Гипотеза Мертенса - Mertens conjecture

График показывает Функция Мертенса ${\displaystyle M(n)}$ и квадратные корни ${\displaystyle \pm {\sqrt {n}}}$ для ${\displaystyle n\leq 10,000}$. Вычислив эти значения, Мертенс предположил, что абсолютное значение ${\displaystyle M(n)}$ всегда ограничен ${\displaystyle {\sqrt {n}}}$. Эта гипотеза, известная как гипотеза Мертенса, была опровергнута в 1985 г. Андрей Одлызко и Герман те Риле.

В математика, то Гипотеза Мертенса это утверждение, что Функция Мертенса ${\displaystyle M(n)}$ ограничен ${\displaystyle \pm {\sqrt {n}}}$. Хотя теперь это опровергнуто, было показано, что Гипотеза Римана. Это было предположено Томас Джоаннес Стилтьес в письме 1885 г. Чарльз Эрмит (перепечатано в Стилтьес  (1905 )), и снова в печати Франц Мертенс  (1897 ) и опровергнуты Андрей Одлызко и Герман те Риле  (1985 Это яркий пример того, что математическая гипотеза оказалась ложной, несмотря на большое количество вычислительных свидетельств в ее пользу.

Определение

В теория чисел, мы определяем Функция Мертенса так как

${\displaystyle M(n)=\sum _{1\leq k\leq n}\mu (k)}$

где μ (k) - Функция Мёбиуса; то Гипотеза Мертенса это для всех п > 1,

${\displaystyle \left|M(n)\right|<{\sqrt {n}}.\,}$

Опровержение гипотезы

Стилтьес утверждал в 1885 г., что доказал более слабый результат, а именно, что ${\displaystyle m(n)\equiv M(n)/{\sqrt {n}}}$ был ограниченный, но не опубликовал доказательства.^[1] (С точки зрения ${\displaystyle m(n)}$, гипотеза Мертенса состоит в том, что ${\displaystyle -1<m(n)<1}$.)

В 1985 г. Андрей Одлызко и Герман те Риле доказал ложность гипотезы Мертенса с помощью Алгоритм редукции решеточного базиса Ленстры – Ленстры – Ловаса:^[2][3]

${\displaystyle \liminf ~m(n)<-1.009\quad }$ и ${\displaystyle \quad \limsup ~m(n)>1.06~}$.

Позже было показано, что первые контрпример появляется ниже ${\displaystyle ~e^{3.21\times 10^{64}}\approx 10^{1.39\times 10^{64}}~}$^[4] но выше 10¹⁶.^[5] С тех пор верхняя граница была понижена до ${\displaystyle ~e^{1.59\times 10^{40}}~}$^[6] или примерно ${\displaystyle ~10^{6.91\times 10^{39}}~,}$ но нет явный Контрпример известен.

В закон повторного логарифма заявляет, что если μ заменяется случайной последовательностью +1s и −1s, то порядок роста частичной суммы первых п условия составляет (с вероятностью 1) около √ п журнал журнал п, что говорит о том, что порядок роста м(п) может быть где-то поблизости √журнал журнал п. Фактический порядок роста может быть несколько меньше; в начале 1990-х Гонек предположил^[7] что порядок роста м(п) был ${\displaystyle (\log {\log {\log {n}}})^{5/4}}$, который был подтвержден Ng (2004) на основе эвристического аргумента, предполагающего гипотезу Римана и некоторые гипотезы об усредненном поведении нулей дзета-функции Римана.^[8]

В 1979 году Коэн и Дресс обнаружили наибольшее известное значение ${\displaystyle ~m(n)\approx 0.570591~}$ для M(7766842813) = 50286,^{[нужна цитата ]} а в 2011 году Кузнецов нашел наибольшее известное отрицательное значение ${\displaystyle m(n)\approx -0.585768}$ для M(11609864264058592345) = −1995900927.^[9] В 2016 году Херст вычислил M(п) для каждого п ≤ 10¹⁶ но не нашел больших значений м(п).^[10]

В 2006 году Котник и те Риле улучшили верхнюю оценку и показали, что существует бесконечно много значений п для которого м(п) > 1.2184, но без указания конкретного значения для такого п.^[11] В 2016 году Херст добился дальнейшего улучшения, продемонстрировав

${\displaystyle \liminf ~m(n)<-1.837625\quad }$ и ${\displaystyle \quad \limsup ~m(n)>1.826054~}$.

Связь с гипотезой Римана

Связь с гипотезой Римана основана на Серия Дирихле для обратного Дзета-функция Римана,

${\displaystyle {\frac {1}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}},}$

действует в регионе ${\displaystyle {\mathcal {Re}}(s)>1}$. Мы можем переписать это как Интеграл Стилтьеса

${\displaystyle {\frac {1}{\zeta (s)}}=\int _{0}^{\infty }x^{-s}\operatorname {d} M(x)}$

и после интегрирования по частям получить обратную дзета-функцию как Преобразование Меллина

${\displaystyle {\frac {1}{s\zeta (s)}}=\left\{{\mathcal {M}}M\right\}(-s)=\int _{0}^{\infty }x^{-s}M(x)\,{\frac {\operatorname {d} x}{x}}.}$

С использованием Теорема обращения Меллина теперь мы можем выразить M с точки зрения¹⁄_ζ так как

${\displaystyle M(x)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\sigma -i\infty }^{\sigma +i\infty }{\frac {x^{s}}{s\zeta (s)}}\operatorname {d} s}$

что действительно для 1 <σ <2, и действительно для ​¹⁄₂ <σ <2 по гипотезе Римана. Отсюда интеграл преобразования Меллина должен сходиться, и, следовательно,M(Икс) должно быть О(Икс^е) для каждого показателя е лучше чем 1/2. Из этого следует, что

${\displaystyle M(x)=O(x^{{\tfrac {1}{2}}+\epsilon })}$

для всех положительных ε эквивалентна гипотезе Римана, которая, следовательно, следовала бы из более сильной гипотезы Мертенса, и следует из гипотезы Стилтьеса, что

${\displaystyle M(x)=O(x^{\tfrac {1}{2}})~}$.

использованная литература

1. Борвейн, Питер; Чой, Стивен; Руни, Брендан; Вейратмюллер, Андреа, ред. (2007). Гипотеза Римана. Ресурс для поклонников и виртуозов. CMS Книги по математике. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer-Verlag. п. 69. ISBN  978-0-387-72125-5. Zbl  1132.11047.
2. Odlyzko & Te Riele (1985)
3. Сандор и др. (2006), стр. 188–189
4. Пинц (1987)^{[требуется полная цитата ]}
5. Херст, Грег (2016). «Вычисления функции Мертенса и улучшенные оценки гипотезы Мертенса». arXiv:1610.08551 [math.NT ].
6. Котник и Те Риле (2006)
7. Стив Гонек, предположение начала 1990-х^{[нужна цитата ]}
8. Нг, Натан (2004). «Распределение сумматорной функции функции Мёбиуса» (PDF).
9. Кузнецов, Евгений (2011). «Вычисление функции Мертенса на графическом процессоре». arXiv:1108.0135 [math.NT ].
10. Херст, Грег (2016). «Вычисления функции Мертенса и улучшенные оценки гипотезы Мертенса». arXiv:1610.08551 [math.NT ].
11. Котник и те Риле (2006)

дальнейшее чтение

• Котник, Тадей; те Риле, Герман (2006). «Возвращение к гипотезе Мертенса». В Гессе, Флориане (ред.). Алгоритмическая теория чисел. 7-й международный симпозиум, ANTS-VII, Берлин, Германия, 23–28 июля 2006 г. Материалы. Конспект лекций по информатике. 4076. Берлин: Springer-Verlag. С. 156–167. Дои:10.1007/11792086_12. ISBN  3-540-36075-1. Zbl  1143.11345.
• Котник, Т .; ван де Люн, Дж. (2004). «По заказу функции Мертенса» (PDF). Экспериментальная математика. 13: 473–481. Архивировано из оригинал (PDF) на 2007-04-03.
• Мертенс, Ф. (1897). "Über eine zahlentheoretische Funktion". Sitzungsberichte der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften, Mathematisch-Naturwissenschaftliche Klasse, Abteilung 2a. 106: 761–830.
• Одлызко, А.М.; те Риле, Х. Дж. Дж. (1985), «Опровержение гипотезы Мертенса» (PDF), Журнал für die reine und angewandte Mathematik, 357: 138–160, Дои:10.1515 / crll.1985.357.138, ISSN  0075-4102, Г-Н  0783538, Zbl  0544.10047
• Пинц, Дж. (1987). «Эффективное опровержение гипотезы Мертенса» (PDF). Astérisque. 147–148: 325–333. Zbl  0623.10031.
• Шандор, Йожеф; Митринович, Драгослав С .; Crstici, Борислав, ред. (2006), Справочник по теории чисел I, Дордрехт: Springer-Verlag, стр. 187–189, ISBN  1-4020-4215-9, Zbl  1151.11300
• Stieltjes, T. J. (1905), "Lettre a Hermite de 11 juillet 1885, Lettre # 79", в Baillaud, B .; Бурже, Х. (ред.), Корреспонденция d'Hermite et Stieltjes, Paris: Gauthier-Villars, pp. 160–164.

• Вайсштейн, Эрик В. "Гипотеза Мертенса". MathWorld.