Формула восстановления LSZ - LSZ reduction formula

В квантовая теория поля, то Формула восстановления LSZ это метод расчета S-матрица элементы ( амплитуды рассеяния ) от по расписанию корреляционные функции квантовой теории поля. Это шаг пути, который начинается с Лагранжиан некоторой квантовой теории поля и приводит к предсказанию измеримых величин. Он назван в честь трех немецких физиков. Гарри Леманн, Курт Симанзик и Вольфхарт Циммерманн.

Хотя формула редукции LSZ не может обрабатывать связанные состояния, безмассовые частицы и топологические солитоны, его можно обобщить на связанные состояния, используя составные поля которые часто бывают нелокальными. Кроме того, этот метод или его варианты оказались плодотворными и в других областях теоретической физики. Например в статистическая физика их можно использовать для получения особенно общей формулировки теорема флуктуации-диссипации.

Входящие и исходящие поля

S-матричные элементы амплитуды переходы между в государства и из состояния. An в государственный ${\displaystyle |\{p\}\ \mathrm {in} \rangle }$ описывает состояние системы частиц, которые в далеком прошлом, до взаимодействия, свободно двигались с определенными импульсами {п}, и, наоборот, из государственный ${\displaystyle |\{p\}\ \mathrm {out} \rangle }$ описывает состояние системы частиц, которые спустя долгое время после взаимодействия будут свободно перемещаться с определенными импульсами {п}.

В и из государства - государства в Картинка Гейзенберга поэтому не следует думать, что они описывают частицы в определенное время, а скорее описывают систему частиц во всей ее эволюции, так что S-матричный элемент:

${\displaystyle S_{fi}=\langle \{q\}\ \mathrm {out} |\{p\}\ \mathrm {in} \rangle }$

это амплитуда вероятности для набора частиц, приготовленных с определенными импульсами {п} взаимодействовать и позже измеряться как новый набор частиц с импульсами {q}.

Легкий способ построить в и из штатах заключается в поиске соответствующих полевых операторов, которые обеспечивают операторы создания и уничтожения. Эти поля называются соответственно в и из поля.

Чтобы исправить идеи, предположим, что мы имеем дело с Поле Клейна – Гордона который взаимодействует каким-то образом, который нас не касается:

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\partial _{\mu }\varphi \partial ^{\mu }\varphi -{\frac {1}{2}}m_{0}^{2}\varphi ^{2}+{\mathcal {L}}_{\mathrm {int} }}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {int} }}$ может содержать самовзаимодействие gφ³ или взаимодействие с другими полями, например Юкава взаимодействие ${\displaystyle g\ \varphi {\bar {\psi }}\psi }$. Из этого Лагранжиан, с помощью Уравнения Эйлера – Лагранжа., уравнение движения следует:

${\displaystyle \left(\partial ^{2}+m_{0}^{2}\right)\varphi (x)=j_{0}(x)}$

где, если ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {int} }}$ не содержит производных муфт:

${\displaystyle j_{0}={\frac {\partial {\mathcal {L}}_{\mathrm {int} }}{\partial \varphi }}}$

Мы можем ожидать в поле, чтобы напоминать асимптотическое поведение свободного поля при Икс⁰ → −∞, делая предположение, что в далеком прошлом взаимодействие описывалось текущим j₀ пренебрежимо мало, так как частицы находятся далеко друг от друга. Эта гипотеза получила название адиабатическая гипотеза. тем не мение самовзаимодействие никогда не исчезает и, помимо многих других эффектов, вызывает разницу между лагранжевой массой м₀ и физическая масса м из φ бозон. Этот факт необходимо учесть, переписав уравнение движения следующим образом:^{[нужна цитата ]}

${\displaystyle \left(\partial ^{2}+m^{2}\right)\varphi (x)=j_{0}(x)+\left(m^{2}-m_{0}^{2}\right)\varphi (x)=j(x)}$

Это уравнение может быть решено формально с помощью запаздывающего Функция Грина оператора Клейна – Гордона ${\displaystyle \partial ^{2}+m^{2}}$:

${\displaystyle \Delta _{\mathrm {ret} }(x)=i\theta \left(x^{0}\right)\int {\frac {\mathrm {d} ^{3}k}{(2\pi )^{3}2\omega _{k}}}\left(e^{-ik\cdot x}-e^{ik\cdot x}\right)_{k^{0}=\omega _{k}}\qquad \omega _{k}={\sqrt {\mathbf {k} ^{2}+m^{2}}}}$

позволяя отделить взаимодействие от асимптотического поведения. Решение:

${\displaystyle \varphi (x)={\sqrt {Z}}\varphi _{\mathrm {in} }(x)+\int \mathrm {d} ^{4}y\Delta _{\mathrm {ret} }(x-y)j(y)}$

Фактор √Z коэффициент нормализации, который пригодится позже, поле φ_в это решение однородное уравнение связанный с уравнением движения:

${\displaystyle \left(\partial ^{2}+m^{2}\right)\varphi _{\mathrm {in} }(x)=0,}$

и, следовательно, является свободное поле который описывает набегающую невозмущенную волну, а последний член решения дает возмущение волны за счет взаимодействия.

Поле φ_в действительно в искомого поля, так как оно описывает асимптотическое поведение взаимодействующего поля как Икс⁰ → −∞, хотя позже это утверждение будет уточнено. Это свободное скалярное поле, поэтому его можно разложить на плоские волны:

${\displaystyle \varphi _{\mathrm {in} }(x)=\int \mathrm {d} ^{3}k\left\{f_{k}(x)a_{\mathrm {in} }(\mathbf {k} )+f_{k}^{*}(x)a_{\mathrm {in} }^{\dagger }(\mathbf {k} )\right\}}$

куда:

${\displaystyle f_{k}(x)=\left.{\frac {e^{-ik\cdot x}}{(2\pi )^{\frac {3}{2}}(2\omega _{k})^{\frac {1}{2}}}}\right|_{k^{0}=\omega _{k}}}$

Обратную функцию для коэффициентов в терминах поля можно легко получить и представить в элегантном виде:

${\displaystyle a_{\mathrm {in} }(\mathbf {k} )=i\int \mathrm {d} ^{3}xf_{k}^{*}(x){\overleftrightarrow {\partial _{0}}}\varphi _{\mathrm {in} }(x)}$

куда:

${\displaystyle {\mathrm {g} }{\overleftrightarrow {\partial _{0}}}f=\mathrm {g} \partial _{0}f-f\partial _{0}\mathrm {g} .}$

В Коэффициенты Фурье удовлетворяют алгебре операторы создания и уничтожения:

${\displaystyle [a_{\mathrm {in} }(\mathbf {p} ),a_{\mathrm {in} }(\mathbf {q} )]=0;\quad [a_{\mathrm {in} }(\mathbf {p} ),a_{\mathrm {in} }^{\dagger }(\mathbf {q} )]=\delta ^{3}(\mathbf {p} -\mathbf {q} );}$

и их можно использовать для создания в заявляет обычным образом:

${\displaystyle \left|k_{1},\ldots ,k_{n}\ \mathrm {in} \right\rangle ={\sqrt {2\omega _{k_{1}}}}a_{\mathrm {in} }^{\dagger }(\mathbf {k} _{1})\ldots {\sqrt {2\omega _{k_{n}}}}a_{\mathrm {in} }^{\dagger }(\mathbf {k} _{n})|0\rangle }$

Связь между взаимодействующим полем и в поле не очень просто использовать, а наличие запаздывающей функции Грина побуждает нас написать что-то вроде:

${\displaystyle \varphi (x)\sim {\sqrt {Z}}\varphi _{\mathrm {in} }(x)\qquad \mathrm {as} \quad x^{0}\to -\infty }$

неявно предполагая, что все взаимодействия становятся незначительными, когда частицы находятся далеко друг от друга. Но нынешний j(Икс) содержит также самовзаимодействия, подобные тем, которые вызывают массовый сдвиг от м₀ к м. Эти взаимодействия не исчезают по мере разлета частиц, поэтому следует проявлять большую осторожность при установлении асимптотических соотношений между взаимодействующим полем и в поле.

Правильный рецепт, разработанный Леманом, Симанзиком и Циммерманном, требует двух нормализуемых состояний ${\displaystyle |\alpha \rangle }$ и ${\displaystyle |\beta \rangle }$, и нормализуемое решение  ж (Икс) уравнения Клейна – Гордона ${\displaystyle (\partial ^{2}+m^{2})f(x)=0}$. С помощью этих частей можно сформулировать правильное и полезное, но очень слабое асимптотическое соотношение:

${\displaystyle \lim _{x^{0}\to -\infty }\int \mathrm {d} ^{3}x\langle \alpha |f(x){\overleftrightarrow {\partial _{0}}}\varphi (x)|\beta \rangle ={\sqrt {Z}}\int \mathrm {d} ^{3}x\langle \alpha |f(x){\overleftrightarrow {\partial _{0}}}\varphi _{\mathrm {in} }(x)|\beta \rangle }$

Второй член действительно не зависит от времени, как можно показать, выведя и запомнив, что оба φ_в и  ж  удовлетворяют уравнению Клейна – Гордона.

С соответствующими изменениями можно выполнить те же шаги, чтобы построить из поле, которое строит из состояния. В частности, определение из поле:

${\displaystyle \varphi (x)={\sqrt {Z}}\varphi _{\mathrm {out} }(x)+\int \mathrm {d} ^{4}y\Delta _{\mathrm {adv} }(x-y)j(y)}$

куда Δ_{нарекать}(Икс − у) - расширенная функция Грина оператора Клейна – Гордона. Слабая асимптотическая связь между из поле и взаимодействующее поле:

${\displaystyle \lim _{x^{0}\to \infty }\int \mathrm {d} ^{3}x\langle \alpha |f(x){\overleftrightarrow {\partial _{0}}}\varphi (x)|\beta \rangle ={\sqrt {Z}}\int \mathrm {d} ^{3}x\langle \alpha |f(x){\overleftrightarrow {\partial _{0}}}\varphi _{\mathrm {out} }(x)|\beta \rangle }$

Формула приведения для скаляров

Асимптотические соотношения - это все, что нужно для получения формулы редукции LSZ. Для удобства в будущем начнем с матричного элемента:

${\displaystyle {\mathcal {M}}=\langle \beta \ \mathrm {out} |\mathrm {T} \varphi (y_{1})\ldots \varphi (y_{n})|\alpha \ \mathrm {in} \rangle }$

который является немного более общим, чем элемент S-матрицы. В самом деле, ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ математическое ожидание заказанный по времени продукт ряда полей ${\displaystyle \varphi (y_{1})\cdots \varphi (y_{n})}$ между из государство и в государственный. В из состояние может содержать что угодно, от вакуума до неопределенного числа частиц, импульсы которых суммируются индексом β. В в состояние содержит по крайней мере частицу импульса п, и, возможно, многие другие, импульсы которых суммируются индексом α. Если в продукте с указанием времени нет полей, то ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ очевидно является S-матричным элементом. Частица с импульсом п можно «извлечь» из в состояние с помощью оператора создания:

${\displaystyle {\mathcal {M}}={\sqrt {2\omega _{p}}}\ \left\langle \beta \ \mathrm {out} {\bigg |}\mathrm {T} \left[\varphi (y_{1})\ldots \varphi (y_{n})\right]a_{\mathrm {in} }^{\dagger }(\mathbf {p} ){\bigg |}\alpha '\ \mathrm {in} \right\rangle }$

где штрих на ${\displaystyle \alpha }$ означает, что одна частица была удалена. В предположении, что никакая частица с импульсом п присутствует в из состояние, то есть мы игнорируем рассеяние вперед, мы можем написать:

${\displaystyle {\mathcal {M}}={\sqrt {2\omega _{p}}}\ \left\langle \beta \ \mathrm {out} {\bigg |}\left\{\mathrm {T} \left[\varphi (y_{1})\ldots \varphi (y_{n})\right]a_{\mathrm {in} }^{\dagger }(\mathbf {p} )-a_{\mathrm {out} }^{\dagger }(\mathbf {p} )\mathrm {T} \left[\varphi (y_{1})\ldots \varphi (y_{n})\right]\right\}{\bigg |}\alpha '\ \mathrm {in} \right\rangle }$

потому что ${\displaystyle a_{\mathrm {out} }^{\dagger }}$ действие слева дает ноль. Выражая операторов строительства в терминах в и из полей, имеем:

${\displaystyle {\mathcal {M}}=-i{\sqrt {2\omega _{p}}}\ \int \mathrm {d} ^{3}xf_{p}(x){\overleftrightarrow {\partial _{0}}}\left\langle \beta \ \mathrm {out} {\bigg |}\left\{\mathrm {T} \left[\varphi (y_{1})\ldots \varphi (y_{n})\right]\varphi _{\mathrm {in} }(x)-\varphi _{\mathrm {out} }(x)\mathrm {T} \left[\varphi (y_{1})\ldots \varphi (y_{n})\right]\right\}{\bigg |}\alpha '\ \mathrm {in} \right\rangle }$

Теперь мы можем использовать асимптотическое условие для записи:

${\displaystyle {\mathcal {M}}=-i{\sqrt {\frac {2\omega _{p}}{Z}}}\left\{\lim _{x^{0}\to -\infty }\int \mathrm {d} ^{3}xf_{p}(x){\overleftrightarrow {\partial _{0}}}\langle \beta \ \mathrm {out} |\mathrm {T} \left[\varphi (y_{1})\ldots \varphi (y_{n})\right]\varphi (x)|\alpha '\ \mathrm {in} \rangle -\lim _{x^{0}\to \infty }\int \mathrm {d} ^{3}xf_{p}(x){\overleftrightarrow {\partial _{0}}}\langle \beta \ \mathrm {out} |\varphi (x)\mathrm {T} \left[\varphi (y_{1})\ldots \varphi (y_{n})\right]|\alpha '\ \mathrm {in} \rangle \right\}}$

Затем мы замечаем, что поле φ(Икс) может быть помещен в заказанный по времени продукт, так как он появляется справа, когда Икс⁰ → −∞ и слева, когда Икс⁰ → ∞:

${\displaystyle {\mathcal {M}}=-i{\sqrt {\frac {2\omega _{p}}{Z}}}\left(\lim _{x^{0}\to -\infty }-\lim _{x^{0}\to \infty }\right)\int \mathrm {d} ^{3}xf_{p}(x){\overleftrightarrow {\partial _{0}}}\langle \beta \ \mathrm {out} |\mathrm {T} \left[\varphi (x)\varphi (y_{1})\ldots \varphi (y_{n})\right]|\alpha '\ \mathrm {in} \rangle }$

В следующих, Икс зависимость в заказанном по времени продукте имеет значение, поэтому мы устанавливаем:

${\displaystyle \langle \beta \ \mathrm {out} |\mathrm {T} \left[\varphi (x)\varphi (y_{1})\ldots \varphi (y_{n})\right]|\alpha '\ \mathrm {in} \rangle =\eta (x)}$

С помощью явного интегрирования по времени легко показать, что:

${\displaystyle {\mathcal {M}}=i{\sqrt {\frac {2\omega _{p}}{Z}}}\int \mathrm {d} (x^{0})\partial _{0}\int \mathrm {d} ^{3}xf_{p}(x){\overleftrightarrow {\partial _{0}}}\eta (x)}$

так что путем явного вывода по времени имеем:

${\displaystyle {\mathcal {M}}=i{\sqrt {\frac {2\omega _{p}}{Z}}}\int \mathrm {d} ^{4}x\left\{f_{p}(x)\partial _{0}^{2}\eta (x)-\eta (x)\partial _{0}^{2}f_{p}(x)\right\}}$

По его определению мы видим, что  ж_п (Икс) является решением уравнения Клейна – Гордона, которое можно записать как:

${\displaystyle \partial _{0}^{2}f_{p}(x)=\left(\Delta -m^{2}\right)f_{p}(x)}$

Подставляя в выражение для ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ и интегрируя по частям, получаем:

${\displaystyle {\mathcal {M}}=i{\sqrt {\frac {2\omega _{p}}{Z}}}\int \mathrm {d} ^{4}xf_{p}(x)\left(\partial _{0}^{2}-\Delta +m^{2}\right)\eta (x)}$

То есть:

${\displaystyle {\mathcal {M}}={\frac {i}{(2\pi )^{\frac {3}{2}}Z^{\frac {1}{2}}}}\int \mathrm {d} ^{4}xe^{-ip\cdot x}\left(\Box +m^{2}\right)\langle \beta \ \mathrm {out} |\mathrm {T} \left[\varphi (x)\varphi (y_{1})\ldots \varphi (y_{n})\right]|\alpha '\ \mathrm {in} \rangle }$

Исходя из этого результата и следуя тому же пути, можно извлечь другую частицу из в состояние, что приводит к вставке другого поля в заказанный по времени продукт. Очень похожая процедура может извлекать частицы из из состояние, и эти два могут быть повторены, чтобы получить вакуум как справа, так и слева от упорядоченного по времени продукта, что приводит к общей формуле:

${\displaystyle \langle p_{1},\ldots ,p_{n}\ \mathrm {out} |q_{1},\ldots ,q_{m}\ \mathrm {in} \rangle =\int \prod _{i=1}^{m}\left\{\mathrm {d} ^{4}x_{i}{\frac {ie^{-iq_{i}\cdot x_{i}}\left(\Box _{x_{i}}+m^{2}\right)}{(2\pi )^{\frac {3}{2}}Z^{\frac {1}{2}}}}\right\}\prod _{j=1}^{n}\left\{\mathrm {d} ^{4}y_{j}{\frac {ie^{ip_{j}\cdot y_{j}}\left(\Box _{y_{j}}+m^{2}\right)}{(2\pi )^{\frac {3}{2}}Z^{\frac {1}{2}}}}\right\}\langle 0|\mathrm {T} \varphi (x_{1})\ldots \varphi (x_{m})\varphi (y_{1})\ldots \varphi (y_{n})|0\rangle }$

Это формула редукции LSZ для скаляров Клейна – Гордона. Он выглядит намного лучше, если он написан с использованием преобразования Фурье корреляционной функции:

${\displaystyle \Gamma \left(p_{1},\ldots ,p_{n}\right)=\int \prod _{i=1}^{n}\left\{\mathrm {d} ^{4}x_{i}e^{ip_{i}\cdot x_{i}}\right\}\langle 0|\mathrm {T} \ \varphi (x_{1})\ldots \varphi (x_{n})|0\rangle }$

Используя обратное преобразование для замены в формуле редукции LSZ, с некоторыми усилиями можно получить следующий результат:

${\displaystyle \langle p_{1},\ldots ,p_{n}\ \mathrm {out} |q_{1},\ldots ,q_{m}\ \mathrm {in} \rangle =\prod _{i=1}^{m}\left\{-{\frac {i\left(p_{i}^{2}-m^{2}\right)}{(2\pi )^{\frac {3}{2}}Z^{\frac {1}{2}}}}\right\}\prod _{j=1}^{n}\left\{-{\frac {i\left(q_{j}^{2}-m^{2}\right)}{(2\pi )^{\frac {3}{2}}Z^{\frac {1}{2}}}}\right\}\Gamma \left(p_{1},\ldots ,p_{n};-q_{1},\ldots ,-q_{m}\right)}$

Не говоря уже о нормировочных коэффициентах, эта формула утверждает, что элементы S-матрицы являются вычетами полюсов, которые возникают в преобразовании Фурье корреляционных функций, когда четыре импульса накладываются на оболочку.

Формула редукции фермионов

Напомним, что решения квантованного свободного поля Уравнение Дирака можно записать как

${\displaystyle \Psi (x)=\sum _{s=\pm }\int \!\mathrm {d} {\tilde {p}}{\big (}b_{\textbf {p}}^{s}u_{\textbf {p}}^{s}\mathrm {e} ^{ip\cdot x}+d_{\textbf {p}}^{\dagger s}v_{\textbf {p}}^{s}\mathrm {e} ^{-ip\cdot x}{\big )},}$

где метрическая подпись в основном плюс, ${\displaystyle b_{\textbf {p}}^{s}}$ является оператором уничтожения частиц b-типа с импульсом ${\displaystyle {\textbf {p}}}$ и вращать ${\displaystyle s=\pm }$, ${\displaystyle d_{\textbf {p}}^{\dagger s}}$ является оператором рождения частиц d-типа со спином ${\displaystyle s}$, а спиноры ${\displaystyle u_{\textbf {p}}^{s}}$ и ${\displaystyle v_{\textbf {p}}^{s}}$ удовлетворить ${\displaystyle (p\!\!\!/+m)u_{\textbf {p}}^{s}=0}$ и ${\displaystyle (p\!\!\!/-m)v_{\textbf {p}}^{s}=0}$. Лоренц-инвариантная мера записывается как ${\displaystyle \mathrm {d} {\tilde {p}}:=\mathrm {d} ^{3}p/(2\pi )^{3}2\omega _{\textbf {p}}}$, с ${\displaystyle \omega _{\textbf {p}}={\sqrt {{\textbf {p}}^{2}+m^{2}}}}$. Рассмотрим теперь событие рассеяния, состоящее из в государственный ${\displaystyle |\alpha \ \mathrm {in} \rangle }$ невзаимодействующих частиц, приближающихся к области взаимодействия в начале координат, где происходит рассеяние, с последующим из государственный ${\displaystyle |\beta \ \mathrm {out} \rangle }$ исходящих невзаимодействующих частиц. Амплитуда вероятности этого процесса определяется выражением

${\displaystyle {\mathcal {M}}=\langle \beta \ \mathrm {out} |\alpha \ \mathrm {in} \rangle ,}$

где для простоты не было вставлено дополнительное упорядоченное по времени произведение операторов поля. Рассматриваемая ситуация будет рассеянием ${\displaystyle n}$ частицы b-типа в ${\displaystyle n'}$ частицы b-типа. Предположим, что в государство состоит из ${\displaystyle n}$ частицы с импульсами ${\displaystyle \{{\textbf {p}}_{1},...,{\textbf {p}}_{n}\}}$ и спины ${\displaystyle \{s_{1},...,s_{n}\}}$, в то время как из состояние содержит частицы импульса ${\displaystyle \{{\textbf {k}}_{1},...,{\textbf {k}}_{n'}\}}$ и спины ${\displaystyle \{\sigma _{1},...,\sigma _{n'}\}}$. В в и из состояния тогда задаются

${\displaystyle |\alpha \ \mathrm {in} \rangle =|{\textbf {p}}_{1}^{s_{1}},...,{\textbf {p}}_{n}^{s_{n}}\rangle \quad {\text{and}}\quad |\beta \ \mathrm {out} \rangle =|{\textbf {k}}_{1}^{\sigma _{1}},...,{\textbf {k}}_{n'}^{\sigma _{n'}}\rangle .}$

Извлечение в частица из ${\displaystyle |\alpha \ \mathrm {in} \rangle }$ дает оператор создания свободного поля ${\displaystyle b_{{\textbf {p}}_{1},\mathrm {in} }^{\dagger s_{1}}}$ воздействуя на состояние одной частицей меньше. Предполагая, что ни одна исходящая частица не имеет такого же импульса, мы можем написать

${\displaystyle {\mathcal {M}}=\langle \beta \ \mathrm {out} |b_{{\textbf {p}}_{1},\mathrm {in} }^{\dagger s_{1}}-b_{{\textbf {p}}_{1},\mathrm {out} }^{\dagger s_{1}}|\alpha '\ \mathrm {in} \rangle ,}$

где штрих на ${\displaystyle \alpha }$ означает, что одна частица была удалена. Теперь напомним, что в свободной теории операторы частиц b-типа можно записать в терминах поля с помощью обратного соотношения

${\displaystyle b_{\textbf {p}}^{\dagger s}=\int \!\mathrm {d} ^{3}x\;\mathrm {e} ^{ip\cdot x}{\bar {\Psi }}(x)\gamma ^{0}u_{\textbf {p}}^{s},}$

куда ${\displaystyle {\bar {\Psi }}(x)=\Psi ^{\dagger }(x)\beta }$. Обозначая асимптотические свободные поля через ${\displaystyle \Psi _{\text{in}}}$ и ${\displaystyle \Psi _{\text{out}}}$, мы нашли

${\displaystyle {\mathcal {M}}=\int \!\mathrm {d} ^{3}x_{1}\;\mathrm {e} ^{ip_{1}\cdot x_{1}}\langle \beta \ \mathrm {out} |{\bar {\Psi }}_{\text{in}}(x_{1})\gamma ^{0}u_{{\textbf {p}}_{1}}^{s_{1}}-{\bar {\Psi }}_{\text{out}}(x_{1})\gamma ^{0}u_{{\textbf {p}}_{1}}^{s_{1}}|\alpha '\ \mathrm {in} \rangle .}$

Слабое асимптотическое условие, необходимое для поля Дирака, аналогичное условию для скалярных полей, имеет вид

${\displaystyle \lim _{x^{0}\rightarrow -\infty }\int \!\mathrm {d} ^{3}x\langle \beta |\mathrm {e} ^{ip\cdot x}{\bar {\Psi }}(x)\gamma ^{0}u_{\textbf {p}}^{s}|\alpha \rangle ={\sqrt {Z}}\int \!\mathrm {d} ^{3}x\langle \beta |\mathrm {e} ^{ip\cdot x}{\bar {\Psi }}_{\text{in}}(x)\gamma ^{0}u_{\textbf {p}}^{s}|\alpha \rangle ,}$

и то же самое для из поле. Тогда амплитуда рассеяния равна

${\displaystyle {\mathcal {M}}={\frac {1}{\sqrt {Z}}}{\Big (}\lim _{x_{1}^{0}\rightarrow -\infty }-\lim _{x_{1}^{0}\rightarrow +\infty }{\Big )}\int \!\mathrm {d} ^{3}x_{1}\;\mathrm {e} ^{ip_{1}\cdot x_{1}}\langle \beta \ \mathrm {out} |{\bar {\Psi }}(x_{1})\gamma ^{0}u_{{\textbf {p}}_{1}}^{s_{1}}|\alpha '\ \mathrm {in} \rangle ,}$

где теперь во внутреннем продукте появляется взаимодействующее поле. Переписывая пределы в терминах интеграла от производной по времени, мы имеем

${\displaystyle {\mathcal {M}}=-{\frac {1}{\sqrt {Z}}}\int \!\mathrm {d} ^{4}x_{1}\partial _{0}{\big (}\mathrm {e} ^{ip_{1}\cdot x_{1}}\langle \beta \ \mathrm {out} |{\bar {\Psi }}(x_{1})\gamma ^{0}u_{{\textbf {p}}_{1}}^{s_{1}}|\alpha '\ \mathrm {in} \rangle {\big )}}$

${\displaystyle =-{\frac {1}{\sqrt {Z}}}\int \!\mathrm {d} ^{4}x_{1}(\partial _{0}\mathrm {e} ^{ip_{1}\cdot x_{1}}\eta (x_{1})+\mathrm {e} ^{ip_{1}\cdot x_{1}}\partial _{0}\eta (x_{1}){\big )}\gamma ^{0}u_{{\textbf {p}}_{1}}^{s_{1}},}$

где вектор-строка матричных элементов поля Дирака с перемычкой записывается как ${\displaystyle \eta (x_{1}):=\langle \beta \ \mathrm {out} |{\bar {\Psi }}(x_{1})|\alpha '\ \mathrm {in} \rangle }$. Напомним, что ${\displaystyle \mathrm {e} ^{ip\cdot x}u_{\textbf {p}}^{s}}$ является решением уравнения Дирака:

${\displaystyle (-i\partial \!\!\!/+m)\mathrm {e} ^{ip\cdot x}u_{\textbf {p}}^{s}=0.}$

Решение для ${\displaystyle \gamma ^{0}\partial _{0}\mathrm {e} ^{ip\cdot x}u_{\textbf {p}}^{s}}$, подставляя его в первое слагаемое интеграла и выполняя интегрирование по частям, получаем

${\displaystyle {\mathcal {M}}={\frac {i}{\sqrt {Z}}}\int \!\mathrm {d} ^{4}x_{1}\mathrm {e} ^{ip_{1}\cdot x_{1}}{\big (}i\partial _{\mu }\eta (x_{1})\gamma ^{\mu }+\eta (x_{1})m{\big )}u_{{\textbf {p}}_{1}}^{s_{1}}.}$

Переход к обозначению индекса Дирака (с суммами по повторяющимся индексам) позволяет получить более аккуратное выражение, в котором величина в квадратных скобках должна рассматриваться как дифференциальный оператор:

${\displaystyle {\mathcal {M}}={\frac {i}{\sqrt {Z}}}\int \!\mathrm {d} ^{4}x_{1}\mathrm {e} ^{ip_{1}\cdot x_{1}}[(i{\partial \!\!\!/}_{x_{1}}+m)u_{{\textbf {p}}_{1}}^{s_{1}}]_{\alpha _{1}}\langle \beta \ \mathrm {out} |{\bar {\Psi }}_{\alpha _{1}}(x_{1})|\alpha '\ \mathrm {in} \rangle .}$

Рассмотрим следующий элемент матрицы, входящий в интеграл. Извлечение из оператор создания состояния и вычитание соответствующего в оператор состояния, в предположении, что ни одна из падающих частиц не имеет такой же импульс, мы имеем

${\displaystyle \langle \beta \ \mathrm {out} |{\bar {\Psi }}_{\alpha _{1}}(x_{1})|\alpha '\ \mathrm {in} \rangle =\langle \beta '\ \mathrm {out} |b_{{\textbf {k}}_{1},\mathrm {out} }^{\sigma _{1}}{\bar {\Psi }}_{\alpha _{1}}(x_{1})-{\bar {\Psi }}_{\alpha _{1}}(x_{1})b_{{\textbf {k}}_{1},\mathrm {in} }^{\sigma _{1}}|\alpha '\ \mathrm {in} \rangle .}$

Вспоминая это ${\displaystyle ({\bar {\Psi }}\gamma ^{0}u_{\textbf {p}}^{s})^{\dagger }={\bar {u}}_{\textbf {p}}^{s}\gamma ^{0}\Psi }$, куда ${\displaystyle {\bar {u}}_{\textbf {p}}^{s}:=u_{\textbf {p}}^{\dagger s}\beta }$, мы можем заменить операторы уничтожения на в поля, используя сопряженное обратное соотношение. Применяя асимптотическое соотношение, находим

${\displaystyle \langle \beta \ \mathrm {out} |{\bar {\Psi }}_{\alpha _{1}}(x_{1})|\alpha '\ \mathrm {in} \rangle ={\frac {1}{\sqrt {Z}}}{\Big (}\lim _{y_{1}^{0}\rightarrow \infty }-\lim _{y_{1}^{0}\rightarrow -\infty }{\Big )}\int \!\mathrm {d} ^{3}y_{1}\mathrm {e} ^{-ik_{1}\cdot y_{1}}[{\bar {u}}_{{\textbf {k}}_{1}}^{\sigma _{1}}\gamma ^{0}]_{\beta _{1}}\langle \beta '\ \mathrm {out} |\mathrm {T} [\Psi _{\beta _{1}}(y_{1}){\bar {\Psi }}_{\alpha _{1}}(x_{1})]|\alpha '\ \mathrm {in} \rangle .}$

Обратите внимание, что появился символ упорядочения по времени, поскольку первый член требует ${\displaystyle \Psi _{\beta _{1}}(y_{1})}$ слева, а второй член требует этого справа. Следуя тем же шагам, что и раньше, это выражение сводится к

${\displaystyle \langle \beta \ \mathrm {out} |{\bar {\Psi }}_{\alpha _{1}}(x_{1})|\alpha '\ \mathrm {in} \rangle ={\frac {i}{\sqrt {Z}}}\int \!\mathrm {d} ^{4}y_{1}\mathrm {e} ^{-ik_{1}\cdot y_{1}}[{\bar {u}}_{{\textbf {k}}_{1}}^{\sigma _{1}}(-i\partial \!\!\!/_{y_{1}}+m)]_{\beta _{1}}\langle \beta '\ \mathrm {out} |\mathrm {T} [\Psi _{\beta _{1}}(y_{1}){\bar {\Psi }}_{\alpha _{1}}(x_{1})]|\alpha '\ \mathrm {in} \rangle .}$

Остаток от в и из состояния затем могут быть извлечены и уменьшены таким же образом, что в конечном итоге приведет к

${\displaystyle \langle \beta \ \mathrm {out} |\alpha \ \mathrm {in} \rangle =\int \!\prod _{j=1}^{n}\mathrm {d} ^{4}x_{j}{\frac {i\mathrm {e} ^{ip_{j}x_{j}}}{\sqrt {Z}}}[(i{\partial \!\!\!/}_{x_{j}}+m)u_{{\textbf {p}}_{j}}^{s_{j}}]_{\alpha _{j}}\prod _{l=1}^{n'}\mathrm {d} ^{4}y_{l}{\frac {i\mathrm {e} ^{-ik_{l}y_{l}}}{\sqrt {Z}}}[{\bar {u}}_{{\textbf {k}}_{l}}^{\sigma _{l}}(-i{\partial \!\!\!/}_{y_{l}}+m)]_{\beta _{l}}\langle 0|\mathrm {T} [\Psi _{\beta _{1}}(y_{1})...\Psi _{\beta _{n'}}(y_{n'}){\bar {\Psi }}_{\alpha _{1}}(x_{1})...{\bar {\Psi }}_{\alpha _{n}}(x_{n})]|0\rangle .}$

Та же процедура может быть проделана для рассеяния частиц d-типа, для которых ${\displaystyle u_{\textbf {p}}^{s}}$заменены на ${\displaystyle v_{\textbf {p}}^{s}}$'песок ${\displaystyle \Psi }$'песок ${\displaystyle {\bar {\Psi }}}$поменяны местами.

Нормализация напряженности поля

Причина нормировочного коэффициента Z в определении в и из поля можно понять, взяв эту связь между вакуумом и состоянием отдельной частицы ${\displaystyle |p\rangle }$ с четырьмя моментами на снаряде:

${\displaystyle \langle 0|\varphi (x)|p\rangle ={\sqrt {Z}}\langle 0|\varphi _{\mathrm {in} }(x)|p\rangle +\int \mathrm {d} ^{4}y\Delta _{\mathrm {ret} }(x-y)\langle 0|j(y)|p\rangle }$

Помня, что оба φ и φ_в являются скалярными полями с их преобразованием Лоренца согласно:

${\displaystyle \varphi (x)=e^{iP\cdot x}\varphi (0)e^{-iP\cdot x}}$

куда п^μ - оператор четырехмерного импульса, можно записать:

${\displaystyle e^{-ip\cdot x}\langle 0|\varphi (0)|p\rangle ={\sqrt {Z}}e^{-ip\cdot x}\langle 0|\varphi _{\mathrm {in} }(0)|p\rangle +\int \mathrm {d} ^{4}y\Delta _{\mathrm {ret} }(x-y)\langle 0|j(y)|p\rangle }$

Применение оператора Клейна – Гордона ∂² + м² с обеих сторон, помня о том, что четыре момента п находится на оболочке и что Δ_Ret - функция Грина оператора, получаем:

${\displaystyle 0=0+\int \mathrm {d} ^{4}y\delta ^{4}(x-y)\langle 0|j(y)|p\rangle ;\quad \Leftrightarrow \quad \langle 0|j(x)|p\rangle =0}$

Итак, мы приходим к соотношению:

${\displaystyle \langle 0|\varphi (x)|p\rangle ={\sqrt {Z}}\langle 0|\varphi _{\mathrm {in} }(x)|p\rangle }$

что учитывает необходимость фактора Z. В в поле является свободным полем, поэтому оно может связывать только одночастичные состояния с вакуумом. То есть его математическое ожидание между вакуумом и состоянием многих частиц равно нулю. С другой стороны, взаимодействующее поле может также связывать многочастичные состояния с вакуумом благодаря взаимодействию, поэтому ожидаемые значения на двух сторонах последнего уравнения различны, и между ними требуется нормировочный коэффициент. Правую часть можно вычислить явно, развернув в поле в операторах создания и уничтожения:

${\displaystyle \langle 0|\varphi _{\mathrm {in} }(x)|p\rangle =\int {\frac {\mathrm {d} ^{3}q}{(2\pi )^{\frac {3}{2}}(2\omega _{q})^{\frac {1}{2}}}}e^{-iq\cdot x}\langle 0|a_{\mathrm {in} }(\mathbf {q} )|p\rangle =\int {\frac {\mathrm {d} ^{3}q}{(2\pi )^{\frac {3}{2}}}}e^{-iq\cdot x}\langle 0|a_{\mathrm {in} }(\mathbf {q} )a_{\mathrm {in} }^{\dagger }(\mathbf {p} )|0\rangle }$

Используя соотношение коммутации между а_в и ${\displaystyle a_{\mathrm {in} }^{\dagger }}$ мы получаем:

${\displaystyle \langle 0|\varphi _{\mathrm {in} }(x)|p\rangle ={\frac {e^{-ip\cdot x}}{(2\pi )^{\frac {3}{2}}}}}$

приводя к отношению:

${\displaystyle \langle 0|\varphi (0)|p\rangle ={\sqrt {\frac {Z}{(2\pi )^{3}}}}}$

на что значение Z могут быть вычислены при условии, что кто-то знает, как вычислить ${\displaystyle \langle 0|\varphi (0)|p\rangle }$.

Рекомендации

• Оригинальная статья: Х. Леманн, К. Симанзик и В. Циммерман, «Zur Formulierung Quantisierter Feldtheorien», Nuovo Cimento 1(1), 205 (1955).
• Педагогический вывод формулы редукции LSZ можно найти в: М. Е. Пескин и Д. В. Шредер, Введение в квантовую теорию поля, Addison-Wesley, Reading, Massachusetts, 1995, раздел 7.2.