Уравнение Швингера – Дайсона - Schwinger–Dyson equation - Wikipedia

Фриман Дайсон в 2005 году

В Уравнения Швингера – Дайсона (ДЗО), или же Уравнения Дайсона – Швингера, названный в честь Джулиан Швингер и Фриман Дайсон, общие отношения между Зеленые функции в квантовые теории поля (QFT). Их также называют Уравнения Эйлера – Лагранжа. квантовых теорий поля, поскольку они уравнения движения соответствующей функции Грина.

Они образуют набор из бесконечного числа функционально-дифференциальных уравнений, связанных друг с другом, которые иногда называют бесконечной башней СДУ.

В своей статье «S-матрица в квантовой электродинамике»,^[1] Дайсон вывел отношения между разными S-матрица элементы, или более конкретные «одночастичные функции Грина», в квантовая электродинамика, суммируя бесконечно много Диаграммы Фейнмана, таким образом работая в пертурбативном подходе. Начиная с его вариационный принцип, Швингер получил систему уравнений для функций Грина непертурбативно:^[2] которые обобщают уравнения Дайсона на уравнения Швингера – Дайсона для функций Грина квантовые теории поля.

Сегодня они обеспечивают непертурбативный подход к квантовым теориям поля, и их приложения можно найти во многих областях теоретической физики, таких как физика твердого тела и физика элементарных частиц.

Швингер также вывел уравнение для двухчастичных неприводимых функций Грина:^[2] который сейчас называют неоднородным Уравнение Бете – Солпитера.

Вывод

Учитывая полиномиально ограниченный функциональный F над конфигурации поля, то для любого вектор состояния (который является решением QFT), ${\displaystyle |\psi \rangle }$, у нас есть

${\displaystyle \left\langle \psi \left|{\mathcal {T}}\left\{{\frac {\delta }{\delta \varphi }}F[\varphi ]\right\}\right|\psi \right\rangle =-i\left\langle \psi \left|{\mathcal {T}}\left\{F[\varphi ]{\frac {\delta }{\delta \varphi }}S[\varphi ]\right\}\right|\psi \right\rangle }$

куда S это действие функциональный и ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ это заказ времени операция.

Аналогично, в состояние плотности формулировке, для любого (действительного) состояния плотности ρ, мы имеем

${\displaystyle \rho \left({\mathcal {T}}\left\{{\frac {\delta }{\delta \varphi }}F[\varphi ]\right\}\right)=-i\rho \left({\mathcal {T}}\left\{F[\varphi ]{\frac {\delta }{\delta \varphi }}S[\varphi ]\right\}\right).}$

Эту бесконечную систему уравнений можно использовать для решения корреляционные функции непертурбативно.

Для подключения к схематическим техникам (например, Диаграммы Фейнмана ) более понятным, часто бывает удобно разбить действие S как S [φ] = 1/2 D⁻¹_ij φ^я φ^j+ S_int[φ], где первый член является квадратичной частью, а D⁻¹ - обратимый симметричный (антисимметричный для фермионов) ковариантный тензор второго ранга в обозначение де Витта обратное, D называется голый пропагатор и S_int это «действие взаимодействия». Затем мы можем переписать уравнения SD в виде

${\displaystyle \langle \psi |{\mathcal {T}}\{F\varphi ^{j}\}|\psi \rangle =\langle \psi |{\mathcal {T}}\{iF_{,i}D^{ij}-FS_{int,i}D^{ij}\}|\psi \rangle .}$

Если F функционал от φ, то для оператор K, F[K] определяется как оператор, заменяющий K для φ. Например, если

${\displaystyle F[\varphi ]={\frac {\partial ^{k_{1}}}{\partial x_{1}^{k_{1}}}}\varphi (x_{1})\cdots {\frac {\partial ^{k_{n}}}{\partial x_{n}^{k_{n}}}}\varphi (x_{n})}$

и грамм является функционалом J, тогда

${\displaystyle F\left[-i{\frac {\delta }{\delta J}}\right]G[J]=(-i)^{n}{\frac {\partial ^{k_{1}}}{\partial x_{1}^{k_{1}}}}{\frac {\delta }{\delta J(x_{1})}}\cdots {\frac {\partial ^{k_{n}}}{\partial x_{n}^{k_{n}}}}{\frac {\delta }{\delta J(x_{n})}}G[J].}$

Если у нас есть "аналитический "(функция, которая локально задается сходящимся степенным рядом) функциональный Z (называется производящий функционал ) из J (называется исходное поле ) удовлетворение

${\displaystyle {\frac {\delta ^{n}Z}{\delta J(x_{1})\cdots \delta J(x_{n})}}[0]=i^{n}Z[0]\langle \varphi (x_{1})\cdots \varphi (x_{n})\rangle ,}$

то из свойств функциональных интегралов

${\displaystyle {\left\langle {\frac {\delta {\mathcal {S}}}{\delta \varphi (x)}}\left[\varphi \right]+J(x)\right\rangle }_{J}=0,}$

уравнение Швингера – Дайсона для производящего функционала имеет вид

${\displaystyle {\frac {\delta S}{\delta \varphi (x)}}\left[-i{\frac {\delta }{\delta J}}\right]Z[J]+J(x)Z[J]=0.}$

Если мы разложим это уравнение как Серия Тейлор о J = 0, получаем всю систему уравнений Швингера – Дайсона.

Пример: φ⁴

В качестве примера предположим

${\displaystyle S[\varphi ]=\int d^{d}x\left({\frac {1}{2}}\partial ^{\mu }\varphi (x)\partial _{\mu }\varphi (x)-{\frac {1}{2}}m^{2}\varphi (x)^{2}-{\frac {\lambda }{4!}}\varphi (x)^{4}\right)}$

для реального поляφ.

Потом,

${\displaystyle {\frac {\delta S}{\delta \varphi (x)}}=-\partial _{\mu }\partial ^{\mu }\varphi (x)-m^{2}\varphi (x)-{\frac {\lambda }{3!}}\varphi (x)^{3}.}$

Уравнение Швингера-Дайсона для этого конкретного примера:

${\displaystyle i\partial _{\mu }\partial ^{\mu }{\frac {\delta }{\delta J(x)}}Z[J]+im^{2}{\frac {\delta }{\delta J(x)}}Z[J]-{\frac {i\lambda }{3!}}{\frac {\delta ^{3}}{\delta J(x)^{3}}}Z[J]+J(x)Z[J]=0}$

Обратите внимание, что поскольку

${\displaystyle {\frac {\delta ^{3}}{\delta J(x)^{3}}}}$

не вполне определен, потому что

${\displaystyle {\frac {\delta ^{3}}{\delta J(x_{1})\delta J(x_{2})\delta J(x_{3})}}Z[J]}$

это распределение в

Икс₁, Икс₂ и Икс₃,

это уравнение должно быть упорядоченный.

В этом примере голый пропагатор, D - это Функция Грина за ${\displaystyle -\partial ^{\mu }\partial _{\mu }-m^{2}}$ Итак, система уравнений SD имеет вид

${\displaystyle {\begin{aligned}&\langle \psi \mid {\mathcal {T}}\{\varphi (x_{0})\varphi (x_{1})\}\mid \psi \rangle \\[4pt]={}&iD(x_{0},x_{1})+{\frac {\lambda }{3!}}\int d^{d}x_{2}\,D(x_{0},x_{2})\langle \psi \mid {\mathcal {T}}\{\varphi (x_{1})\varphi (x_{2})\varphi (x_{2})\varphi (x_{2})\}\mid \psi \rangle \end{aligned}}}$

и

${\displaystyle {\begin{aligned}&\langle \psi \mid {\mathcal {T}}\{\varphi (x_{0})\varphi (x_{1})\varphi (x_{2})\varphi (x_{3})\}\mid \psi \rangle \\[6pt]={}&iD(x_{0},x_{1})\langle \psi \mid {\mathcal {T}}\{\varphi (x_{2})\varphi (x_{3})\}\mid \psi \rangle +iD(x_{0},x_{2})\langle \psi \mid {\mathcal {T}}\{\varphi (x_{1})\varphi (x_{3})\}\mid \psi \rangle \\[4pt]&{}+iD(x_{0},x_{3})\langle \psi \mid {\mathcal {T}}\{\varphi (x_{1})\varphi (x_{2})\}\mid \psi \rangle \\[4pt]&{}+{\frac {\lambda }{3!}}\int d^{d}x_{4}\,D(x_{0},x_{4})\langle \psi \mid {\mathcal {T}}\{\varphi (x_{1})\varphi (x_{2})\varphi (x_{3})\varphi (x_{4})\varphi (x_{4})\varphi (x_{4})\}\mid \psi \rangle \end{aligned}}}$

и Т. Д.

(Если нет спонтанное нарушение симметрии, нечетные корреляционные функции обращаются в нуль.)

Смотрите также

• Функциональная ренормализационная группа
• Уравнение Дайсона
• Формулировка интеграла по путям

Рекомендации

1. Ф. Дайсон (1949). "S-матрица в квантовой электродинамике". Phys. Rev. 75: 1736. Bibcode:1949ПхРв ... 75.1736Д. Дои:10.1103 / PhysRev.75.1736.
2. Дж. Швингер (1951). «О функциях Грина квантованных полей I + II». PNAS. 37: 452–459. Bibcode:1951ПНАС ... 37..452С. Дои:10.1073 / pnas.37.7.452. ЧВК  1063400. PMID  16578383.

дальнейшее чтение

Не так много книг, посвященных уравнениям Швингера – Дайсона. Вот три стандартных справочника:

• Клод Ициксон, Жан-Бернар Зубер (1980). Квантовая теория поля. Макгроу-Хилл.
• Р.Дж. Реки (1990). Методы интегралов по путям в квантовых теориях поля. Издательство Кембриджского университета.
• В.П. Наир (2005). Квантовая теория поля в современной перспективе. Springer.

Есть обзорная статья о приложениях уравнений Швингера – Дайсона в специальных областях физики. Для приложений к Квантовая хромодинамика Существуют

• Р. Алкофер и Л. фон Смекал (2001). «Об инфракрасном поведении функций Грина КХД». Phys. Представитель. 353: 281. arXiv:hep-ph / 0007355. Bibcode:2001ФР ... 353..281А. Дои:10.1016 / S0370-1573 (01) 00010-2.
• CD. Робертс и А.Г. Уильямс (1994). «Уравнения Дайсона-Швингера и их приложения в физике адронов». Прог. Часть. Nucl. Phys. 33: 477. arXiv:hep-ph / 9403224. Bibcode:1994ПрПНП..33..477Р. Дои:10.1016/0146-6410(94)90049-3.