Гипотеза Борсука - Borsuks conjecture - Wikipedia

Пример шестиугольник разрезать на три части меньшего диаметра.

В Задача Борсука в геометрии, по историческим причинам^{[примечание 1]} неправильно назван Борсука догадка, это вопрос в дискретная геометрия. Он назван в честь Кароль Борсук.

Проблема

В 1932 г. Кароль Борсук показал^[2] что обычная трехмерная мяч в Евклидово пространство можно легко разделить на 4 тела, каждое из которых имеет меньшую диаметр чем мяч, и вообще п-размерный шар можно покрыть п + 1 компактный наборы диаметров меньше шара. В то же время он доказал, что п подмножества не хватает вообще. Доказательство основано на Теорема Борсука – Улама.. Это привело Борсука к общему вопросу:

Die folgende Frage bleibt offen: Lässt sich jede beschränkte Teilmenge E des Raumes ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ в (п + 1) Mengen zerlegen, von denen jede einen kleineren Durchmesser als E hat?^[2]

Это можно перевести как:

Остается открытым вопрос: может ли каждый ограниченный подмножество E пространства ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ быть разделенный в (п + 1) наборы, каждый из которых имеет меньший диаметр, чем E?

На вопрос был дан положительный ответ в следующих случаях:

• п = 2 - оригинальный результат Кароля Борсука (1932).
• п = 3 - показано Джулианом Перкалом (1947),^[3] и независимо, 8 лет спустя, Х. Г. Эгглстоном (1955).^[4] Простое доказательство было позже найдено Бранко Грюнбаум и Аладар Хеппес.
• Для всех п за гладкий выпуклые тела - показаны Хьюго Хадвигер (1946).^[5][6]
• Для всех п за центрально-симметричный тела - показано А.С. Рислинг (1971).^[7]
• Для всех п за органы революции - показан Борисом Декстером (1995).^[8]

Проблема была окончательно решена в 1993 г. Джефф Кан и Гил Калаи, который показал, что общий ответ на вопрос Борсука - нет.^[9] Они утверждают, что их конструкция показывает, что п + 1 штук не хватает для п = 1325 и для каждого п > 2014. Однако, как указал Бернульф Вайсбах,^[10] первая часть этого утверждения на самом деле ложна. Но после улучшения субоптимального вывода в соответствующем выводе, действительно можно проверить одно из построенных наборов точек как контрпример для п = 1325 (как и все высшие размерности до 1560).^[11]

Их результат был улучшен в 2003 году Хинрихсом и Рихтером, которые построили конечные множества для п ≥ 298, который нельзя разбить на п + 11 детали меньшего диаметра.^[1]

В 2013 году Андрей Бондаренко показал, что гипотеза Борсука ложна для всех. п ≥ 65.^[12][13] Вскоре после этого Томас Дженрих вывел 64-мерный контрпример из конструкции Бондаренко, дав наилучшую оценку до сих пор.^[14][15]

Помимо поиска минимального количества п таких размеров, чтобы количество штук ${\displaystyle \alpha (n)>n+1}$, математики заинтересованы в выяснении общего поведения функции ${\displaystyle \alpha (n)}$. Кан и Калаи показывают, что в целом (то есть для п достаточно большой), нужно ${\displaystyle \alpha (n)\geq (1.2)^{\sqrt {n}}}$ много штук. Они также цитируют верхнюю границу Одед Шрамм, который показал это для каждого ε, если п достаточно большой, ${\displaystyle \alpha (n)\leq \left({\sqrt {3/2}}+\varepsilon \right)^{n}}$.^[16] Правильный порядок величины α(п) пока неизвестно.^[17] Однако предполагается, что существует постоянная c > 1 такой, что ${\displaystyle \alpha (n)>c^{n}}$ для всех п ≥ 1.

Смотрите также

• Гипотеза Хадвигера о покрытии выпуклых тел уменьшенными копиями самих себя

Примечание

1. Как говорят Хинрикс и Рихтер во введении к своей работе,^[1] то «Гипотеза Борсука [считалась] верной в течение нескольких десятилетий» (отсюда обычно называют «гипотезой»), поэтому «Стало неожиданностью, когда Кан и Калаи построили конечные множества, доказывающие обратное». Однако стоит отметить, что Кароль Борсук сформулировал проблему просто как вопрос, не предполагая, что ожидаемый ответ будет положительным.

Рекомендации

1. Hinrichs, Aicke; Рихтер, Кристиан (28 августа 2003 г.). «Новые наборы с большими числами Борсука». Дискретная математика. Эльзевир. 270 (1–3): 137–147. Дои:10.1016 / S0012-365X (02) 00833-6.
2. Борсук Кароль (1933), "Drei Sätze über die n-Dimensale euklidische Sphäre" (PDF), Fundamenta Mathematicae (на немецком), 20: 177–190, Дои:10.4064 / FM-20-1-177-190
3. Перкаль, Джулиан (1947), "Sur la subdivision des ensembles en party de diamètre inférieur", Математический коллоквиум, 2: 45
4. Эгглстон, Х. Г. (1955), "Покрытие трехмерного набора наборами меньшего диаметра", Журнал Лондонского математического общества, 30: 11–24, Дои:10.1112 / jlms / s1-30.1.11, МИСТЕР  0067473
5. Хадвигер, Хьюго (1945), "Überdeckung einer Menge durch Mengen kleineren Durchmessers", Комментарии Mathematici Helvetici, 18 (1): 73–75, Дои:10.1007 / BF02568103, МИСТЕР  0013901
6. Хадвигер, Хьюго (1946), "Mitteilung betreffend meine Note: Überdeckung einer Menge durch Mengen kleineren Durchmessers", Комментарии Mathematici Helvetici, 19 (1): 72–73, Дои:10.1007 / BF02565947, МИСТЕР  0017515
7. Рислинг, А. С. (1971), "Проблема Борсука в трехмерных пространствах постоянной кривизны" [Проблема Борсука в трехмерных пространствах постоянной кривизны] (PDF), Укр. Геом. Сборник (на русском языке), Харьковский государственный университет (ныне Харьковский национальный университет ), 11: 78–83
8. Декстер, Борис (1995), "Гипотеза Борсука верна для тел вращения", Журнал геометрии, 52 (1–2): 64–73, Дои:10.1007 / BF01406827, МИСТЕР  1317256
9. Кан, Джефф; Калаи, Гил (1993), «Контрпример к гипотезе Борсука», Бюллетень Американского математического общества, 29 (1): 60–62, arXiv:математика / 9307229, Дои:10.1090 / S0273-0979-1993-00398-7, МИСТЕР  1193538
10. Вайсбах, Бернульф (2000), «Наборы с большим борсуком» (PDF), Beiträge zur Algebra und Geometrie, 41 (2): 417–423
11. Дженрих, Томас (2018), О контрпримерах Кана и Калаи к гипотезе Борсука, arXiv:1809.09612v4
12. Бондаренко, Андрей В. (2013), О гипотезе Борсука для двухдистанционных множеств, arXiv:1305.2584, Bibcode:2013arXiv1305.2584B
13. Бондаренко, Андрей (2014), "О гипотезе Борсука для двумерных множеств", Дискретная и вычислительная геометрия, 51 (3): 509–515, Дои:10.1007 / s00454-014-9579-4, МИСТЕР  3201240
14. Дженрих, Томас (2013), 64-мерный двумерный контрпример к гипотезе Борсука, arXiv:1308.0206, Bibcode:2013arXiv1308.0206J
15. Дженрих, Томас; Брауэр, Андрис Э. (2014), «64-мерный контрпример к гипотезе Борсука», Электронный журнал комбинаторики, 21 (4): # P4.29, МИСТЕР  3292266
16. Шрамм, Одед (1988), «Осветительные установки постоянной ширины», Математика, 35 (2): 180–189, Дои:10.1112 / S0025579300015175, МИСТЕР  0986627
17. Алон, Нога (2002), «Дискретная математика: методы и проблемы», Труды Международного конгресса математиков, Пекин, 1: 119–135, arXiv:математика / 0212390, Bibcode:2002математика ..... 12390A

дальнейшее чтение

• Олег Пихурко, Алгебраические методы в комбинаторике, примечания к курсу.
• Андрей М. Райгородский, Проблема разбиения Борсука: к семидесятилетию, Математический интеллигент 26 (2004), нет. 3, 4–12.
• Райгородский, Андрей М. (2008). «Три лекции по проблеме разбиения Борсука». В Янге Николай; Чой, Йемон (ред.). Обзоры по современной математике. Серия лекций Лондонского математического общества. 347. Издательство Кембриджского университета. С. 202–247. ISBN  978-0-521-70564-6. Zbl  1144.52005.

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. "Гипотеза Борсука". MathWorld.