Спиновая сеть - Spin network

Простая спиновая сеть того типа, который используется в петля квантовой гравитации

В физика, а спиновая сеть это тип диаграммы, которая может использоваться для представления состояния и взаимодействие между частицы и поля в квантовая механика. Из математический перспективы, диаграммы представляют собой краткий способ представления полилинейные функции и функции между представления из матричные группы. Схематическое обозначение часто упрощает расчет, поскольку простые диаграммы могут использоваться для представления сложных функции.

Роджер Пенроуз приписывают изобретение спиновых сетей в 1971 году,^[1] хотя подобные схематические техники существовали и до его времени. Спиновые сети были применены к теории квантовая гравитация к Карло Ровелли, Ли Смолин, Хорхе Пуллин, Родольфо Гамбини и другие.

Спиновые сети также могут быть использованы для построения конкретных функциональный на пространстве связи который инвариантен относительно локальных калибровочные преобразования.

Определение

Оригинальное определение Пенроуза

Спиновая сеть, как описано у Пенроуза (1971),^[1] это своего рода диаграмма, на которой каждый сегмент линии представляет мировая линия «единицы» (либо элементарная частица или сложная система частиц). В каждой вершине соединяются три отрезка. Вершину можно интерпретировать как событие, в котором либо один блок разделяется на два, либо два блока сталкиваются и объединяются в один блок. Диаграммы, все отрезки которых соединены в вершинах, называются закрытые спиновые сети. Время можно рассматривать как идущее в одном направлении, например, снизу вверх на диаграмме, но для замкнутых спиновых сетей направление времени не имеет отношения к вычислениям.

Каждый сегмент линии помечен целым числом, которое называется номер спина. Единица с номером вращения п называется п-блок и имеет угловой момент nħ / 2, где час сокращенный Постоянная Планка. За бозоны, такие как фотоны и глюоны, п - четное число. За фермионы, такие как электроны и кварки, п странно.

Для любой замкнутой спиновой сети можно вычислить неотрицательное целое число, которое называется норма спиновой сети. Нормы можно использовать для расчета вероятности различных значений спина. Сеть с нулевой нормой имеет нулевую вероятность появления. Правила расчета норм и вероятностей выходят за рамки данной статьи. Однако они подразумевают, что для того, чтобы спиновая сеть имела ненулевую норму, в каждой вершине должны выполняться два требования. Предположим, что вершина соединяет три блока с номерами спинов а, б, и c. Тогда эти требования сформулированы как:

• Неравенство треугольника: а должно быть меньше или равно б + c, б меньше или равно а + c, и c меньше или равно а + б.
• Сохранение фермионов: а + б + c должно быть четное число.

Например, а = 3, б = 4, c = 6 невозможно, так как 3 + 4 + 6 = 13 нечетно, и а = 3, б = 4, c = 9 невозможно, так как 9> 3 + 4. Однако а = 3, б = 4, c = 5 возможно, поскольку 3 + 4 + 5 = 12 четно и неравенство треугольника выполнено. В некоторых соглашениях используются обозначения полуцелыми числами с условием, что сумма а + б + c должно быть целым числом.

Формальное определение

Более формально спиновая сеть - это (направленная) график чья края связаны с несводимый представления из компактный Группа Ли и чей вершины связаны с сплетники смежных с ним представлений ребер.

Спиновую сеть, погруженную в многообразие, можно использовать для определения функциональный на пространстве связи на этом коллекторе. Один вычисляет голономии соединения вдоль каждого звена (замкнутого пути) графа, определяет матрицы представления, соответствующие каждому звену, умножает все матрицы и сплетники вместе и сжимает индексы заданным образом. Замечательной особенностью полученного функционала является то, что он инвариантен относительно локальных калибровочные преобразования.

Использование в физике

В контексте петлевой квантовой гравитации

В петля квантовой гравитации (LQG), спиновая сеть представляет собой «квантовое состояние» гравитационное поле на 3-х мерном гиперповерхность. Множество всевозможных спиновых сетей (или, точнее, "s-узлы "- то есть классы эквивалентности спиновых сетей при диффеоморфизмы ) является счетный; он представляет собой основа LQG Гильбертово пространство.

Одним из ключевых результатов петлевой квантовой гравитации является квантование площадей: оператор площади А двумерной поверхности Σ должна иметь дискретную спектр. Каждые спиновая сеть является собственное состояние каждого такого оператора, а собственное значение площади равно

${\displaystyle A_{\Sigma }=8\pi \ell _{\text{PL}}^{2}\gamma \sum _{i}{\sqrt {j_{i}(j_{i}+1)}}}$

где сумма идет по всем пересечениям я Σ со спиновой сетью. В этой формуле

• ℓ_PL это Планковская длина,
• ${\displaystyle \gamma }$ это Параметр Иммирзи и
• j_я = 0, 1/2, 1, 3/2, ... - это вращение связанный со ссылкой я спиновой сети. Таким образом, двумерная область «сконцентрирована» в точках пересечения со спиновой сетью.

Согласно этой формуле, наименьшее возможное ненулевое собственное значение оператора площади соответствует звену, несущему представление спина 1/2. Если предположить Параметр Иммирзи порядка 1, это дает наименьшую возможную измеряемую площадь ~ 10⁻⁶⁶ см².

Формула для собственных значений площади несколько усложняется, если поверхности позволяют проходить через вершины, как в моделях аномальной диффузии. Кроме того, собственные значения оператора площади А сдерживаются лестничная симметрия.

Аналогичное квантование применяется к оператору громкости. Объем трехмерного подмногообразия, содержащего часть спиновой сети, задается суммой вкладов от каждого узла внутри него. Можно подумать, что каждый узел в спиновой сети - это элементарный «квант объема», а каждое звено - «квант площади», окружающей этот объем.

Более общие калибровочные теории

Аналогичные конструкции можно сделать для общих калибровочных теорий с компактной группой Ли G и форма подключения. На самом деле это точное двойственность над решеткой. Через многообразие однако предположения вроде инвариантность к диффеоморфизму необходимы, чтобы сделать двойственность точной (размытие Петли Вильсона сложно). Позднее он был обобщен Роберт Окль представлениям квантовые группы в 2-х и 3-х измерениях с помощью Двойственность Таннаки – Крейна.

Михаил А. Левин и Сяо-Ган Вэнь также определили струнные сети с помощью тензорные категории это объекты, очень похожие на спиновые сети. Однако точная связь со спин-сетями пока не ясна. Конденсация струнно-чистой производит топологически упорядоченный состояния в конденсированных средах.

Использование в математике

В математике спиновые сети использовались для изучения мотки модули и разновидности персонажей, которые соответствуют пространствам связи.

Смотрите также

• Разнообразие персонажей
• Графическое обозначение Пенроуза
• Отжим пена
• Строка-сетка
• Диаграмма трассировки

использованная литература

1. Р. Пенроуз (1971a), «Угловой момент: подход к комбинаторному пространству-времени», в T. Bastin (ed.), Квантовая теория и не только, Cambridge University Press (эту статью можно найти в Интернете на Джон К. Баэз с интернет сайт ); и Р. Пенроуз (1971b), «Приложения тензоров отрицательной размерности», в Д. Дж. А. Уэлш (ред.), Комбинаторная математика и ее приложения (Proc. Конф., Oxford, 1969), Academic Press, стр. 221–244, особенно. п. 241 (последняя статья была представлена ​​в 1969 г., но опубликована в 1971 г., согласно Роджеру Пенроузу, «К истокам твисторной теории» в: Гравитация и геометрия, том в честь И. Робинсон, Biblipolis, Naples 1987).

дальнейшее чтение

Ранние статьи

• Левинсон И. Б. Сумма коэффициентов Вигнера и их графическое представление. Продолжайте. Phys-Tech Inst. Acad Sci. Литовская ССР 2, 17-30 (1956)
• Когут, Джон; Сасскинд, Леонард (1975). "Гамильтонова формулировка решеточных калибровочных теорий Вильсона". Физический обзор D. 11 (2): 395–408. Bibcode:1975ПхРвД..11..395К. Дои:10.1103 / PhysRevD.11.395.
• Когут, Джон Б. (1983). "Подход калибровочной теории решетки к квантовой хромодинамике". Обзоры современной физики. 55 (3): 775–836. Bibcode:1983РвМП ... 55..775К. Дои:10.1103 / RevModPhys.55.775. (см. раздел Евклидова высокая температура (сильная связь))
• Савит, Роберт (1980). «Двойственность в теории поля и статистических системах». Обзоры современной физики. 52 (2): 453–487. Bibcode:1980РвМП ... 52..453С. Дои:10.1103 / RevModPhys.52.453. (см. разделы, посвященные абелевым калибровочным теориям)

Современные бумаги

• Ровелли, Карло; Смолин, Ли (1995). «Спиновые сети и квантовая гравитация». Phys. Ред. D. 52 (10): 5743–5759. arXiv:gr-qc / 9505006. Bibcode:1995ПхРвД..52.5743Р. Дои:10.1103 / PhysRevD.52.5743.
• Пфайффер, Хендрик; Окль, Роберт (2002). «Двойник неабелевой решеточной калибровочной теории». Nuclear Physics B - Proceedings Supplements. 106-107: 1010–1012. arXiv:hep-lat / 0110034. Bibcode:2002НуФС.106.1010П. Дои:10.1016 / S0920-5632 (01) 01913-2.
• Пфайффер, Хендрик (2003). «Точные преобразования двойственности для сигма-моделей и калибровочных теорий». Журнал математической физики. 44 (7): 2891–2938. arXiv:hep-lat / 0205013. Bibcode:2003JMP .... 44.2891P. Дои:10.1063/1.1580071.
• Окль, Роберт (2003). «Обобщенная калибровочная теория решетки, спиновые пены и инварианты суммы состояний». Журнал геометрии и физики. 46 (3–4): 308–354. arXiv:hep-th / 0110259. Bibcode:2003JGP .... 46..308O. Дои:10.1016 / S0393-0440 (02) 00148-1.
• Баэз, Джон С. (1996). «Спиновые сети в калибровочной теории». Успехи в математике. 117 (2): 253–272. arXiv:gr-qc / 9411007. Дои:10.1006 / aima.1996.0012.
• Сяо-Ган Вэнь, "Квантовая теория поля систем многих тел - от происхождения звука до происхождения света и фермионов", [1]. (Дублированный струнные сети здесь.)
• Майор, Сет А. (1999). «Праймер спиновой сети». Американский журнал физики. 67 (11): 972–980. arXiv:gr-qc / 9905020. Bibcode:1999AmJPh..67..972M. Дои:10.1119/1.19175.

Книги

• Г. Э. Стедман, Диаграммные методы в теории групп, Издательство Кембриджского университета, 1990.
• Предраг Цвитанович, Теория групп: следы птиц, ложь и исключительные группы, Princeton University Press, 2008.