Тензор кручения - Torsion tensor

Для использования в других целях см. Торсион (значения) и Торсионное поле (значения).

Кручение по геодезической.

В дифференциальная геометрия, понятие кручение это способ характеристики завихрения или винт из подвижная рама по кривой. В кручение кривой, как это показано в Формулы Френе – Серре, например, количественно определяет поворот кривой вокруг ее касательного вектора по мере развития кривой (или, скорее, поворот системы отсчета Френе – Серре вокруг касательного вектора). В геометрии поверхностей геодезическое кручение описывает, как поверхность изгибается по кривой на поверхности. Сопутствующее понятие кривизна измеряет, как движущиеся рамки «катятся» по кривой «без скручивания».

В общем, на дифференцируемое многообразие оснащен аффинная связь (это связь в касательный пучок ), кручение и кривизна образуют два основных инварианта связности. В этом контексте кручение дает внутреннюю характеристику того, как касательные пространства крутиться по кривой, когда они параллельно транспортируется; тогда как кривизна описывает, как касательные пространства катятся по кривой. Конкретно кручение можно описать как тензор, или как векторнозначный 2-форма на коллекторе. Если ∇ - аффинная связность на дифференциальный коллектор, то тензор кручения определяется в терминах векторных полей Икс и Y, от

${displaystyle T(X,Y)=abla _{X}Y-abla _{Y}X-[X,Y]}$

где [Икс,Y] это Скобка Ли векторных полей.

Кручение особенно полезно при изучении геометрии геодезические. Для данной системы параметризованных геодезических можно указать класс аффинных связей, имеющих эти геодезические, но различающихся их кручением. Есть уникальная связь, которая поглощает кручение, обобщая Леви-Чивита связь в другие, возможно, неметрические ситуации (например, Финслерова геометрия ). Разница между связью с кручением и соответствующей связью без кручения - это тензор, называемый тензор искривления. Поглощение кручения также играет фундаментальную роль в изучении G-структуры и Метод эквивалентности Картана. Кручение также полезно при изучении непараметризованных семейств геодезических с помощью связанных проективная связь. В теория относительности, такие идеи были реализованы в виде Теория Эйнштейна – Картана.

Тензор кручения

Позволять M - многообразие с аффинная связь на касательный пучок (он же ковариантная производная ) ∇. В тензор кручения (иногда называют Картан (кручение) тензор) из является векторнозначная 2-форма определено на векторные поля Икс и Y от

${displaystyle T(X,Y):=abla _{X}Y-abla _{Y}X-[X,Y]}$

где [Икс, Y] это Кронштейн лжи двух векторных полей. Посредством Правило Лейбница, Т(fX, Y) = Т(Икс, fY) = fT(Икс, Y) для любого гладкая функция ж. Так Т является тензорный, несмотря на определение в терминах связь который является дифференциальным оператором первого порядка: он дает 2-форму на касательных векторах, в то время как ковариантная производная определена только для векторных полей.

Компоненты тензора кручения

Компоненты тензора кручения ${displaystyle T^{c}{}_{ab}}$ с точки зрения местного основа (е₁, ..., е_п) из разделы касательного пучка можно получить, задав Икс = е_я, Y = е_j и вводя коэффициенты коммутатора γ^k_ijе_k := [е_я, е_j]. Тогда компоненты кручения равны

${displaystyle T^{k}{}_{ij}:=Gamma ^{k}{}_{ij}-Gamma ^{k}{}_{ji}-gamma ^{k}{}_{ij},quad i,j,k=1,2,ldots ,n.}$

Вот ${displaystyle {Gamma ^{k}}_{ij}}$ являются Символы Кристоффеля определение соединения. Если основа голономный то скобки Ли исчезают, ${displaystyle gamma ^{k}{}_{ij}=0}$. Так ${displaystyle T^{k}{}_{ij}=2Gamma ^{k}{}_{[ij]}}$. В частности (см. Ниже), в то время как геодезические уравнения определяют симметричную часть связи, тензор кручения определяет антисимметричную часть.

Торсионная форма

В форма кручения, альтернативная характеристика кручения, применяется к комплект кадров FM коллектора M. Эта основной пакет оснащен форма подключения ω, а gl(п) -значная однозначная форма, которая отображает вертикальные векторы на генераторы правого действия в gl(п) и эквивариантно сплетает правое действие GL (п) на касательном расслоении к FM с присоединенное представительство на gl(п). Комплект рамок также имеет каноническая одноформа θ, со значениями в р^п, определенный в кадре ты ∈ F_ИксM (рассматривается как линейная функция ты : р^п → Т_ИксM) от

${displaystyle heta (X)=u^{-1}(pi _{*}(X))}$

где π : FM → M - отображение проекции для главного расслоения и π ∗ это его толчок вперед. Тогда форма кручения будет

${displaystyle Theta =d heta +omega wedge heta .}$

Эквивалентно = Dθ, где D это внешняя ковариантная производная определяется подключением.

Форма кручения - это (горизонтальная) тензорная форма со значениями в р^п, что означает, что при правильном действии г ∈ Gl (п) это трансформирует эквивалентно:

${displaystyle R_{g}^{*}Theta =g^{-1}cdot Theta }$

где г действует с правой стороны через свой присоединенное представительство на р^п.

Торсионная форма в раме

Смотрите также: форма подключения

Форма кручения может быть выражена через форма подключения на базовом коллекторе M, записанные в конкретном фрейме касательного расслоения (е₁, ..., е_п). Форма связи выражает внешнюю ковариантную производную этих основных секций:

${displaystyle Dmathbf {e} _{i}=mathbf {e} _{j}{omega ^{j}}_{i}.}$

В форма припоя для касательного расслоения (относительно этого репера) является двойная основа θ^я ∈ T^∗M из е_я, так что θ^я(е_j) = δ^я_j (в Дельта Кронекера ). Тогда торсионная 2-форма имеет компоненты

${displaystyle Theta ^{k}=d heta ^{k}+{omega ^{k}}_{j}wedge heta ^{j}={T^{k}}_{ij} heta ^{i}wedge heta ^{j}.}$

В крайнем правом выражении

${displaystyle {T^{k}}_{ij}= heta ^{k}left(abla _{mathbf {e} _{i}}mathbf {e} _{j}-abla _{mathbf {e} _{j}}mathbf {e} _{i}-left[mathbf {e} _{i},mathbf {e} _{j}ight]ight)}$

являются каркасными компонентами тензора кручения, как указано в предыдущем определении.

Нетрудно показать, что Θ^я трансформируется тензорно в том смысле, что если другой кадр

${displaystyle { ilde {mathbf {e} }}_{i}=mathbf {e} _{j}{g^{j}}_{i}}$

для некоторой обратимой матричнозначной функции (г^j_я), тогда

${displaystyle { ilde {Theta }}^{i}={left(g^{-1}ight)^{i}}_{j}Theta ^{j}.}$

Другими словами, Θ - тензор типа (1, 2) (несущие один контравариантный и два ковариантных индекса).

В качестве альтернативы, форма припоя может быть охарактеризована независимо от рамки как TMоднозначная форма θ на M соответствующее тождественному эндоморфизму касательного расслоения при изоморфизме двойственности Конец (TM) ≈ TM ⊗ Т^∗M. Тогда кручение 2-форма представляет собой сечение

${displaystyle Theta in { ext{Hom}}left({ extstyle igwedge }^{2}{m {T}}M,{m {T}}Might)}$

данный

${displaystyle Theta =D heta ,}$

где D это внешняя ковариантная производная. (Увидеть форма подключения для получения дополнительной информации.)

Неприводимое разложение

Тензор кручения можно разложить на два несводимый части: а бесследный часть и другая часть, которая содержит условия трассировки. С использованием индексное обозначение, след Т дан кем-то

${displaystyle a_{i}=T^{k}{}_{ik},}$

а бесследная часть

${displaystyle B^{i}{}_{jk}=T^{i}{}_{jk}+{frac {1}{n-1}}delta ^{i}{}_{j}a_{k}-{frac {1}{n-1}}delta ^{i}{}_{k}a_{j},}$

где δ^я_j это Дельта Кронекера.

По сути, каждый

${displaystyle Tin operatorname {Hom} left({ extstyle igwedge }^{2}{m {T}}M,{m {T}}Might).}$

След Т, тр Т, является элементом T^∗M определяется следующим образом. Для каждого фиксированного вектора Икс ∈ TM, Т определяет элемент Т(Икс) из Hom (TM, ТM) через

${displaystyle T(X):Ymapsto T(Xwedge Y).}$

Тогда (tr Т)(Икс) определяется как след этого эндоморфизма. Это,

${displaystyle (operatorname {tr} ,T)(X){stackrel { ext{def}}{=}}operatorname {tr} (T(X)).}$

Бесследная часть Т затем

${displaystyle T_{0}=T-{frac {1}{n-1}}iota (operatorname {tr} ,T),}$

где ι обозначает интерьерный продукт.

Кривизна и тождества Бьянки

В тензор кривизны отображения является отображением ТM × тM → Конец (TM) определены на векторных полях Икс, Y, и Z от

${displaystyle R(X,Y)Z=abla _{X}abla _{Y}Z-abla _{Y}abla _{X}Z-abla _{[X,Y]}Z.}$

Для векторов в точке это определение не зависит от того, как векторы расширяются на векторные поля вдали от точки (таким образом, он определяет тензор, во многом аналогичный кручению).

В Бьянки идентичности Свяжите кривизну и кручение следующим образом.^[1] Позволять ${displaystyle {mathfrak {S}}}$ обозначить циклическая сумма над Икс, Y, и Z. Например,

${displaystyle {mathfrak {S}}left(Rleft(X,Yight)Zight):=R(X,Y)Z+R(Y,Z)X+R(Z,X)Y.}$

Тогда имеют место следующие тождества

1. Первая личность Бьянки:

   ${displaystyle {mathfrak {S}}left(Rleft(X,Yight)Zight)={mathfrak {S}}left(Tleft(T(X,Y),Zight)+left(abla _{X}Tight)left(Y,Zight)ight)}$

2. Вторая личность Бьянки:

   ${displaystyle {mathfrak {S}}left(left(abla _{X}Right)left(Y,Zight)+Rleft(Tleft(X,Yight),Zight)ight)=0}$

Форма кривизны и тождества Бьянки

В форма кривизны это gl(п) -значная 2-форма

${displaystyle Omega =Domega =domega +omega wedge omega }$

где опять же D обозначает внешнюю ковариантную производную. В терминах формы кривизны и формы кручения соответствующие тождества Бианки имеют вид^[2]

1. ${displaystyle DTheta =Omega wedge heta }$
2. ${displaystyle DOmega =0.}$

Кроме того, можно восстановить тензоры кривизны и кручения по формам кривизны и кручения следующим образом. В какой-то момент ты из F_ИксM, надо^[3]

${displaystyle {egin{aligned}R(X,Y)Z&=uleft(2Omega left(pi ^{-1}(X),pi ^{-1}(Y)ight)ight)left(u^{-1}(Z)ight),T(X,Y)&=uleft(2Theta left(pi ^{-1}(X),pi ^{-1}(Y)ight)ight),end{aligned}}}$

где снова ты : р^п → Т_ИксM - функция, задающая фрейм в слое, а выбор подъема векторов через π⁻¹ не имеет значения, поскольку формы кривизны и кручения горизонтальны (они обращаются в нуль на неоднозначных вертикальных векторах).

Характеристики и интерпретации

В этом разделе M считается дифференцируемое многообразие, и ∇ a ковариантная производная на касательный пучок из M если иное не отмечено.

Скручивание систем отсчета

В классическом дифференциальная геометрия кривых, то Формулы Френе-Серре описывать, как конкретная движущаяся система отсчета (система Френе-Серре) повороты по кривой. Физически кручение соответствует угловой момент идеализированного верх указывая по касательной к кривой.

Случай многообразия с (метрической) связностью допускает аналогичную интерпретацию. Предположим, что наблюдатель движется по геодезической для соединения. Такой наблюдатель обычно считается инерционный поскольку они не испытывают ускорение. Предположим, что дополнительно наблюдатель несет с собой систему жестких прямых измерительных стержней (a система координат ). Каждый стержень представляет собой прямой отрезок; а геодезический. Предположим, что каждый стержень параллельно транспортируется по траектории. Дело в том, что эти стержни физически нес по траектории означает, что они Лгут, или размножаются так, чтобы Производная Ли каждого стержня по касательной обращается в нуль. Однако они могут испытывать крутящий момент (или скручивающие силы), аналогичный крутящему моменту, ощущаемому верхней частью рамы Френе-Серре. Эта сила измеряется кручением.

Точнее, предположим, что наблюдатель движется по геодезической траектории γ(т) и несет по себе мерный стержень. Стержень сметает поверхность, когда наблюдатель движется по траектории. Есть естественные координаты (т, Икс) вдоль этой поверхности, где т - время параметра, затраченное наблюдателем, и Икс - положение вдоль измерительной рейки. Условие того, что касательная к стержню должна быть параллельна перенесенной вдоль кривой, имеет вид

${displaystyle left.abla _{frac {partial }{partial t}}{frac {partial }{partial x}}ight|_{x=0}=0.}$

Следовательно, кручение задается формулой

${displaystyle left.Tleft({frac {partial }{partial x}},{frac {partial }{partial t}}ight)ight|_{x=0}=left.abla _{frac {partial }{partial x}}{frac {partial }{partial t}}ight|_{x=0}.}$

Если это не ноль, то отмеченные точки на стержне ( Икс = константа кривые) начертит спирали вместо геодезических. Они будут стремиться вращаться вокруг наблюдателя. Обратите внимание, что для этого аргумента не обязательно, чтобы ${displaystyle gamma (t)}$ геодезическая. Подойдет любая кривая.

Эта интерпретация кручения играет роль в теории телепараллелизм, также известен как Теория Эйнштейна – Картана, альтернативная формулировка теория относительности.

Кручение нити

В материаловедение, и особенно теория упругости, идеи кручения также играют важную роль. Одна из задач моделирует рост лоз, фокусируясь на вопросе о том, как лозы могут вращаться вокруг предметов.^[4] Сама лоза моделируется как пара упругих нитей, скрученных друг вокруг друга. В состоянии минимизации энергии лоза естественным образом растет в форме спираль. Но лозу также можно растянуть, чтобы максимально увеличить ее протяженность (или длину). В этом случае скручивание лозы связано с кручением пары нитей (или, что то же самое, с кручением поверхности ленты, соединяющей нити), и отражает разницу между максимизирующей длину (геодезической) конфигурацией лозы. и его энергосберегающая конфигурация.

Кручение и завихренность

В динамика жидкостей, кручение естественным образом связано с вихревые линии.

Геодезические и поглощение кручения

Предположим, что γ(т) - кривая на M. потом γ является аффинно параметризованная геодезическая при условии, что

${displaystyle abla _{{dot {gamma }}(t)}{dot {gamma }}(t)=0}$

за все время т в области γ. (Здесь точка означает дифференцирование по т, который связывает с γ касательный вектор, указывающий вдоль нее.) Каждая геодезическая однозначно определяется своим начальным касательным вектором в момент времени т = 0, ${displaystyle {dot {gamma }}(0)}$.

Одно применение кручения соединения включает геодезический спрей связи: примерно семейство всех аффинно параметризованных геодезических. Кручение - это неоднозначность классификации соединений с точки зрения их геодезических брызг:

• Две связи ∇ и ∇ ′, которые имеют одинаковые аффинно параметризованные геодезические (то есть один и тот же геодезический спрей), отличаются только кручением.^[5]

Точнее, если Икс и Y - пара касательных векторов в точке п ∈ M, тогда пусть

${displaystyle Delta (X,Y)=abla _{X}{ ilde {Y}}-abla '_{X}{ ilde {Y}}}$

- разность двух связей, вычисленная в терминах произвольных расширений Икс и Y далеко от п. Посредством Правило произведения Лейбница, видно, что Δ на самом деле не зависит от того, как Икс и Y′ расширены (поэтому он определяет тензор на M). Позволять S и А - симметричная и знакопеременная части Δ:

${displaystyle S(X,Y)={ frac {1}{2}}left(Delta (X,Y)+Delta (Y,X)ight)}$

${displaystyle A(X,Y)={ frac {1}{2}}left(Delta (X,Y)-Delta (Y,X)ight)}$

потом

• ${displaystyle A(X,Y)={ frac {1}{2}}left(T(X,Y)-T'(X,Y)ight)}$ - разность тензоров кручения.
• ∇ и ∇ ′ определяют одни и те же семейства аффинно параметризованных геодезических тогда и только тогда, когда S(Икс, Y) = 0.

Другими словами, симметричная часть разности двух соединений определяет, имеют ли они одинаковые параметризованные геодезические, тогда как скошенная часть разности определяется относительными скручиваниями двух соединений. Еще одно последствие:

• Для любой аффинной связности ∇ существует единственная без кручения связность ∇ ′ с тем же семейством аффинно параметризованных геодезических. Разница между этими двумя связями на самом деле есть тензор, тензор искривления.

Это обобщение основная теорема римановой геометрии к общим аффинным (возможно, неметрическим) связям. Выделение уникального соединения без кручения, подчиненного семейству параметризованных геодезических, известно как поглощение кручения, и это один из этапов Метод эквивалентности Картана.

Смотрите также

• Конторсионный тензор
• Curtright Field
• Тензор кривизны
• Леви-Чивита связь
• Коэффициент кручения
• Кручение кривых

Заметки

1. Кобаяси и Номидзу 1963, Том 1, Предложение III.5.2.
2. Кобаяси и Номидзу 1963, Том 1, III.2.
3. Кобаяси и Номидзу 1963, Том 1, III.5.
4. Goriely et al. 2006 г..
5. См. Spivak (1999), том II, добавление 1 к главе 6. См. Также Bishop and Goldberg (1980), раздел 5.10.

использованная литература

• Бишоп, Р.; Гольдберг, С.И. (1980), Тензорный анализ на многообразиях, Dover Publications
• Картан, Э. (1923), "Sur les varétés à affine affine, et la théorie de la relativité généralisée (première partie)", Научные Анналы Высшей Нормальной Школы, 40: 325–412
• Картан, Э. (1924), "Sur les varétés à connected affine, et la théorie de la relativité généralisée (première partie) (Люкс)", Научные Анналы Высшей Нормальной Школы, 41: 1–25
• Эльзановский, М .; Эпштейн, М. (1985), "Геометрическая характеристика гиперупругой однородности", Архив рациональной механики и анализа, 88 (4): 347–357, Bibcode:1985ArRMA..88..347E, Дои:10.1007 / BF00250871
• Гориели, А .; Робертсон-Тесси, М .; Tabor, M .; Вандивер, Р. (2006), «Модели упругого роста» (PDF), БИОМАТ-2006, Springer-Verlag, заархивировано из оригинал (PDF) 29 декабря 2006 г.
• Hehl, F.W .; von der Heyde, P .; Kerlick, G.D .; Нестер, Дж. М. (1976), «Общая теория относительности со спином и кручением: основы и перспективы», Ред. Мод. Phys., 48, Bibcode:1976RvMP ... 48..393H, Дои:10.1103 / revmodphys.48.393, 393.
• Киббл, T.W.B. (1961), «Лоренц-инвариантность и гравитационное поле», J. Math. Phys., 2: 212–221, Bibcode:1961JMP ..... 2..212K, Дои:10.1063/1.1703702, 212.
• Кобаяши, С .; Номидзу, К. (1963), Основы дифференциальной геометрии, 1 и 2 (новая редакция), Wiley-Interscience (опубликовано в 1996 г.), ISBN  0-471-15733-3
• Поплавски, Н.Дж. (2009), Пространство-время и поля, arXiv:0911.0334, Bibcode:2009arXiv0911.0334P
• Schouten, J.A. (1954), Расчет Риччи, Springer-Verlag
• Шредингер, Э. (1950), Пространственно-временная структура, Издательство Кембриджского университета
• Sciama, D.W. (1964), «Физическая структура общей теории относительности», Ред. Мод. Phys., 36: 463, Bibcode:1964РвМП ... 36..463С, Дои:10.1103 / RevModPhys.36.463
• Спивак, М. (1999), Подробное введение в дифференциальную геометрию, Том II, Хьюстон, Техас: опубликовать или погибнуть, ISBN  0-914098-71-3