Hauptvermutung - Hauptvermutung

В Hauptvermutung (Немецкий за главная гипотеза) из геометрическая топология вопрос в том, есть ли два триангуляции из триангулируемое пространство имеют подразделения, которые комбинаторно эквивалентны, т. е. разделенные триангуляции построены по одному и тому же комбинаторному образцу.

Первоначально она была сформулирована как гипотеза в 1908 г. Эрнст Стейниц и Генрих Франц Фридрих Титце, но теперь известно, что это не так.

Не многообразная версия была опровергнута Джон Милнор в 1961 г. Кручение Рейдемейстера.^[1]

История

В многообразие версия верна в размеры ${\displaystyle m\leq 3}$. Случаи ${\displaystyle m=2}$ и ${\displaystyle 3}$ были доказаны Тибор Радо и Эдвин Э. Мойз в 1920-е и 1950-е годы соответственно.^[2][3][4]

Препятствие к варианту многообразия было сформулировано Эндрю Кэссон и Деннис Салливан в 1967–69 (первоначально в односвязный case), используя Инвариант Рохлина и группа когомологий ${\displaystyle H^{3}(M;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )}$.

А гомеоморфизм ${\displaystyle f\colon N\to M}$ из м-размерный кусочно-линейные многообразия имеет инвариантный ${\displaystyle \kappa (f)\in H^{3}(M;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )}$ так что для ${\displaystyle m\geq 5}$, ${\displaystyle f}$ является изотопический к кусочно линейному (PL) гомеоморфизму тогда и только тогда, когда ${\displaystyle \kappa (f)=0}$. В односвязном случае и с ${\displaystyle m\geq 5}$, ${\displaystyle f}$ является гомотопный гомеоморфизму PL тогда и только тогда, когда ${\displaystyle [\kappa (f)]=0\in [M,G/{\rm {PL}}]}$.

Препятствие к многообразию Hauptvermutung теперь рассматривается как относительная версия препятствия триангуляции Робион Кирби и Лоран К. Зибенманн, получен в 1970 году. Препятствие Кирби – Зибенмана определяется для любого компактный м-мерное топологическое многообразие M

${\displaystyle \kappa (M)\in H^{4}(M;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )}$

снова используя инвариант Рохлина. За ${\displaystyle m\geq 5}$, многообразие M имеет PL-структуру (т. е. может быть триангулирован PL-многообразием) тогда и только тогда, когда ${\displaystyle \kappa (M)=0}$, а если это препятствие равно 0, то PL-структуры параметризуются ${\displaystyle H^{3}(M;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )}$. В частности, существует лишь конечное число существенно различных структур PL на M.

Для компактных односвязных многообразий размерности 4 Саймон Дональдсон нашел примеры с бесконечным количеством неэквивалентных Структуры PL, и Майкл Фридман нашел Коллектор E8 который не только не имеет PL-структуры, но (по работе Кассона) даже не гомеоморфен симплициальному комплексу.^[5]

В 2013, Чиприан Манолеску доказал, что существуют компактные топологические многообразия размерности 5 (а значит, любой размерности больше 5), которые не гомеоморфны симплициальному комплексу.^[6] Таким образом, пример Кассона иллюстрирует более общее явление, которое не ограничивается только измерением 4.

Рекомендации

1. Милнор, Джон В. (1961). «Два комплекса, гомеоморфные, но комбинаторно различные». Анналы математики. 74 (2): 575–590. Дои:10.2307/1970299. JSTOR  1970299. МИСТЕР  0133127.
2. Радо, Тибор (1925). "Über den Begriff der Riemannschen Fläche". Acta Scientarum Mathematicarum Universitatis Szegediensis. 2 (1): 96–114. Дои:10.2307/1969769. JSTOR  1969769. МИСТЕР  0048805.
3. Мойз, Эдвин Э. (1952). "Аффинные структуры в трехмерных многообразиях. V. Теорема триангуляции и Hauptvermutung". Анналы математики. 56 (2): 101–121. Дои:10.2307/1969769. JSTOR  1969769.
4. Мойс, Эдвин Э. (1977). Геометрическая топология в измерениях 2 и 3. Нью-Йорк: Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  978-0-387-90220-3.
5. Акбулут, Сельман; Маккарти, Джон Д. (1990). Инвариант Кассона для ориентированных гомологических 3-сфер. Принстон, штат Нью-Джерси: Princeton University Press. ISBN  0-691-08563-3. МИСТЕР  1030042.
6. Манолеску, Чиприан (2016) [2015]. «Пин (2) -эквивариантные гомологии Зайберга – Виттена Флоера и гипотеза триангуляции». Журнал Американского математического общества. 29: 147–176. arXiv:1303.2354. Дои:10.1090 / jams829.

внешняя ссылка

• http://www.maths.ed.ac.uk/~aar/haupt Дополнительные материалы, включая первоисточники
• Юлий Рудяк «Кусочно-линейные структуры на топологических многообразиях» ISBN  978-981-4733-78-6
• Эндрю Раники (ред.) Книга Hauptvermutung ISBN  0-7923-4174-0
• Эндрю Раники Многомерные многообразия тогда и сейчас