Самодвойственное действие Палатини - Self-dual Palatini action - Wikipedia

Переменные Аштекара, которые были новым каноническим формализмом общая теория относительности, возродили новые надежды на каноническое квантование общей теории относительности и в конечном итоге привели к петля квантовой гравитации. Смолин и другие независимо друг от друга обнаружили, что на самом деле существует лагранжева формулировка теории, рассмотрев самодуальную формулировку теории Tetradic Palatini действие принцип общей теории относительности.^[1][2][3] Эти доказательства были даны в терминах спиноров. Чисто тензорное доказательство новых переменных в терминах триад было дано Голдбергом.^[4] и в терминах тетрад Хенно и др.^[5].

Действие Палатини

Основные статьи: Действие Эйнштейна – Гильберта, Поля кадра в общей теории относительности, спин-соединение, и Tetradic Palatini действие

Действие Палатини для общая теория относительности имеет в качестве независимых переменных тетраду ${\displaystyle e_{I}^{\alpha }}$ и спин-соединение ${\displaystyle {\omega _{\alpha }}^{IJ}}$. Более подробную информацию и выводы можно найти в статье. тетрадное действие Палатини. Спиновое соединение определяет ковариантная производная ${\displaystyle D_{\alpha }}$. Метрика пространства-времени восстанавливается из тетрады по формуле ${\displaystyle g_{\alpha \beta }=e_{\alpha }^{I}e_{\beta }^{J}\eta _{IJ}.}$ Определим "кривизну" как

${\displaystyle {\Omega _{\alpha \beta }}^{IJ}=\partial _{\alpha }{\omega _{\beta }}^{IJ}-\partial _{\beta }{\omega _{\alpha }}^{IJ}+\omega _{\alpha }^{IK}{\omega _{\beta K}}^{J}-\omega _{\beta }^{IK}{\omega _{\alpha K}}^{J}\qquad Eq.1.}$

В Скаляр Риччи этой кривизны определяется выражением ${\displaystyle e_{I}^{\alpha }e_{J}^{\beta }{\Omega _{\alpha \beta }}^{IJ}}$. Действие Палатини для общей теории относительности гласит

${\displaystyle S=\int d^{4}x\;e\;e_{I}^{\alpha }e_{J}^{\beta }\;{\Omega _{\alpha \beta }}^{IJ}[\omega ]}$

куда ${\displaystyle e={\sqrt {-g}}}$. Вариация по спиновой связи ${\displaystyle {\omega _{\alpha }}^{IJ}}$ означает, что спиновая связь определяется условием совместимости ${\displaystyle D_{\alpha }e_{I}^{\beta }=0}$ и, следовательно, становится обычной ковариантной производной ${\displaystyle \nabla _{\alpha }}$. Следовательно, соединение становится функцией тетрад, а кривизна ${\displaystyle {\Omega _{\alpha \beta }}^{IJ}}$ заменяется кривизной ${\displaystyle {R_{\alpha \beta }}^{IJ}}$ из ${\displaystyle \nabla _{\alpha }}$. потом ${\displaystyle e_{I}^{\alpha }e_{J}^{\beta }{R_{\alpha \beta }}^{IJ}}$ фактический скаляр Риччи ${\displaystyle R}$. Вариация по тетраде дает уравнение Эйнштейна

${\displaystyle R_{\alpha \beta }-{1 \over 2}g_{\alpha \beta }R=0.}$

Самодуальные переменные

(Анти-) самодуальные части тензора

Нам понадобится так называемый тензор полной антисимметрии или Символ Леви-Чивита, ${\displaystyle \varepsilon _{IJKL}}$, который равен +1 или -1 в зависимости от того, ${\displaystyle IJKL}$ является либо четной, либо нечетной перестановкой ${\displaystyle 0123}$соответственно, и ноль, если любые два индекса принимают одинаковое значение. Внутренние индексы ${\displaystyle \varepsilon _{IJKL}}$ поднимаются с помощью метрики Минковского ${\displaystyle \eta ^{IJ}}$.

Теперь для любого антисимметричного тензора ${\displaystyle T^{IJ}}$, мы определяем его двойственный как

${\displaystyle *T^{IJ}={1 \over 2}{\varepsilon _{KL}}^{IJ}T^{KL}.}$

Самодуальная часть любого тензора ${\displaystyle T^{IJ}}$ определяется как

${\displaystyle {}^{+}T^{IJ}:={1 \over 2}\left(T^{IJ}-{i \over 2}{\varepsilon _{KL}}^{IJ}T^{KL}\right)}$

с анти-самодвойственной частью, определяемой как

${\displaystyle {}^{-}T^{IJ}:={1 \over 2}\left(T^{IJ}+{i \over 2}{\varepsilon _{KL}}^{IJ}T^{KL}\right)}$

(появление мнимой единицы ${\displaystyle i}$ относится к Подпись Минковского как мы увидим ниже).

Тензорное разложение

Теперь для любого антисимметричного тензора ${\displaystyle T^{IJ}}$, мы можем разложить его как

${\displaystyle T^{IJ}={\frac {1}{2}}\left(T^{IJ}-{\frac {i}{2}}{\varepsilon _{KL}}^{IJ}T^{KL}\right)+{\frac {1}{2}}\left(T^{IJ}+{\frac {i}{2}}{\varepsilon _{KL}}^{IJ}T^{KL}\right)={}^{+}T^{IJ}+{}^{-}T^{IJ}}$

куда ${\displaystyle {}^{+}T^{IJ}}$ и ${\displaystyle {}^{-}T^{IJ}}$ являются самодвойственной и анти-самодвойственной частями ${\displaystyle T^{IJ}}$ соответственно. Определим проектор на (анти) самодуальной части любого тензора как

${\displaystyle P^{(\pm )}={1 \over 2}(1\mp i*).}$

Значение этих проекторов можно объяснить. Давайте сконцентрируемся на ${\displaystyle P^{+}}$,

${\displaystyle \left(P^{+}T\right)^{IJ}=\left({1 \over 2}(1-i*)T\right)^{IJ}={1 \over 2}\left({\delta ^{I}}_{K}{\delta ^{J}}_{L}-i{1 \over 2}{\varepsilon _{KL}}^{IJ}\right)T^{KL}={1 \over 2}\left(T^{IJ}-{i \over 2}{\varepsilon _{KL}}^{IJ}T^{KL}\right)={}^{+}T^{IJ}.}$

потом

${\displaystyle {}^{\pm }T^{IJ}=\left(P^{(\pm )}T\right)^{IJ}.}$

Скобка Ли

Важным объектом является Кронштейн лжи определяется

${\displaystyle [F,G]^{IJ}:=F^{IK}{G_{K}}^{J}-G^{IK}{F_{K}}^{J},}$

он появляется в тензоре кривизны (см. последние два члена уравнения 1), он также определяет алгебраическую структуру. У нас есть результаты (доказанные ниже):

${\displaystyle P^{(\pm )}[F,G]^{IJ}=\left[P^{(\pm )}F,G\right]^{IJ}=\left[F,P^{(\pm )}G\right]^{IJ}=\left[P^{(\pm )}F,P^{(\pm )}G\right]^{IJ}\qquad Eq.2}$

и

${\displaystyle [F,G]=\left[P^{+}F,P^{+}G\right]+\left[P^{-}F,P^{-}G\right].}$

То есть скобка Ли, определяющая алгебру, распадается на две отдельные независимые части. Мы пишем

${\displaystyle {\mathfrak {so}}(1,3)_{\mathbb {C} }={\mathfrak {so}}(1,3)_{\mathbb {C} }^{+}+{\mathfrak {so}}(1,3)_{\mathbb {C} }^{-}}$

куда ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(1,3)_{\mathbb {C} }^{\pm }}$ содержит только самодуальные (анти-самодуальные) элементы ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(1,3)_{\mathbb {C} }.}$

Самодвойственное действие Палатини

Определим самодуальную часть, ${\displaystyle {A_{\alpha }}^{IJ}}$, связи ${\displaystyle {\omega _{\alpha }}^{IJ}}$ в качестве

${\displaystyle {A_{\alpha }}^{IJ}={1 \over 2}\left({\omega _{\alpha }}^{IJ}-{i \over 2}{\varepsilon _{KL}}^{IJ}{\omega _{\alpha }}^{KL}\right),}$

что можно более компактно записать

${\displaystyle {A_{\alpha }}^{IJ}=\left(P^{+}\omega _{\alpha }\right)^{IJ}.}$

Определять ${\displaystyle {F_{\alpha \beta }}^{IJ}}$ как кривизна самодвойственной связи

${\displaystyle {F_{\alpha \beta }}^{IJ}=\partial _{\alpha }{A_{\beta }}^{IJ}-\partial _{\beta }{A_{\alpha }}^{IJ}+{A_{\alpha }}^{IK}{A_{\beta K}}^{J}-{A_{\beta }}^{IK}{A_{\alpha K}}^{J}.}$

Используя уравнение. 2 легко видеть, что кривизна самодвойственной связи является самодуальной частью кривизны связи,

${\displaystyle {\begin{aligned}{F_{\alpha \beta }}^{IJ}&=\partial _{\alpha }\left(P^{+}\omega _{\beta }\right)^{IJ}-\partial _{\beta }\left(P^{+}\omega _{\alpha }\right)^{IJ}+\left[P^{+}\omega _{\alpha },P^{+}\omega _{\beta }\right]^{IJ}\\&=\left(P^{+}2\partial _{[\alpha }\omega _{\beta ]}\right)^{IJ}+\left(P^{+}[\omega _{\alpha },\omega _{\beta }]\right)^{IJ}\\&=\left(P^{+}\Omega _{\alpha \beta }\right)^{IJ}\end{aligned}}}$

Самодвойственное действие

${\displaystyle S=\int d^{4}x\;e\;e_{I}^{\alpha }e_{J}^{\beta }\;{F_{\alpha \beta }}^{IJ}.}$

Поскольку связь сложная, мы имеем дело со сложной общей теорией относительности, и для восстановления реальной теории необходимо указать соответствующие условия. Можно повторить те же вычисления, что и для действия Палатини, но теперь относительно самодвойственной связи. ${\displaystyle {A_{\alpha }}^{IJ}}$. Варьируя тетрадное поле, получаем самодуальный аналог уравнения Эйнштейна:

${\displaystyle {}^{+}R_{\alpha \beta }-{1 \over 2}g_{\alpha \beta }{}^{+}R=0.}$

То, что кривизна самодвойственной связи является самодвойственной частью кривизны связи, помогает упростить формализм 3 + 1 (подробности разложения в формализм 3 + 1 будут приведены ниже). Получающийся гамильтонов формализм напоминает гамильтонов формализм Ян-Миллс калибровочная теория (этого не происходит с формализмом Палатини 3 + 1, который в основном сводится к обычному формализму ADM).

Вывод основных результатов для самодуальных переменных.

Результаты выполненных здесь вычислений можно найти в главе 3 заметок Аштекарские переменные в классической теории относительности.^[6] Метод доказательства следует тому, который приведен в разделе II. Гамильтониан Аштекара общей теории относительности.^[7] Нам необходимо установить некоторые результаты для (анти) самодуальных лоренцевых тензоров.

Тождества для полностью антисимметричного тензора

С ${\displaystyle \eta _{IJ}}$ есть подпись ${\displaystyle (-,+,+,+)}$, следует, что

${\displaystyle \varepsilon ^{IJKL}=-\varepsilon _{IJKL}.}$

чтобы увидеть это, подумайте,

${\displaystyle \varepsilon ^{0123}=\eta ^{0I}\eta ^{1J}\eta ^{2K}\eta ^{3L}\varepsilon _{IJKL}=(-1)(1)(1)(1)\varepsilon _{0123}=-\varepsilon _{0123}.}$

С помощью этого определения можно получить следующие тождества,

${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon ^{IJKO}\varepsilon _{LMNO}&=-6\delta _{[L}^{I}\delta _{M}^{J}\delta _{N]}^{K}&&{\text{Eq. 3}}\\\varepsilon ^{IJMN}\varepsilon _{KLMN}&=-4\delta _{[K}^{I}\delta _{L]}^{J}=-2\left(\delta _{K}^{I}\delta _{L}^{J}-\delta _{L}^{I}\delta _{K}^{J}\right)&&{\text{Eq. 4}}\end{aligned}}}$

(квадратные скобки обозначают антисимметризацию по индексам).

Определение самодуального тензора

Как следует из уравнения. 4 видно, что квадрат оператора двойственности минус тождество,

${\displaystyle **T^{IJ}={1 \over 4}{\varepsilon _{KL}}^{IJ}{\varepsilon _{MN}}^{KL}T^{MN}=-T^{IJ}}$

Знак минус здесь из-за знака минус в уравнении. 4, что, в свою очередь, связано с подписью Минковского. Если бы мы использовали евклидову подпись, т.е. ${\displaystyle (+,+,+,+)}$, вместо этого был бы положительный знак. Мы определяем ${\displaystyle S^{IJ}}$ быть самодуальным тогда и только тогда, когда

${\displaystyle *S^{IJ}=iS^{IJ}.}$

(с евклидовой подписью условие самодуальности было бы ${\displaystyle *S^{IJ}=S^{IJ}}$). Сказать ${\displaystyle S^{IJ}}$ самодвойственен, запишите его как реальную и мнимую часть,

${\displaystyle S^{IJ}={1 \over 2}T^{IJ}+{\frac {i}{2}}U^{IJ}.}$

Запишите самодуальное условие в терминах ${\displaystyle U}$ и ${\displaystyle V}$,

${\displaystyle *\left(T^{IJ}+iU^{IJ}\right)={1 \over 2}{\varepsilon _{KL}}^{IJ}\left(T^{KL}+iU^{KL}\right)=i\left(T^{IJ}+iU^{IJ}\right).}$

Приравнивая реальные части считываем

${\displaystyle U^{IJ}=-{1 \over 2}{\varepsilon _{KL}}^{IJ}T^{KL}}$

и так

${\displaystyle S^{IJ}={1 \over 2}\left(T^{IJ}-{i \over 2}{\varepsilon _{KL}}^{IJ}T^{KL}\right)}$

куда ${\displaystyle T^{IJ}}$ это настоящая часть ${\displaystyle 2S^{IJ}}$.

Важный долгий расчет

Доказательство уравнения. 2 в прямом эфире. Начнем с получения первоначального результата. Все остальные важные формулы легко вытекают из него. Из определения скобки Ли и с использованием основного тождества Ур. 3 у нас есть

${\displaystyle {\begin{aligned}*[F,*G]^{IJ}&={\frac {1}{2}}{\varepsilon _{MN}}^{IJ}\left(F^{MK}{(*G)_{K}}^{N}-(*G)^{MK}{F_{K}}^{N}\right)\\&={\frac {1}{2}}{\varepsilon _{MN}}^{IJ}\left(F^{MK}{\frac {1}{2}}{\varepsilon _{OPK}}^{N}G^{OP}-{\frac {1}{2}}{\varepsilon _{OP}}^{MK}G^{OP}{F_{K}}^{N}\right)\\&={1 \over 4}\left({\varepsilon _{MN}}^{IJ}{\varepsilon _{OP}}^{KN}+{\varepsilon _{NM}}^{IJ}{\varepsilon _{OP}}^{NK}\right){F^{M}}_{K}G^{OP}\\&={1 \over 2}{\varepsilon _{MN}}^{IJ}{\varepsilon _{OP}}^{KN}{F^{M}}_{K}G^{OP}\\&={1 \over 2}\varepsilon ^{MIJN}\varepsilon _{OPKN}{F_{M}}^{K}G^{OP}\\&=-{\frac {1}{2}}\varepsilon ^{KIJN}\varepsilon _{OPMN}{F^{M}}_{K}G^{OP}\\&={\frac {1}{2}}\left(\delta _{O}^{K}\delta _{P}^{I}\delta _{M}^{J}+\delta _{M}^{K}\delta _{O}^{I}\delta _{P}^{J}+\delta _{P}^{K}\delta _{M}^{I}\delta _{O}^{J}-\delta _{P}^{K}\delta _{O}^{I}\delta _{M}^{J}-\delta _{M}^{K}\delta _{P}^{I}\delta _{O}^{J}-\delta _{O}^{K}\delta _{M}^{I}\delta _{P}^{J}\right){F^{M}}_{K}G^{OP}\\&={\frac {1}{2}}\left({F^{J}}_{K}G^{KI}+{F^{K}}_{K}G^{IJ}+{F^{I}}_{K}G^{JK}-{F^{J}}_{K}G^{IK}-{F^{K}}_{K}G^{JI}-{F^{I}}_{K}G^{KJ}\right)\\&=-F^{IK}{G_{K}}^{J}+G^{IK}{F_{K}}^{J}\\&=-[F,G]^{IJ}\end{aligned}}}$

Это дает формулу

${\displaystyle *[F,*G]^{IJ}=-[F,G]^{IJ}\qquad Eq.5.}$

Получение важных результатов

Теперь, используя уравнение 5 в сочетании с ${\displaystyle **=-1}$ мы получаем

${\displaystyle *(-[F,G]^{IJ})=*(*[F,*G]^{IJ})=**[F,*G]^{IJ}=-[F,*G]^{IJ}.}$

Итак, у нас есть

${\displaystyle *[F,G]^{IJ}=[F,*G]^{IJ}\qquad Eq.6.}$

Учитывать

${\displaystyle *[F,G]^{IJ}=-*[G,F]^{IJ}=-[G,*F]^{IJ}=[*F,G]^{IJ}.}$

где на первом этапе мы использовали антисимметрию скобки Ли, чтобы поменять местами ${\displaystyle F}$ и ${\displaystyle G}$, на втором шаге мы использовали ${\displaystyle Eq.6}$ и на последнем шаге мы снова использовали антисимметрию скобки Ли. Итак, у нас есть

${\displaystyle *[F,G]^{IJ}=[*F,G]^{IJ}\qquad Eq.7.}$

потом

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(P^{(\pm )}[F,G]\right)^{IJ}&={1 \over 2}\left([F,G]^{IJ}\mp i*[F,G]^{IJ}\right)\\&={1 \over 2}\left([F,G]^{IJ}+[F,\mp i*G]^{IJ}\right)\\&=\left[F,P^{(\pm )}G\right]^{IJ}&&{\text{Eq. 8}}\end{aligned}}}$

где мы использовали уравнение. 6 идет от первой строки ко второй строке. Аналогично у нас есть

${\displaystyle \left(P^{(\pm )}[F,G]\right)^{IJ}=[P^{(\pm )}F,G]^{IJ}\qquad Eq.9}$

используя уравнение 7. Теперь, когда ${\displaystyle P^{(\pm )}}$ это проекция это удовлетворяет ${\displaystyle (P^{(\pm )})^{2}=P^{(\pm )}}$, что легко проверить прямым вычислением:

${\displaystyle {\begin{aligned}{}(P^{(\pm )})^{2}&={1 \over 4}(1\mp i*)(1\mp i*)\\{}&={1 \over 4}(1-**\mp 2i*)\\{}&={1 \over 4}(2\mp 2i*)\\{}&=P^{(\pm )}\end{aligned}}}$

Применяя это в сочетании с формулой. 8 и уравнение. 9 получаем

${\displaystyle {\begin{aligned}{}\left(P^{(\pm )}[F,G]\right)^{IJ}&=\left((P^{(\pm )})^{2}[F,G]\right)^{IJ}\\&=\left(P^{(\pm )}[F,P^{(\pm )}G]\right)^{IJ}\\{}&=[P^{(\pm )}F,P^{(\pm )}G]^{IJ}\qquad Eq.10.\end{aligned}}}$

Из уравнения. 10 и уравнение. 9 у нас есть

${\displaystyle \left[P^{(\pm )}F,P^{(\pm )}G\right]^{IJ}=\left[P^{(\pm )}F,G\right]^{IJ}=\left[P^{(\pm )}F,P^{(\pm )}G+P^{(\mp )}G\right]^{IJ}=\left[P^{(\pm )}F,P^{(\pm )}G\right]^{IJ}+\left[P^{(\pm )}F,P^{(\mp )}G\right]^{IJ}}$

где мы использовали это ${\displaystyle G}$ можно записать как сумму его самодуальной и антисефодуальной частей, т. е. ${\displaystyle G=P^{(\pm )}G+P^{(\mp )}G}$. Из этого следует:

${\displaystyle {\begin{aligned}{}\left[P^{+}F,P^{-}G\right]^{IJ}&=0\\{}\left[P^{-}F,P^{+}G\right]^{IJ}&=0\end{aligned}}}$

Резюме основных результатов

Всего у нас есть,

${\displaystyle \left(P^{(\pm )}[F,G]\right)^{IJ}=\left[P^{(\pm )}F,G\right]^{IJ}=\left[F,P^{(\pm )}G\right]^{IJ}=\left[P^{(\pm )}F,P^{(\pm )}G\right]^{IJ}}$

что является нашим основным результатом, уже изложенным выше как уравнение. 2. Также мы имеем, что любая скобка разбивается как

${\displaystyle [F,G]^{IJ}=\left[P^{+}F+P^{-}F,P^{+}G+P^{-}F\right]^{IJ}=\left[P^{+}F,P^{+}G\right]^{IJ}+\left[P^{-}F,P^{-}G\right]^{IJ}.}$

в часть, которая зависит только от самодуальных лоренцевых тензоров и сама является самодуальной частью ${\displaystyle [F,G]^{IJ},}$ и часть, которая зависит только от анти-самодуальных лоренцевых тензоров и является анти-самодуальной частью ${\displaystyle [F,G]^{IJ}.}$

Вывод формализма Аштекара из самодвойственного действия

Приведенное здесь доказательство следует за доказательством, данным в лекциях Хорхе Пуллин^[8]

В Палатини действие

${\displaystyle S(e,\omega )=\int d^{4}xee_{I}^{a}e_{J}^{b}{\Omega _{ab}}^{IJ}[\omega ]\qquad Eq.11}$

где тензор Риччи, ${\displaystyle {\Omega _{ab}}^{IJ}}$, считается построенным исключительно из связи ${\displaystyle \omega _{a}^{IJ}}$, не используя поле кадра. Вариация относительно тетрады дает уравнения Эйнштейна, записанные в терминах тетрад, но для тензора Риччи, построенного из связи, которая не имеет априорной связи с тетрадой. Вариация связи говорит нам, что соединение удовлетворяет обычному условию совместимости

${\displaystyle D_{b}e_{a}^{I}=0.}$

Это определяет связь в терминах тетрады, и мы восстанавливаем обычный тензор Риччи.

Автодуальное действие для общей теории относительности приведено выше.

${\displaystyle S(e,A)=\int d^{4}xee_{I}^{a}e_{J}^{b}{F_{ab}}^{IJ}[A]}$

куда ${\displaystyle F}$ кривизна ${\displaystyle A}$, самодуальная часть ${\displaystyle \omega }$,

${\displaystyle A_{a}^{IJ}={1 \over 2}\left(\omega _{a}^{IJ}-{i \over 2}{\varepsilon ^{IJ}}_{MN}\omega _{a}^{MN}\right).}$

Было показано, что ${\displaystyle F[A]}$ самодвойственная часть ${\displaystyle \Omega [\omega ].}$

Позволять ${\displaystyle q_{b}^{a}=\delta _{b}^{a}+n^{a}n_{b}}$ быть проектором на три поверхности и определить векторные поля

${\displaystyle E_{I}^{a}=q_{b}^{a}e_{I}^{b},}$

которые ортогональны ${\displaystyle n^{a}}$.

Письмо

${\displaystyle E_{I}^{a}=\left(\delta _{b}^{a}+n_{b}n^{a}\right)e_{I}^{b}}$

тогда мы можем написать

${\displaystyle {\begin{aligned}\int &d^{4}x\left(eE_{I}^{a}E_{J}^{b}{F_{ab}}^{IJ}-2eE_{I}^{a}e_{J}^{d}n_{d}n^{b}{F_{ab}}^{IJ}\right)=\\&=\int d^{4}x\left(e\left(\delta _{c}^{a}+n_{c}n^{a}\right)e_{I}^{c}\left(\delta _{d}^{b}+n_{d}n^{b}\right)e_{J}^{d}{F_{ab}}^{IJ}-2e\left(\delta _{c}^{a}+n_{c}n^{a}\right)e_{I}^{c}e_{J}^{d}n_{d}n^{b}{F_{ab}}^{IJ}\right)\\&=\int d^{4}x\left(ee_{I}^{a}e_{J}^{b}{F_{ab}}^{IJ}+en_{c}n^{a}e_{I}^{c}e_{J}^{b}{F_{ab}}^{IJ}+ee_{I}^{a}n_{d}n^{b}e_{J}^{d}{F_{ab}}^{IJ}+en_{c}n^{a}n_{d}n^{b}E_{I}^{c}E_{J}^{d}{F_{ab}}^{IJ}-2ee_{I}^{a}e_{J}^{d}n_{d}n^{b}{F_{ab}}^{IJ}-2n_{c}n^{a}e_{I}^{c}e_{J}^{d}n_{d}n^{b}{F_{ab}}^{IJ}\right)\\&=\int d^{4}xee_{I}^{a}e_{J}^{b}{F_{ab}}^{IJ}\\&=S(E,A)\end{aligned}}}$

где мы использовали ${\displaystyle {F_{ab}}^{IJ}={F_{ba}}^{JI}}$ и ${\displaystyle n^{a}n^{b}F_{ab}^{i}=0}$.

Так действие можно записать

${\displaystyle S(E,A)=\int d^{4}x\left(eE_{I}^{a}E_{J}^{b}{F_{ab}}^{IJ}-2eE_{I}^{a}e_{J}^{d}n_{d}n^{b}{F_{ab}}^{IJ}\right)\qquad Eq.12}$

У нас есть ${\displaystyle e=N{\sqrt {q}}}$. Теперь определим

${\displaystyle {\tilde {E}}_{I}^{a}={\sqrt {q}}E_{I}^{a}}$

Внутренний тензор ${\displaystyle S^{IJ}}$ самодуальна тогда и только тогда, когда

${\displaystyle *S^{IJ}:={1 \over 2}{\varepsilon ^{IJ}}_{MN}S^{MN}=iS^{IJ}}$

и учитывая кривизну ${\displaystyle {F_{ab}}^{IJ}}$ самодвойственный мы имеем

${\displaystyle {F_{ab}}^{IJ}=-i{1 \over 2}{\varepsilon ^{IJ}}_{MN}{F_{ab}}^{MN}}$

Подставляя это в действие (уравнение 12), мы имеем

${\displaystyle S(E,A)=\int d^{4}x\left(-i{\frac {1}{2}}\left({\frac {N}{\sqrt {q}}}\right){\tilde {E}}_{I}^{a}{\tilde {E}}_{J}^{b}{\varepsilon ^{IJ}}_{MN}{F_{ab}}^{MN}-2Nn^{b}{\tilde {E}}_{I}^{a}n_{J}{F_{ab}}^{IJ}\right)}$

где мы обозначили ${\displaystyle n_{J}=e_{J}^{d}n_{d}}$. Подбираем калибр ${\displaystyle {\tilde {E}}_{0}^{a}=0}$ и ${\displaystyle n^{I}=\delta _{0}^{I}}$ (это означает ${\displaystyle n_{I}=\eta _{IJ}n^{J}=\eta _{00}\delta _{0}^{I}=-\delta _{0}^{I}}$). Письмо ${\displaystyle \varepsilon _{IJKL}n^{L}=\varepsilon _{IJK}}$, который в этой калибровке ${\displaystyle \varepsilon _{IJK0}=\varepsilon _{IJK}}$. Следовательно,

${\displaystyle {\begin{aligned}S(E,A)&=\int d^{4}x\left(-i{1 \over 2}\left({N \over {\sqrt {q}}}\right){\tilde {E}}_{I}^{a}{\tilde {E}}_{J}^{b}\left({\varepsilon ^{IJ}}_{M0}{F_{ab}}^{M0}+{\varepsilon ^{IJ}}_{0M}{F_{ab}}^{0M}\right)-2Nn^{b}{\tilde {E}}_{I}^{a}n_{J}{F_{ab}}^{IJ}\right)\\&=\int d^{4}x\left(-i\left({N \over {\sqrt {q}}}\right){\tilde {E}}_{I}^{a}{\tilde {E}}_{J}^{b}{\varepsilon ^{IJ}}_{M}{F_{ab}}^{M0}+2Nn^{b}{\tilde {E}}_{I}^{a}{F_{ab}}^{I0}\right)\end{aligned}}}$

Индексы ${\displaystyle I,J,M}$ диапазон более ${\displaystyle 1,2,3}$ и мы обозначим их строчными буквами через мгновение. Самодуальностью ${\displaystyle A_{a}^{IJ}}$,

${\displaystyle A_{a}^{i0}=-i{1 \over 2}{\varepsilon ^{i0}}_{jk}A_{a}^{jk}=i{1 \over 2}{\varepsilon ^{i}}_{jk}A_{a}^{jk}=iA_{a}^{i}.}$

где мы использовали

${\displaystyle {\varepsilon ^{i0}}_{jk}=-{\varepsilon ^{i}}_{0jk}=-{\varepsilon ^{i}}_{jk0}=-{\varepsilon ^{i}}_{jk}.}$

Из этого следует

${\displaystyle {\begin{aligned}{F_{ab}}^{i0}&=\partial _{a}A_{b}^{i0}-\partial _{b}A_{a}^{i0}+A_{a}^{ik}{A_{bk}}^{0}-A_{b}^{ik}{A_{ak}}^{0}\\&=i\left(\partial _{a}A_{b}^{i}-\partial _{b}A_{a}^{i}+A_{a}^{ik}A_{bk}-A_{b}^{ik}A_{ak}\right)\\&=i\left(\partial _{a}A_{b}^{i}-\partial _{b}A_{a}^{i}+\varepsilon _{ijk}A_{a}^{j}A_{b}^{k}\right)\\&=iF_{ab}^{i}\end{aligned}}}$

Заменим во втором члене в действии ${\displaystyle Nn^{b}}$ к ${\displaystyle t^{b}-n^{b}}$. Нам нужно

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{t}A_{b}^{i}=t^{a}\partial _{a}A_{b}^{i}+A_{a}^{i}\partial _{b}t^{a}}$

и

${\displaystyle {\mathcal {D}}_{b}\left(t^{a}A_{a}^{i}\right)=\partial _{b}\left(t^{a}A_{a}^{i}\right)+\varepsilon _{ijk}A_{b}^{j}\left(t^{a}A_{a}^{k}\right)}$

чтобы получить

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{t}A_{b}^{i}-{\mathcal {D}}_{b}\left(t^{a}A_{a}^{i}\right)=t^{a}\left(\partial _{a}A_{b}^{i}-\partial _{b}A_{a}^{i}+\varepsilon _{ijk}A_{a}^{j}A_{b}^{k}\right)=t^{a}F_{ab}^{i}.}$

Действие становится

${\displaystyle {\begin{aligned}S&=\int d^{4}x\left(-i\left({N \over {\sqrt {q}}}\right){\tilde {E}}_{I}^{a}{\tilde {E}}_{J}^{b}{\varepsilon ^{IJ}}_{M}{F_{ab}}^{M0}-2\left(t^{a}-N^{a}\right){\tilde {E}}_{I}^{b}{F_{ab}}^{I0}\right)\\&=\int d^{4}x\left(-2i{\tilde {E}}_{i}^{b}{\mathcal {L}}_{t}A_{b}^{i}+2i{\tilde {E}}_{i}^{b}{\mathcal {D}}_{b}\left(t^{a}A_{a}^{i}\right)+2iN^{a}{\tilde {E}}_{i}^{b}F_{ab}^{i}-\left({N \over {\sqrt {q}}}\right)\varepsilon _{ijk}{\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}_{j}^{b}F_{ab}^{k}\right)\end{aligned}}}$

где мы поменяли местами фиктивные переменные ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ во втором члене первой строки. Интегрируя по частям по второму члену,

${\displaystyle {\begin{aligned}\int d^{4}x{\tilde {E}}_{i}^{b}{\mathcal {D}}_{b}\left(t^{a}A_{a}^{i}\right)&=\int dtd^{3}x{\tilde {E}}_{i}^{b}\left(\partial _{b}(t^{a}A_{a}^{i})+\varepsilon _{ijk}A_{b}^{j}(t^{a}A_{a}^{k})\right)\\&=-\int dtd^{3}xt^{a}A_{a}^{i}\left(\partial _{b}{\tilde {E}}_{i}^{b}+\varepsilon _{ijk}A_{b}^{j}{\tilde {E}}_{k}^{b}\right)\\&=-\int d^{4}xt^{a}A_{a}^{i}{\mathcal {D}}_{b}{\tilde {E}}_{i}^{b}\end{aligned}}}$

где мы отбросили граничный член и где мы использовали формулу для ковариантной производной от векторной плотности ${\displaystyle {\tilde {V}}_{i}^{b}}$:

${\displaystyle {\mathcal {D}}_{b}{\tilde {V}}_{i}^{b}=\partial _{b}{\tilde {V}}_{i}^{b}+\varepsilon _{ijk}A_{b}^{j}{\tilde {V}}_{k}^{b}.}$

Окончательная форма требуемого действия:

${\displaystyle S=\int d^{4}x\left(-2i{\tilde {E}}_{i}^{b}{\mathcal {L}}_{t}A_{b}^{i}-2i\left(t^{a}A_{a}^{i}\right){\mathcal {D}}_{b}{\tilde {E}}_{i}^{b}+2iN^{a}{\tilde {E}}_{i}^{b}F_{ab}^{i}+\left({N \over {\sqrt {q}}}\right)\varepsilon _{ijk}{\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}_{j}^{b}F_{ab}^{k}\right)}$

Есть термин вида "${\displaystyle p{\dot {q}}}$"таким образом, количество ${\displaystyle {\tilde {E}}_{i}^{a}}$ сопряженный импульс к ${\displaystyle A_{a}^{i}}$. Следовательно, мы можем сразу написать

${\displaystyle \left\{A_{a}^{i}(x),{\tilde {E}}_{j}^{b}(y)\right\}={i \over 2}\delta _{a}^{b}\delta _{j}^{i}\delta ^{3}(x,y).}$

Вариация действия относительно нединамических величин ${\displaystyle (t^{a}A_{a}^{i})}$, то есть временная составляющая четырехсвязности, функция сдвига ${\displaystyle N^{b}}$, и функция задержки ${\displaystyle N}$ дать ограничения

${\displaystyle {\mathcal {D}}_{a}{\tilde {E}}_{i}^{a}=0,}$

${\displaystyle F_{ab}^{i}{\tilde {E}}_{i}^{b}=0,}$

${\displaystyle \varepsilon _{ijk}{\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}_{j}^{b}F_{ab}^{k}=0\qquad Eq.13.}$

В зависимости от ${\displaystyle N}$ фактически дает последнее ограничение в формуле. 13 делится на ${\displaystyle {\sqrt {q}}}$, он был изменен, чтобы сделать полином ограничений по фундаментальным переменным. Связь ${\displaystyle A_{a}^{i}}$ можно написать

${\displaystyle A_{a}^{i}={1 \over 2}{\varepsilon ^{i}}_{jk}A_{a}^{jk}={1 \over 2}{\varepsilon ^{i}}_{jk}\left(\omega _{a}^{jk}-i{1 \over 2}\left({\varepsilon ^{jk}}_{m0}\omega _{a}^{m0}+{\varepsilon ^{jk}}_{0m}\omega _{a}^{0m}\right)\right)=\Gamma _{a}^{i}-i\omega _{a}^{0i}}$

и

${\displaystyle E_{ci}\omega _{a}^{0i}=-q_{a}^{b}E_{ci}\omega _{b}^{i0}=-q_{a}^{b}E_{ci}e^{di}\nabla _{b}e_{d}^{0}=q_{a}^{b}q_{c}^{d}\nabla _{b}n_{d}=K_{ac}}$

где мы использовали

${\displaystyle e_{d}^{0}=\eta ^{0I}g_{dc}e_{I}^{c}=-g_{dc}e_{0}^{c}=-n_{d},}$

следовательно ${\displaystyle \omega _{a}^{0i}=K_{a}^{i}}$. Итак, соединение гласит

${\displaystyle A_{a}^{i}=\Gamma _{a}^{i}-iK_{a}^{i}.}$

Это так называемая хиральная спиновая связь.

Условия реальности

Поскольку переменные Аштекара сложны, это приводит к сложной общей теории относительности. Чтобы восстановить реальную теорию, нужно наложить так называемые условия реальности. Для этого требуется, чтобы уплотненная триада была реальной и чтобы реальная часть связи Аштекар была равна совместимой спиновой связи.

Подробнее об этом позже.

Смотрите также

• Алгебра Ли
• Плебанский действие
• Модель BF

Рекомендации

1. Самуэль, Джозеф (1987). «Лагранжева основа для переформулировки аштекаром канонической гравитации». Прамана. ООО "Спрингер Сайенс энд Бизнес Медиа". 28 (4): L429 – L432. Дои:10.1007 / bf02847105. ISSN  0304-4289.
2. Джейкобсон, Тед; Смолин, Ли (1987). «Левосторонняя спиновая связь как переменная канонической гравитации». Письма по физике B. Elsevier BV. 196 (1): 39–42. Дои:10.1016/0370-2693(87)91672-8. ISSN  0370-2693.
3. Якобсон, Т; Смолин, Л. (1988-04-01). «Ковариантное действие для формы канонической гравитации Аштекара». Классическая и квантовая гравитация. IOP Publishing. 5 (4): 583–594. Дои:10.1088/0264-9381/5/4/006. ISSN  0264-9381.
4. Голдберг, Дж. Н. (1988-04-15). «Триадный подход к гамильтониану общей теории относительности». Физический обзор D. Американское физическое общество (APS). 37 (8): 2116–2120. Дои:10.1103 / Physrevd.37.2116. ISSN  0556-2821.
5. Henneaux, M .; Nelson, J. E .; Шомблонд, К. (1989-01-15). «Получение аштекарских переменных из тетрадной гравитации». Физический обзор D. Американское физическое общество (APS). 39 (2): 434–437. Дои:10.1103 / Physrevd.39.434. ISSN  0556-2821.
6. Переменные Аштекара в классической общей теории относительности, Доменико Джулини, Springer Lecture Notes in Physics 434 (1994), 81-112, arXiv: gr-qc / 9312032
7. Гамильтониан Аштекара общей теории относительности Седдрик Бени
8. Теория узлов и квантовая гравитация в пространстве петель: учебник Хорхе Пуллин; AIP Conf.Proc.317: 141-190, 1994, arXiv: hep-th / 9301028