Функция Грина (теория многих тел) - Greens function (many-body theory) - Wikipedia

В теория многих тел, период, термин Функция Грина (или же Зеленая функция) иногда используется как синоним корреляционная функция, но относится конкретно к корреляторам полевые операторы или же операторы создания и уничтожения.

Название происходит от Функции Грина используется для решения неоднородных дифференциальные уравнения, с которым они слабо связаны. (В частности, только двухточечные «функции Грина» в случае невзаимодействующей системы являются функциями Грина в математическом смысле; линейный оператор, который они инвертируют, является Гамильтонов оператор, которое в случае невзаимодействия квадратично по полям.)

Пространственно однородный корпус

Основные определения

Мы рассматриваем теорию многих тел с полевым оператором (оператор уничтожения, записанный в позиционном базисе) ${\displaystyle \psi (\mathbf {x} )}$.

В Операторы Гейзенберга можно записать в терминах Операторы Шредингера в качестве

${\displaystyle \psi (\mathbf {x} ,t)=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} Kt}\psi (\mathbf {x} )\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} Kt},}$

и оператор создания ${\displaystyle {\bar {\psi }}(\mathbf {x} ,t)=[\psi (\mathbf {x} ,t)]^{\dagger }}$, куда ${\displaystyle K=H-\mu N}$ это великоканонический Гамильтониан.

Аналогично для мнимое время операторы,

${\displaystyle \psi (\mathbf {x} ,\tau )=\mathrm {e} ^{K\tau }\psi (\mathbf {x} )\mathrm {e} ^{-K\tau }}$

${\displaystyle {\bar {\psi }}(\mathbf {x} ,\tau )=\mathrm {e} ^{K\tau }\psi ^{\dagger }(\mathbf {x} )\mathrm {e} ^{-K\tau }.}$

[Обратите внимание, что оператор создания мнимого времени ${\displaystyle {\bar {\psi }}(\mathbf {x} ,\tau )}$ это не Эрмитово сопряжение оператора аннигиляции ${\displaystyle \psi (\mathbf {x} ,\tau )}$.]

В реальном времени ${\displaystyle 2n}$-точечная функция Грина определяется

${\displaystyle G^{(n)}(1\ldots n\mid 1'\ldots n')=i^{n}\langle T\psi (1)\ldots \psi (n){\bar {\psi }}(n')\ldots {\bar {\psi }}(1')\rangle ,}$

где мы использовали сокращенные обозначения, в которых ${\displaystyle j}$ означает ${\displaystyle (\mathbf {x} _{j},t_{j})}$ и ${\displaystyle j'}$ означает ${\displaystyle (\mathbf {x} _{j}',t_{j}')}$. Оператор ${\displaystyle T}$ обозначает заказ времени, и указывает, что следующие за ним операторы поля должны быть упорядочены так, чтобы их аргументы времени увеличивались справа налево.

В мнимом времени соответствующее определение:

${\displaystyle {\mathcal {G}}^{(n)}(1\ldots n\mid 1'\ldots n')=\langle T\psi (1)\ldots \psi (n){\bar {\psi }}(n')\ldots {\bar {\psi }}(1')\rangle ,}$

куда ${\displaystyle j}$ означает ${\displaystyle \mathbf {x} _{j},\tau _{j}}$. (Переменные мнимого времени ${\displaystyle \tau _{j}}$ ограничены диапазоном от ${\displaystyle 0}$ к обратной температуре ${\displaystyle \beta ={\frac {1}{k_{B}T}}}$.)

Примечание относительно знаков и нормализации, используемых в этих определениях: Знаки функций Грина были выбраны так, чтобы преобразование Фурье двухточечной (${\displaystyle n=1}$) тепловая функция Грина свободной частицы равна

${\displaystyle {\mathcal {G}}(\mathbf {k} ,\omega _{n})={\frac {1}{-\mathrm {i} \omega _{n}+\xi _{\mathbf {k} }}},}$

а запаздывающая функция Грина равна

${\displaystyle G^{\mathrm {R} }(\mathbf {k} ,\omega )={\frac {1}{-(\omega +\mathrm {i} \eta )+\xi _{\mathbf {k} }}},}$

куда

${\displaystyle \omega _{n}={[2n+\theta (-\zeta )]\pi }/{\beta }}$

это Частота мацубары.

На протяжении, ${\displaystyle \zeta }$ является ${\displaystyle +1}$ за бозоны и ${\displaystyle -1}$ за фермионы и ${\displaystyle [\ldots ,\ldots ]=[\ldots ,\ldots ]_{-\zeta }}$ обозначает либо коммутатор или антикоммутатор в зависимости от ситуации.

(Видеть ниже для подробностей.)

Двухточечные функции

Функция Грина с одной парой аргументов (${\displaystyle n=1}$) называется двухточечной функцией, или пропагатор. При наличии как пространственной, так и временной трансляционной симметрии она зависит только от разницы ее аргументов. Преобразование Фурье по пространству и времени дает

${\displaystyle {\mathcal {G}}(\mathbf {x} \tau \mid \mathbf {x} '\tau ')=\int _{\mathbf {k} }d\mathbf {k} {\frac {1}{\beta }}\sum _{\omega _{n}}{\mathcal {G}}(\mathbf {k} ,\omega _{n})\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \mathbf {k} \cdot (\mathbf {x} -\mathbf {x} ')-\mathrm {i} \omega _{n}(\tau -\tau ')},}$

где сумма превышает соответствующую Мацубара частоты (а интеграл включает неявный множитель ${\displaystyle (L/2\pi )^{d}}$, как обычно).

В реальном времени мы будем явно указывать упорядоченную по времени функцию надстрочным индексом T:

${\displaystyle G^{\mathrm {T} }(\mathbf {x} t\mid \mathbf {x} 't')=\int _{\mathbf {k} }d\mathbf {k} \int {\frac {\mathrm {d} \omega }{2\pi }}G^{\mathrm {T} }(\mathbf {k} ,\omega )\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \mathbf {k} \cdot (\mathbf {x} -\mathbf {x} ')-\mathrm {i} \omega (t-t')}.}$

Двухточечная функция Грина в реальном времени может быть записана в терминах «запаздывающих» и «продвинутых» функций Грина, которые, как оказывается, обладают более простыми свойствами аналитичности. Запаздывающие и продвинутые функции Грина определяются

${\displaystyle G^{\mathrm {R} }(\mathbf {x} t\mid \mathbf {x} 't')=-\mathrm {i} \langle [\psi (\mathbf {x} ,t),{\bar {\psi }}(\mathbf {x} ',t')]_{\zeta }\rangle \Theta (t-t')}$

и

${\displaystyle G^{\mathrm {A} }(\mathbf {x} t\mid \mathbf {x} 't')=\mathrm {i} \langle [\psi (\mathbf {x} ,t),{\bar {\psi }}(\mathbf {x} ',t')]_{\zeta }\rangle \Theta (t'-t),}$

соответственно.

Они связаны с упорядоченной по времени функцией Грина соотношением

${\displaystyle G^{\mathrm {T} }(\mathbf {k} ,\omega )=[1+\zeta n(\omega )]G^{\mathrm {R} }(\mathbf {k} ,\omega )-\zeta n(\omega )G^{\mathrm {A} }(\mathbf {k} ,\omega ),}$

куда

${\displaystyle n(\omega )={\frac {1}{\mathrm {e} ^{\beta \omega }-\zeta }}}$

это Бозе-Эйнштейн или же Ферми – Дирак функция распределения.

Мнимое упорядочивание и β-периодичность

Тепловые функции Грина определяются только тогда, когда оба аргумента мнимого времени находятся в пределах диапазона ${\displaystyle 0}$ к ${\displaystyle \beta }$. Двухточечная функция Грина обладает следующими свойствами. (Аргументы позиции или импульса в этом разделе опущены.)

Во-первых, это зависит только от разницы мнимых времен:

${\displaystyle {\mathcal {G}}(\tau ,\tau ')={\mathcal {G}}(\tau -\tau ').}$

Аргумент ${\displaystyle \tau -\tau '}$ разрешено бежать из ${\displaystyle -\beta }$ к ${\displaystyle \beta }$.

Во-вторых, ${\displaystyle {\mathcal {G}}(\tau )}$ является (анти) периодическим относительно сдвигов ${\displaystyle \beta }$. Из-за небольшого размера области, в которой определяется функция, это означает, что

${\displaystyle {\mathcal {G}}(\tau -\beta )=\zeta {\mathcal {G}}(\tau ),}$

за ${\displaystyle 0<\tau <\beta }$. Упорядочение по времени имеет решающее значение для этого свойства, что можно напрямую доказать, используя цикличность операции трассировки.

Эти два свойства позволяют использовать представление преобразования Фурье и его обратное,

${\displaystyle {\mathcal {G}}(\omega _{n})=\int _{0}^{\beta }\mathrm {d} \tau \,{\mathcal {G}}(\tau )\,\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \omega _{n}\tau }.}$

Наконец, обратите внимание, что ${\displaystyle {\mathcal {G}}(\tau )}$ имеет разрыв в ${\displaystyle \tau =0}$; это согласуется с поведением на большом расстоянии ${\displaystyle {\mathcal {G}}(\omega _{n})\sim 1/|\omega _{n}|}$.

Спектральное представление

В пропагаторы в реальном и мнимом времени могут быть связаны со спектральной плотностью (или спектральным весом), задаваемой формулой

${\displaystyle \rho (\mathbf {k} ,\omega )={\frac {1}{\mathcal {Z}}}\sum _{\alpha ,\alpha '}2\pi \delta (E_{\alpha }-E_{\alpha '}-\omega )|\langle \alpha \mid \psi _{\mathbf {k} }^{\dagger }\mid \alpha '\rangle |^{2}\left(\mathrm {e} ^{-\beta E_{\alpha '}}-\zeta \mathrm {e} ^{-\beta E_{\alpha }}\right),}$

где |α⟩ Относится к (многочастичному) собственному состоянию великоканонического гамильтониана ЧАС − мкН, с собственным значением E_α.

Воображаемое время пропагатор тогда дается

${\displaystyle {\mathcal {G}}(\mathbf {k} ,\omega _{n})=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\mathrm {d} \omega '}{2\pi }}{\frac {\rho (\mathbf {k} ,\omega ')}{-\mathrm {i} \omega _{n}+\omega '}}~,}$

и отсталые пропагатор к

${\displaystyle G^{\mathrm {R} }(\mathbf {k} ,\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\mathrm {d} \omega '}{2\pi }}{\frac {\rho (\mathbf {k} ,\omega ')}{-(\omega +\mathrm {i} \eta )+\omega '}},}$

где предел как ${\displaystyle \eta \rightarrow 0^{+}}$ подразумевается.

Расширенный пропагатор задается тем же выражением, но с ${\displaystyle -\mathrm {i} \eta }$ в знаменателе.

Упорядоченную по времени функцию можно найти в терминах ${\displaystyle G^{\mathrm {R} }}$ и ${\displaystyle G^{\mathrm {A} }}$. Как утверждалось выше, ${\displaystyle G^{\mathrm {R} }(\omega )}$ и ${\displaystyle G^{\mathrm {A} }(\omega )}$ обладают простыми свойствами аналитичности: первый (второй) имеет все полюсы и разрывы в нижней (верхней) полуплоскости.

Тепловой пропагатор ${\displaystyle {\mathcal {G}}(\omega _{n})}$ имеет все полюса и разрывы на воображаемом ${\displaystyle \omega _{n}}$ ось.

Спектральная плотность может быть легко найдена из ${\displaystyle G^{\mathrm {R} }}$, с использованием Теорема Сохацкого – Вейерштрасса

${\displaystyle \lim _{\eta \rightarrow 0^{+}}{\frac {1}{x\pm \mathrm {i} \eta }}={P}{\frac {1}{x}}\mp i\pi \delta (x),}$

куда п обозначает Основная часть Коши.Это дает

${\displaystyle \rho (\mathbf {k} ,\omega )=2\mathrm {Im} \,G^{\mathrm {R} }(\mathbf {k} ,\omega ).}$

Кроме того, это означает, что ${\displaystyle G^{\mathrm {R} }(\mathbf {k} ,\omega )}$ подчиняется следующему соотношению между его реальной и мнимой частями:

${\displaystyle \mathrm {Re} \,G^{\mathrm {R} }(\mathbf {k} ,\omega )=-2P\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\mathrm {d} \omega '}{2\pi }}{\frac {\mathrm {Im} \,G^{\mathrm {R} }(\mathbf {k} ,\omega ')}{\omega -\omega '}},}$

куда ${\displaystyle P}$ обозначает главное значение интеграла.

Спектральная плотность подчиняется правилу сумм,

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\mathrm {d} \omega }{2\pi }}\rho (\mathbf {k} ,\omega )=1,}$

который дает

${\displaystyle G^{\mathrm {R} }(\omega )\sim {\frac {1}{|\omega |}}}$

в качестве ${\displaystyle |\omega |\rightarrow \infty }$.

Преобразование Гильберта

Сходство спектральных представлений мнимых функций Грина и функций Грина реального времени позволяет определить функцию

${\displaystyle G(\mathbf {k} ,z)=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\mathrm {d} x}{2\pi }}{\frac {\rho (\mathbf {k} ,x)}{-z+x}},}$

что связано с ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ и ${\displaystyle G^{\mathrm {R} }}$ к

${\displaystyle {\mathcal {G}}(\mathbf {k} ,\omega _{n})=G(\mathbf {k} ,\mathrm {i} \omega _{n})}$

и

${\displaystyle G^{\mathrm {R} }(\mathbf {k} ,\omega )=G(\mathbf {k} ,\omega +\mathrm {i} \eta ).}$

Аналогичное выражение, очевидно, справедливо для ${\displaystyle G^{\mathrm {A} }}$.

Связь между ${\displaystyle G(\mathbf {k} ,z)}$ и ${\displaystyle \rho (\mathbf {k} ,x)}$ называется Преобразование Гильберта.

Доказательство спектрального представления

Мы демонстрируем доказательство спектрального представления пропагатора в случае тепловой функции Грина, определяемой как

${\displaystyle {\mathcal {G}}(\mathbf {x} ,\tau \mid \mathbf {x} ',\tau ')=\langle T\psi (\mathbf {x} ,\tau ){\bar {\psi }}(\mathbf {x} ',\tau ')\rangle .}$

Из-за трансляционной симметрии необходимо учитывать только ${\displaystyle {\mathcal {G}}(\mathbf {x} ,\tau \mid \mathbf {0} ,0)}$ за ${\displaystyle \tau >0}$, данный

${\displaystyle {\mathcal {G}}(\mathbf {x} ,\tau \mid \mathbf {0} ,0)={\frac {1}{\mathcal {Z}}}\sum _{\alpha '}\mathrm {e} ^{-\beta E_{\alpha '}}\langle \alpha '\mid \psi (\mathbf {x} ,\tau ){\bar {\psi }}(\mathbf {0} ,0)\mid \alpha '\rangle .}$

Вставка полного набора собственных состояний дает

${\displaystyle {\mathcal {G}}(\mathbf {x} ,\tau |\mathbf {0} ,0)={\frac {1}{\mathcal {Z}}}\sum _{\alpha ,\alpha '}\mathrm {e} ^{-\beta E_{\alpha '}}\langle \alpha '\mid \psi (\mathbf {x} ,\tau )\mid \alpha \rangle \langle \alpha \mid {\bar {\psi }}(\mathbf {0} ,0)\mid \alpha '\rangle .}$

С ${\displaystyle |\alpha \rangle }$ и ${\displaystyle |\alpha '\rangle }$ являются собственными состояниями ${\displaystyle H-\mu N}$, операторы Гейзенберга можно переписать в терминах операторов Шредингера, давая

${\displaystyle {\mathcal {G}}(\mathbf {x} ,\tau |\mathbf {0} ,0)={\frac {1}{\mathcal {Z}}}\sum _{\alpha ,\alpha '}\mathrm {e} ^{-\beta E_{\alpha '}}\mathrm {e} ^{\tau (E_{\alpha '}-E_{\alpha })}\langle \alpha '\mid \psi (\mathbf {x} )\mid \alpha \rangle \langle \alpha \mid \psi ^{\dagger }(\mathbf {0} )\mid \alpha '\rangle .}$

Затем выполнение преобразования Фурье дает

${\displaystyle {\mathcal {G}}(\mathbf {k} ,\omega _{n})={\frac {1}{\mathcal {Z}}}\sum _{\alpha ,\alpha '}\mathrm {e} ^{-\beta E_{\alpha '}}{\frac {1-\zeta \mathrm {e} ^{\beta (E_{\alpha '}-E_{\alpha })}}{-\mathrm {i} \omega _{n}+E_{\alpha }-E_{\alpha '}}}\int _{\mathbf {k} '}d\mathbf {k} '\langle \alpha \mid \psi (\mathbf {k} )\mid \alpha '\rangle \langle \alpha '\mid \psi ^{\dagger }(\mathbf {k} ')\mid \alpha \rangle .}$

Сохранение моментума позволяет записать последний член в виде (с точностью до возможных коэффициентов объема)

${\displaystyle |\langle \alpha '\mid \psi ^{\dagger }(\mathbf {k} )\mid \alpha \rangle |^{2},}$

что подтверждает выражения для функций Грина в спектральном представлении.

Правило сумм можно доказать, рассматривая математическое ожидание коммутатора,

${\displaystyle 1={\frac {1}{\mathcal {Z}}}\sum _{\alpha }\langle \alpha \mid \mathrm {e} ^{-\beta (H-\mu N)}[\psi _{\mathbf {k} },\psi _{\mathbf {k} }^{\dagger }]_{-\zeta }\mid \alpha \rangle ,}$

а затем вставляем полный набор собственных состояний в оба члена коммутатора:

${\displaystyle 1={\frac {1}{\mathcal {Z}}}\sum _{\alpha ,\alpha '}\mathrm {e} ^{-\beta E_{\alpha }}\left(\langle \alpha \mid \psi _{\mathbf {k} }\mid \alpha '\rangle \langle \alpha '\mid \psi _{\mathbf {k} }^{\dagger }\mid \alpha \rangle -\zeta \langle \alpha \mid \psi _{\mathbf {k} }^{\dagger }\mid \alpha '\rangle \langle \alpha '\mid \psi _{\mathbf {k} }\mid \alpha \rangle \right).}$

Замена меток в первом термине дает

${\displaystyle 1={\frac {1}{\mathcal {Z}}}\sum _{\alpha ,\alpha '}\left(\mathrm {e} ^{-\beta E_{\alpha '}}-\zeta \mathrm {e} ^{-\beta E_{\alpha }}\right)|\langle \alpha \mid \psi _{\mathbf {k} }^{\dagger }\mid \alpha '\rangle |^{2}~,}$

что и есть результат интеграции ρ.

Случай невзаимодействия

В невзаимодействующем случае ${\displaystyle \psi _{\mathbf {k} }^{\dagger }\mid \alpha '\rangle }$ является собственным состоянием с (большой канонической) энергией ${\displaystyle E_{\alpha '}+\xi _{\mathbf {k} }}$, куда ${\displaystyle \xi _{\mathbf {k} }=\epsilon _{\mathbf {k} }-\mu }$ - одночастичное дисперсионное соотношение, измеренное по химическому потенциалу. Таким образом, спектральная плотность становится

${\displaystyle \rho _{0}(\mathbf {k} ,\omega )={\frac {1}{\mathcal {Z}}}\,2\pi \delta (\xi _{\mathbf {k} }-\omega )\sum _{\alpha '}\langle \alpha '\mid \psi _{\mathbf {k} }\psi _{\mathbf {k} }^{\dagger }\mid \alpha '\rangle (1-\zeta \mathrm {e} ^{-\beta \xi _{\mathbf {k} }})\mathrm {e} ^{-\beta E_{\alpha '}}.}$

Из коммутационных соотношений

${\displaystyle \langle \alpha '\mid \psi _{\mathbf {k} }\psi _{\mathbf {k} }^{\dagger }\mid \alpha '\rangle =\langle \alpha '\mid (1+\zeta \psi _{\mathbf {k} }^{\dagger }\psi _{\mathbf {k} })\mid \alpha '\rangle ,}$

с возможными факторами объема снова. Сумма, которая включает термическое среднее числового оператора, тогда дает просто ${\displaystyle [1+\zeta n(\xi _{\mathbf {k} })]{\mathcal {Z}}}$, уход

${\displaystyle \rho _{0}(\mathbf {k} ,\omega )=2\pi \delta (\xi _{\mathbf {k} }-\omega ).}$

Таким образом, пропагатор мнимого времени

${\displaystyle {\mathcal {G}}_{0}(\mathbf {k} ,\omega )={\frac {1}{-\mathrm {i} \omega _{n}+\xi _{\mathbf {k} }}}}$

а запаздывающий пропагатор

${\displaystyle G_{0}^{\mathrm {R} }(\mathbf {k} ,\omega )={\frac {1}{-(\omega +\mathrm {i} \eta )+\xi _{\mathbf {k} }}}.}$

Предел нулевой температуры

В качестве β→ ∞ спектральная плотность принимает вид

${\displaystyle \rho (\mathbf {k} ,\omega )=2\pi \sum _{\alpha }\left[\delta (E_{\alpha }-E_{0}-\omega )|\langle \alpha \mid \psi _{\mathbf {k} }^{\dagger }\mid 0\rangle |^{2}-\zeta \delta (E_{0}-E_{\alpha }-\omega )|\langle 0\mid \psi _{\mathbf {k} }^{\dagger }\mid \alpha \rangle |^{2}\right]}$

куда α = 0 соответствует основному состоянию. Обратите внимание, что только первый (второй) член участвует, когда ω положительный (отрицательный).

Общий случай

Основные определения

Мы можем использовать «полевые операторы», как указано выше, или операторы рождения и уничтожения, связанные с другими одночастичными состояниями, возможно, собственными состояниями (невзаимодействующей) кинетической энергии. Затем мы используем

${\displaystyle \psi (\mathbf {x} ,\tau )=\varphi _{\alpha }(\mathbf {x} )\psi _{\alpha }(\tau ),}$

куда ${\displaystyle \psi _{\alpha }}$ - оператор аннигиляции одночастичного состояния ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle \varphi _{\alpha }(\mathbf {x} )}$ является волновой функцией этого состояния в позиционном базисе. Это дает

${\displaystyle {\mathcal {G}}_{\alpha _{1}\ldots \alpha _{n}|\beta _{1}\ldots \beta _{n}}^{(n)}(\tau _{1}\ldots \tau _{n}|\tau _{1}'\ldots \tau _{n}')=\langle T\psi _{\alpha _{1}}(\tau _{1})\ldots \psi _{\alpha _{n}}(\tau _{n}){\bar {\psi }}_{\beta _{n}}(\tau _{n}')\ldots {\bar {\psi }}_{\beta _{1}}(\tau _{1}')\rangle }$

с аналогичным выражением для ${\displaystyle G^{(n)}}$.

Двухточечные функции

Они зависят только от разницы их временных аргументов, так что

${\displaystyle {\mathcal {G}}_{\alpha \beta }(\tau \mid \tau ')={\frac {1}{\beta }}\sum _{\omega _{n}}{\mathcal {G}}_{\alpha \beta }(\omega _{n})\,\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \omega _{n}(\tau -\tau ')}}$

и

${\displaystyle G_{\alpha \beta }(t\mid t')=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\mathrm {d} \omega }{2\pi }}\,G_{\alpha \beta }(\omega )\,\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \omega (t-t')}.}$

Мы снова можем очевидным образом определять отсталые и продвинутые функции; они связаны с упорядоченной по времени функцией так же, как указано выше.

Те же свойства периодичности, что описаны выше, применимы к ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{\alpha \beta }}$. Конкретно,

${\displaystyle {\mathcal {G}}_{\alpha \beta }(\tau \mid \tau ')={\mathcal {G}}_{\alpha \beta }(\tau -\tau ')}$

и

${\displaystyle {\mathcal {G}}_{\alpha \beta }(\tau )={\mathcal {G}}_{\alpha \beta }(\tau +\beta ),}$

за ${\displaystyle \tau <0}$.

Спектральное представление

В этом случае,

${\displaystyle \rho _{\alpha \beta }(\omega )={\frac {1}{\mathcal {Z}}}\sum _{m,n}2\pi \delta (E_{n}-E_{m}-\omega )\;\langle m\mid \psi _{\alpha }\mid n\rangle \langle n\mid \psi _{\beta }^{\dagger }\mid m\rangle \left(\mathrm {e} ^{-\beta E_{m}}-\zeta \mathrm {e} ^{-\beta E_{n}}\right),}$

куда ${\displaystyle m}$ и ${\displaystyle n}$ состояния многих тел.

Выражения для функций Грина видоизменяются очевидным образом:

${\displaystyle {\mathcal {G}}_{\alpha \beta }(\omega _{n})=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\mathrm {d} \omega '}{2\pi }}{\frac {\rho _{\alpha \beta }(\omega ')}{-\mathrm {i} \omega _{n}+\omega '}}}$

и

${\displaystyle G_{\alpha \beta }^{\mathrm {R} }(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\mathrm {d} \omega '}{2\pi }}{\frac {\rho _{\alpha \beta }(\omega ')}{-(\omega +\mathrm {i} \eta )+\omega '}}.}$

Их свойства аналитичности идентичны. Доказательство проводится точно так же, за исключением того, что два матричных элемента больше не являются комплексно сопряженными.

Невзаимодействующий случай

Если выбранные конкретные одночастичные состояния являются "собственными состояниями одночастичной энергии", т.е.

${\displaystyle [H-\mu N,\psi _{\alpha }^{\dagger }]=\xi _{\alpha }\psi _{\alpha }^{\dagger },}$

тогда для ${\displaystyle |n\rangle }$ собственное состояние:

${\displaystyle (H-\mu N)\mid n\rangle =E_{n}\mid n\rangle ,}$

так это ${\displaystyle \psi _{\alpha }\mid n\rangle }$:

${\displaystyle (H-\mu N)\psi _{\alpha }\mid n\rangle =(E_{n}-\xi _{\alpha })\psi _{\alpha }\mid n\rangle ,}$

и так ${\displaystyle \psi _{\alpha }^{\dagger }\mid n\rangle }$:

${\displaystyle (H-\mu N)\psi _{\alpha }^{\dagger }\mid n\rangle =(E_{n}+\xi _{\alpha })\psi _{\alpha }^{\dagger }\mid n\rangle .}$

Поэтому у нас есть

${\displaystyle \langle m\mid \psi _{\alpha }\mid n\rangle \langle n\mid \psi _{\beta }^{\dagger }\mid m\rangle =\delta _{\xi _{\alpha },\xi _{\beta }}\delta _{E_{n},E_{m}+\xi _{\alpha }}\langle m\mid \psi _{\alpha }\mid n\rangle \langle n\mid \psi _{\beta }^{\dagger }\mid m\rangle .}$

Затем мы переписываем

${\displaystyle \rho _{\alpha \beta }(\omega )={\frac {1}{\mathcal {Z}}}\sum _{m,n}2\pi \delta (\xi _{\alpha }-\omega )\delta _{\xi _{\alpha },\xi _{\beta }}\langle m\mid \psi _{\alpha }\mid n\rangle \langle n\mid \psi _{\beta }^{\dagger }\mid m\rangle \mathrm {e} ^{-\beta E_{m}}\left(1-\zeta \mathrm {e} ^{-\beta \xi _{\alpha }}\right),}$

следовательно

${\displaystyle \rho _{\alpha \beta }(\omega )={\frac {1}{\mathcal {Z}}}\sum _{m}2\pi \delta (\xi _{\alpha }-\omega )\delta _{\xi _{\alpha },\xi _{\beta }}\langle m\mid \psi _{\alpha }\psi _{\beta }^{\dagger }\mathrm {e} ^{-\beta (H-\mu N)}\mid m\rangle \left(1-\zeta \mathrm {e} ^{-\beta \xi _{\alpha }}\right),}$

использовать

${\displaystyle \langle m\mid \psi _{\alpha }\psi _{\beta }^{\dagger }\mid m\rangle =\delta _{\alpha ,\beta }\langle m\mid \zeta \psi _{\alpha }^{\dagger }\psi _{\alpha }+1\mid m\rangle }$

и тот факт, что термическое среднее числового оператора дает функцию распределения Бозе – Эйнштейна или Ферми – Дирака.

Наконец, спектральная плотность упрощается и дает

${\displaystyle \rho _{\alpha \beta }=2\pi \delta (\xi _{\alpha }-\omega )\delta _{\alpha \beta },}$

так что тепловая функция Грина

${\displaystyle {\mathcal {G}}_{\alpha \beta }(\omega _{n})={\frac {\delta _{\alpha \beta }}{-\mathrm {i} \omega _{n}+\xi _{\beta }}}}$

а запаздывающая функция Грина равна

${\displaystyle G_{\alpha \beta }(\omega )={\frac {\delta _{\alpha \beta }}{-(\omega +\mathrm {i} \eta )+\xi _{\beta }}}.}$

Обратите внимание, что невзаимодействующая функция Грина диагональна, но во взаимодействующем случае это не так.

Смотрите также

• Теорема флуктуации
• Отношения Грина – Кубо
• Функция линейного отклика
• Уравнение Линдблада
• Пропагатор
• Корреляционная функция (квантовая теория поля)

Рекомендации

Книги

• Бонч-Бруевич В. Л., Тябликов С.В. (1962): Метод функции Грина в статистической механике. North Holland Publishing Co.
• Абрикосов А.А., Горьков Л.П., Дзялошинский И.Э. ​​(1963): Методы квантовой теории поля в статистической физике Энглвудские скалы: Прентис-Холл.
• Негеле, Дж. У. и Орланд, Х. (1988): Квантовые системы многих частиц Эддисон Уэсли.
• Зубарев Д. Н., Морозов В., Ропке Г. (1996): Статистическая механика неравновесных процессов: основные понятия, кинетическая теория (Том 1). Джон Вили и сыновья. ISBN  3-05-501708-0.
• Мэттак Ричард Д. (1992), Руководство по диаграммам Фейнмана в проблеме многих тел, Dover Publications, ISBN  0-486-67047-3.

Статьи

• Боголюбов Н. Н., Тябликов С.В. Запаздывающие и расширенные функции Грина в статистической физике, Докл. 4, п. 589 (1959).
• Зубарев Д. Н., Двухвременные функции Грина в статистической физике, Успехи СССР. 3(3), 320–345 (1960).

внешняя ссылка

• Функции линейного отклика в Ева Паварини, Эрик Кох, Дитер Фоллхардт и Александр Лихтенштейн (редакторы): DMFT в 25 лет: Бесконечные измерения, Verlag des Forschungszentrum Jülich, 2014 ISBN  978-3-89336-953-9