Tetradic Palatini действие - Tetradic Palatini action

Основная статья: Поля кадра в общей теории относительности

В Действие Эйнштейна – Гильберта за общая теория относительности была впервые сформулирована чисто в терминах метрики пространства-времени. Взять метрику и аффинная связь в качестве независимых переменных в принципе действия был впервые рассмотрен Палатини.^[1] Это называется формулировкой первого порядка, поскольку переменные, которые должны изменяться, включают в действие только первые производные, и поэтому не усложняют Уравнения Эйлера – Лагранжа. с условиями, происходящими от более высоких производных условий. В тетрадное действие Палатини это еще одна формулировка действия Эйнштейна – Гильберта первого порядка в терминах другой пары независимых переменных, известной как поля кадра и спин-соединение. Использование каркасных полей и спиновых связей необходимо при формулировке общековариантного фермионного действия (см. Статью спин-соединение для более подробного обсуждения этого), который связывает фермионы с гравитацией при добавлении к тетрадному действию Палатини.

Это необходимо не только для связывания фермионов с гравитацией и делает тетрадное действие более фундаментальным по сравнению с метрической версией, действие Палатини также является ступенькой к более интересным действиям, таким как самодвойственное действие Палатини что можно рассматривать как лагранжев базис для формулировки Аштекара канонической гравитации (см. Переменные Аштекара ) или Холст действие которая является основой версии теории Аштекара для вещественных переменных. Еще одно важное действие - это Плебанский действие (см. запись на Модель Барретта – Крейна ), и доказательство того, что она дает общую теорию относительности при определенных условиях, включает в себя доказательство того, что она сводится к действию Палатини в этих условиях.

Здесь мы приводим определения и подробно вычисляем уравнения Эйнштейна из действия Палатини. Эти вычисления могут быть легко изменены для самодвойственного действия Палатини и действия Холста.

Некоторые определения

Сначала нам нужно ввести понятие тетрад. Тетрада - это ортонормированный векторный базис, в терминах которого метрика пространства-времени выглядит локально плоской,

${\displaystyle g_{\alpha \beta }=e_{\alpha }^{I}e_{\beta }^{J}\eta _{IJ}}$

куда ${\displaystyle \eta _{IJ}={\text{diag}}(-1,1,1,1)}$ - метрика Минковского. Тетрады кодируют информацию о метрике пространства-времени и будут приняты в качестве одной из независимых переменных в принципе действия.

Теперь, если кто-то собирается работать с объектами, у которых есть внутренние индексы, необходимо ввести соответствующую производную (ковариантную производную). Введем произвольную ковариантную производную через

${\displaystyle {\mathcal {D}}_{\alpha }V_{I}=\partial _{\alpha }V_{I}+{\omega _{\alpha I}}^{J}V_{J}.}$

Где ${\displaystyle {\omega _{\alpha I}}^{J}}$ является лоренцевой связностью (производная аннулирует метрику Минковского ${\displaystyle \eta _{IJ}}$). Определим кривизну через

${\displaystyle {\Omega _{\alpha \beta I}}^{J}V_{J}=({\mathcal {D}}_{\alpha }{\mathcal {D}}_{\beta }-{\mathcal {D}}_{\beta }{\mathcal {D}}_{\alpha })V_{I}}$

Мы получаем

${\displaystyle {\Omega _{\alpha \beta }}^{IJ}=2\partial _{[\alpha }{\omega _{\beta ]}}^{IJ}+2{\omega _{[\alpha }}^{IK}{\omega _{\beta ]K}}^{J}}$.

Введем ковариантную производную, аннулирующую тетраду:

${\displaystyle \nabla _{\alpha }e_{\beta }^{I}=0}$.

Связь полностью определяется тетрадой. Действие этого на обобщенный тензор ${\displaystyle V_{\beta }^{I}}$ дан кем-то

${\displaystyle \nabla _{\alpha }V_{\beta }^{I}=\partial _{\alpha }V_{\beta }^{I}-\Gamma _{\alpha \beta }^{\gamma }V_{\gamma }^{I}+{\omega _{\alpha J}}^{I}V_{\beta }^{J}.}$

Определим кривизну ${\displaystyle {R_{\alpha \beta }}^{IJ}}$ к

${\displaystyle {R_{\alpha \beta I}}^{J}V_{J}=(\nabla _{\alpha }\nabla _{\beta }-\nabla _{\beta }\nabla _{\alpha })V_{I}.}$

Это легко связано с обычной кривизной, определяемой формулой

${\displaystyle {R_{\alpha \beta \gamma }}^{\delta }V_{\delta }=(\nabla _{\alpha }\nabla _{\beta }-\nabla _{\beta }\nabla _{\alpha })V_{\gamma }}$

путем замены ${\displaystyle V_{\gamma }=V_{I}e_{\gamma }^{I}}$ в это выражение (подробности см. ниже). Получается,

${\displaystyle {R_{\alpha \beta \gamma }}^{\delta }=e_{\gamma }^{I}{R_{\alpha \beta I}}^{J}e_{J}^{\delta },\quad R_{\alpha \beta }={R_{\alpha \gamma I}}^{J}e_{\beta }^{I}e_{J}^{\gamma },R={R_{\alpha \beta }}^{IJ}e_{I}^{\alpha }e_{J}^{\beta }}$

для Тензор Римана, Тензор Риччи и Скаляр Риччи соответственно.

Тетрадное действие Палатини

В Скаляр Риччи этой кривизны можно выразить как ${\displaystyle e_{I}^{\alpha }e_{J}^{\beta }{\Omega _{\alpha \beta }}^{IJ}.}$ Действие можно написать

${\displaystyle S_{H-P}=\int d^{4}x\;e\;e_{I}^{\alpha }e_{J}^{\beta }{\Omega _{\alpha \beta }}^{IJ}}$

куда ${\displaystyle e={\sqrt {-g}}}$ но сейчас ${\displaystyle g}$ является функцией поля кадра.

Мы выведем уравнения Эйнштейна, варьируя это действие относительно тетрады и спиновой связи как независимых величин.

В качестве ярлыка для выполнения расчета мы вводим соединение, совместимое с тетрадой, ${\displaystyle \nabla _{\alpha }e_{\beta }^{I}=0.}$^[2] Связь, связанная с этой ковариантной производной, полностью определяется тетрадой. Разница между двумя введенными нами связями - это поле ${\displaystyle {C_{\alpha I}}^{J}}$ определяется

${\displaystyle {C_{\alpha I}}^{J}V_{J}=\left(D_{\alpha }-\nabla _{\alpha }\right)V_{I}.}$

Мы можем вычислить разницу между кривизнами этих двух ковариантных производных (подробности см. Ниже),

${\displaystyle {\Omega _{\alpha \beta }}^{IJ}-{R_{\alpha \beta }}^{IJ}=\nabla _{[\alpha }{C_{\beta ]}}^{IJ}+{C_{[\alpha }}^{IM}{C_{\beta ]M}}^{J}}$

Причина этого промежуточного вычисления заключается в том, что легче вычислить изменение, повторно выразив действие в терминах ${\displaystyle \nabla }$ и ${\displaystyle {C_{\alpha }}^{IJ}}$ и отмечая, что вариация относительно ${\displaystyle {\omega _{\alpha }}^{IJ}}$ такая же, как и вариация по ${\displaystyle {C_{\alpha }}^{IJ}}$ (при фиксированной тетраде). Действие становится

${\displaystyle S_{H-P}=\int d^{4}x\;e\;e_{I}^{\alpha }e_{J}^{\beta }\left({R_{\alpha \beta }}^{IJ}+\nabla _{[\alpha }{C_{\beta ]}}^{IJ}+{C_{[\alpha }}^{IM}{C_{\beta ]M}}^{J}\right)}$

Сначала варьируемся по ${\displaystyle {C_{\alpha }}^{IJ}}$. Первый член не зависит от ${\displaystyle {C_{\alpha }}^{IJ}}$ так что это не способствует. Второй член - это полная производная. Последний член дает

${\displaystyle e_{M}^{[a}e_{N}^{b]}\delta _{[I}^{M}\delta _{J]}^{K}{C_{bK}}^{N}=0.}$

Ниже мы покажем, что отсюда следует, что ${\displaystyle {C_{\alpha }}^{IJ}=0}$ в качестве префактора ${\displaystyle e_{M}^{[a}e_{N}^{b]}\delta _{[I}^{M}\delta _{J]}^{K}}$ невырожден. Это говорит нам, что ${\displaystyle \nabla }$ совпадает с ${\displaystyle D}$ при воздействии на объекты только с внутренними индексами. Таким образом, связь ${\displaystyle D}$ полностью определяется тетрадой и ${\displaystyle \Omega }$ совпадает с ${\displaystyle R}$. Для вычисления вариации относительно тетрады нам понадобится вариация ${\displaystyle e=\det e_{\alpha }^{I}}$. По стандартной формуле

${\displaystyle \delta \det(a)=\det(a)\left(a^{-1}\right)_{ji}\delta a_{ij}}$

у нас есть ${\displaystyle \delta e=ee_{I}^{\alpha }\delta e_{\alpha }^{I}}$. Или при использовании ${\displaystyle \delta \left(e_{\alpha }^{I}e_{I}^{\alpha }\right)=0}$, это становится ${\displaystyle \delta e=-ee_{\alpha }^{I}\delta e_{I}^{\alpha }}$. Мы вычисляем второе уравнение, варьируя по тетраде,

${\displaystyle {\begin{aligned}\delta S_{H-P}&=\int d^{4}x\;e\left(\left(\delta e_{I}^{\alpha }\right)e_{J}^{\beta }{\Omega _{\alpha \beta }}^{IJ}+e_{I}^{\alpha }\left(\delta e_{J}^{\beta }\right){\Omega _{\alpha \beta }}^{IJ}-e_{\gamma }^{K}\left(\delta e_{K}^{\gamma }\right)e_{I}^{\alpha }e_{J}^{\beta }{\Omega _{\alpha \beta }}^{IJ}\right)\\&=2\int d^{4}x\;e\left(e_{J}^{\beta }{\Omega _{\alpha \beta }}^{IJ}-{1 \over 2}e_{M}^{\gamma }e_{N}^{\delta }e_{\alpha }^{I}{\Omega _{\gamma \delta }}^{MN}\right)\left(\delta e_{I}^{\alpha }\right)\end{aligned}}}$

После подстановки получается ${\displaystyle {\Omega _{\alpha \beta }}^{IJ}}$ за ${\displaystyle {R_{\alpha \beta }}^{IJ}}$ как указано в предыдущем уравнении движения,

${\displaystyle e_{J}^{\gamma }{R_{\alpha \gamma }}^{IJ}-{1 \over 2}{R_{\gamma \delta }}^{MN}e_{M}^{\gamma }e_{N}^{\delta }e_{\alpha }^{I}=0}$

который после умножения на ${\displaystyle e_{I\beta }}$ просто говорит нам, что Тензор Эйнштейна ${\displaystyle R_{\alpha \beta }-{\tfrac {1}{2}}Rg_{\alpha \beta }}$ метрики, определяемой тетрадами, обращается в нуль. Таким образом, мы доказали, что вариант действия Палатини в тетрадной форме дает обычное Уравнения Эйнштейна.

Обобщения действия Палатини

Основные статьи: Холст действие, Самодвойственное действие Палатини, Параметр Барберо-Иммирзи, и Плебанский действие

Изменяем действие, добавляя термин

${\displaystyle -{1 \over 2\gamma }ee_{I}^{\alpha }e_{J}^{\beta }{\Omega _{\alpha \beta }}^{MN}[\omega ]{\epsilon ^{IJ}}_{MN}}$

Это изменяет действие Палатини на

${\displaystyle S=\int d^{4}x\;e\;e_{I}^{\alpha }e_{J}^{\beta }{P^{IJ}}_{MN}{\Omega _{\alpha \beta }}^{MN}}$

куда

${\displaystyle {P^{IJ}}_{MN}=\delta _{M}^{[I}\delta _{N}^{J]}-{1 \over 2\gamma }{\epsilon ^{IJ}}_{MN}.}$

Это действие, приведенное выше, является действием Холста, введенным Холстом.^[3] и ${\displaystyle \gamma }$ - параметр Барберо-Иммирци, роль которого был признан Барберо^[4] и Иммиризи.^[5] Самодуальная формулировка соответствует выбору ${\displaystyle \gamma =-i}$.

Легко показать, что эти действия дают одни и те же уравнения. Однако случай, соответствующий ${\displaystyle \gamma =\pm i}$ нужно делать отдельно (см. статью самодвойственное действие Палатини ). Предполагать ${\displaystyle \gamma \not =\pm i}$, тогда ${\displaystyle {P^{IJ}}_{MN}}$ имеет обратное значение

${\displaystyle {(P^{-1})_{IJ}}^{MN}={\frac {\gamma ^{2}}{\gamma ^{2}+1}}\left(\delta _{I}^{[M}\delta _{J}^{N]}+{\frac {1}{2\gamma }}{\epsilon _{IJ}}^{MN}\right).}$

(обратите внимание, это расходится для ${\displaystyle \gamma =\pm i}$). Поскольку это обратное существует, обобщение префактора ${\displaystyle e_{M}^{[a}e_{N}^{b]}\delta _{[I}^{M}\delta _{J]}^{K}}$ также будет невырожденным, и как такие эквивалентные условия получаются из вариации относительно связи. Снова получаем ${\displaystyle {C_{\alpha }}^{IJ}=0}$. В то время как изменение по отношению к тетраде дает уравнение Эйнштейна плюс дополнительный член. Однако этот дополнительный член исчезает из-за симметрии тензора Римана.

Детали расчета

Связь обычной кривизны со смешанным индексом кривизны

Обычный тензор кривизны Римана ${\displaystyle {R_{\alpha \beta \gamma }}^{\delta }}$ определяется

${\displaystyle {R_{\alpha \beta \gamma }}^{\delta }V_{\delta }=\left(\nabla _{\alpha }\nabla _{\beta }-\nabla _{\beta }\nabla _{\alpha }\right)V_{\gamma }.}$

Чтобы найти связь с тензором кривизны смешанного индекса, подставим ${\displaystyle V_{\gamma }=e_{\gamma }^{I}V_{I}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{R_{\alpha \beta \gamma }}^{\delta }V_{\delta }&=\left(\nabla _{\alpha }\nabla _{\beta }-\nabla _{\beta }\nabla _{\alpha }\right)V_{\gamma }\\&=\left(\nabla _{\alpha }\nabla _{\beta }-\nabla _{\beta }\nabla _{\alpha }\right)\left(e_{\gamma }^{I}V_{I}\right)\\&=e_{\gamma }^{I}\left(\nabla _{\alpha }\nabla _{\beta }-\nabla _{\beta }\nabla _{\alpha }\right)V_{I}\\&=e_{\gamma }^{I}{R_{\alpha \beta I}}^{J}e_{J}^{\delta }V_{\delta }\end{aligned}}}$

где мы использовали ${\displaystyle \nabla _{\alpha }e_{\beta }^{I}=0}$. Поскольку это верно для всех ${\displaystyle V_{\delta }}$ мы получаем

${\displaystyle {R_{\alpha \beta \gamma }}^{\delta }=e_{\gamma }^{I}{R_{\alpha \beta I}}^{J}e_{J}^{\delta }}$.

Используя это выражение, находим

${\displaystyle R_{\alpha \beta }={R_{\alpha \gamma \beta }}^{\gamma }={R_{\alpha \gamma I}}^{J}e_{\beta }^{I}e_{J}^{\gamma }.}$

Заключение контракта ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle \beta }$ позволяет нам написать скаляр Риччи

${\displaystyle R={R_{\alpha \beta }}^{IJ}e_{I}^{\alpha }e_{J}^{\beta }.}$

Разница между кривизнами

Производная, определяемая формулой ${\displaystyle D_{\alpha }V_{I}}$ умеет только действовать на внутренние индексы. Однако нам удобно рассматривать расширение без кручения на пространственно-временные индексы. Все расчеты не будут зависеть от этого выбора расширения. Применение ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{a}}$ дважды на ${\displaystyle V_{I}}$,

${\displaystyle {\mathcal {D}}_{\alpha }{\mathcal {D}}_{\beta }V_{I}={\mathcal {D}}_{\alpha }(\nabla _{\beta }V_{I}+{C_{\beta I}}^{J}V_{J})=\nabla _{\alpha }\left(\nabla _{\beta }V_{I}+{C_{\beta I}}^{J}V_{J}\right)+{C_{\alpha I}}^{K}\left(\nabla _{b}V_{K}+{C_{\beta K}}^{J}V_{J}\right)+{\overline {\Gamma }}_{\alpha \beta }^{\gamma }\left(\nabla _{\gamma }V_{I}+{C_{\gamma I}}^{J}V_{J}\right)}$

куда ${\displaystyle {\overline {\Gamma }}_{\alpha \beta }^{\gamma }}$ неважно, отметим только, что он симметричен по ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle \beta }$ так как он без кручения. потом

${\displaystyle {\begin{aligned}{\Omega _{\alpha \beta I}}^{J}V_{J}&=\left({\mathcal {D}}_{\alpha }{\mathcal {D}}_{\beta }-{\mathcal {D}}_{\beta }{\mathcal {D}}_{\alpha }\right)V_{I}\\&=\left(\nabla _{\alpha }\nabla _{\beta }-\nabla _{\beta }\nabla _{\alpha }\right)V_{I}+\nabla _{\alpha }\left({C_{\beta I}}^{J}V_{J}\right)-\nabla _{\beta }\left({C_{\alpha I}}^{J}V_{J}\right)+{C_{\alpha I}}^{K}\nabla _{\beta }V_{K}-{C_{\beta I}}^{K}\nabla _{\alpha }V_{K}+{C_{\alpha I}}^{K}{C_{\beta K}}^{J}V_{J}-{C_{\beta I}}^{K}{C_{\alpha K}}^{J}V_{J}\\&={R_{\alpha \beta I}}^{J}V_{J}+\left(\nabla _{\alpha }{C_{\beta I}}^{J}-\nabla _{\beta }{C_{\alpha I}}^{J}+{C_{\alpha I}}^{K}{C_{\beta K}}^{J}-{C_{\beta _{I}}}^{K}{C_{\alpha K}}^{J}\right)V_{J}\end{aligned}}}$

Следовательно:

${\displaystyle {\Omega _{ab}}^{IJ}-{R_{ab}}^{IJ}=2\nabla _{[a}{C_{b]}}^{IJ}+2{C_{[a}}^{IK}{C_{b]K}}^{J}}$

Варьируя действие по отношению к полю ${\displaystyle {C_{\alpha }}^{IJ}}$

Мы ожидали ${\displaystyle \nabla _{a}}$ чтобы также уничтожить метрику Минковского ${\displaystyle \eta _{IJ}=e_{\beta I}e_{J}^{\beta }}$. Если еще предположить, что ковариантная производная ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{\alpha }}$ аннулирует метрику Минковского (тогда называемую без кручения), мы имеем,

${\displaystyle 0=({\mathcal {D}}_{\alpha }-\nabla _{\alpha })\eta _{IJ}={C_{\alpha I}}^{K}\eta _{KJ}+{C_{aJ}}^{K}\eta _{IK}=C_{\alpha IJ}+C_{\alpha JI}.}$

Подразумевая

${\displaystyle C_{\alpha IJ}=C_{\alpha [IJ]}.}$

Из последнего члена действия мы имеем от варьирования по ${\displaystyle {C_{\alpha I}}^{J},}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\delta S_{EH}&=\delta \int d^{4}x\;e\;e_{M}^{\gamma }e_{N}^{\beta }{C_{[\gamma }}^{MK}{C_{\beta ]K}}^{N}\\&=\delta \int d^{4}x\;e\;e_{M}^{[\gamma }e_{N}^{\beta ]}{C_{\gamma }}^{MK}{C_{\beta K}}^{N}\\&=\delta \int d^{4}x\;e\;e^{M[\gamma }e_{N}^{\beta ]}{C_{\gamma M}}^{K}{C_{\beta K}}^{N}\\&=\int d^{4}x\;ee^{M[\gamma }e_{N}^{\beta ]}\left(\delta _{\gamma }^{\alpha }\delta _{M}^{I}\delta _{J}^{K}{C_{\beta K}}^{N}+{C_{\gamma M}}^{K}\delta _{\beta }^{\alpha }\delta _{K}^{I}\delta _{J}^{N}\right)\delta {C_{\alpha I}}^{J}\\&=\int d^{4}x\;e\left(e^{I[\alpha }e_{N}^{\beta ]}{C_{\beta J}}^{N}+e^{M[\beta }e_{J}^{\alpha ]}{C_{\beta M}}^{I}\right)\delta {C_{\alpha I}}^{J}\end{aligned}}}$

или же

${\displaystyle e_{I}^{[\alpha }e_{K}^{\beta ]}{C_{\beta J}}^{K}+e^{K[\beta }e_{J}^{\alpha ]}C_{\beta KI}=0}$

или же

${\displaystyle {C_{\beta I}}^{K}e_{K}^{[\alpha }e_{J}^{\beta ]}+{C_{\beta J}}^{K}e_{I}^{[\alpha }e_{K}^{\beta ]}=0.}$

где мы использовали ${\displaystyle C_{\beta KI}=-C_{\beta IK}}$. Более компактно это можно записать как

${\displaystyle e_{M}^{[\alpha }e_{N}^{\beta ]}\delta _{[I}^{M}\delta _{J]}^{K}{C_{\beta K}}^{N}=0.}$

Исчезновение ${\displaystyle {C_{\alpha }}^{IJ}}$

Мы покажем следующую ссылку "Геометродинамика против динамики соединения"^[6] который

${\displaystyle {C_{\beta I}}^{K}e_{K}^{[\alpha }e_{J}^{\beta ]}+{C_{\beta J}}^{K}e_{I}^{[\alpha }e_{K}^{\beta ]}=0\quad Eq.1}$

подразумевает ${\displaystyle {C_{\alpha I}}^{J}=0.}$ Сначала определим тензорное поле пространства-времени как

${\displaystyle S_{\alpha \beta \gamma }:=C_{\alpha IJ}e_{\beta }^{I}e_{\gamma }^{J}.}$

Тогда условие ${\displaystyle C_{\alpha IJ}=C_{\alpha [IJ]}}$ эквивалентно ${\displaystyle S_{\alpha \beta \gamma }=S_{\alpha [\beta \gamma ]}}$. Заключение уравнения. 1 с ${\displaystyle e_{\alpha }^{I}e_{\gamma }^{J}}$ можно подсчитать, что

${\displaystyle {C_{\beta J}}^{I}e_{\gamma }^{J}e_{I}^{\beta }=0.}$

В качестве ${\displaystyle {S_{\alpha \beta }}^{\gamma }={C_{\alpha I}}^{J}e_{\beta }^{I}e_{J}^{\gamma },}$ у нас есть ${\displaystyle {S_{\beta \gamma }}^{\beta }=0.}$ Мы пишем это как

${\displaystyle ({C_{\beta I}}^{J}e_{J}^{\beta })e_{\gamma }^{I}=0,}$

и, как ${\displaystyle e_{\alpha }^{I}}$ обратимы, отсюда следует

${\displaystyle {C_{\beta I}}^{J}e_{J}^{\beta }=0.}$

Таким образом, условия ${\displaystyle {C_{\beta I}}^{K}e_{K}^{\beta }e_{J}^{\alpha },}$ и ${\displaystyle {C_{\beta J}}^{K}e_{I}^{\alpha }e_{K}^{\beta }}$ уравнения 1 оба равны нулю и уравнение. 1 сводится к

${\displaystyle {C_{\beta I}}^{K}e_{K}^{\alpha }e_{J}^{\beta }-{C_{\beta J}}^{K}e_{I}^{\beta }e_{K}^{\alpha }=0.}$

Если мы теперь свяжем это с ${\displaystyle e_{\gamma }^{I}e_{\delta }^{J}}$, мы получили

${\displaystyle {\begin{aligned}0&=\left({C_{\beta I}}^{K}e_{K}^{\alpha }e_{J}^{\beta }-{C_{\beta J}}^{K}e_{I}^{\beta }e_{K}^{\alpha }\right)e_{\gamma }^{I}e_{\delta }^{J}\\&={C_{\beta I}}^{K}e_{K}^{\alpha }e_{\gamma }^{I}\delta _{\delta }^{\beta }-{C_{\beta J}}^{K}\delta _{\gamma }^{\beta }e_{K}^{\alpha }e_{\delta }^{J}\\&={C_{\delta I}}^{K}e_{\gamma }^{I}e_{K}^{\alpha }-{C_{\gamma J}}^{K}e_{\delta }^{J}e_{K}^{\alpha }\end{aligned}}}$

или же

${\displaystyle {S_{\gamma \delta }}^{\alpha }={S_{(\gamma \delta )}}^{\alpha }.}$

Поскольку у нас есть ${\displaystyle S_{\alpha \beta \gamma }=S_{\alpha [\beta \gamma ]}}$ и ${\displaystyle S_{\alpha \beta \gamma }=S_{(\alpha \beta )\gamma }}$, мы можем последовательно менять местами первые два, а затем последние два индекса с соответствующим изменением знака каждый раз, чтобы получить,

${\displaystyle S_{\alpha \beta \gamma }=S_{\beta \alpha \gamma }=-S_{\beta \gamma \alpha }=-S_{\gamma \beta \alpha }=S_{\gamma \alpha \beta }=S_{\alpha \gamma \beta }=-S_{\alpha \beta \gamma }}$

Подразумевая

${\displaystyle S_{\alpha \beta \gamma }=0,}$

или же

${\displaystyle C_{\alpha IJ}e_{\beta }^{I}e_{\gamma }^{J}=0,}$

и так как ${\displaystyle e_{\alpha }^{I}}$ обратимы, получаем ${\displaystyle C_{\alpha IJ}=0}$. Это желаемый результат.

Смотрите также

• Тензор Ланцоша
• Тензор Вейля

Рекомендации

1. А. Палатини (1919) Deduzione invariantiva delle equazioni gravitazionali dal Principio di Hamilton, Rend. Circ. Мат. Палермо 43, 203-212 [английский перевод Р. Хоймана и К. Мукку в П.Г. Бергманн и В. Де Саббата (ред.) «Космология и гравитация», издательство Plenum Press, Нью-Йорк (1980)]
2. А. Аштекар "Лекции о непертурбативной канонической гравитации" (с приглашенными докладами), Библиополис, Неаполь, 1988.
3. Холст, Сорен (1996-05-15). «Гамильтониан Барберо, полученный из обобщенного действия Гильберта-Палатини». Физический обзор D. Американское физическое общество (APS). 53 (10): 5966–5969. arXiv:gr-qc / 9511026. Дои:10.1103 / Physrevd.53.5966. ISSN  0556-2821.
4. Барберо Г., Дж. Фернандо (1995-05-15). «Реальные аштекарские переменные для лоренцевой сигнатуры пространства-времени». Физический обзор D. Американское физическое общество (APS). 51 (10): 5507–5510. arXiv:gr-qc / 9410014. Дои:10.1103 / Physrevd.51.5507. ISSN  0556-2821.
5. Иммирзи, Джорджио (1997-10-01). «Реальные и сложные связи для канонической гравитации». Классическая и квантовая гравитация. IOP Publishing. 14 (10): L177 – L181. arXiv:gr-qc / 9612030. Дои:10.1088/0264-9381/14/10/002. ISSN  0264-9381.
6. Романо, Джозеф Д. (1993). «Геометродинамика против динамики соединений». Общая теория относительности и гравитации. ООО "Спрингер Сайенс энд Бизнес Медиа". 25 (8): 759–854. arXiv:gr-qc / 9303032. Дои:10.1007 / bf00758384. ISSN  0001-7701.