Конторсионный тензор - Contorsion tensor

В тензор искривления в дифференциальная геометрия разница между связь с и без кручение в этом. Обычно это появляется при изучении вращать связи. Так, например, vielbein вместе со спиновой связью, при условии исчезновения кручения, дает описание гравитации Эйнштейна. За суперсимметрия, та же самая связь исчезающего кручения дает (полевые уравнения) 11-мерного супергравитация.^[1] То есть тензор скручивания вместе со связью становится одним из динамических объектов теории, понижая метрику до второстепенной, производной роли.

Устранение кручения в соединении называется поглощение кручения, и является одним из шагов Метод эквивалентности Картана для установления эквивалентности геометрических структур.

Определение в метрической геометрии

В метрическая геометрия тензор конторсии выражает разницу между метрическая совместимость аффинная связь с Символ Кристоффеля ${\displaystyle \Gamma _{ij}{}^{k}}$ и уникальный без кручения Леви-Чивита связь для той же метрики.

Тензор конторсии ${\displaystyle K_{kji}}$ определяется в терминах тензор кручения ${\displaystyle {T^{l}}_{ij}={\Gamma ^{l}}_{ij}-{\Gamma ^{l}}_{ji}}$ как (до знака, см. ниже)

${\displaystyle K_{ijk}={\tfrac {1}{2}}(T_{ijk}+T_{jki}-T_{kij})}$

где индексы повышаются и понижаются по отношению к метрике:

${\displaystyle T_{ijk}\equiv g_{il}{T^{l}}_{jk}}$.

Причина неочевидной суммы в определении тензора искажения связана с разностью сумм, которая обеспечивает совместимость метрик. Тензор кручения антисимметричен по первым двум индексам, в то время как сам тензор кручения антисимметричен по двум последним индексам; это показано ниже.

${\displaystyle K_{ijk}={\tfrac {1}{2}}(T_{ijk}+T_{jki}-T_{kij})}$

${\displaystyle K_{(ij)k}={\tfrac {1}{2}}{\bigl [}{\tfrac {1}{2}}(T_{ijk}+T_{jik})+{\tfrac {1}{2}}(T_{jki}+T_{ikj})-{\tfrac {1}{2}}(T_{kij}+T_{kji}){\bigr ]}}$

${\displaystyle ={\tfrac {1}{4}}(T_{ijk}+T_{jik}+T_{jki}+T_{ikj}-T_{kij}-T_{kji})}$

${\displaystyle =0}$

Аффинное соединение, совместимое с полной метрикой, можно записать как:

${\displaystyle {\Gamma ^{l}}_{ij}={\bar {\Gamma }}^{l}{}{}_{ij}+{K^{l}}_{ij},}$

Где ${\displaystyle {\bar {\Gamma }}^{l}{}{}_{ji}}$ соединение Леви-Чивита без кручения:

${\displaystyle {\bar {\Gamma }}^{l}{}{}_{ji}={\tfrac {1}{2}}g^{lk}(\partial _{i}g_{jk}+\partial _{j}g_{ki}-\partial _{k}g_{ij})}$

Определение в аффинной геометрии

В аффинная геометрия, у вас нет ни метрики, ни связи с метрикой, поэтому вы не вправе повышать или понижать индексы по запросу. Еще можно добиться аналогичного эффекта, используя форма припоя, позволяя связать связку с тем, что происходит в ее базовом пространстве. Это явно геометрическая точка зрения, тензоры теперь являются геометрическими объектами в вертикальные и горизонтальные пучки из пучок волокон, вместо индексированных алгебраических объектов, определенных только в базовом пространстве. В этом случае можно построить тензор конторсии, живущий как однотипный на касательном расслоении.

Напомним, что кручение связи ${\displaystyle \omega }$ можно выразить как

${\displaystyle \Theta _{\omega }=D\theta =d\theta +\omega \wedge \theta }$

куда ${\displaystyle \theta }$ это форма припоя (тавтологический однообразный ). Нижний индекс ${\displaystyle \omega }$ служит лишь напоминанием о том, что этот тензор кручения получен из связи.

По аналогии с понижением индекса тензора кручения в предыдущем разделе, можно проделать аналогичную операцию с формой припоя и построить тензор

${\displaystyle \Sigma _{\omega }(X,Y,Z)=\langle \theta (Z),\Theta _{\omega }(X,Y)\rangle +\langle \theta (Y),\Theta _{\omega }(Z,X)\rangle -\langle \theta (X),\Theta _{\omega }(Y,Z)\rangle }$

Здесь ${\displaystyle \langle ,\rangle }$ - скалярное произведение. Этот тензор можно выразить как^[2]

${\displaystyle \Sigma _{\omega }(X,Y,Z)=2\langle \theta (Z),\sigma _{\omega }(X)\theta (Y)\rangle }$

Количество ${\displaystyle \sigma _{\omega }}$ это искривленная форма и является точно что нужно добавить к произвольной связности, чтобы получить связность Леви-Чивита без кручения. То есть, учитывая Связь Эресманна ${\displaystyle \omega }$, есть еще одна связь ${\displaystyle \omega +\sigma _{\omega }}$ то есть без кручения.

Обнуление кручения тогда эквивалентно тому, что

${\displaystyle \Theta _{\omega +\sigma _{\omega }}=0}$

или же

${\displaystyle d\theta =-(\omega +\sigma _{\omega })\wedge \theta }$

Это можно рассматривать как уравнение поля связывая динамику связи с динамикой тензора конторсии.

Вывод

Один из способов быстро вывести аффинную связность, совместимую с метрикой, - это повторить идею разности суммы и разницы, использованную при выводе связности Леви – Чивиты, но не принимать кручение равным нулю. Ниже приводится вывод.

Соглашение о выводе (выберите определение коэффициентов связи таким образом. Мотивация связана с формами связи один в теории калибровки):

${\displaystyle \nabla _{i}v^{j}=\partial _{i}v^{j}+{\Gamma ^{j}}_{ki}v^{k},}$

${\displaystyle \nabla _{i}\omega _{j}=\partial _{i}\omega _{j}-{\Gamma ^{k}}_{ji}\omega _{k},}$

Начнем с условия совместимости с метрикой:

${\displaystyle \nabla _{i}g_{jk}=\partial _{i}g_{jk}-{\Gamma ^{l}}_{ji}g_{lk}-{\Gamma ^{l}}_{ki}g_{jl}=0,}$

Теперь мы используем разность суммы-суммы (циклически перебираем индексы по условию):

${\displaystyle \partial _{i}g_{jk}-{\Gamma ^{l}}_{ji}g_{lk}-{\Gamma ^{l}}_{ki}g_{jl}+\partial _{j}g_{ki}-{\Gamma ^{l}}_{kj}g_{li}-{\Gamma ^{l}}_{ij}g_{kl}-\partial _{k}g_{ij}+{\Gamma ^{l}}_{ik}g_{lj}+{\Gamma ^{l}}_{jk}g_{il}=0}$

${\displaystyle \partial _{i}g_{jk}+\partial _{j}g_{ki}-\partial _{k}g_{ij}-\Gamma _{kji}-\Gamma _{jki}-\Gamma _{ikj}-\Gamma _{kij}+\Gamma _{jik}+\Gamma _{ijk}=0}$

Теперь воспользуемся приведенным ниже определением тензора кручения (для голономной системы отсчета), чтобы переписать связь:

${\displaystyle {T^{k}}_{ij}={\Gamma ^{k}}_{ij}-{\Gamma ^{k}}_{ji}}$

${\displaystyle \Gamma _{kij}=T_{kij}+\Gamma _{kji}}$

Обратите внимание, что это определение кручения имеет знак, противоположный обычному определению при использовании вышеуказанного соглашения ${\displaystyle \nabla _{i}v^{j}=\partial _{i}v^{j}+{\Gamma ^{j}}_{ki}v^{k}}$ для нижнего индекса порядка коэффициентов связи, т.е.он имеет знак, противоположный знаку безкоординатного определения ${\displaystyle \Theta _{\omega }=D\theta }$ в разделе ниже, посвященном геометрии. Устранение этого несоответствия (которое, кажется, часто встречается в литературе) привело бы к тензорному искажению с противоположным знаком.

Подставляем определение тензора кручения в то, что у нас есть:

${\displaystyle \partial _{i}g_{jk}+\partial _{j}g_{ki}-\partial _{k}g_{ij}-(T_{kji}+\Gamma _{kij})-\Gamma _{jki}-(T_{ikj}+\Gamma _{ijk})-\Gamma _{kij}+(T_{jik}+\Gamma _{jki})+\Gamma _{ijk}=0}$

Очистите его и объедините похожие термины

${\displaystyle 2\Gamma _{kij}=\partial _{i}g_{jk}+\partial _{j}g_{ki}-\partial _{k}g_{ij}-T_{kji}-T_{ikj}+T_{jik}}$

Члены кручения объединяются, чтобы создать объект, который трансформируется тензорно. Поскольку эти термины комбинируются вместе метрически совместимым образом, им дано имя, тензор конторсиона, который определяет кососимметричную часть метрической совместимой аффинной связности.

Мы определим его здесь, исходя из того, что он соответствует индексам левой части уравнения выше.

${\displaystyle K_{kij}={\tfrac {1}{2}}(-T_{kji}-T_{ikj}+T_{jik})}$

Очистка с помощью антисимметрии тензора кручения дает то, что мы определим как тензор конторсии:

${\displaystyle K_{kij}={\tfrac {1}{2}}(T_{kij}+T_{ijk}-T_{jki})}$

Подставляя это обратно в наше выражение, мы получаем:

${\displaystyle 2\Gamma _{kij}=\partial _{i}g_{jk}+\partial _{j}g_{ki}-\partial _{k}g_{ij}+2K_{kij}}$

Теперь выделите коэффициенты связи и сгруппируйте члены кручения вместе:

${\displaystyle {\Gamma ^{l}}_{ij}={\tfrac {1}{2}}g^{lk}(\partial _{i}g_{jk}+\partial _{j}g_{ki}-\partial _{k}g_{ij})+{\tfrac {1}{2}}g^{lk}(2K_{kij})}$

Напомним, что первый член с частными производными - это выражение связи Леви-Чивита, часто используемое релятивистами.

Следуя примеру, определим следующее как связность Леви-Чивита без кручения:

${\displaystyle {\bar {\Gamma }}^{l}{}{}_{ij}={\tfrac {1}{2}}g^{lk}(\partial _{i}g_{jk}+\partial _{j}g_{ki}-\partial _{k}g_{ij})}$

Тогда мы имеем, что аффинное соединение, совместимое с полной метрикой, теперь может быть записано как:

${\displaystyle {\Gamma ^{l}}_{ij}={\bar {\Gamma }}^{l}{}{}_{ij}+{K^{l}}_{ij},}$

Связь с телепараллелизмом

В теории телепараллелизм, встречается связь, Связь Weitzenböck, который является плоским (исчезающая кривизна Римана), но имеет ненулевое кручение. Плоскостность - это именно то, что позволяет создавать параллельные поля кадра. Эти понятия можно распространить на супермногообразия.^[3]

Смотрите также

• Тензор энергии-импульса Белинфанте – Розенфельда

Рекомендации

1. Урс Шрайбер "11d Гравитация только из-за ограничения кручения " (2016)
2. Дэвид Бликер "Калибровочная теория и вариационные принципы "(1982) D. Reidel Publishing (См. Теорему 6.2.5)
3. Брайс ДеВитт, Супермногообразия, (1984) Издательство Кембриджского университета ISBN  0521 42377 5 (См. Подраздел «Дальний параллелизм» раздела 2.7.)