. Следовательно, не только материя, но и само пространство предпочитает атомная структура.

В обширных областях исследований участвуют около 30 исследовательских групп по всему миру.^[2] Все они разделяют основные физические предположения и математическое описание квантового пространства. Исследования развивались в двух направлениях: более традиционной канонической петлевой квантовой гравитации и новой ковариантной петлевой квантовой гравитации, называемой отжимная пена теория.

Наиболее развитая теория, которая была выдвинута как прямой результат петлевой квантовой гравитации, называется петля квантовой космологии (LQC). LQC продвигает изучение ранней Вселенной, включая концепцию Большой взрыв в более широкую теорию Большой отскок, который рассматривает Большой взрыв как начало период расширения следует за периодом сокращения, который можно было бы назвать Большой хруст.

История

Основная статья: История петлевой квантовой гравитации

В 1986 г. Абхай Аштекар переформулировал общую теорию относительности Эйнштейна на языке, более близком к остальной части фундаментальной физики.^{[нужна цитата ]} Вскоре после, Тед Якобсон и Ли Смолин понял, что формальное уравнение квантовой гравитации, названное Уравнение Уиллера – ДеВитта, допускались решения, помеченные петлями при переписывании в новый Переменные Аштекара. Карло Ровелли и Смолин определил непертурбативный и независимая от фона квантовая теория гравитации в терминах этих петлевых решений. Хорхе Пуллин и Ежи Левандовски понимал, что пересечения петель важны для непротиворечивости теории, и теория должна быть сформулирована в терминах пересекающихся петель, или графики.

В 1994 году Ровелли и Смолин показали, что квантовая операторы теории, связанной с площадью и объемом, имеют дискретный спектр. То есть геометрия квантуется. Этот результат определяет явный базис состояний квантовой геометрии, которые, как оказалось, были помечены Роджер Пенроуз с спиновые сети, которые графики помеченный спины.

Каноническая версия динамики была установлена ​​Томасом Тиманом, который определил гамильтонов оператор без аномалий и показал существование математически непротиворечивой теории, не зависящей от фона. Ковариант, или "отжимная пена ", версия динамики разрабатывалась совместно в течение нескольких десятилетий исследовательскими группами во Франции, Канаде, Великобритании, Польше и Германии. Она была завершена в 2008 году, что привело к определению семейства амплитуд переходов, которое в классический предел можно показать, что оно связано с семейством усечений общей теории относительности.^[3] Конечность этих амплитуд была доказана в 2011 г.^[4][5] Требуется наличие положительного космологическая постоянная, что согласуется с наблюдаемыми ускорение расширения Вселенной.

Общая ковариация и независимость от фона

Основные статьи: Общая ковариация, фоновая независимость, и диффеоморфизм

В теоретической физике общая ковариантность - это неизменность формы физических законов относительно произвольных дифференцируемых преобразований координат. Основная идея состоит в том, что координаты - это всего лишь уловки, используемые при описании природы, и, следовательно, не должны играть никакой роли в формулировке фундаментальных физических законов. Более важным требованием является принцип общей теории относительности, согласно которому законы физики принимают одинаковую форму во всех системах отсчета. Это обобщение принципа специальная теория относительности который гласит, что законы физики принимают одинаковую форму во всех инерциальных системах отсчета.

В математике диффеоморфизм - это изоморфизм в категории гладких многообразий. Это обратимая функция, отображающая один дифференцируемое многообразие к другому, так что и функция, и обратная ей функция являются гладкими. Это определяющие преобразования симметрии общей теории относительности, поскольку теория сформулирована только в терминах дифференцируемого многообразия.

В общей теории относительности общая ковариация тесно связано с «инвариантностью диффеоморфизма». Эта симметрия - одна из определяющих черт теории. Однако распространено заблуждение, что «инвариантность диффеоморфизма» относится к неизменности физических предсказаний теории при произвольном преобразования координат; это неверно, и фактически каждая физическая теория инвариантна относительно преобразований координат таким образом. Диффеоморфизмы в соответствии с определением математиков, соответствуют чему-то гораздо более радикальному; интуитивно они могут быть представлены как одновременное перетаскивание всех физических полей (включая гравитационное) по голому дифференцируемое многообразие оставаясь в той же системе координат. Диффеоморфизмы - это истинные преобразования симметрии общей теории относительности, и они возникают из утверждения, что формулировка теории основана на голом дифференцируемом многообразии, но не на какой-либо предшествующей геометрии - теория независимый от фона (Это глубокий сдвиг, поскольку все физические теории до общей теории относительности имели в своей формулировке предшествующую геометрию). При таких преобразованиях сохраняется совпадение значений, которые гравитационное поле принимает в таком-то «месте», и значений, которые там принимают поля материи. Из этих соотношений можно составить представление о том, что материя расположена относительно гравитационного поля, или наоборот. Это то, что обнаружил Эйнштейн: физические объекты расположены только относительно друг друга, а не относительно пространственно-временного многообразия. Так как Карло Ровелли помещает это: «Больше никаких полей в пространстве-времени: только поля в полях».^[6] В этом истинный смысл поговорки «Сцена исчезает и становится одним из актеров»; Пространство-время как «контейнер», в котором происходит физика, не имеет объективного физического смысла, и вместо этого гравитационное взаимодействие представлено только как одно из полей, формирующих мир. Это известно как реляционалистская интерпретация пространства-времени. Осознание Эйнштейном того, что общую теорию относительности следует интерпретировать таким образом, послужило источником его замечания «За гранью моих самых смелых ожиданий».

В LQG этот аспект общей теории относительности воспринимается серьезно, и эта симметрия сохраняется, требуя, чтобы физические состояния оставались инвариантными относительно генераторов диффеоморфизмов. Интерпретация этого условия хорошо понятна для чисто пространственных диффеоморфизмов. Однако понимание диффеоморфизмов с участием времени ( Гамильтонова связь ) более тонкий, потому что он связан с динамика и так называемый "проблема времени "в общей теории относительности.^[7] Общепринятая схема расчета для учета этого ограничения еще не найдена.^[8][9] Правдоподобным кандидатом на квантовую гамильтонову связь является оператор, введенный Тиманом.^[10]

LQG формально независимый от фона. Уравнения LQG не вложены в пространство и время и не зависят от них (за исключением его инвариантной топологии). Вместо этого ожидается, что они вызовут пространство и время на расстояниях, больших по сравнению с Планковская длина. Вопрос о независимости фона в LQG все еще имеет некоторые нерешенные тонкости. Например, для некоторых выводов требуется фиксированный выбор топология, в то время как любая последовательная квантовая теория гравитации должна включать изменение топологии как динамический процесс.

Ограничения и их алгебра скобок Пуассона

Основные статьи: Скобка Пуассона и Гамильтонова связь

Ограничения классической канонической общей теории относительности

Основная статья: Производная Ли

Общая теория относительности - это пример системы с ограничениями. В гамильтоновой формулировке обычной классической механики скобка Пуассона является важным понятием. «Каноническая система координат» состоит из канонических переменных положения и импульса, которые удовлетворяют каноническим соотношениям скобок Пуассона,

${\displaystyle \{q_{i},p_{j}\}=\delta _{ij}}$

где скобка Пуассона имеет вид

${\displaystyle \{f,g\}=\sum _{i=1}^{N}\left({\frac {\partial f}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial p_{i}}}-{\frac {\partial f}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial q_{i}}}\right).}$

для произвольных функций фазового пространства ${\displaystyle f(q_{i},p_{j})}$ и ${\displaystyle g(q_{i},p_{j})}$. С помощью скобок Пуассона Уравнения Гамильтона можно переписать как,

${\displaystyle {\dot {q}}_{i}=\{q_{i},H\},}$

${\displaystyle {\dot {p}}_{i}=\{p_{i},H\}.}$

Эти уравнения описывают "течь"или орбита в фазовом пространстве, порожденная гамильтонианом ${\displaystyle H}$. Для любой функции фазового пространства ${\displaystyle F(q,p)}$, дает

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} t}}F(q_{i},p_{i})=\{F,H\}.}$

Аналогичным образом скобка Пуассона между ограничением и переменными фазового пространства генерирует поток по орбите в (неограниченном) фазовом пространстве, порожденный ограничением. В переформулировке Аштекара классической общей теории относительности есть три типа ограничений:

SU(2) Калибровочные ограничения Гаусса

Ограничения Гаусса

${\displaystyle G_{j}(x)=0.}$

Это представляет собой бесконечное количество ограничений, по одному на каждое значение ${\displaystyle x}$. Они возникают из-за переформулирования общей теории относительности как ${\displaystyle \mathrm {SU} (2)}$ Ян – Миллс калибровочная теория типа (Янг – Миллс является обобщением теории Максвелла, в которой калибровочное поле трансформируется как вектор при преобразованиях Гаусса, то есть калибровочное поле имеет вид ${\displaystyle A_{a}^{i}(x)}$ где ${\displaystyle i}$ это внутренний индекс. Увидеть Переменные Аштекара ). Это бесконечное количество калибровочных ограничений Гаусса может быть "смазанный"по тестовым полям с внутренними индексами, ${\displaystyle \lambda ^{j}(x)}$,

${\displaystyle G(\lambda )=\int G_{j}(x)\lambda ^{j}(x)\,\operatorname {d} ^{3}\!x.}$

который должен исчезнуть для любой такой функции. Эти размытые ограничения, определенные относительно подходящего пространства размывающих функций, дают эквивалентное описание исходным ограничениям.

Формулировку Аштекара можно рассматривать как обычную ${\displaystyle \mathrm {SU} (2)}$ Теория Янга – Миллса вместе со следующими специальными ограничениями, вытекающими из инвариантности диффеоморфизма, и гамильтонианом, который обращается в нуль. Таким образом, динамика такой теории сильно отличается от динамики обычной теории Янга – Миллса.

Ограничения пространственных диффеоморфизмов

Ограничения пространственного диффеоморфизма

${\displaystyle C_{a}(x)=0}$

можно размазать так называемыми функциями сдвига ${\displaystyle {\vec {N}}(x)}$ чтобы дать эквивалентный набор ограничений размазанного пространственного диффеоморфизма,

${\displaystyle C({\vec {N}})=\int C_{a}(x)\,N^{a}(x)\,\operatorname {d} ^{3}\!x.}$

Они порождают пространственные диффеоморфизмы вдоль орбит, определяемых функцией сдвига ${\displaystyle N^{a}(x)}$.

Гамильтоновы ограничения

Гамильтониан

${\displaystyle H(x)=0}$

могут быть размазаны так называемыми функциями отставания ${\displaystyle N(x)}$ чтобы дать эквивалентный набор размытых гамильтоновых ограничений,

${\displaystyle H(N)=\int H(x)N(x)\,\operatorname {d} ^{3}\!x}$.

Они порождают диффеоморфизмы времени вдоль орбит, определяемых функцией погрешности ${\displaystyle N(x)}$.

В формулировке Аштекара калибровочное поле ${\displaystyle A_{a}^{i}(x)}$ - конфигурационная переменная (конфигурационная переменная аналогична ${\displaystyle q}$ в обычной механике) и его сопряженный импульс представляет собой (уплотненную) триаду (электрическое поле) ${\displaystyle {\tilde {E}}_{i}^{a}(x)}$. Ограничения - это определенные функции этих переменных фазового пространства.

Важным аспектом действия ограничений на произвольные функции фазового пространства является Производная Ли, ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{V}}$, который по сути является производной операцией, бесконечно "сдвигающей" функции вдоль некоторой орбиты с касательным вектором ${\displaystyle V}$.

Наблюдаемые Дирака

Ограничения определяют поверхность ограничения в исходном фазовом пространстве. Калибровочные движения ограничений применяются ко всему фазовому пространству, но имеют особенность, заключающуюся в том, что они оставляют ограничивающую поверхность там, где она есть, и, таким образом, орбита точки на гиперповерхности при калибровочных преобразованиях будет орбитой полностью внутри нее. Наблюдаемые Дирака определяются как функции фазового пространства, ${\displaystyle O}$, что Пуассон коммутирует со всеми связями при наложении уравнений связей,

${\displaystyle \{G_{j},O\}_{G_{j}=C_{a}=H=0}=\{C_{a},O\}_{G_{j}=C_{a}=H=0}=\{H,O\}_{G_{j}=C_{a}=H=0}=0}$,

то есть, это величины, определенные на поверхности связи, которые инвариантны относительно калибровочных преобразований теории.

Тогда, решая только ограничение ${\displaystyle G_{j}=0}$ и определение наблюдаемых Дирака относительно него возвращает нас к Фазовое пространство Арновитта – Дезера – Миснера (ADM) с ограничениями ${\displaystyle H,C_{a}}$. Динамика общей теории относительности порождается ограничениями, можно показать, что шесть уравнений Эйнштейна, описывающих эволюцию во времени (на самом деле калибровочное преобразование), могут быть получены путем вычисления скобок Пуассона трехметрики и ее сопряженного импульса с линейной комбинацией пространственный диффеоморфизм и гамильтонова связь. Обнуление ограничений, дающих физическое фазовое пространство, - это четыре других уравнения Эйнштейна.^[11]

Квантование связей - уравнения квантовой общей теории относительности

Предыстория и новые переменные Аштекара

Основные статьи: Поля кадра в общей теории относительности, Переменные Аштекара, и Самодвойственное действие Палатини

Многие технические проблемы канонической квантовой гравитации связаны с ограничениями. Каноническая общая теория относительности изначально была сформулирована в терминах метрических переменных, но казалось, что возникли непреодолимые математические трудности в продвижении ограничений к квантовые операторы из-за их сильно нелинейной зависимости от канонических переменных. Уравнения были значительно упрощены с введением новых переменных Аштекара. Переменные Аштекара описывают каноническую общую теорию относительности в терминах новой пары канонических переменных, более близких к параметрам калибровочных теорий. Первый шаг состоит в использовании уплотненных триад. ${\displaystyle {\tilde {E}}_{i}^{a}}$ (триада ${\displaystyle E_{i}^{a}}$ просто три ортогональных векторных поля, помеченных ${\displaystyle i=1,2,3}$ а уплотненная триада определяется как ${\displaystyle {\tilde {E}}_{i}^{a}={\sqrt {\det(q)}}E_{i}^{a}}$) для кодирования информации о пространственной метрике,

${\displaystyle \det(q)q^{ab}={\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}_{j}^{b}\delta ^{ij}}$.

(где ${\displaystyle \delta ^{ij}}$ - метрика плоского пространства, и вышеприведенное уравнение выражает, что ${\displaystyle q^{ab}}$, когда написано с точки зрения основы ${\displaystyle E_{i}^{a}}$, локально плоская). (Формулировка общей теории относительности с использованием триад вместо метрик не была новой.) Уплотненные триады не уникальны, и на самом деле можно выполнять локальное в пространстве вращение по внутренним показателям ${\displaystyle i}$. Канонически сопряженная переменная связана с внешней кривизной соотношением ${\displaystyle K_{a}^{i}=K_{ab}{\tilde {E}}^{ai}/{\sqrt {\det(q)}}}$. Но проблемы, подобные использованию метрической формулировки, возникают, когда кто-то пытается квантовать теорию. Новая идея Аштекара заключалась в том, чтобы ввести новую переменную конфигурации,

${\displaystyle A_{a}^{i}=\Gamma _{a}^{i}-iK_{a}^{i}}$

что ведет себя как сложный ${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$ связь где ${\displaystyle \Gamma _{a}^{i}}$ относится к так называемым спин-соединение через ${\displaystyle \Gamma _{a}^{i}=\Gamma _{ajk}\epsilon ^{jki}}$. Вот ${\displaystyle A_{a}^{i}}$ называется киральной спиновой связью. Он определяет ковариантную производную ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{a}}$. Оказывается, что ${\displaystyle {\tilde {E}}_{i}^{a}}$ сопряженный импульс ${\displaystyle A_{a}^{i}}$, и вместе они образуют новые переменные Аштекара.

Выражения для ограничений в переменных Аштекар; закон Гаусса, ограничение пространственного диффеоморфизма и (уплотненное) гамильтоново ограничение читаются следующим образом:

${\displaystyle G^{i}={\mathcal {D}}_{a}{\tilde {E}}_{i}^{a}=0}$

${\displaystyle C_{a}={\tilde {E}}_{i}^{b}F_{ab}^{i}-A_{a}^{i}({\mathcal {D}}_{b}{\tilde {E}}_{i}^{b})=V_{a}-A_{a}^{i}G^{i}=0}$,

${\displaystyle {\tilde {H}}=\epsilon _{ijk}{\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}_{j}^{b}F_{ab}^{k}=0}$

соответственно, где ${\displaystyle F_{ab}^{i}}$ тензор напряженности поля связи ${\displaystyle A_{a}^{i}}$ и где ${\displaystyle V_{a}}$ называется векторным ограничением. Вышеупомянутая локальная в пространстве вращательная инвариантность является оригиналом ${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$ калибровочная инвариантность здесь выражается законом Гаусса. Обратите внимание, что эти ограничения полиномиальны по фундаментальным переменным, в отличие от ограничений в метрической формулировке. Это резкое упрощение, казалось, открыло путь к количественной оценке ограничений. (См. Статью Самодвойственное действие Палатини для вывода формализма Аштекара).

С новыми переменными Аштекара, учитывая переменную конфигурации ${\displaystyle A_{a}^{i}}$, естественно рассматривать волновые функции ${\displaystyle \Psi (A_{a}^{i})}$. Это представление соединения. Это аналог обычной квантовой механики с конфигурационной переменной ${\displaystyle q}$ и волновые функции ${\displaystyle \psi (q)}$. Переменная конфигурации повышается до квантового оператора через:

${\displaystyle {\hat {A}}_{a}^{i}\Psi (A)=A_{a}^{i}\Psi (A),}$

(аналогично ${\displaystyle {\hat {q}}\psi (q)=q\psi (q)}$), а триады являются (функциональными) производными,

${\displaystyle {\hat {\tilde {E_{i}^{a}}}}\Psi (A)=-i{\delta \Psi (A) \over \delta A_{a}^{i}}}$.

(аналогично ${\displaystyle {\hat {p}}\psi (q)=-i\hbar d\psi (q)/dq}$). При переходе к квантовой теории связи становятся операторами в кинематическом гильбертовом пространстве (неограниченном ${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$ Гильбертово пространство Янга – Миллса). Обратите внимание, что разный порядок ${\displaystyle A}$и ${\displaystyle {\tilde {E}}}$при замене ${\displaystyle {\tilde {E}}}$'с производными порождают различные операторы - сделанный выбор называется упорядочением факторов и должен выбираться с помощью физических соображений. Формально они читают

${\displaystyle {\hat {G}}_{j}\vert \psi \rangle =0}$

${\displaystyle {\hat {C}}_{a}\vert \psi \rangle =0}$

${\displaystyle {\hat {\tilde {H}}}\vert \psi \rangle =0}$.

По-прежнему существуют проблемы с правильным определением всех этих уравнений и их решением.Например, гамильтоново ограничение, с которым работал Аштекар, было уплотненной версией вместо исходного гамильтониана, то есть он работал с ${\displaystyle {\tilde {H}}={\sqrt {\det(q)}}H}$. Возникли серьезные трудности с переводом этой величины в квантовый оператор. Более того, хотя переменные Аштекара упрощали гамильтониан, они сложны. При квантовании теории трудно обеспечить восстановление реальной общей теории относительности в отличие от сложной общей теории относительности.

Квантовые связи как уравнения квантовой общей теории относительности

Классический результат скобки Пуассона размытого закона Гаусса ${\displaystyle G(\lambda )=\int d^{3}x\lambda ^{j}(D_{a}E^{a})^{j}}$ со связями

${\displaystyle \{G(\lambda ),A_{a}^{i}\}=\partial _{a}\lambda ^{i}+g\epsilon ^{ijk}A_{a}^{j}\lambda ^{k}=(D_{a}\lambda )^{i}.}$

Квантовый закон Гаусса гласит

${\displaystyle {\hat {G}}_{j}\Psi (A)=-iD_{a}{\delta \lambda \Psi [A] \over \delta A_{a}^{j}}=0.}$

Если размыть квантовый закон Гаусса и изучить его действие на квантовое состояние, можно обнаружить, что действие ограничения на квантовое состояние эквивалентно сдвигу аргумента ${\displaystyle \Psi }$ бесконечно малым (в смысле параметра ${\displaystyle \lambda }$ малое) калибровочное преобразование,

${\displaystyle \left[1+\int d^{3}x\lambda ^{j}(x){\hat {G}}_{j}\right]\Psi (A)=\Psi [A+D\lambda ]=\Psi [A],}$

и последнее тождество проистекает из того факта, что ограничение аннулирует состояние. Таким образом, ограничение как квантовый оператор накладывает ту же симметрию, что и его классическое исчезновение: оно говорит нам, что функции ${\displaystyle \Psi [A]}$ должны быть калибровочно-инвариантными функциями связности. Та же идея верна и для других ограничений.

Следовательно, двухэтапный процесс в классической теории решения ограничений ${\displaystyle C_{I}=0}$ (эквивалентно решению условий допустимости для начальных данных) и поиск калибровочных орбит (решение «эволюционных» уравнений) заменяется одношаговым процессом в квантовой теории, а именно поиском решений ${\displaystyle \Psi }$ квантовых уравнений ${\displaystyle {\hat {C}}_{I}\Psi =0}$. Это потому, что он, очевидно, решает ограничение на квантовом уровне и одновременно ищет состояния, которые являются калибровочно-инвариантными, поскольку ${\displaystyle {\hat {C}}_{I}}$ является квантовым генератором калибровочных преобразований (калибровочно-инвариантные функции постоянны вдоль калибровочных орбит и, таким образом, характеризуют их).^[12] Напомним, что на классическом уровне решение условий допустимости и эволюционных уравнений было эквивалентно решению всех полевых уравнений Эйнштейна, это подчеркивает центральную роль квантовых уравнений связи в канонической квантовой гравитации.

Введение в представление цикла

Основные статьи: Голономия, Петля Вильсона, и Узел инвариантный

В частности, неспособность хорошо контролировать пространство решений закона Гаусса и ограничения пространственного диффеоморфизма заставила Ровелли и Смолина рассмотреть представление петель в калибровочных теориях и квантовой гравитации.^[13]

LQG включает в себя концепцию голономия. Голономия - это мера того, насколько начальные и конечные значения спинора или вектора отличаются после параллельный транспорт по замкнутому контуру; это обозначено

${\displaystyle h_{\gamma }[A]}$.

Знание голономий эквивалентно знанию связи с точностью до калибровочной эквивалентности. Холономии также могут быть связаны с ребром; по закону Гаусса они преобразуются как

${\displaystyle (h'_{e})_{\alpha \beta }=U_{\alpha \gamma }^{-1}(x)(h_{e})_{\gamma \sigma }U_{\sigma \beta }(y)}$.

Для замкнутого цикла ${\displaystyle x=y}$ и предполагая ${\displaystyle \alpha =\beta }$, дает

${\displaystyle (h'_{e})_{\alpha \alpha }=U_{\alpha \gamma }^{-1}(x)(h_{e})_{\gamma \sigma }U_{\sigma \alpha }(x)=[U_{\sigma \alpha }(x)U_{\alpha \gamma }^{-1}(x)](h_{e})_{\gamma \sigma }=\delta _{\sigma \gamma }(h_{e})_{\gamma \sigma }=(h_{e})_{\gamma \gamma }}$

или

${\displaystyle \operatorname {Tr} h'_{\gamma }=\operatorname {Tr} h_{\gamma }.}$.

След голономии вокруг замкнутого контура записывается

${\displaystyle W_{\gamma }[A]}$

и называется петлей Вильсона. Таким образом, петли Вильсона калибровочно инвариантны. Явная форма Голономии такова:

${\displaystyle h_{\gamma }[A]={\mathcal {P}}\exp \left\{-\int _{\gamma _{0}}^{\gamma _{1}}ds{\dot {\gamma }}^{a}A_{a}^{i}(\gamma (s))T_{i}\right\}}$

где ${\displaystyle \gamma }$ кривая, по которой оценивается голономия, и ${\displaystyle s}$ - параметр вдоль кривой, ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ обозначает факторы упорядочения путей для меньших значений ${\displaystyle s}$ появляются слева, и ${\displaystyle T_{i}}$ матрицы, удовлетворяющие ${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$ алгебра

${\displaystyle [T^{i},T^{j}]=2i\epsilon ^{ijk}T_{k}}$.

В Матрицы Паули удовлетворяют вышеуказанному соотношению. Оказывается, существует бесконечно больше примеров наборов матриц, удовлетворяющих этим соотношениям, где каждый набор включает ${\displaystyle (N+1)\times (N+1)}$ матрицы с ${\displaystyle N=1,2,3,\dots }$, и где ни один из них не может быть рассмотрен как «разлагающийся» на два или более примеров более низкого измерения. Их называют разными неприводимые представления из ${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$ алгебра. Наиболее фундаментальным представлением являются матрицы Паули. Голономия обозначается полуцелым числом ${\displaystyle N/2}$ в соответствии с используемым неприводимым представлением.

Использование Петли Вильсона явно решает калибровочную связь Гаусса. Представление петли требуется обрабатывать ограничение пространственного диффеоморфизма. Используя петли Вильсона в качестве основы, любая калибровочно-инвариантная функция Гаусса расширяется как

${\displaystyle \Psi [A]=\sum _{\gamma }\Psi [\gamma ]W_{\gamma }[A].}$

Это называется петлевым преобразованием и аналогично импульсному представлению в квантовой механике (см. Положение и импульсное пространство ). Представление QM имеет основу состояний ${\displaystyle \exp(ikx)}$ помеченный числом ${\displaystyle k}$ и расширяется как

${\displaystyle \psi [x]=\int dk\psi (k)\exp(ikx)}$.

и работает с коэффициентами разложения ${\displaystyle \psi (k).}$

Преобразование обратного цикла определяется как

${\displaystyle \Psi [\gamma ]=\int [dA]\Psi [A]W_{\gamma }[A]}$.

Это определяет представление цикла. Учитывая оператора ${\displaystyle {\hat {O}}}$ в представлении соединения,

${\displaystyle \Phi [A]={\hat {O}}\Psi [A]\qquad Eq\;1,}$

следует определить соответствующий оператор ${\displaystyle {\hat {O}}'}$ на ${\displaystyle \Psi [\gamma ]}$ в представлении цикла через,

${\displaystyle \Phi [\gamma ]={\hat {O}}'\Psi [\gamma ]\qquad Eq\;2,}$

где ${\displaystyle \Phi [\gamma ]}$ определяется обычным обратным преобразованием цикла,

${\displaystyle \Phi [\gamma ]=\int [dA]\Phi [A]W_{\gamma }[A]\qquad Eq\;3.}$

Формула преобразования, задающая действие оператора ${\displaystyle {\hat {O}}'}$ на ${\displaystyle \Psi [\gamma ]}$ с точки зрения действия оператора ${\displaystyle {\hat {O}}}$ на ${\displaystyle \Psi [A]}$ затем получается приравниванием R.H.S. из ${\displaystyle Eq\;2}$ с R.H.S. из ${\displaystyle Eq\;3}$ с участием ${\displaystyle Eq\;1}$ заменен на ${\displaystyle Eq\;3}$, а именно

${\displaystyle {\hat {O}}'\Psi [\gamma ]=\int [dA]W_{\gamma }[A]{\hat {O}}\Psi [A]}$,

или

${\displaystyle {\hat {O}}'\Psi [\gamma ]=\int [dA]({\hat {O}}^{\dagger }W_{\gamma }[A])\Psi [A]}$,

где ${\displaystyle {\hat {O}}^{\dagger }}$ означает оператор ${\displaystyle {\hat {O}}}$ но с обратным порядком множителей (вспомните из простой квантовой механики, где произведение операторов меняется на обратное при сопряжении). Действие этого оператора в цикле Вильсона оценивается как вычисление в представлении соединения, и результат преобразуется исключительно как манипуляция в терминах циклов (в отношении действия в цикле Вильсона выбранный преобразованный оператор - это оператор с обратный порядок факторов по сравнению с тем, который используется для его воздействия на волновые функции ${\displaystyle \Psi [A]}$). Это дает физический смысл оператора ${\displaystyle {\hat {O}}'}$. Например, если ${\displaystyle {\hat {O}}^{\dagger }}$ соответствует пространственному диффеоморфизму, то это можно рассматривать как сохранение поля связи ${\displaystyle A}$ из ${\displaystyle W_{\gamma }[A]}$ где он находится при выполнении пространственного диффеоморфизма на ${\displaystyle \gamma }$ вместо. Следовательно, смысл ${\displaystyle {\hat {O}}'}$ является пространственным диффеоморфизмом на ${\displaystyle \gamma }$, аргумент ${\displaystyle \Psi [\gamma ]}$.

В петлевом представлении ограничение пространственного диффеоморфизма решается путем рассмотрения функций петель ${\displaystyle \Psi [\gamma ]}$ инвариантные относительно пространственных диффеоморфизмов петли ${\displaystyle \gamma }$. Это, инварианты узлов используются. Это открывает неожиданную связь между теория узлов и квантовая гравитация.

Любой набор непересекающихся луп Вильсона удовлетворяет квантовому гамильтонову ограничению Аштекара. Используя определенный порядок терминов и заменяя ${\displaystyle {\tilde {E}}_{i}^{a}}$ по производной действие квантовой гамильтоновой связи на петлю Вильсона равно

${\displaystyle {\hat {\tilde {H}}}^{\dagger }W_{\gamma }[A]=-\epsilon _{ijk}{\hat {F}}_{ab}^{k}{\frac {\delta }{\delta A_{a}^{i}}}{\frac {\delta }{\delta A_{b}^{j}}}W_{\gamma }[A]}$.

Когда берется производная, она снижает касательный вектор, ${\displaystyle {\dot {\gamma }}^{a}}$, петли, ${\displaystyle \gamma }$. Так,

${\displaystyle {\hat {F}}_{ab}^{i}{\dot {\gamma }}^{a}{\dot {\gamma }}^{b}}$.

Однако, как ${\displaystyle F_{ab}^{i}}$ антисимметрична по индексам ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ это исчезает (это предполагает, что ${\displaystyle \gamma }$ нигде не является разрывным, поэтому касательный вектор единственен).

Что касается представления петли, волновые функции ${\displaystyle \Psi [\gamma ]}$ обращаются в нуль, когда петля имеет разрывы и является инвариантом узла. Такие функции решают закон Гаусса, пространственную связь диффеоморфизма и (формально) гамильтонову связь. Это дает бесконечный набор точных (хотя бы формальных) решений всех уравнений квантовой общей теории относительности!^[13] Это вызвало большой интерес к подходу и в конечном итоге привело к LQG.

Геометрические операторы, необходимость пересечения петель Вильсона и состояний спиновой сети

Самая простая геометрическая величина - это площадь. Выберем координаты так, чтобы поверхность ${\displaystyle \Sigma }$ характеризуется ${\displaystyle x^{3}=0}$. Площадь малого параллелограмма поверхности ${\displaystyle \Sigma }$ это произведение длины каждой стороны, умноженное на ${\displaystyle \sin \theta }$ где ${\displaystyle \theta }$ угол между сторонами. Скажем, одно ребро задается вектором ${\displaystyle {\vec {u}}}$ а другой ${\displaystyle {\vec {v}}}$ тогда,

${\displaystyle A=\|{\vec {u}}\|\|{\vec {v}}\|\sin \theta ={\sqrt {\|{\vec {u}}\|^{2}\|{\vec {v}}\|^{2}(1-\cos ^{2}\theta )}}={\sqrt {\|{\vec {u}}\|^{2}\|{\vec {v}}\|^{2}-({\vec {u}}\cdot {\vec {v}})^{2}}}}$

В пространстве, охваченном ${\displaystyle x^{1}}$ и ${\displaystyle x^{2}}$ есть бесконечно малый параллелограмм, описываемый ${\displaystyle {\vec {u}}={\vec {e}}_{1}dx^{1}}$ и ${\displaystyle {\vec {v}}={\vec {e}}_{2}dx^{2}}$. С помощью ${\displaystyle q_{AB}^{(2)}={\vec {e}}_{A}\cdot {\vec {e}}_{B}}$ (где индексы ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ бег от 1 до 2), дает площадь поверхности ${\displaystyle \Sigma }$ данный

${\displaystyle A_{\Sigma }=\int _{\Sigma }dx^{1}dx^{2}{\sqrt {\det(q^{(2)})}}}$

где ${\displaystyle \det(q^{(2)})=q_{11}q_{22}-q_{12}^{2}}$ и - определитель метрики, индуцированной на ${\displaystyle \Sigma }$. Последнее можно переписать ${\displaystyle \det(q^{(2)})=\epsilon ^{AB}\epsilon ^{CD}q_{AC}q_{BD}/2}$ где индексы ${\displaystyle A\dots D}$ перейти от 1 к 2. Это можно переписать как

${\displaystyle \det(q^{(2)})={\epsilon ^{3ab}\epsilon ^{3cd}q_{ac}q_{bc} \over 2}}$.

Стандартная формула для обратной матрицы:

${\displaystyle q^{ab}={\epsilon ^{bcd}\epsilon ^{aef}q_{ce}q_{df} \over 2!\det(q)}}$.

Есть сходство между этим и выражением для ${\displaystyle \det(q^{(2)})}$. Но в переменных Аштекара, ${\displaystyle {\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}^{bi}=\det(q)q^{ab}}$. Следовательно,

${\displaystyle A_{\Sigma }=\int _{\Sigma }dx^{1}dx^{2}{\sqrt {{\tilde {E}}_{i}^{3}{\tilde {E}}^{3i}}}}$.

По правилам канонического квантования триады ${\displaystyle {\tilde {E}}_{i}^{3}}$ следует преобразовать в квантовые операторы,

${\displaystyle {\hat {\tilde {E}}}_{i}^{3}\sim {\delta \over \delta A_{3}^{i}}}$.

Площадь ${\displaystyle A_{\Sigma }}$ может быть преобразован в четко определенный квантовый оператор, несмотря на то, что он содержит произведение двух функциональных производных и квадратного корня.^[14] Положив ${\displaystyle N=2J}$ (${\displaystyle J}$-е представление),

${\displaystyle \sum _{i}T^{i}T^{i}=J(J+1)1}$.

Эта величина важна в окончательной формуле для площади спектра. Результат

${\displaystyle {\hat {A}}_{\Sigma }W_{\gamma }[A]=8\pi \ell _{\text{Planck}}^{2}\beta \sum _{I}{\sqrt {j_{I}(j_{I}+1)}}W_{\gamma }[A]}$

где сумма ведется по всем ребрам ${\displaystyle I}$ петли Вильсона, протыкающей поверхность ${\displaystyle \Sigma }$.

Формула для объема области ${\displaystyle R}$ дан кем-то

${\displaystyle V=\int _{R}d^{3}x{\sqrt {\det(q)}}=\int _{R}dx^{3}{\sqrt {{\frac {1}{3!}}\epsilon _{abc}\epsilon ^{ijk}{\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}_{j}^{b}{\tilde {E}}_{k}^{c}}}}$.

Квантование объема происходит так же, как и с площадью. Каждый раз, когда берется производная, она приводит к касательному вектору ${\displaystyle {\dot {\gamma }}^{a}}$, а когда оператор объема действует на непересекающиеся лупы Вильсона, результат исчезает. Следовательно, квантовые состояния с ненулевым объемом должны включать пересечения. Учитывая, что в формуле для объема включено антисимметричное суммирование, необходимо пересечение по крайней мере с тремя несимметричнымикопланарный линий. По крайней мере, четырехвалентные вершины необходимы для того, чтобы оператор объема не обращался в нуль.

Предполагая реальное представление, где калибровочная группа ${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$, Петли Вильсона представляют собой сверхполную основу, поскольку существуют тождества, связывающие различные петли Вильсона. Это происходит потому, что петли Вильсона основаны на матрицах (голономии), и эти матрицы удовлетворяют тождествам. Учитывая любые два ${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$ матрицы ${\displaystyle \mathbb {A} }$ и ${\displaystyle \mathbb {B} }$,

${\displaystyle \operatorname {Tr} (\mathbb {A} )\operatorname {Tr} (\mathbb {B} )=\operatorname {Tr} (\mathbb {A} \mathbb {B} )+\operatorname {Tr} (\mathbb {A} \mathbb {B} ^{-1})}$.

Это означает, что с учетом двух петель ${\displaystyle \gamma }$ и ${\displaystyle \eta }$ которые пересекаются,

${\displaystyle W_{\gamma }[A]W_{\eta }[A]=W_{\gamma \circ \eta }[A]+W_{\gamma \circ \eta ^{-1}}[A]}$

согласно которому ${\displaystyle \eta ^{-1}}$ мы имеем в виду петлю ${\displaystyle \eta }$ пройдено в обратном направлении и ${\displaystyle \gamma \circ \eta }$ означает цикл, полученный путем обхода цикла ${\displaystyle \gamma }$ а затем вместе ${\displaystyle \eta }$. См. Рисунок ниже. Учитывая, что матрицы унитарны, имеем ${\displaystyle W_{\gamma }[A]=W_{\gamma ^{-1}}[A]}$. Также с учетом цикличности следов матрицы (т.е. ${\displaystyle \operatorname {Tr} (\mathbb {A} \mathbb {B} )=\operatorname {Tr} (\mathbb {B} \mathbb {A} )}$) есть что ${\displaystyle W_{\gamma \circ \eta }[A]=W_{\eta \circ \gamma }[A]}$. Эти идентификаторы могут быть объединены друг с другом в дополнительные идентификаторы с возрастающей сложностью, добавляя больше циклов. Эти тождества являются так называемыми тождествами Мандельштама. Определенные спиновые сети представляют собой линейные комбинации пересекающихся луп Вильсона, разработанные для решения проблемы избыточной полноты, вводимой тождествами Мандельштама (для трехвалентных пересечений они полностью исключают избыточную полноту), и фактически составляют основу для всех калибровочно-инвариантных функций.

Графическое представление простейшего нетривиального тождества Мандельштама, связывающего различные Петли Вильсона.

Как упоминалось выше, голономия говорит о том, как распространять получастицы с пробным спином. Состояние спиновой сети присваивает амплитуду набору спиновых получастиц, прослеживающих путь в пространстве, сливаясь и разделяясь. Их описывают спиновые сети ${\displaystyle \gamma }$: рёбра помечены спинами вместе с «спинами» в вершинах, которые являются рецептом того, как суммировать различные способы перенаправления спинов. Сумма перемаршрутизации выбирается как таковая, чтобы сделать форму сплетника инвариантной относительно калибровочных преобразований Гаусса.

Реальные переменные, современный анализ и LQG

Основная статья: Гамильтонова связь LQG

Давайте более подробно остановимся на технических трудностях, связанных с использованием переменных Аштекара:

С переменными Аштекара используется сложная связь, поэтому соответствующая группа датчиков фактически ${\displaystyle \operatorname {SL} (2,\mathbb {C} )}$ и не ${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$. Так как ${\displaystyle \operatorname {SL} (2,\mathbb {C} )}$ является некомпактный это создает серьезные проблемы для строгого построения необходимого математического аппарата. Группа ${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$, с другой стороны, компактный и необходимые конструкции разработаны.

Как упоминалось выше, поскольку переменные Аштекара сложны, результирующая общая теория относительности сложна. Чтобы восстановить реальную теорию, нужно наложить так называемые «условия реальности». Они требуют, чтобы уплотненная триада была реальной и чтобы действительная часть соединения Аштекар была равна совместимому спин-соединению (условие совместимости ${\displaystyle \nabla _{a}e_{b}^{I}=0}$) определяется уплотненной триадой. Выражение для совместимого соединения ${\displaystyle \Gamma _{a}^{i}}$ является довольно сложным, и поэтому неполиномиальная формула входит через черный ход.

Учитывая, что тензорная плотность веса ${\displaystyle W}$ трансформируется как обычный тензор за исключением того, что ${\displaystyle W}$я сила Якобиан,

${\displaystyle J=\left|{\frac {\partial x^{a}}{\partial x^{'b}}}\right|}$

также появляется как фактор, т.е.

${\displaystyle {T'}_{b\dots }^{a\dots }=J^{W}{\frac {\partial x^{'a}}{\partial x^{c}}}\dots {\frac {\partial x^{d}}{\partial x^{'b}}}T_{d\dots }^{c\dots }.}$

По общим причинам невозможно построить УФ-конечный не нарушающий диффеоморфизм оператор, соответствующий ${\displaystyle {\sqrt {\det(q)}}H}$. Причина в том, что измененное гамильтоново ограничение представляет собой скалярную плотность веса два, в то время как можно показать, что только скалярные плотности веса один имеют шанс привести к хорошо определенному оператору. Таким образом, человек вынужден работать с исходным немасштабированным однозначным гамильтоновым ограничением плотности. Однако это неполиномиально, и вся сила комплексных переменных ставится под сомнение. Фактически, все решения, построенные для гамильтоновой связи Аштекара, исчезали только для конечных регуляризация однако это нарушает инвариантность пространственного диффеоморфизма.

Без реализации и решения гамильтоновой связи невозможно добиться прогресса и невозможно надежное предсказание.

Чтобы преодолеть первую проблему, нужно использовать конфигурационную переменную

${\displaystyle A_{a}^{i}=\Gamma _{a}^{i}+\beta K_{a}^{i}}$

где ${\displaystyle \beta }$ является реальным (как указал Барберо, который ввел вещественные переменные через некоторое время после переменных Аштекара^[15][16]). Закон Гаусса и ограничения пространственного диффеоморфизма совпадают. В реальных переменных Аштекара гамильтониан имеет вид

${\displaystyle H={\epsilon _{ijk}F_{ab}^{k}{\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}_{j}^{b} \over {\sqrt {\det(q)}}}+2{\beta ^{2}+1 \over \beta ^{2}}{({\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}_{j}^{b}-{\tilde {E}}_{j}^{a}{\tilde {E}}_{i}^{b}) \over {\sqrt {\det(q)}}}(A_{a}^{i}-\Gamma _{a}^{i})(A_{b}^{j}-\Gamma _{b}^{j})=H_{E}+H'}$.

Сложные отношения между ${\displaystyle \Gamma _{a}^{i}}$ а обесцененные триады вызывают серьезные проблемы при квантовании. Это с выбором ${\displaystyle \beta =\pm i}$ что второй, более сложный член вынужден исчезнуть. Однако, как упоминалось выше ${\displaystyle \Gamma _{a}^{i}}$ вновь появляется в условиях реальности. По-прежнему существует проблема ${\displaystyle 1/{\sqrt {\det(q)}}}$ фактор.

Тиманн смог заставить это работать по-настоящему ${\displaystyle \beta }$. Сначала он мог упростить неприятный ${\displaystyle 1/{\sqrt {\det(q)}}}$ используя личность

${\displaystyle \{A_{c}^{k},V\}={1 \over 4}{\epsilon _{abc}\epsilon ^{ijk}{\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}_{j}^{b} \over {\sqrt {\det(q)}}}}$

где ${\displaystyle V}$ это объем. Объединяя эту идентичность с простой идентичностью

${\displaystyle \epsilon ^{abc}\epsilon _{a'b'c}=\delta _{a'}^{a}\delta _{b'}^{b}-\delta _{b'}^{a}\delta _{a'}^{b}}$

урожайность,

${\displaystyle 2\epsilon ^{abc}\{A_{c}^{k},V\}={\epsilon ^{ijk}{\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}_{j}^{b} \over {\sqrt {\det(q)}}}.}$

Заключив обе стороны с ${\displaystyle F_{ab}^{k}}$ дает

${\displaystyle 2\epsilon ^{abc}F_{ab}^{k}\{A_{c}^{k},V\}={\epsilon ^{ijk}F_{ab}^{k}{\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}_{j}^{b} \over {\sqrt {\det(q)}}}.}$

Смазанный евклидов гамильтонов функционал связи тогда может быть записан (${\displaystyle N}$ это функция задержки)

${\displaystyle H_{E}[N]=2\int _{\Sigma }d^{3}xN(x)\epsilon ^{abc}F_{ab}^{k}\{A_{c}^{k},V\}.}$

В ${\displaystyle A_{c}^{k},F_{ab}^{K}}$, и ${\displaystyle V}$ может быть преобразован в хорошо определенные операторы в представлении цикла, а скобка Пуассона заменяется коммутатором при квантовании; это касается первого члена. Оказывается, аналогичный прием можно применить и ко второму члену. Один вводит количество

${\displaystyle K=\int d^{3}xK_{a}^{i}{\tilde {E}}_{i}^{a}}$

и отмечает, что

${\displaystyle K_{a}^{i}=\{A_{a}^{i},K\}}$.

так,

${\displaystyle A_{a}^{i}-\Gamma _{a}^{i}=\beta K_{a}^{i}=\beta \{A_{a}^{i},K\}}$.

Причина количества ${\displaystyle K}$ легче работать во время квантования, так это то, что его можно записать как

${\displaystyle K=-\left\{V,\int d^{3}xH_{E}\right\}}$

где мы использовали, что интегрированный уплотненный след внешней кривизны, ${\displaystyle K}$, является «производной объема по времени».

В долгой истории канонической квантовой гравитации, формулирующей гамильтонову связь как квантовый оператор (Уравнение Уиллера – ДеВитта ) математически строго было сложной задачей. Именно в циклическом представлении в 1996 году было окончательно сформулировано математически корректное гамильтоново ограничение.^[10] Подробнее о его конструкции оставляем в статье. Гамильтонова связь LQG. Это вместе с квантовыми версиями закона Гаусса и ограничениями пространственного диффеоморфизма, записанными в петлевом представлении, являются центральными уравнениями LQG (современной канонической квантовой общей теории относительности).

Нахождение состояний, которые аннулируются этими ограничениями (физических состояний), и поиск соответствующего физического внутреннего продукта и наблюдаемых - основная цель технической стороны LQG.

Очень важным аспектом гамильтонова оператора является то, что он действует только в вершинах (следствием этого является то, что гамильтонов оператор Тимана, как и оператор Аштекара, аннулирует непересекающиеся петли, за исключением того, что теперь он не просто формальный и имеет строгий математический смысл). Точнее, его действие ненулевое по крайней мере на вершинах валентности три и выше и приводит к линейной комбинации новых спиновых сетей, где исходный граф был изменен путем добавления линий вместе в каждой вершине и изменения меток. смежных звеньев вершины.

Реализация и решение квантовых ограничений

Основные статьи: спектр, двойное пространство, Оснащенное гильбертово пространство, и квантовое конфигурационное пространство

Мы решаем, по крайней мере, приблизительно, все уравнения квантовых ограничений и для внутреннего физического продукта, чтобы делать физические прогнозы.

Прежде чем мы перейдем к ограничениям LQG, давайте рассмотрим некоторые случаи. Начнем с кинематического гильбертова пространства ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\text{Kin}}}$ так как снабжен внутренним продуктом - кинематическим внутренним продуктом ${\displaystyle \langle \phi ,\psi \rangle _{\text{Kin}}}$.

i) Допустим, у нас есть ограничения ${\displaystyle {\hat {C}}_{I}}$ нулевые собственные значения которых лежат в их дискретных спектр.Решения первого ограничения, ${\displaystyle {\hat {C}}_{1}}$, соответствуют подпространству кинематического гильбертова пространства, ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}\subset {\mathcal {H}}_{\text{Kin}}}$. Будет оператор проекции ${\displaystyle P_{1}}$ отображение ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\text{Kin}}}$ на ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}}$. Кинематическая структура внутреннего продукта легко используется для обеспечения структуры внутреннего продукта после решения этого первого ограничения; новый внутренний продукт просто

${\displaystyle \langle \phi ,\psi \rangle _{1}=\langle P\phi ,P\psi \rangle _{\text{Kin}}}$

Они основаны на одном и том же внутреннем продукте и являются нормализуемыми состояниями по отношению к нему.

ii) Нулевая точка не содержится в точечном спектре всех ${\displaystyle {\hat {C}}_{I}}$, то нетривиального решения ${\displaystyle \Psi \in {\mathcal {H}}_{\text{Kin}}}$ к системе квантовых уравнений связи ${\displaystyle {\hat {C}}_{I}\Psi =0}$ для всех ${\displaystyle I}$.

Например, нулевое собственное значение оператора

${\displaystyle {\hat {C}}=\left(i{d \over dx}-k\right)}$

на ${\displaystyle L_{2}(\mathbb {R} ,dx)}$ лежит в непрерывном спектре ${\displaystyle \mathbb {R} }$ но формальное "собственное состояние" ${\displaystyle \exp(-ikx)}$ не нормализуется в кинематическом внутреннем продукте,

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }dx\psi ^{*}(x)\psi (x)=\int _{-\infty }^{\infty }dxe^{ikx}e^{-ikx}=\int _{-\infty }^{\infty }dx=\infty }$

и поэтому не принадлежит кинематическому гильбертову пространству ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\text{Kin}}}$. В этих случаях мы берем плотное подмножество ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ из ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\text{Kin}}}$ (интуитивно это означает любую точку в ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ либо в ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\text{Kin}}}$ или произвольно близко к точке в ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\text{Kin}}}$) с очень хорошими свойствами сходимости и рассмотрим его двойное пространство ${\displaystyle {\mathcal {S}}'}$ (интуитивно эти элементы карты ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ на конечные комплексные числа линейным образом), то ${\displaystyle {\mathcal {S}}\subset {\mathcal {H}}_{\text{Kin}}\subset {\mathcal {S}}'}$ (так как ${\displaystyle {\mathcal {S}}'}$ содержит функции распределения). Затем оператор ограничения реализуется в этом большом двойном пространстве, которое содержит функции распределения, при сопряженном действии на оператор. На этом большом пространстве ищут решения. Это происходит за счет того, что решениям необходимо дать новое внутреннее произведение гильбертова пространства, относительно которого они нормализуемы (см. Статью о оснащенное гильбертово пространство ). В этом случае мы имеем обобщенный оператор проектирования на новое пространство состояний. Мы не можем использовать приведенную выше формулу для нового внутреннего продукта, поскольку он расходится, вместо этого новый внутренний продукт задается простой модификацией приведенного выше,

${\displaystyle \langle \phi ,\psi \rangle _{1}=\langle P\phi ,\psi \rangle _{\text{Kin}}.}$

Обобщенный проектор ${\displaystyle P}$ называется такелажной картой.

Реализация и решение квантовых ограничений LQG.

Перейдем к LQG, дополнительные сложности возникнут из-за того, что нельзя определить оператор для ограничения квантового пространственного диффеоморфизма как инфинитезимальный генератор конечных преобразований диффеоморфизма, а также того факта, что алгебра ограничений не является алгеброй Ли из-за скобки между двумя гамильтоновыми ограничениями .

Реализация и решение ограничения Гаусса:

Фактически нет необходимости преобразовывать ограничение Гаусса в оператор, так как мы можем работать напрямую с калибровочно-инвариантными функциями (то есть, ограничение решается классическим образом и квантуется только фазовое пространство, уменьшенное по отношению к ограничению Гаусса). Закон Гаусса решается с помощью состояний спиновой сети. Они составляют основу кинематического гильбертова пространства. ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\text{Kin}}}$.

Реализация ограничения квантового пространственного диффеоморфизма:

Оказывается, нельзя определить оператор ограничения квантового пространственного диффеоморфизма как инфинитезимальный генератор преобразований конечных диффеоморфизмов, представленных на ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\text{Kin}}}$. Представление конечных диффеоморфизмов - это семейство унитарных операторов ${\displaystyle {\hat {U}}_{\varphi }}$ действуя на состояние спиновой сети ${\displaystyle \psi _{\gamma }}$ от

${\displaystyle {\hat {U}}_{\varphi }\psi _{\gamma }:=\psi _{\varphi \circ \gamma },}$

для любого пространственного диффеоморфизма ${\displaystyle \varphi }$ на ${\displaystyle \Sigma }$. Чтобы понять, почему нельзя определить оператор для ограничения квантового пространственного диффеоморфизма, рассмотрим то, что называется 1-параметром подгруппа ${\displaystyle \varphi _{t}}$ в группе пространственных диффеоморфизмов это тогда представляется как однопараметрическая унитарная группа ${\displaystyle {\hat {U}}_{\varphi _{t}}}$ на ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\text{Kin}}}$. Однако, ${\displaystyle {\hat {U}}_{\varphi _{t}}}$ не является слабо непрерывный поскольку подпространство ${\displaystyle \psi _{\varphi _{t}\circ \gamma }}$ принадлежит, а подпространство ${\displaystyle \psi _{\gamma }}$ принадлежат ортогональны друг другу, независимо от того, насколько мал параметр ${\displaystyle t}$ является. Так что всегда есть

${\displaystyle |<\psi _{\gamma }|{\hat {U}}_{\varphi _{t}}|\psi _{\gamma }>_{Kin}-<\psi _{\gamma }|\psi _{\gamma }>_{Kin}|=<\psi _{\gamma }|\psi _{\gamma }>_{Kin}\not =0,}$

даже в пределе, когда ${\displaystyle t}$ уходит в ноль. Следовательно, инфинитезимальный генератор ${\displaystyle {\hat {U}}_{\varphi _{t}}}$ не существует.

Решение ограничения пространственного диффеоморфизма.

Ограничение пространственного диффеоморфизма решено. Индуцированный внутренний продукт ${\displaystyle <\cdot ,\cdot >_{Diff}}$ на ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\text{Diff}}}$ (мы не будем вдаваться в подробности) имеет очень простое описание в терминах состояний спиновой сети; учитывая две спиновые сети ${\displaystyle s}$ и ${\displaystyle s'}$, с ассоциированными состояниями спиновой сети ${\displaystyle \psi _{s}}$ и ${\displaystyle \psi _{s'}}$, внутренний продукт равен 1, если ${\displaystyle s}$ и ${\displaystyle s'}$ связаны друг с другом пространственным диффеоморфизмом и равны нулю в противном случае.

Мы предоставили описание реализованного и полного решения кинематических ограничений, ограничений Гаусса и пространственных диффеоморфизмов, которые будут одинаковыми для любой теории калибровочного поля, не зависящей от фона. Особенность, которая отличает такие разные теории, - это гамильтонова связь, которая является единственной, которая зависит от лагранжиана классической теории.

Проблема, возникающая из-за гамильтоновой связи.

Детали реализации квантового гамильтонова ограничения и решений рассматриваются в другой статье. Гамильтонова связь LQG. Однако в этой статье мы вводим схему аппроксимации для формального решения гамильтонова оператора связи, приведенного в следующем разделе о спиновых пенах. Здесь мы просто упоминаем проблемы, которые возникают с гамильтоновой связью.

Гамильтонова связь отображает состояния, инвариантные к диффеоморфизму, в состояния, инвариантные к диффеоморфизму, так как это не сохраняет гильбертово пространство диффеоморфизма ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\text{Diff}}}$. Это неизбежное следствие операторной алгебры, в частности коммутатора:

${\displaystyle [{\hat {C}}({\vec {N}}),{\hat {H}}(M)]\propto {\hat {H}}({\mathcal {L}}_{\vec {N}}M)}$

как можно увидеть, применив это к ${\displaystyle \psi _{s}\in {\mathcal {H}}_{Diff}}$,

${\displaystyle ({\vec {C}}({\vec {N}}){\hat {H}}(M)-{\hat {H}}(M){\vec {C}}({\vec {N}}))\psi _{s}\propto {\hat {H}}({\mathcal {L}}_{\vec {N}}M)\psi _{s}}$

и используя ${\displaystyle {\vec {C}}({\vec {N}})\psi _{s}=0}$ чтобы получить

${\displaystyle {\vec {C}}({\vec {N}})[{\hat {H}}(M)\psi _{s}]\propto {\hat {H}}({\mathcal {L}}_{\vec {N}}M)\psi _{s}\not =0}$

и так ${\displaystyle {\hat {H}}(M)\psi _{s}}$ не в ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{Diff}}$.

Это означает, что нельзя просто решить ограничение пространственного диффеоморфизма, а затем гамильтонову связь. Эту проблему можно обойти, введя главное ограничение, с его тривиальной операторной алгеброй, тогда в принципе можно построить физический внутренний продукт из ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\text{Diff}}}$.

Пена отжима

Основные статьи: спиновая сеть, отжимная пена, Модель BF, и Модель Барретта – Крейна

В петлевой квантовой гравитации (LQG) спиновая сеть представляет собой «квантовое состояние» гравитационного поля на 3-мерной гиперповерхности. Множество всех возможных спиновых сетей (или, точнее, «s-узлов», т. Е. Классов эквивалентности спиновых сетей относительно диффеоморфизмов) счетно; он составляет основу гильбертова пространства LQG.

В физике спиновая пена - это топологическая структура, состоящая из двумерных граней, которая представляет одну из конфигураций, которые необходимо суммировать, чтобы получить описание квантовой гравитации с помощью интеграла по траекториям (функционального интегрирования) Фейнмана. Это тесно связано с петлевой квантовой гравитацией.

Спиновая пена, полученная из оператора гамильтоновой связи

Гамильтонова связь порождает "временную" эволюцию. Решение гамильтоновой связи должно рассказать нам, как квантовые состояния эволюционируют во «времени» от начального состояния спиновой сети до конечного состояния спиновой сети. Один подход к решению гамильтоновой связи начинается с того, что называется Дельта-функция Дирака. Это довольно сингулярная функция действительной прямой, обозначаемая ${\displaystyle \delta (x)}$, который равен нулю везде, кроме ${\displaystyle x=0}$ но интеграл которого конечен и отличен от нуля. Его можно представить в виде интеграла Фурье,

${\displaystyle \delta (x)=\int e^{ikx}dk}$.

Можно использовать идею дельта-функции, чтобы наложить условие, что гамильтонова связь должна исчезнуть.

${\displaystyle \prod _{x\in \Sigma }\delta ({\hat {H}}(x))}$

не равно нулю, только когда ${\displaystyle {\hat {H}}(x)=0}$ для всех ${\displaystyle x}$ в ${\displaystyle \Sigma }$. Используя это, мы можем «спроецировать» решения гамильтоновой связи. По аналогии с приведенным выше интегралом Фурье этот (обобщенный) проектор формально можно записать как

${\displaystyle \int [dN]e^{i\int d^{3}xN(x){\hat {H}}(x)}}$.

Это формально пространственно диффеоморфизм-инвариантно. Как таковой, он может применяться на уровне пространственно-инвариантного к диффеоморфизму. Используя это, физический внутренний продукт формально задается

${\displaystyle \left\langle \int [dN]e^{i\int d^{3}xN(x){\hat {H}}(x)}s_{\text{int}}s_{\text{fin}}\right\rangle _{\text{Diff}}}$

где ${\displaystyle s_{\text{int}}}$ - начальная спиновая сеть и ${\displaystyle s_{\text{fin}}}$ сеть финального вращения.

Экспоненту можно разложить

${\displaystyle \left\langle \int [dN]\left(1+i\int d^{3}xN(x){\hat {H}}(x)+{\frac {i^{2}}{2!}}\left[\int d^{3}xN(x){\hat {H}}(x)\right]\left[\int d^{3}x'N(x'){\hat {H}}(x')\right]+\cdots \right)s_{\text{int}},s_{\text{fin}}\right\rangle _{\text{Diff}}}$

и каждый раз, когда гамильтонов оператор действует, он делает это, добавляя новое ребро в вершине. Суммирование по различным последовательностям действий ${\displaystyle {\hat {H}}}$ можно представить себе как суммирование различных историй «вершин взаимодействия» в «временной» эволюции, отправляющей начальную спиновую сеть в конечную спиновую сеть. Затем это естественным образом приводит к двойному комплексу (комбинаторному набору граней, которые соединяются по ребрам, которые, в свою очередь, соединяются по вершинам), лежащим в основе описания спиновой пены; мы развиваем начальную спиновую сеть, выметающую поверхность, действие оператора гамильтоновой связи заключается в создании новой плоской поверхности, начинающейся в вершине. Мы можем использовать действие гамильтоновой связи на вершину состояния спиновой сети, чтобы связать амплитуду с каждым «взаимодействием» (по аналогии с Диаграммы Фейнмана ). См. Рисунок ниже. Это открывает способ попытаться напрямую связать каноническую LQG с описанием интеграла по путям. Теперь, точно так же, как спиновые сети описывают квантовое пространство, каждая конфигурация, вносящая вклад в эти интегралы по траекториям или суммы за историю, описывает «квантовое пространство-время». Из-за их сходства с мыльной пеной и способа их маркировки Джон Баэз дал этому «квантовому пространству-времени» название «спиновая пена».

Действие гамильтоновой связи, переведенное на интеграл по путям или так называемый отжимная пена описание. Один узел разделяется на три узла, образуя вершину вращающейся пены. ${\displaystyle N(x_{n})}$ это ценность ${\displaystyle N}$ в вершине и ${\displaystyle H_{nop}}$ - матричные элементы гамильтоновой связи ${\displaystyle {\hat {H}}}$.

Однако есть серьезные трудности с этим конкретным подходом, например, оператор Гамильтона не является самосопряженным, фактически это даже не нормальный оператор (т.е. оператор не коммутирует со своим сопряженным), поэтому оператор спектральная теорема не может использоваться для определения экспоненты в целом. Самая серьезная проблема заключается в том, что ${\displaystyle {\hat {H}}(x)}$не являются взаимно коммутирующими, тогда можно показать формальное количество ${\displaystyle \int [dN]e^{i\int d^{3}xN(x){\hat {H}}(x)}}$ не может даже определить (обобщенный) проектор. Основное ограничение (см. Ниже) не страдает от этих проблем и, как таковое, предлагает способ соединения канонической теории с формулировкой интеграла по путям.

Спин-пены из теории BF

Оказывается, существуют альтернативные способы формулирования интеграла по путям, однако их связь с гамильтоновым формализмом менее ясна. Один из способов - начать с Теория BF. Это более простая теория, чем общая теория относительности, она не имеет локальных степеней свободы и, как таковая, зависит только от топологических аспектов полей. Теория BF - это то, что известно как топологическая теория поля. Удивительно, но оказывается, что общая теория относительности может быть получена из теории BF, наложив ограничение:^[17] Теория BF включает в себя поле ${\displaystyle B_{ab}^{IJ}}$ и если выбрать поле ${\displaystyle B}$ быть (антисимметричным) произведением двух тетрад

${\displaystyle B_{ab}^{IJ}={1 \over 2}(E_{a}^{I}E_{b}^{J}-E_{b}^{I}E_{a}^{J})}$

(тетрады похожи на триады, но в четырех измерениях пространства-времени), восстанавливается общая теория относительности. Условие, что ${\displaystyle B}$ поле, задаваемое произведением двух тетрад, называется ограничением простоты. Динамика спиновой пены в топологической теории поля хорошо изучена. Учитывая амплитуды «взаимодействия» спиновой пены для этой простой теории, затем пытаются реализовать условия простоты, чтобы получить интеграл по путям для общей теории относительности. Затем нетривиальная задача построения модели спиновой пены сводится к вопросу о том, как это ограничение простоты должно быть наложено в квантовой теории. Первой попыткой этого была знаменитая Модель Барретта – Крейна.^[18] Однако эта модель оказалась проблематичной, например, не было достаточного количества степеней свободы, чтобы гарантировать правильный классический предел.^[19] Утверждалось, что ограничение простоты было слишком сильно наложено на квантовом уровне и должно быть наложено только в смысле ожидаемых значений, как и в случае Условие калибровки Лоренца ${\displaystyle \partial _{\mu }{\hat {A}}^{\mu }}$ в Формализм Гупты – Блейлера из квантовая электродинамика. Теперь выдвигаются новые модели, иногда мотивированные наложением условий простоты в более слабом смысле.

Другая трудность здесь заключается в том, что спиновая пена определяется дискретизацией пространства-времени. Хотя это не представляет проблем для топологической теории поля, поскольку у нее нет локальных степеней свободы, это создает проблемы для ОТО. Это известно как проблема треугольной зависимости.

Современный рецепт центрифугирования

Подобно тому, как наложение классического ограничения простоты восстанавливает общую теорию относительности из теории BF, можно ожидать, что соответствующее ограничение квантовой простоты восстановит квантовую гравитацию из квантовой теории BF.

Энгл, Перейра и Ровелли добились значительного прогресса в этом вопросе.^[20] Фрейдель и Краснов^[21] и Ливин и Специя^[22] в определении амплитуд взаимодействия спиновой пены с гораздо лучшим поведением.

Была сделана попытка установить контакт между центрифугированием EPRL-FK и канонической формулировкой LQG.^[23]

Вращающаяся пена, полученная из главного оператора ограничения

См. ниже.

Полуклассический предел

Дальнейшая информация: Принцип соответствия и классический предел

В классический предел лимит переписки - это возможность физическая теория приблизить или "восстановить" классическая механика при рассмотрении сверх специальных значений его параметров.^[24] Классический предел используется с физическими теориями, предсказывающими неклассическое поведение. В физика, принцип соответствия утверждает, что поведение систем, описываемых теорией квантовая механика (или старая квантовая теория ) воспроизводит классическая физика в пределе большого квантовые числа. Другими словами, в нем говорится, что для больших орбиты и для больших энергии, квантовые расчеты должны согласовываться с классическими расчетами.^[25]

Принцип был сформулирован Нильс Бор в 1920 г.^[26] хотя ранее он использовал его еще в 1913 году при разработке своего модель атома.^[27]

Для установления полуклассического предела любой квантовой теории есть два основных требования:

1. воспроизведение скобок Пуассона (ограничений диффеоморфизма в случае общей теории относительности). Это чрезвычайно важно, потому что, как отмечалось выше, алгебра скобок Пуассона, образованная между (размазанными) ограничениями, полностью определяет классическую теорию. Это аналогично установлению Теорема Эренфеста.
2. спецификация полный набор классических наблюдаемых соответствующие операторы которого при воздействии на них соответствующих полуклассических состояний воспроизводят те же классические переменные с небольшими квантовыми поправками (тонкий момент в том, что состояния, которые являются полуклассическими для одного класса наблюдаемых, могут не быть полуклассическими для другого класса наблюдаемых^[28]).

Это может быть легко сделано, например, в обычной квантовой механике для частицы, но в общей теории относительности это становится весьма нетривиальной проблемой.

Правильность полуклассического предела LQG

Любая кандидатская теория квантовая гравитация должен быть в состоянии воспроизвести теорию Эйнштейна общая теория относительности как классический предел квант теория. Это не гарантируется из-за особенности квантовых теорий поля, заключающейся в том, что они имеют разные сектора, они аналогичны различным фазам, возникающим в термодинамическом пределе статистических систем. Как разные фазы физически различны, так и разные разделы квантовой теории поля. Может оказаться, что LQG принадлежит нефизическому сектору, в котором общая теория относительности не восстанавливается в полуклассическом пределе (на самом деле может вообще не быть физического сектора).

Более того, физическое гильбертово пространство ${\displaystyle H_{phys}}$ должен содержать достаточно полуклассических состояний, чтобы гарантировать, что полученная квантовая теория может вернуться к классической теории, когда ${\displaystyle \hbar \to 0}$. Чтобы гарантировать это, нужно избегать квантовые аномалии любой ценой, потому что в противном случае на физическое гильбертово пространство будут накладываться ограничения, не имеющие аналогов в классической теории, что означает, что квантовая теория имеет меньше степеней свободы, чем классическая теория.

Теоремы, устанавливающие единственность представления петель, как это определено Аштекаром и др. (т.е. некоторая конкретная реализация гильбертова пространства и связанных с ним операторов, воспроизводящих правильную алгебру петель - реализация, которую все использовали) были даны двумя группами (Левандовски, Околоу, Зальманн и Тиман;^[29] и Кристиан Флейшхак^[30]). До того, как этот результат был установлен, не было известно, могут ли быть другие примеры гильбертовых пространств с операторами, вызывающими ту же алгебру петель - другие реализации, не эквивалентные той, которая использовалась до сих пор. Эти теоремы единственности подразумевают, что других не существует, поэтому, если LQG не имеет правильного полуклассического предела, то эти теоремы будут означать конец петлевого представления квантовой гравитации в целом.

Трудности и успеваемость при проверке полуклассического предела

Есть ряд трудностей в попытке установить, что LQG дает общую теорию относительности Эйнштейна в полуклассическом пределе:

1. Не существует оператора, соответствующего бесконечно малым пространственным диффеоморфизмам (неудивительно, что в теории нет генератора бесконечно малых пространственных «трансляций», поскольку она предсказывает, что пространственная геометрия имеет дискретную природу по сравнению с ситуацией в конденсированной среде). Вместо этого она должна быть аппроксимирована конечными пространственными диффеоморфизмами, и поэтому структура скобок Пуассона классической теории не воспроизводится точно. Эту проблему можно обойти, введя так называемое главное ограничение (см. Ниже).^[31]
2. Возникает проблема примирения дискретной комбинаторной природы квантовых состояний с непрерывной природой полей классической теории.
3. Существуют серьезные трудности, связанные со структурой скобок Пуассона, включающей пространственный диффеоморфизм и гамильтоновы связи. В частности, алгебра (размазанных) гамильтоновых связей не замыкается: она пропорциональна сумме бесконечно малых пространственных диффеоморфизмов (которые, как мы только что отметили, не существуют в квантовой теории), где коэффициенты пропорциональности не являются константами но имеют нетривиальную зависимость от фазового пространства - как таковая не образует Алгебра Ли. Однако ситуация значительно улучшается за счет введения главного ограничения.^[31]
4. Полуклассический механизм, разработанный до сих пор, подходит только для операторов, не меняющих граф, однако гамильтоново ограничение Тимана является оператором изменения графа - новый граф, который он генерирует, имеет степени свободы, от которых когерентное состояние не зависит, и поэтому их квантовое колебания не подавляются. Также существует ограничение, что эти когерентные состояния определены только на кинематическом уровне, и теперь их нужно поднять до уровня ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{Diff}}$ и ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{Phys}}$. Можно показать, что гамильтонова связь Тимана должна быть изменяющей граф, чтобы решить проблему 3 в некотором смысле. Однако основная алгебра ограничений тривиальна, и поэтому требование, чтобы она изменяла граф, может быть снято, и действительно были определены основные операторы ограничения, не меняющие граф. Насколько известно на данный момент, эта проблема пока еще недосягаема.
5. Формулировка наблюдаемых для классической общей теории относительности сама по себе является сложной задачей из-за ее нелинейной природы и инвариантности к диффеоморфизму пространства-времени. Фактически, схема систематического приближения для вычисления наблюдаемых была разработана только недавно.^[32][33]

Трудности в попытке исследовать полуклассический предел теории не следует путать с неправильным полуклассическим пределом.

Относительно вопроса № 2 выше можно рассматривать так называемые ткать состояния. Обычные измерения геометрических величин макроскопичны, планковская дискретность сглаживается. Ткань футболки аналогична: на расстоянии это гладкая изогнутая двумерная поверхность, но при более внимательном рассмотрении мы видим, что на самом деле она состоит из тысяч одномерных связанных нитей. Образ пространства, данный в LQG, похож. Рассмотрим очень большую спиновую сеть, образованную очень большим количеством узлов и ссылок, каждая из которых Планковский масштаб. В макроскопическом масштабе он выглядит как трехмерная непрерывная метрическая геометрия.

Чтобы войти в контакт с хорошо известной физикой низких энергий, необходимо разработать схемы аппроксимации как для физического внутреннего продукта, так и для наблюдаемых Дирака; модели спиновой пены, которые интенсивно изучались, можно рассматривать как пути к схемам аппроксимации для упомянутого физического внутреннего продукта.

Маркопулу и др. принял идею бесшумные подсистемы в попытке решить проблему предела низкой энергии в теориях квантовой гравитации, не зависящих от фона.^[34][35] Эта идея даже привела к интригующей возможности материи стандартная модель отождествляются с возникающими степенями свободы в некоторых версиях LQG (см. раздел ниже: LQG и связанные исследовательские программы).

Как подчеркивал Вайтман в 1950-х годах, в КТП Минковского ${\displaystyle n-}$ точечные функции

${\displaystyle W(x_{1},\dots ,x_{n})=\langle 0|\phi (x_{n})\dots \phi (x_{1})|0\rangle }$,

полностью определить теорию. В частности, по этим величинам можно вычислить амплитуды рассеяния. Как объяснено ниже в разделе о Амплитуды рассеяния, не зависящие от фона, в независимом от фона контексте ${\displaystyle n-}$ Точечные функции относятся к состоянию, и в гравитации это состояние может естественным образом кодировать информацию о конкретной геометрии, которая затем может появиться в выражениях этих величин. Было показано, что расчеты LQG в соответствующем смысле в определенном порядке согласуются с ${\displaystyle n-}$точечные функции, вычисленные в рамках эффективной квантовой общей теории относительности низких энергий.

Улучшенная динамика и главное ограничение

Основные статьи: Гамильтониан (квантовая механика), Гамильтонова связь LQG, и Расширение Фридрихса

Главное ограничение

Главное ограничение Тимана не следует путать с главное уравнение что связано со случайными процессами. Основная программа ограничений для петлевой квантовой гравитации (LQG) была предложена как классически эквивалентный способ наложения бесконечного числа гамильтоновых уравнений связи

${\displaystyle H(x)=0}$

(${\displaystyle x}$ является непрерывным индексом) с точки зрения одного главного ограничения,

${\displaystyle M=\int d^{3}x{[H(x)]^{2} \over {\sqrt {\det(q(x))}}}}$.

который включает квадрат рассматриваемых ограничений. Обратите внимание, что ${\displaystyle H(x)}$ было бесконечно много, тогда как главное ограничение - только одно. Понятно, что если ${\displaystyle M}$ исчезает, тогда бесконечно много ${\displaystyle H(x)}$с. И наоборот, если все ${\displaystyle H(x)}$исчезают, значит, исчезают ${\displaystyle M}$, поэтому они эквивалентны. Главное ограничение ${\displaystyle M}$ включает соответствующее усреднение по всему пространству и поэтому инвариантен относительно пространственных диффеоморфизмов (он инвариантен относительно пространственных «сдвигов», поскольку является суммированием по всем таким пространственным «сдвигам» величины, которая трансформируется как скаляр). Следовательно, ее скобка Пуассона с (размазанной) связью пространственного диффеоморфизма, ${\displaystyle C({\vec {N}})}$, просто:

${\displaystyle \{M,C({\vec {N}})\}=0}$.

(это ${\displaystyle su(2)}$ также инвариантен). Кроме того, очевидно, что поскольку любая величина Пуассона коммутирует сама с собой, а главное ограничение является единственным ограничением, оно удовлетворяет

${\displaystyle \{M,M\}=0}$.

У нас также есть обычная алгебра пространственных диффеоморфизмов. Это представляет собой резкое упрощение структуры скобок Пуассона и дает новую надежду на понимание динамики и установление полуклассического предела.^[36]

Первоначальное возражение против использования главного ограничения заключалось в том, что на первый взгляд казалось, что оно не кодирует информацию о наблюдаемых; Поскольку основное ограничение является квадратичным по отношению к ограничению, при вычислении его скобки Пуассона с любой величиной результат пропорционален ограничению, поэтому он всегда исчезает при наложении ограничений и, как таковой, не выбирает определенные функции фазового пространства. Однако выяснилось, что условие

${\displaystyle \{\{M,O\},O\}_{M=0}=0}$

эквивалентно ${\displaystyle O}$ быть наблюдаемой Дирака. Таким образом, главное ограничение действительно захватывает информацию о наблюдаемых. Из-за своей значимости это называется главным уравнением.^[36]

То, что основная алгебра Пуассона ограничений является честной алгеброй Ли, открывает возможность использования определенного метода, известного как групповое усреднение, для построения решений бесконечного числа гамильтоновых ограничений, физического внутреннего продукта на них и Наблюдаемые Дирака через то, что известно как уточненное алгебраическое квантование RAQ.^[37]

Ограничение квантового мастера

Определите квантовое главное ограничение (не считая вопросов регуляризации) как

${\displaystyle {\hat {M}}:=\int d^{3}x{\widehat {\left({\frac {H}{\sqrt[{4}]{\det(q(x))}}}\right)}}^{\dagger }(x){\widehat {\left({\frac {H}{\sqrt[{4}]{\det(q(x))}}}\right)}}(x)}$.

Очевидно,

${\displaystyle {\widehat {\left({\frac {H}{\sqrt[{4}]{\det(q(x))}}}\right)}}(x)\Psi =0}$

для всех ${\displaystyle x}$ подразумевает ${\displaystyle {\hat {M}}\Psi =0}$. Наоборот, если ${\displaystyle {\hat {M}}\Psi =0}$ тогда

${\displaystyle 0=\left\langle \Psi ,{\hat {M}}\Psi \right\rangle =\int d^{3}x\left\|{\widehat {\left({\frac {H}{\sqrt[{4}]{\det(q(x))}}}\right)}}(x)\Psi \right\|^{2}\qquad Eq\;4}$

подразумевает

${\displaystyle {\widehat {\left({\frac {H}{\sqrt[{4}]{\det(q(x))}}}\right)}}(x)\Psi =0}$.

Сначала мы можем вычислить матричные элементы потенциального оператора ${\displaystyle {\hat {M}}}$, то есть вычисляем квадратичную форму ${\displaystyle Q_{M}}$. Получается, что как ${\displaystyle Q_{M}}$ является изменяющейся графом, инвариантная к диффеоморфизму квадратичная форма не может существовать в кинематическом гильбертовом пространстве ${\displaystyle H_{Kin}}$, и должно быть определено на ${\displaystyle H_{Diff}}$. Поскольку главный оператор ограничения ${\displaystyle {\hat {M}}}$ является плотно определенный на ${\displaystyle H_{Diff}}$, тогда ${\displaystyle {\hat {M}}}$ положительный и симметричный оператор в ${\displaystyle H_{Diff}}$. Следовательно, квадратичная форма ${\displaystyle Q_{M}}$ связан с ${\displaystyle {\hat {M}}}$ является закрываемый. Закрытие ${\displaystyle Q_{M}}$ является квадратичной формой единственного самосопряженный оператор ${\displaystyle {\hat {\overline {M}}}}$, называется Расширение Фридрихса из ${\displaystyle {\hat {M}}}$. Мы меняем ярлык ${\displaystyle {\hat {\overline {M}}}}$ так как ${\displaystyle {\hat {M}}}$ для простоты.

Обратите внимание, что наличие внутреннего продукта, а именно уравнения 4, означает, что нет лишних решений, т.е. нет ${\displaystyle \Psi }$ такой, что

${\displaystyle {\widehat {\left({\frac {H}{\sqrt[{4}]{\det(q(x))}}}\right)}}(x)\Psi \not =0,}$

но для чего ${\displaystyle {\hat {M}}\Psi =0}$.

Также возможно построить квадратичную форму ${\displaystyle Q_{M_{E}}}$ для того, что называется расширенным главным ограничением (обсуждается ниже) на ${\displaystyle H_{Kin}}$ который также включает взвешенный интеграл квадрата ограничения пространственного диффеоморфизма (это возможно, потому что ${\displaystyle Q_{M_{E}}}$ не меняет график).

Спектр основного ограничения может не содержать нуля из-за эффектов нормального или факторного упорядочения, которые конечны, но подобны по своей природе бесконечным энергиям вакуума в зависимых от фона квантовых теориях поля. В этом случае физически корректно заменить ${\displaystyle {\hat {M}}}$ с участием ${\displaystyle {\hat {M}}':={\hat {M}}-\min(spec({\hat {M}})){\hat {1}}}$ при условии, что «постоянная нормального порядка» обращается в нуль в классическом пределе, т. е.

${\displaystyle \lim _{\hbar \to 0}\min(spec({\hat {M}}))=0,}$

так что ${\displaystyle {\hat {M}}'}$ является действительным квантованием ${\displaystyle M}$.

Тестирование основного ограничения

Ограничения в их примитивной форме довольно сингулярны, что послужило причиной их интегрирования по тестовым функциям для получения размытых ограничений. Однако может показаться, что уравнение для основного ограничения, приведенное выше, является еще более сингулярным, включая произведение двух примитивных ограничений (хотя и интегрированных по пространству). Возведение ограничения в квадрат опасно, так как оно может привести к ухудшению поведения соответствующего оператора в ультрафиолетовом диапазоне, и, следовательно, к основной программе ограничения следует подходить с должной осторожностью.

При этом основная программа ограничений была успешно протестирована на ряде модельных систем с нетривиальными алгебрами ограничений, свободными и взаимодействующими теориями поля.^{[38][39][40][41][42]} Основное ограничение для LQG было установлено как подлинный положительный самосопряженный оператор, и было показано, что физическое гильбертово пространство LQG непусто,^[43] очевидный тест на непротиворечивость LQG должен пройти, чтобы стать жизнеспособной квантовой общей теорией относительности.

Применение основного ограничения

Основное ограничение использовалось в попытках приблизить физический внутренний продукт и определить более строгие интегралы по траекториям.^{[44][45][46][47]}

Подход согласованной дискретизации к LQG,^[48][49] представляет собой приложение основной программы ограничений для построения физического гильбертова пространства канонической теории.

Отжим пены от мастера ограничения

Оказывается, главное ограничение легко обобщить, чтобы включить в него другие ограничения. Затем это называется расширенным главным ограничением, обозначаемым ${\displaystyle M_{E}}$. Мы можем определить расширенное главное ограничение, которое накладывает как гамильтонову связь, так и ограничение пространственного диффеоморфизма, как один оператор,

${\displaystyle M_{E}=\int _{\Sigma }d^{3}x{H(x)^{2}-q^{ab}V_{a}(x)V_{b}(x) \over {\sqrt {\det(q)}}}}$.

Установка этого единственного ограничения на ноль эквивалентна ${\displaystyle H(x)=0}$ и ${\displaystyle V_{a}(x)=0}$ для всех ${\displaystyle x}$ в ${\displaystyle \Sigma }$. Это ограничение реализует пространственный диффеоморфизм и гамильтонову связь одновременно в кинематическом гильбертовом пространстве. Тогда физический внутренний продукт определяется как

${\displaystyle \langle \phi ,\psi \rangle _{\text{Phys}}=\lim _{T\to \infty }\left\langle \phi ,\int _{-T}^{T}dte^{it{\hat {M}}_{E}}\psi \right\rangle }$

(так как ${\displaystyle \delta ({\hat {M_{E}}})=\lim _{T\to \infty }\int _{-T}^{T}dte^{it{\hat {M}}_{E}}}$). Представление этого выражения в виде спиновой пены получается путем разделения ${\displaystyle t}$-параметр дискретными шагами и записью

${\displaystyle e^{it{\hat {M}}_{E}}=\lim _{n\to \infty }\left[e^{it{\hat {M}}_{E}/n}\right]^{n}=\lim _{n\to \infty }[1+it{\hat {M}}_{E}/n]^{n}.}$

Таким образом, описание центробежной пены следует из применения ${\displaystyle [1+it{\hat {M}}_{E}/n]}$ на спиновой сети, приводящей к линейной комбинации новых спиновых сетей, граф и метки которых были изменены. Очевидно, что приближение делается путем усечения значения ${\displaystyle n}$ до некоторого конечного целого числа. Преимущество расширенного главного ограничения состоит в том, что мы работаем на кинематическом уровне, и пока только здесь у нас есть доступ к полуклассическим когерентным состояниям. Более того, нельзя найти ни одной версии этого главного оператора ограничения, не изменяющей граф, которая является единственным типом операторов, подходящих для этих когерентных состояний.

Алгебраическая квантовая гравитация (AQG)

Основная программа ограничений превратилась в полностью комбинаторную трактовку гравитации, известную как алгебраическая квантовая гравитация (AQG).^[50] Оператор главного ограничения без изменения графа адаптирован в рамках алгебраической квантовой гравитации. Хотя AQG вдохновлен LQG, он радикально отличается от него, потому что в AQG принципиально нет топологии или дифференциальной структуры - он не зависит от фона в более общем смысле и, возможно, может что-то сказать об изменении топологии. В этой новой формулировке квантовой гравитации полуклассические состояния AQG всегда управляют флуктуациями всех имеющихся степеней свободы. Это делает полуклассический анализ AQG превосходящим анализ LQG, и был достигнут прогресс в установлении его правильного полуклассического предела и обеспечении контакта со знакомой физикой низких энергий.^[51][52]

Физические приложения LQG

Энтропия черной дыры

Основные статьи: Термодинамика черной дыры, Изолированный горизонт, и Параметр Иммирзи

Параметр Иммирзи (он же параметр Барберо-Иммирзи) - это числовой коэффициент, появляющийся в петлевой квантовой гравитации. Может принимать реальные или мнимые значения.

Художник, изображающий двух черные дыры слияние, процесс, в котором законы термодинамики поддерживаются.

Термодинамика черных дыр - это область исследований, которая стремится примирить законы термодинамики с существованием черная дыра горизонты событий. В нет предположения о волосах общей теории относительности утверждает, что черная дыра характеризуется только своим масса, его плата, и это угловой момент; следовательно, у него нет энтропия. Получается, что можно нарушить второй закон термодинамики сбросив объект с ненулевой энтропией в черную дыру.^[53] Работа Стивен Хокинг и Якоб Бекенштейн показали, что можно сохранить второй закон термодинамики, приписывая каждой черной дыре энтропия черной дыры

${\displaystyle S_{\text{BH}}={\frac {k_{\text{B}}A}{4\ell _{\text{P}}^{2}}},}$

где ${\displaystyle A}$ - площадь горизонта событий дыры, ${\displaystyle k_{\text{B}}}$ это Постоянная Больцмана, и ${\displaystyle \ell _{\text{P}}={\sqrt {G\hbar /c^{3}}}}$ это Планковская длина.^[54] Тот факт, что энтропия черной дыры также является максимальной энтропией, которую можно получить с помощью Бекенштейн связан (в котором граница Бекенштейна становится равенством) было главным наблюдением, которое привело к голографический принцип.^[53]

Недостатком в применении теоремы о безволосости является предположение, что соответствующие степени свободы, учитывающие энтропию черной дыры, должны быть классическими по своей природе; что, если бы они были чисто квантово-механическими и имели ненулевую энтропию? Собственно, это то, что реализовано в LQG-выводе энтропии черной дыры, и может рассматриваться как следствие ее независимости от фона - классическое пространство-время черной дыры происходит из полуклассического предела квантовое состояние гравитационного поля, но есть много квантовых состояний, которые имеют один и тот же полуклассический предел. В частности, в LQG^[55]с микросостоянием можно связать квантово-геометрическую интерпретацию: это квантовая геометрия горизонта, согласованная с областью, ${\displaystyle A}$, черной дыры и топологии горизонта (т. е. сферической). LQG предлагает геометрическое объяснение конечности энтропии и пропорциональности площади горизонта.^[56][57] Эти расчеты были обобщены для вращающихся черных дыр.^[58]

Представление квантовой геометрии горизонта. Полимерные возбуждения в объеме прокалывают горизонт, наделяя его квантованной площадью. По сути, горизонт плоский, за исключением точек, где он приобретает квантованный вид. угол дефицита или квантованная величина кривизны. Эти углы дефицита в сумме составляют ${\displaystyle 4\pi }$.

Из ковариантной формулировки полной квантовой теории можно вывести (Пенопласт ) правильное соотношение между энергией и площадью (1-й закон), Температура Унру и распределение, которое дает энтропию Хокинга.^[59] В расчетах используется понятие динамический горизонт и сделано для неэкстремальных черных дыр.

Недавний успех теории в этом направлении - вычисление энтропия всех несингулярных черных дыр прямо из теории и независимо от Параметр Иммирзи.^[59][60] Результатом является ожидаемая формула ${\displaystyle S=A/4}$, где ${\displaystyle S}$ энтропия и ${\displaystyle A}$ площадь черной дыры, полученная Бекенштейном и Хокингом на эвристических основаниях. Это единственный известный вывод этой формулы из фундаментальной теории для случая типичных неособых черных дыр. Предыдущие попытки этого расчета имели трудности. Проблема заключалась в том, что, хотя квантовая гравитация Петли предсказывала, что энтропия черной дыры пропорциональна площади горизонта событий, результат зависел от важнейшего свободного параметра теории, вышеупомянутого параметра Иммирци. Однако нет известных вычислений параметра Иммирзи, поэтому его пришлось исправить, потребовав согласования с Бекенштейн и Хокинга расчет энтропия черной дыры.

Излучение Хокинга в петлевой квантовой гравитации

Основная статья: Радиация Хокинга

Детальное исследование квантовой геометрии горизонта черной дыры было проведено с использованием петлевой квантовой гравитации.^[57] Циклическое квантование воспроизводит результат для энтропия черной дыры первоначально обнаруженный Бекенштейн и Хокинг. Кроме того, это привело к вычислению поправок квантовой гравитации к энтропии и излучению черных дыр.

Основываясь на флуктуациях площади горизонта, квантовая черная дыра демонстрирует отклонения от спектра Хокинга, которые можно было бы наблюдать, если бы Рентгеновские лучи от излучения Хокинга испаряющегося изначальные черные дыры быть замеченным.^[61] Квантовые эффекты сосредоточены на наборе дискретных и несмешанных частот, сильно выраженных в верхней части спектра излучения Хокинга.^[62]

Звезда Планка

Основные статьи: Звезда Планка, брандмауэр черной дыры, и парадокс информации о черной дыре

В 2014 Карло Ровелли и Франческа Видотто предложил, что есть Звезда Планка внутри каждого черная дыра.^[63] На основе LQG теория утверждает, что когда звезды схлопываются в черные дыры, плотность энергии достигает планковской плотности энергии, вызывая силу отталкивания, которая создает звезду. Более того, существование такой звезды решило бы проблему брандмауэр черной дыры и парадокс информации о черной дыре.

Петлевая квантовая космология

Основные статьи: Петлевая квантовая космология, Большой отскок, и инфляция (космология)

В популярной и технической литературе есть обширные ссылки на связанные с LQG темы петлевой квантовой космологии. LQC был в основном разработан Мартином Бойовальдом, он был популяризирован квантовой космологией Петли в Scientific American для предсказания Большой отскок до Большой взрыв.^[64] Петлевая квантовая космология (LQC) - это модель классической общей теории относительности с уменьшенной симметрией, квантованная с использованием методов, имитирующих методы петлевой квантовой гравитации (LQG), которая предсказывает «квантовый мост» между сжимающимися и расширяющимися космологическими ветвями.

Достижениями LQC было разрешение сингулярности Большого взрыва, предсказание Большого скачка и естественный механизм для инфляция.

Модели LQC имеют общие черты LQG, поэтому они являются полезной игрушечной моделью. Однако полученные результаты подчиняются обычному ограничению, заключающемуся в том, что усеченная классическая теория, затем квантованная, может не отображать истинное поведение полной теории из-за искусственного подавления степеней свободы, которые могут иметь большие квантовые флуктуации в полной теории. Утверждалось, что предотвращение сингулярности в LQC обеспечивается механизмами, доступными только в этих ограничительных моделях, и что предотвращение сингулярности в полной теории все еще может быть получено, но с помощью более тонкой особенности LQG.^[65][66]

Феноменология петлевой квантовой гравитации

Известно, что эффекты квантовой гравитации трудно измерить, потому что планковская длина невероятно мала. Однако в последнее время физики начали рассматривать возможность измерения эффектов квантовой гравитации в основном с помощью астрофизических наблюдений и детекторов гравитационных волн. Энергия этих флуктуаций на столь малых масштабах вызывает пространственные возмущения, которые видны на более высоких масштабах.

Амплитуды рассеяния, не зависящие от фона

Основная статья: Амплитуда рассеяния

Петлевая квантовая гравитация сформулирована на независимом от фона языке. Никакое пространство-время не предполагается априори, а скорее построено на самих состояниях теории - однако амплитуды рассеяния выводятся из ${\displaystyle n}$-точечные функции (Корреляционная функция ) и они, сформулированные в традиционной квантовой теории поля, являются функциями точек фонового пространства-времени. Связь между формализмом, не зависящим от фона, и традиционным формализмом квантовой теории поля в данном пространстве-времени далеко не очевидна, и далеко не очевидно, как восстановить низкоэнергетические величины из полной независимой от фона теории. Хотелось бы вывести ${\displaystyle n}$-точечные функции теории из формализма, не зависящего от фона, чтобы сравнить их со стандартным пертурбативным разложением квантовой общей теории относительности и, следовательно, проверить, что петлевая квантовая гравитация дает правильный предел низких энергий.

Предложена стратегия решения этой проблемы;^[67] идея состоит в том, чтобы изучить граничную амплитуду, а именно интеграл по путям в конечной области пространства-времени, рассматриваемый как функцию граничного значения поля.^[68][69] В традиционной квантовой теории поля эта граничная амплитуда хорошо определена.^[70][71] и кодирует физическую информацию теории; это происходит и в квантовой гравитации, но полностью независимым от фона образом.^[72] Общековариантное определение ${\displaystyle n}$-точечные функции могут быть основаны на идее, что расстояние между физическими точками - аргументы ${\displaystyle n}$-точечная функция определяется состоянием гравитационного поля на границе рассматриваемой области пространства-времени.

Достигнут прогресс в вычислении таким образом независимых от фона амплитуд рассеяния с использованием спиновых пен. Это способ извлечь физическую информацию из теории. Были сделаны заявления о воспроизведении правильного поведения амплитуд рассеяния гравитона и о восстановлении классической гравитации. «Мы рассчитали закон Ньютона, исходя из мира без пространства и времени». - Карло Ровелли.

Гравитоны, теория струн, суперсимметрия, дополнительные измерения в LQG

Основные статьи: Гравитон, теория струн, суперсимметрия, Теория Калуцы – Клейна, и супергравитация

Некоторые квантовые теории гравитации постулируют квантовое поле со спином 2, которое квантуется, давая начало гравитонам. В теории струн обычно начинают с квантованных возбуждений поверх классически фиксированного фона. Таким образом, эта теория описывается как зависящая от фона. Такие частицы, как фотоны, а также изменения в геометрии пространства-времени (гравитоны) описываются как возбуждения на мировом листе струны. Фоновая зависимость теории струн может иметь важные физические последствия, такие как определение числа поколений кварков. Напротив, петлевая квантовая гравитация, как и общая теория относительности, явно не зависит от фона, что устраняет необходимость в теории струн. Петлевая квантовая гравитация, как и теория струн, также направлена ​​на преодоление неперенормируемых расхождений квантовых теорий поля.

LQG никогда не вводит фон и возбуждения, живущие на этом фоне, поэтому LQG не использует гравитоны в качестве строительных блоков. Вместо этого можно ожидать, что можно будет восстановить своего рода полуклассический предел или предел слабого поля, где снова появится что-то вроде «гравитонов». Напротив, гравитоны играют ключевую роль в теории струн, где они являются одними из первых (безмассовых) уровней возбуждений суперструны.

LQG отличается от теории струн тем, что она сформулирована в 3-х и 4-х измерениях и не содержит суперсимметрии или Калуца-Клейн дополнительные измерения, в то время как последнее требует, чтобы оба были верными. На сегодняшний день нет экспериментальных данных, подтверждающих предсказания теории струн о суперсимметрии и дополнительных измерениях Калуцы – Клейна. В статье 2003 г. «Диалог о квантовой гравитации»^[73] Карло Ровелли рассматривает тот факт, что LQG сформулирован в четырех измерениях и без суперсимметрии, как сильную сторону теории, поскольку она представляет собой наиболее скупой объяснение, согласующееся с текущими экспериментальными результатами, по сравнению с конкурирующей струнной / М-теорией. Сторонники теории струн часто указывают на тот факт, что, среди прочего, она наглядно воспроизводит установленные теории общей теории относительности и квантовой теории поля в соответствующих пределах, что петлевая квантовая гравитация изо всех сил пытается сделать. В этом смысле связь теории струн с установившейся физикой можно считать более надежной и менее умозрительной на математическом уровне. Петлевая квантовая гравитация ничего не говорит о материи (фермионах) во Вселенной.

Поскольку LQG сформулирована в четырех измерениях (с суперсимметрией и без нее), а М-теория требует суперсимметрии и одиннадцати измерений, прямое сравнение этих двух измерений невозможно. Можно расширить основной формализм LQG на многомерную супергравитацию, общую теорию относительности с суперсимметрией и дополнительные измерения Калуцы – Клейна, если экспериментальные доказательства подтвердят их существование. Следовательно, было бы желательно иметь в своем распоряжении квантование петли супергравитации более высокой размерности, чтобы сравнить эти подходы. Фактически, ряд недавних работ был опубликован с попыткой именно этого.^{[74][75][76][77][78][79][80][81]} Совсем недавно Тиман (и его выпускники) добились прогресса в вычислении энтропии черной дыры для супергравитации в более высоких измерениях. Было бы интересно сравнить эти результаты с соответствующими вычислениями суперструн.^[82][83]

LQG и связанные исследовательские программы

Основные статьи: Некоммутативная геометрия, твисторная теория, энтропийная гравитация, асимптотическая безопасность в квантовой гравитации, причинная динамическая триангуляция, и теория группового поля

Несколько исследовательских групп попытались объединить LQG с другими исследовательскими программами: Johannes Aastrup, Jesper M. Grimstrup et al. исследования объединяет некоммутативная геометрия с канонической квантовой гравитацией и аштекарскими переменными,^[84] Лоран Фрейдель, Симоне Специале и др., спиноры и твисторная теория с петлевой квантовой гравитацией,^[85][86] и Ли Смолин и др. с Верлинде энтропийная гравитация и петлевая гравитация.^[87] Стефон Александр, Антонино Марчиано и Ли Смолин попытались объяснить происхождение слабая сила хиральность в терминах переменных Ашкетара, которые описывают гравитацию как киральную,^[88] и LQG с Теория Янга – Миллса поля^[89] в четырех измерениях. Сандэнс Билсон-Томпсон, Hackett et al.,^[90][91] попытался представить стандартную модель с помощью степеней свободы LQG как эмерджентного свойства (используя идею бесшумные подсистемы, полезное понятие, введенное в более общей ситуации для систем с ограничениями Фотини Маркопулу-Каламара и другие.^[92])

Кроме того, LQG проводит философские сравнения с причинная динамическая триангуляция^[93] и асимптотически безопасная гравитация,^[94] и пенопласт с теория группового поля и AdS / CFT корреспонденция.^[95] Смолин и Вен предложили объединить LQG с струнно-чистая жидкость, тензоры, Смолин и Фотини Маркопулу-Каламара квантовая графичность. Существует подход последовательной дискретизации. Также Пуллин и Гамбини обеспечить основу для подключения интеграл по путям и канонические подходы к квантовой гравитации. Они могут помочь согласовать подходы спиновой пены и канонического представления петель. Недавнее исследование Криса Дастона и Матильда Марколли вводит изменение топологии через сети топспинов.^[96]

Проблемы и сравнения с альтернативными подходами

Основная статья: Список нерешенных проблем физики

Некоторые из основных нерешенных проблем в физике являются теоретическими, а это означает, что существующие теории кажутся неспособными объяснить определенное наблюдаемое явление или экспериментальный результат. Остальные являются экспериментальными, а это означает, что создать эксперимент для проверки предложенной теории или более детального исследования явления сложно.

Многие из этих проблем относятся к LQG, в том числе:

• Можно ли реализовать квантовую механику и общую теорию относительности как полностью непротиворечивую теорию (возможно, как квантовую теорию поля)?
• По сути, пространство-время непрерывно или дискретно?
• Будет ли последовательная теория включать силу, опосредованную гипотетическим гравитоном, или быть продуктом дискретной структуры самого пространства-времени (как в петлевой квантовой гравитации)?
• Есть ли отклонения от предсказаний общей теории относительности в очень малых или очень больших масштабах или в других экстремальных обстоятельствах, которые вытекают из квантовой теории гравитации?

Теория LQG - одно из возможных решений проблемы квантовой гравитации, как и теория струн. Однако есть существенные различия. Например, теория струн также обращается к объединение, понимание всех известных сил и частиц как проявлений единой сущности, постулируя дополнительные измерения и пока еще ненаблюдаемые дополнительные частицы и симметрии. В отличие от этого, LQG основана только на квантовой теории и общей теории относительности, и ее объем ограничен пониманием квантовых аспектов гравитационного взаимодействия. С другой стороны, последствия LQG радикальны, потому что они фундаментально меняют природу пространства и времени и дают предварительную, но подробную физическую и математическую картину квантового пространства-времени.

В настоящее время не было показано, что существует полуклассический предел, восстанавливающий общую теорию относительности. Это означает, что остается недоказанным, что LQG описывает пространство-время в Планковский масштаб имеет правильный континуальный предел (описывается общей теорией относительности с возможными квантовыми поправками). В частности, динамика теории закодирована в Гамильтонова связь, но нет кандидата Гамильтониан.^[97] Другие технические проблемы включают поиск вне оболочки закрытие алгебры ограничений и физического внутреннего продукта векторное пространство, связь с полями материи квантовая теория поля судьба перенормировка из гравитон в теория возмущений что приводит к ультрафиолетовое расхождение вне 2-х петель (см. однопетлевая диаграмма Фейнмана в Диаграмма Фейнмана ).^[97]

Хотя было предложение относительно наблюдения за голые особенности,^[98] и двойная специальная теория относительности как часть программы под названием петля квантовой космологии, нет экспериментального наблюдения, для которого петлевая квантовая гравитация делает предсказание, отличное от Стандартной модели или общей теории относительности (проблема, которая поражает все современные теории квантовой гравитации). Из-за вышеупомянутого отсутствия полуклассического предела LQG еще даже не воспроизвела предсказания, сделанные общей теорией относительности.

Альтернативная критика состоит в том, что общая теория относительности может быть эффективная теория поля, и поэтому квантование игнорирует фундаментальные степени свободы.

ЕКА с ИНТЕГРАЛ спутник измерял поляризацию фотонов с разной длиной волны и смог установить предел в гранулярности пространства^[99]что меньше 10 мкм или на 13 порядков ниже планковского масштаба.

Смотрите также

• Проблема времени - Концептуальный конфликт между общей теорией относительности и квантовой механикой
• Переменные Аштекара
• C * -алгебра - Топологическое комплексное векторное пространство
• Теория категорий - Отделение математики
• Двойная специальная теория относительности - Физическая теория, в которой есть не только максимальная скорость (как в специальной теории относительности), но также максимальная шкала энергии и минимальная шкала длины
• Конструкция Гельфанда – Наймарка – Сигала
• Теория поля группы
• Алгебра Гейтинга
• Гамильтонова связь
• Гамильтонова связь LQG
• Параметр Иммирзи
• Узел инвариантный
• Штат Кодама
• Лоренц-инвариантность в петлевой квантовой гравитации - аспект петлевой квантовой гравитации
• Некоммутативная геометрия
• Исчисление Редже
• S-узел
• Отжим пена
• Струнно-чистая жидкость
• Теория струн - Теоретические основы физики
• Суперсимметрия
• Теория топоса

Заметки

Цитаты

1. Гамбини и Пуллин 2020.
2. Ровелли 2008.
3. Ровелли 2011.
4. Муксин 2011, п. 064010.
5. Fairbairn & Meusburger 2011.
6. Ровелли 2004, п. 71.
7. Кауфман и Смолин 1997.
8. Смолин 2006, стр. 196ff.
9. Ровелли 2004, стр. 13ff.
10. Thiemann 1996 С. 257–264.
11. Баэз и де Муниайн 1994, Часть III, глава 4.
12. Thiemann 2003 С. 41–135.
13. Ровелли и Смолин 1988 С. 1155–1958.
14. Гамбини и Пуллин 2011, Раздел 8.2.
15. Фернандо и Барберо 1995a С. 5498–5506.
16. Фернандо и Барберо 1995b С. 5507–5520.
17. Бойовальд и Перес 2009, п. 877.
18. Барретт и Крейн 2000, стр. 3101–3118.
19. Ровелли и Алеши 2007, п. 104012.
20. Энгл, Перейра и Ровелли 2009, п. 161301.
21. Фрейдель и Краснов 2008, п. 125018.
22. Ливин и Специя 2008, п. 50004.
23. Алеши, Тиманн и Ципфель, 2011 г., п. 024017.
24. Бом 1989.
25. Типлер и Ллевеллин, 2008 г. С. 160–161.
26. Бор 1920 С. 423–478.
27. Джаммер 1989, Раздел 3.2.
28. Аштекар, Бомбелли и Коричи 2005, п. 025008.
29. Левандовски и др. 2006 г. С. 703–733.
30. Флейшхак 2006, п. 061302.
31. Тиманн 2008, Раздел 10.6.
32. Диттрих 2007, стр. 1891–1927.
33. Диттрих 2006, стр. 6155–6184.
34. Дрейер, Маркопулу и Смолин, 2006 г., стр. 1–13.
35. Крибс и Маркопулу 2005.
36. Thiemann 2006a С. 2211–2247.
37. Тиман, Томас (2007) Введение в современную каноническую квантовую общую теорию относительности. Издательство Кембриджского университета
38. Диттрих и Тиманн 2006a С. 1025–1066.
39. Диттрих и Тиман, 2006b С. 1067–1088.
40. Диттрих и Тиман, 2006c С. 1089–1120.
41. Диттрих и Тиманн 2006d С. 1121–1142.
42. Диттрих и Тиманн 2006e С. 1143–1162.
43. Thiemann 2006b С. 2249–2265.
44. Bahr & Thiemann 2007 С. 2109–2138.
45. Han & Thiemann 2010a, п. 225019.
46. Хан и Тиманн, 2010b, п. 092501.
47. Хан 2010, п. 215009.
48. Гамбини и Пуллин 2009, п. 035002.
49. Гамбини и Пуллин 2011, Раздел 10.2.2.
50. Гизель и Тиман 2007a С. 2465–2498.
51. Гизель и Тиман, 2007b С. 2499–2564.
52. Giesel & Thiemann 2007c С. 2565–2588.
53. Буссо 2002 С. 825–874.
54. Маджумдар 1998, п. 147.
55. Увидеть Список исследователей петлевой квантовой гравитации
56. Ровелли 1996 С. 3288–3291.
57. Аштекар и др. 1998 г. С. 904–907.
58. Аштекар, Энгл и Брок 2005, стр. L27.
59. Бьянки 2012.
60. Фродден, Гош и Перес, 2013, п. 121503.
61. Ансари 2007 С. 179–212.
62. Ансари 2008, стр. 635–644.
63. Ровелли и Видотто 2014, п. 1442026.
64. Бойовальд 2008.
65. Brunnemann & Thiemann 2006a, стр. 1395–1428.
66. Бруннеманн и Тиманн, 2006b С. 1429–1484.
67. Модесто и Ровелли 2005, п. 191301.
68. Oeckl 2003a С. 318–324.
69. Oeckl 2003b, стр. 5371–5380.
70. Конради и Ровелли 2004, п. 4037.
71. Doplicher 2004, п. 064037.
72. Конради и др. 2004 г., п. 064019.
73. Ровелли 2003 С. 1509–1528.
74. Бодендорфер, Thiemann & Thurn 2013a, п. 045001.
75. Бодендорфер, Тиман и Турн, 2013b, п. 045002.
76. Бодендорфер, Тиман и Турн, 2013c, п. 045003.
77. Бодендорфер, Thiemann & Thurn, 2013d, п. 045004.
78. Bodendorfer, Thiemann & Thurn, 2013e, п. 045005.
79. Бодендорфер, Тиман и Турн, 2012 г., п. 205.
80. Бодендорфер, Thiemann & Thurn, 2013f, п. 045006.
81. Bodendorfer, Thiemann & Thurn, 2013г., п. 045007.
82. Bodendorfer, Thiemann & Thurn, 2014 г., п. 055002.
83. Бодендорфер 2013 С. 887–891.
84. Aastrup 2012, п. 018.
85. Фрейдель и Специя 2010, п. 084041.
86. Специя и Виланд 2012, п. 124023.
87. Смолин 2010.
88. Александр, Марчиано и Смолин 2014, п. 065017.
89. Александр, Марчиано и Такки 2012, п. 330.
90. Билсон-Томпсон, Маркопулу и Смолин, 2007 г., стр. 3975–3994.
91. Билсон-Томпсон 2012, п. 014.
92. Ограниченная механика и бесшумные подсистемы, Томаш Конопка, Фотини Маркопулу, arXiv: gr-qc / 0601028.
93. PITP: Ренате Лолл.
94. Бьянки 2010.
95. Фрайдель 2008.
96. Дастон 2013.
97. Николай, Петерс и Замаклар, 2005 г., стр. R193 – R247.
98. Госвами, Джоши и Сингх, 2006 г., п. 31302.
99. https://www.esa.int/Science_Exploration/Space_Science/Integral_challenges_physics_beyond_Einstein

Процитированные работы

• Ааструп, Йоханнес (2012). «Пересечение квантовой гравитации с некоммутативной геометрией - обзор». Симметрия, интегрируемость и геометрия: методы и приложения. 8: 018. arXiv:1203.6164. Bibcode:2012SIGMA ... 8..018A. Дои:10.3842 / SIGMA.2012.018.
• Alesci, E .; Thiemann, T .; Ципфель, А. (2011). «Связывание ковариантной и канонической LQG: новые решения Евклидова скалярного ограничения». Физический обзор D. 86 (2): 024017. arXiv:1109.1290. Bibcode:2012ПхРвД..86б4017А. Дои:10.1103 / PhysRevD.86.024017.
• Александр, Стефон; Марчиано, Антонино; Смолин, Ли (2014). «Гравитационное происхождение киральности слабого взаимодействия». Физический обзор D. 89 (6): 065017. arXiv:1212.5246. Bibcode:2014ПхРвД..89ф5017А. Дои:10.1103 / PhysRevD.89.065017.
• Александр, Стефон; Марчиано, Антонино; Такчи, Руджеро Альтаир (2012). «К петлеобразной квантовой гравитации и объединению Янга – Миллса». Письма по физике B. 716 (2): 330. arXiv:1105.3480. Bibcode:2012ФЛБ..716..330А. Дои:10.1016 / j.physletb.2012.07.034.
• Ансари, М. Х. (2007). «Спектроскопия канонически квантованного горизонта». Nucl. Phys. B. 783 (3): 179–212. arXiv:hep-th / 0607081. Bibcode:2007НуФБ.783..179А. Дои:10.1016 / j.nuclphysb.2007.01.009.
• Ансари, М. Х. (2008). «Общее вырождение и энтропия в петлевой квантовой гравитации». Nucl. Phys. B. 795 (3): 635–644. arXiv:gr-qc / 0603121. Bibcode:2008НуФБ.795..635А. Дои:10.1016 / j.nuclphysb.2007.11.038.
• Аштекар, А .; Bombelli, L .; Коричи, А. (2005). «Квазиклассические состояния для систем с ограничениями». Физический обзор D. 72 (1): 025008. arXiv:hep-ph / 0504114. Bibcode:2005ПхРвД..72а5008С. Дои:10.1103 / PhysRevD.72.015008.
• Аштекар, Абхай; Баэз, Джон; Коричи, Алехандро; Краснов, Кирилл (1998). «Квантовая геометрия и энтропия черной дыры». Письма с физическими проверками. 80 (5): 904–907. arXiv:gr-qc / 9710007. Bibcode:1998ПхРвЛ..80..904А. Дои:10.1103 / PhysRevLett.80.904.
• Аштекар, Абхай; Энгл, Джонатан; Брок, Крис Ван Ден (2005). «Квантовые горизонты и энтропия черной дыры: включение искажения и вращения». Классическая и квантовая гравитация. 22 (4): L27. arXiv:gr-qc / 0412003. Bibcode:2005CQGra..22L..27A. Дои:10.1088 / 0264-9381 / 22/4 / L02.
• Baez, J .; де Муньян, Дж. П. (1994). Калибровочные поля, узлы и квантовая гравитация. Серия о узлах и обо всем. Vol. 4. Всемирный научный. Часть III, глава 4. ISBN  978-981-02-1729-7.
• Бахр, Бенджамин; Тиман, Томас (2007). «Аппроксимация физического внутреннего продукта петлевой квантовой космологии». Классическая и квантовая гравитация. 24 (8): 2109–2138. arXiv:gr-qc / 0607075. Bibcode:2007CQGra..24.2109B. Дои:10.1088/0264-9381/24/8/011.
• Barrett, J .; Крейн, Л. (2000). «Модель лоренцевой подписи для квантовой общей теории относительности». Классическая и квантовая гравитация. 17 (16): 3101–3118. arXiv:gr-qc / 9904025. Bibcode:2000CQGra..17.3101B. Дои:10.1088/0264-9381/17/16/302.
• Бьянки, Эухенио (18–20 января 2010 г.). «Петлевая квантовая гравитация» (PDF). Institut de Physique de Nice. Архивировано из оригинал (PDF) 18 октября 2016 г.
• Бьянки, Эухенио (2012). «Энтропия неэкстремальных черных дыр от петлевой гравитации». arXiv:1204.5122 [gr-qc ].
• Билсон-Томпсон, Сандэнс (2012). "Возникающая плетеная материя квантовой геометрии". Симметрия, интегрируемость и геометрия: методы и приложения. 8: 014. arXiv:1109.0080. Bibcode:2012SIGMA ... 8..014B. Дои:10.3842 / SIGMA.2012.014.
• Билсон-Томпсон, Сандэнс О; Маркопулу, Фотини; Смолин, Ли (2007). «Квантовая гравитация и стандартная модель». Классическая и квантовая гравитация. 24 (16): 3975–3994. arXiv:hep-th / 0603022. Bibcode:2007CQGra..24.3975B. Дои:10.1088/0264-9381/24/16/002.
• Бодендорфер, Н. (2013). «Энтропия черной дыры из петлевой квантовой гравитации в высших измерениях». Письма по физике B. 726 (4–5): 887–891. arXiv:1307.5029. Bibcode:2013ФЛБ..726..887Б. Дои:10.1016 / j.physletb.2013.09.043.
• Bodendorfer, N .; Thiemann, T .; Турн, А. (2012). «К петлевой квантовой супергравитации (LQSG)». Письма по физике B. 711 (2): 205. arXiv:1106.1103. Bibcode:2012ФЛБ..711..205Б. Дои:10.1016 / j.physletb.2012.04.003.
• Бодендорфер, Н; Thiemann, T; Турн, А (2013a). «Новые переменные для классической и квантовой гравитации во всех измерениях: I. Гамильтонов анализ». Классическая и квантовая гравитация. 30 (4): 045001. arXiv:1105.3703. Bibcode:2013CQGra..30d5001B. Дои:10.1088/0264-9381/30/4/045001.
• Бодендорфер, Н; Thiemann, T; Турн, А (2013b). «Новые переменные для классической и квантовой гравитации во всех измерениях: II. Лагранжев анализ». Классическая и квантовая гравитация. 30 (4): 045002. arXiv:1105.3704. Bibcode:2013CQGra..30d5002B. Дои:10.1088/0264-9381/30/4/045002.
• Бодендорфер, Н; Thiemann, T; Турн, А (2013c). «Новые переменные для классической и квантовой гравитации во всех измерениях: III. Квантовая теория». Классическая и квантовая гравитация. 30 (4): 045003. arXiv:1105.3705. Bibcode:2013CQGra..30d5003B. Дои:10.1088/0264-9381/30/4/045003.
• Бодендорфер, Н; Thiemann, T; Турн, А (2013d). «Новые переменные для классической и квантовой гравитации во всех измерениях: IV. Связь материи». Классическая и квантовая гравитация. 30 (4): 045004. arXiv:1105.3706. Bibcode:2013CQGra..30d5004B. Дои:10.1088/0264-9381/30/4/045004.
• Бодендорфер, Н; Thiemann, T; Турн, А (2013e). «О реализации канонического ограничения квантовой простоты». Классическая и квантовая гравитация. 30 (4): 045005. arXiv:1105.3707. Bibcode:2013CQGra..30d5005B. Дои:10.1088/0264-9381/30/4/045005.
• Бодендорфер, Н; Thiemann, T; Турн, А (2013f). «На пути к петлевой квантовой супергравитации (LQSG): сектор И. Рариты – Швингера». Классическая и квантовая гравитация. 30 (4): 045006. arXiv:1105.3709. Bibcode:2013CQGra..30d5006B. Дои:10.1088/0264-9381/30/4/045006.
• Бодендорфер, Н; Thiemann, T; Турн, А (2013г). «На пути к петлевой квантовой супергравитации (LQSG): сектор II.p-формы». Классическая и квантовая гравитация. 30 (4): 045007. arXiv:1105.3710. Bibcode:2013CQGra..30d5007B. Дои:10.1088/0264-9381/30/4/045007.
• Бодендорфер, Н; Thiemann, T; Турн, А (2014).«Новые переменные для классической и квантовой гравитации во всех измерениях: V. Граничные степени свободы с изолированным горизонтом». Классическая и квантовая гравитация. 31 (5): 055002. arXiv:1304.2679. Bibcode:2014CQGra..31e5002B. Дои:10.1088/0264-9381/31/5/055002.
• Бом, Д. (1989). Квантовая теория. Dover Publications. ISBN  978-0-486-65969-5.
• Бор, Н. (1920). "Über die Serienspektra der Element". Zeitschrift für Physik. 2 (5): 423–478. Bibcode:1920ZPhy .... 2..423B. Дои:10.1007 / BF01329978.
• Бойовальд, Мартин (октябрь 2008 г.). «Большой взрыв или большой скачок ?: Новая теория рождения Вселенной». Scientific American.(имеется в наличии Вот от 2 мая 2017 г.)
• Бойовальд, Мартин; Перес, Алехандро (2009). «Квантование спиновой пены и аномалии». Общая теория относительности и гравитации. 42 (4): 877. arXiv:gr-qc / 0303026. Bibcode:2010GReGr..42..877B. Дои:10.1007 / s10714-009-0892-9.
• Буссо, Рафаэль (2002). «Голографический принцип». Обзоры современной физики. 74 (3): 825–874. arXiv:hep-th / 0203101. Bibcode:2002РвМП ... 74..825Б. Дои:10.1103 / RevModPhys.74.825.
• Бруннеманн, Дж; Тиманн, Т. (2006a). «Об устранении (космологической) сингулярности в петлевой квантовой гравитации». Классическая и квантовая гравитация. 23 (5): 1395–1428. arXiv:gr-qc / 0505032. Bibcode:2006CQGra..23.1395B. Дои:10.1088/0264-9381/23/5/001.
• Бруннеманн, Дж; Тиманн, Т. (2006b). «Неограниченность триадоподобных операторов в петлевой квантовой гравитации». Классическая и квантовая гравитация. 23 (5): 1429–1484. arXiv:gr-qc / 0505033. Bibcode:2006CQGra..23.1429B. Дои:10.1088/0264-9381/23/5/002.
• Конради, Флориан; Допличер, Луиза; Окль, Роберт; Ровелли, Карло; Теста, Массимо (2004). «Вакуум Минковского в независимой от фона квантовой гравитации». Физический обзор D. 69 (6): 064019. arXiv:gr-qc / 0307118. Bibcode:2004ПхРвД..69ф4019К. Дои:10.1103 / PhysRevD.69.064019.
• Конради, Флориан; Ровелли, Карло (2004). «Обобщенное уравнение Шредингера в евклидовой теории поля». Международный журнал современной физики A. 19 (24): 4037. arXiv:hep-th / 0310246. Bibcode:2004IJMPA..19.4037C. Дои:10.1142 / S0217751X04019445.
• Диттрих, Б. (2006). «Частичные и полные наблюдаемые для канонической общей теории относительности». Классическая и квантовая гравитация. 23 (22): 6155–6184. arXiv:gr-qc / 0507106. Bibcode:2006CQGra..23.6155D. Дои:10.1088/0264-9381/23/22/006.
• Диттрих, Б. (2007). «Частичные и полные наблюдаемые для гамильтоновых систем с ограничениями». Общая теория относительности и гравитации. 39 (11): 1891–1927. arXiv:gr-qc / 0411013. Bibcode:2007GReGr..39.1891D. Дои:10.1007 / s10714-007-0495-2.
• Диттрих, B; Тиманн, Т. (2006a). «Тестирование основной программы ограничений для петлевой квантовой гравитации: I. Общие принципы». Классическая и квантовая гравитация. 23 (4): 1025–1066. arXiv:gr-qc / 0411138. Bibcode:2006CQGra..23.1025D. Дои:10.1088/0264-9381/23/4/001.
• Диттрих, B; Тиманн, Т. (2006b). «Тестирование главной программы ограничений для петлевой квантовой гравитации: II. Конечномерные системы». Классическая и квантовая гравитация. 23 (4): 1067–1088. arXiv:gr-qc / 0411139. Bibcode:2006CQGra..23.1067D. Дои:10.1088/0264-9381/23/4/002.
• Диттрих, B; Тиманн, Т. (2006c). «Тестирование главной программы ограничений для петлевой квантовой гравитации: III. Модели». Классическая и квантовая гравитация. 23 (4): 1089–1120. arXiv:gr-qc / 0411140. Bibcode:2006CQGra..23.1089D. Дои:10.1088/0264-9381/23/4/003.
• Диттрих, B; Тиманн, Т. (2006d). «Тестирование основной программы ограничений для петлевой квантовой гравитации: IV. Теории свободного поля». Классическая и квантовая гравитация. 23 (4): 1121–1142. arXiv:gr-qc / 0411141. Bibcode:2006CQGra..23.1121D. Дои:10.1088/0264-9381/23/4/004.
• Диттрих, B; Тиманн, Т. (2006e). «Тестирование основной программы ограничений для петлевой квантовой гравитации: V. Теории взаимодействующих полей». Классическая и квантовая гравитация. 23 (4): 1143–1162. arXiv:gr-qc / 0411142. Bibcode:2006CQGra..23.1143D. Дои:10.1088/0264-9381/23/4/005.
• Допличер, Луиза (2004). «Обобщенное уравнение Томонага-Швингера из формулы Адамара». Физический обзор D. 70 (6): 064037. arXiv:gr-qc / 0405006. Bibcode:2004ПхРвД..70ф4037Д. Дои:10.1103 / PhysRevD.70.064037.
• Dreyer, O .; Маркопулу, ф .; Смолин, Л. (2006). «Симметрия и энтропия горизонтов черной дыры». Ядерная физика B. 774 (1–2): 1–13. arXiv:hep-th / 0409056. Bibcode:2006НуФБ.744 .... 1Д. Дои:10.1016 / j.nuclphysb.2006.02.045.
• Дастон, Кристофер Л. (13 августа 2013 г.). «Фундаментальная группа пространственного разреза, представленного сетью Topspin». arXiv:1308.2934. Bibcode:2013arXiv1308.2934D.
• Engle, J .; Pereira, R .; Ровелли, К. (2009). "Петля-квантовая гравитационная вершина амплитуда". Письма с физическими проверками. 99 (16): 161301. arXiv:0705.2388. Bibcode:2007PhRvL..99p1301E. Дои:10.1103 / Physrevlett.99.161301. PMID  17995233.
• Fairbairn, W. J .; Мейсбургер, К. (2011). «q-Деформация лоренцевых моделей спиновой пены». arXiv:1112.2511 [gr-qc ].
• Fernando, J .; Барберо, Г. (1995a). «Условия реальности и аштекарские переменные: другая перспектива». Физический обзор D. 51 (10): 5498–5506. arXiv:gr-qc / 9410013. Bibcode:1995ПхРвД..51.5498Б. Дои:10.1103 / PhysRevD.51.5498. PMID  10018308.
• Fernando, J .; Барберо, Г. (1995b). «Реальные аштекарские переменные для лоренцевой сигнатуры пространства-времени». Физический обзор D. 51 (10): 5507–5520. arXiv:gr-qc / 9410014. Bibcode:1995ПхРвД..51.5507Б. Дои:10.1103 / PhysRevD.51.5507. PMID  10018309.
• Флейшхак, К. (2006). «Неприводимость алгебры Вейля в петлевой квантовой гравитации». Письма с физическими проверками. 97 (6): 061302. Bibcode:2006ПхРвЛ..97ф1302Ф. Дои:10.1103 / Physrevlett.97.061302. PMID  17026156.
• Freidel, L .; Краснов, К. (2008). «Новая модель спиновой пены для 4D гравитации». Классическая и квантовая гравитация. 25 (12): 125018. arXiv:0708.1595. Bibcode:2008CQGra..25l5018F. Дои:10.1088/0264-9381/25/12/125018.
• Фрейдель, Лоран (4 апреля 2008 г.). «Реконструкция AdS / CFT». arXiv:0804.0632. Bibcode:2008arXiv0804.0632F.
• Фрейдель, Лоран; Speziale, Симоне (2010). «Изгибы к витой геометрии». Физический обзор D. 82 (8): 084041. arXiv:1006.0199. Bibcode:2010ПхРвД..82х4041Ф. Дои:10.1103 / PhysRevD.82.084041.
• Фродден, Эрнесто; Гош, Амит; Перес, Алехандро (2013). «Квазилокальный первый закон термодинамики черных дыр». Физический обзор D. 87 (12): 121503. arXiv:1110.4055. Bibcode:2013ПхРвД..87л1503Ф. Дои:10.1103 / PhysRevD.87.121503.
• Gambini, R .; Пуллин Дж. (2011). Первый курс петлевой квантовой гравитации. Oxford University Press. ISBN  978-0-19-959075-9.
• Гамбини, Родольфо; Пуллин, Хорхе (2009). «Эмерджентная инвариантность диффеоморфизма в дискретной петлевой модели квантовой гравитации». Классическая и квантовая гравитация. 26 (3): 035002. arXiv:0807.2808. Bibcode:2009CQGra..26c5002G. Дои:10.1088/0264-9381/26/3/035002.
• Гамбини, Родольфо; Пуллин, Хорхе (2020). Петлевая квантовая гравитация для всех. World Scientific. Дои:10.1142/11599. ISBN  978-981121195-9.
• Гизель, К; Тиманн, Т. (2007a). «Алгебраическая квантовая гравитация (AQG): I. Концептуальная установка». Классическая и квантовая гравитация. 24 (10): 2465–2498. arXiv:gr-qc / 0607099. Bibcode:2007CQGra..24.2465G. Дои:10.1088/0264-9381/24/10/003.
• Гизель, К; Тиманн, Т. (2007b). «Алгебраическая квантовая гравитация (AQG): II. Полуклассический анализ». Классическая и квантовая гравитация. 24 (10): 2499–2564. arXiv:gr-qc / 0607100. Bibcode:2007CQGra..24.2499G. Дои:10.1088/0264-9381/24/10/004.
• Гизель, К; Тиманн, Т. (2007c). «Алгебраическая квантовая гравитация (AQG): III. Квазиклассическая теория возмущений». Классическая и квантовая гравитация. 24 (10): 2565–2588. arXiv:gr-qc / 0607101. Bibcode:2007CQGra..24.2565G. Дои:10.1088/0264-9381/24/10/005.
• Госвами; Joshi, Pankaj S .; Сингх, Парамприт; и другие. (2006). «Квантовое испарение голой особенности». Письма с физическими проверками. 96 (3): 31302. arXiv:gr-qc / 0506129. Bibcode:2006PhRvL..96c1302G. Дои:10.1103 / PhysRevLett.96.031302. PMID  16486681.
• Хан, Мусин (2010). «Интеграл по путям для главного ограничения петлевой квантовой гравитации». Классическая и квантовая гравитация. 27 (21): 215009. arXiv:0911.3432. Bibcode:2010CQGra..27u5009H. Дои:10.1088/0264-9381/27/21/215009.
• Хан, Мусин; Тиманн, Т. (2010a). «О связи между ограничением оператора, основным ограничением, сокращенным фазовым пространством и квантованием интегралов по путям». Классическая и квантовая гравитация. 27 (22): 225019. arXiv:0911.3428. Bibcode:2010CQGra..27v5019H. Дои:10.1088/0264-9381/27/22/225019.
• Хан, Мусин; Тиманн, Томас (2010b). «О связи между внутренним продуктом оснастки и прямым интегральным разложением основных ограничений». Журнал математической физики. 51 (9): 092501. arXiv:0911.3431. Bibcode:2010JMP .... 51i2501H. Дои:10.1063/1.3486359.
• Джаммер, М. (1989). Концептуальное развитие квантовой механики (2-е изд.). Издательство Томаш. Раздел 3.2. ISBN  978-0-88318-617-6.
• Kauffman, S .; Смолин, Л. (7 апреля 1997 г.). «Возможное решение проблемы времени в квантовой космологии». Edge.org. Архивировано из оригинал 1 января 2019 г.. Получено 20 августа 2014.
• Kribs, D. W .; Маркопулу, Ф. (11 октября 2005 г.). «Геометрия из квантовых частиц». arXiv:gr-qc / 0510052.
• Lewandowski, J .; Okołów, A .; Sahlmann, H .; Тиманн, Т. (2006). "Единственность состояний, инвариантных к диффеоморфизму на алгебрах потоков голономии". Коммуникации по математической физике. 267 (3): 703–733. arXiv:gr-qc / 0504147. Bibcode:2006CMaPh.267..703L. Дои:10.1007 / s00220-006-0100-7.
• Livine, E .; Специя, С. (2008). «Последовательное решение ограничений простоты для квантовой гравитации Spinfoam». EPL. 81 (5): 50004. arXiv:0708.1915. Bibcode:2008EL ..... 8150004L. Дои:10.1209/0295-5075/81/50004.
• Маджумдар, Партхасаратхи (1998). «Энтропия черной дыры и квантовая гравитация». Индийский J. Phys. 73 (2): 147. arXiv:gr-qc / 9807045. Bibcode:1999InJPB..73..147M.
• Модесто, Леонардо; Ровелли, Карло (2005). «Рассеяние частиц в петлевой квантовой гравитации». Письма с физическими проверками. 95 (19): 191301. arXiv:gr-qc / 0502036. Bibcode:2005ПхРвЛ..95с1301М. Дои:10.1103 / PhysRevLett.95.191301. PMID  16383970.
• Муксин, Х. (2011). «Космологическая постоянная в амплитуде вершины петлевой квантовой гравитации». Физический обзор D. 84 (6): 064010. arXiv:1105.2212. Bibcode:2011ПхРвД..84ф4010Н. Дои:10.1103 / PhysRevD.84.064010.
• Николай, Германн; Петерс, Каспер; Замаклар, Мария (2005). «Петлевая квантовая гравитация: взгляд со стороны». Классическая и квантовая гравитация. 22 (19): R193 – R247. arXiv:hep-th / 0501114. Bibcode:2005CQGra..22R.193N. Дои:10.1088 / 0264-9381 / 22/19 / R01.
• Окль, Роберт (2003a). «Общая граничная формулировка для квантовой механики и квантовой гравитации». Письма по физике B. 575 (3–4): 318–324. arXiv:hep-th / 0306025. Bibcode:2003ФЛБ..575..318О. Дои:10.1016 / j.physletb.2003.08.043.
• Окль, Роберт (2003b). «Кот Шредингера и часы: уроки квантовой гравитации». Классическая и квантовая гравитация. 20 (24): 5371–5380. arXiv:gr-qc / 0306007. Bibcode:2003CQGra..20.5371O. Дои:10.1088/0264-9381/20/24/009.
• "Ренате Лолл". Институт теоретической физики Периметр. Получено 4 ноября 2016.
• Ровелли, К. (2004). Квантовая гравитация. Кембриджские монографии по математической физике. стр. 13ff. ISBN  978-0-521-83733-0.
• Ровелли, К. (2011). «Закопанские лекции по петлевой гравитации». arXiv:1102.3660 [gr-qc ].
• Ровелли, К.; Алеши, Э. (2007). «Полный пропагатор LQG I. Трудности с вершиной Барретта – Крейна». Физический обзор D. 76 (2): 104012. arXiv:hep-th / 0703074. Bibcode:2007ПхРвД..76б4012Б. Дои:10.1103 / PhysRevD.76.024012.
• Ровелли, К.; Смолин, Л. (1988). «Теория узлов и квантовая гравитация». Письма с физическими проверками. 61 (10): 1155–1958. Bibcode:1988ПхРвЛ..61.1155Р. Дои:10.1103 / PhysRevLett.61.1155. PMID  10038716.
• Ровелли, Карло (1996). "Энтропия черной дыры от петлевой квантовой гравитации". Письма с физическими проверками. 77 (16): 3288–3291. arXiv:gr-qc / 9603063. Bibcode:1996ПхРвЛ..77.3288Р. Дои:10.1103 / PhysRevLett.77.3288. PMID  10062183.
• Ровелли, Карло (2003). «Диалог о квантовой гравитации». Международный журнал современной физики D. 12 (9): 1509–1528. arXiv:hep-th / 0310077. Bibcode:2003IJMPD..12.1509R. Дои:10.1142 / S0218271803004304.
• Ровелли, Карло (август 2008 г.). «Петлевая квантовая гравитация» (PDF). ЦЕРН. Получено 14 сентября 2014.
• Ровелли, Карло; Видотто, Франческа (2014). «Звезды Планка». Международный журнал современной физики D. 23 (12): 1442026. arXiv:1401.6562. Bibcode:2014IJMPD..2342026R. Дои:10.1142 / S0218271814420267.
• Смолин, Л. (2006). «Дело в пользу фоновой независимости». В Rickles, D .; Французский, S .; Саатси, Дж. Т. (ред.). Структурные основы квантовой гравитации. Clarendon Press. стр.196ff. arXiv:hep-th / 0507235. Bibcode:2005hep.th .... 7235S. ISBN  978-0-19-926969-3.
• Смолин, Ли (20 января 2010 г.). «Ньютоновская гравитация в петлевой квантовой гравитации». arXiv:1001.3668. Bibcode:2010arXiv1001.3668S.
• Speziale, Simone; Виланд, Вольфганг (2012). «Твисториальная структура амплитуд петлевых гравитационных переходов». Физический обзор D. 86 (12): 124023. arXiv:1207.6348. Bibcode:2012ПхРвД..86л4023С. Дои:10.1103 / PhysRevD.86.124023.
• Тиманн, Томас (1996). «Формулировка без аномалий непертурбативной четырехмерной лоренцевой квантовой гравитации». Письма по физике B. 380 (3–4): 257–264. arXiv:gr-qc / 9606088. Bibcode:1996ФЛБ..380..257Т. Дои:10.1016/0370-2693(96)00532-1.
• Тиманн, Томас (2003). «Лекции по петлевой квантовой гравитации». Квантовая гравитация. Конспект лекций по физике. Том 631. С. 41–135. arXiv:gr-qc / 0210094. Bibcode:2003ЛНП ... 631 ... 41Т. Дои:10.1007/978-3-540-45230-0_3. ISBN  978-3-540-40810-9.
• Тиманн, Томас (2006a). «Проект Феникс: главная программа ограничений для петлевой квантовой гравитации». Классическая и квантовая гравитация. 23 (7): 2211–2247. arXiv:gr-qc / 0305080. Bibcode:2006CQGra..23.2211T. Дои:10.1088/0264-9381/23/7/002.
• Тиманн, Томас (2006b). «Квантовая спиновая динамика: VIII. Главное ограничение». Классическая и квантовая гравитация. 23 (7): 2249–2265. arXiv:gr-qc / 0510011. Bibcode:2006CQGra..23.2249T. Дои:10.1088/0264-9381/23/7/003.
• Тиманн, Томас (2008). Современная каноническая общая теория относительности. Кембриджские монографии по математической физике. Издательство Кембриджского университета. Раздел 10.6. ISBN  978-0-521-74187-3.
• Tipler, P .; Ллевеллин, Р. (2008). Современная физика (5-е изд.). В. Х. Фриман и компания. С. 160–161. ISBN  978-0-7167-7550-8.

дальнейшее чтение

• Популярные книги:
  • Родольфо Гамбини и Хорхе Пуллин, Петлевая квантовая гравитация для всех, Всемирный научный, 2020.
  • Карло Ровелли, "Реальность не такая, как кажется », Пингвин, 2016.
  • Мартин Бойовальд, Однажды раньше времени: вся история вселенной 2010.
  • Карло Ровелли, Сколько времени? Что такое космос?, Ди Ренцо Эдиторе, Рома, 2006.
  • Ли Смолин, Три пути к квантовой гравитации, 2001
• Журнальные статьи:
  • Ли Смолин, «Атомы пространства и времени», Scientific American, Январь 2004 г.
  • Мартин Бойовальд, «Следуя за прыгающей вселенной», Scientific American, Октябрь 2008 г.
• Более простые вводные, пояснительные или критические работы:
  • Абхай Аштекар, Гравитация и квант, электронная печать доступна как gr-qc / 0410054 (2004)
  • Джон К. Баэз и Хавьер П. Муниаин, Калибровочные поля, узлы и квантовая гравитация, World Scientific (1994)
  • Карло Ровелли, Диалог о квантовой гравитации, электронная печать доступна как hep-th / 0310077 (2003)
  • Карло Ровелли и Франческа Видотто, Ковариантная петлевая квантовая гравитация, Кембридж (2014); черновик доступен онлайн
• Более сложные вводные / разъяснительные работы:
  • Карло Ровелли, Квантовая гравитация, Издательство Кембриджского университета (2004 г.); черновик доступен онлайн
  • Абхай Аштекар, Новые перспективы канонической гравитации, Bibliopolis (1988).
  • Абхай Аштекар, Лекции о непертурбативной канонической гравитации, World Scientific (1991)
  • Родольфо Гамбини и Хорхе Пуллин, Петли, узлы, калибровочные теории и квантовая гравитация, Издательство Кембриджского университета (1996)
  • Т. Тиманн The LQG - String: Loop Quantum Gravity Quantization of String Theory (2004)
  • Селада, Мариано; Гонсалес, Диего; Монтесинос, Мерсед (2016). «БФ гравитация». Классическая и квантовая гравитация. 33 (21): 213001. arXiv:1610.02020. Bibcode:2016CQGra..33u3001C. Дои:10.1088/0264-9381/33/21/213001.
• Актуальные обзоры
  • Ровелли, Карло (2011). «Закопанские лекции по петлевой гравитации». arXiv:1102.3660 [gr-qc ].
  • Ровелли, Карло (1998). «Петлевая квантовая гравитация». Живые обзоры в теории относительности. 1 (1): 1. arXiv:gr-qc / 9710008. Bibcode:1998LRR ..... 1 .... 1R. Дои:10.12942 / lrr-1998-1. ЧВК  5567241. PMID  28937180.
  • Тиманн, Томас (2003). «Лекции по петлевой квантовой гравитации». Квантовая гравитация. Конспект лекций по физике. Том 631. С. 41–135. arXiv:gr-qc / 0210094. Bibcode:2003ЛНП ... 631 ... 41Т. Дои:10.1007/978-3-540-45230-0_3. ISBN  978-3-540-40810-9.
  • Аштекар, Абхай; Левандовски, Ежи (2004). «Фоновая независимая квантовая гравитация: отчет о состоянии». Классическая и квантовая гравитация. 21 (15): R53 – R152. arXiv:gr-qc / 0404018. Bibcode:2004CQGra..21R..53A. Дои:10.1088 / 0264-9381 / 21/15 / R01.
  • Карло Ровелли и Маркус Галл, Петлевая квантовая гравитация и смысл инвариантности диффеоморфизмов, электронная печать доступна как gr-qc / 9910079.
  • Ли Смолин, Аргументы в пользу независимости фона, электронная печать доступна как hep-th / 0507235.
  • Алехандро Коричи, Квантовая геометрия петли: праймер, электронная печать доступна как Квантовая геометрия петли: праймер.
  • Алехандро Перес, Введение в петлевую квантовую гравитацию и спиновую пену, электронная печать доступна как Введение в петлевую квантовую гравитацию и спиновые пены.
• Фундаментальные исследования:
  • Роджер Пенроуз, Угловой момент: подход к комбинаторному пространству-времени в Квантовая теория и не только, изд. Тед Бастин, Cambridge University Press, 1971 г.
  • Ровелли, Карло; Смолин, Ли (1988). «Теория узлов и квантовая гравитация». Письма с физическими проверками. 61 (10): 1155–1158. Bibcode:1988ПхРвЛ..61.1155Р. Дои:10.1103 / PhysRevLett.61.1155. PMID  10038716.
  • Ровелли, Карло; Смолин, Ли (1990). "Петлевое представление квантовой общей теории относительности". Ядерная физика. B331 (1): 80–152. Bibcode:1990НуФБ.331 ... 80Р. Дои:10.1016 / 0550-3213 (90) 90019-а.
  • Карло Ровелли и Ли Смолин, Дискретность площади и объема в квантовой гравитации, Nucl. Phys., B442 (1995) 593–622, электронная печать доступна как arXiv:gr-qc / 9411005
  • Тиман, Томас (2007). «Петлевая квантовая гравитация: взгляд изнутри». Подходы к фундаментальной физике. Конспект лекций по физике. 721: 185–263. arXiv:hep-th / 0608210. Bibcode:2007ЛНП ... 721..185Т. Дои:10.1007/978-3-540-71117-9_10. ISBN  978-3-540-71115-5.

внешние ссылки

• Введение в петлевую квантовую гравитацию Онлайн-лекции Карло Ровелли
• Ковариантная петлевая квантовая гравитация от Карло Ровелли и Франческа Видотто
• "Петлевая квантовая гравитация" Карло Ровелли Physics World, ноябрь 2003 г.
• Квантовая пена и петлевая квантовая гравитация
• Абхай Аштекар: полу-популярные статьи. Несколько отличных популярных статей о пространстве, времени, GR и LQG для начинающих.
• Петлевая квантовая гравитация: Ли Смолин.
• Онлайн-лекции по Loop Quantum Gravity Ли Смолин
• Спиновые сети, спиновая пена и петлевая квантовая гравитация
• Журнал Wired, Новости: Выход за рамки теории струн
• Специальный выпуск журнала Scientific American, апрель 2006 г., Вопрос времени, есть статья Ли Смолина в LQG Атомы пространства и времени
• Сентябрь 2006 г., The Economist, статья Зацикливание петли
• Гамма-телескоп большой площади: Космический гамма-телескоп Ферми
• Зенон встречается с современной наукой. Статья из Acta Physica Полоника B З.К. Силагадзе.
• Оставила ли вселенная до Большого взрыва свой след на небе? - Согласно модели, основанной на теории «петлевой квантовой гравитации», родительская вселенная, существовавшая до нашей, могла оставить отпечаток (Новый ученый, 10 апреля 2008 г.)
• О'Дауд, Мэтт (15 октября 2019 г.). «Объяснение петлевой квантовой гравитации». PBS Space Time - через YouTube.