Переменные Аштекара - Ashtekar variables

Основные статьи: Поля кадра в общей теории относительности, спин-соединение, и Самодвойственное действие Палатини

в Состав ADM из общая теория относительности, пространство-время разделено на пространственные срезы и временную ось. В качестве основных переменных принимаются индуцированная метрика ${\displaystyle q_{ab}(x)}$ на пространственном срезе и сопряженном импульсе метрики ${\displaystyle K^{ab}(x)}$, что связано с внешняя кривизна и является мерой того, как индуцированная метрика развивается во времени.^[1] Это метрика канонические координаты.

В 1986 г. Абхай Аштекар представил новый набор канонических переменных, Аштекар (новый) переменные представить необычный способ переписать метрические канонические переменные на трехмерных пространственных срезах в терминах SU (2) калибровочное поле и его дополнительная переменная.^[2]

Обзор

Переменные Аштекара обеспечивают так называемое представление связности канонической общей теории относительности, которое привело к петлевому представлению квантовой общей теории относительности.^[3] и, в свою очередь петля квантовой гравитации и квантовая голономия теория.^[4]

Введем набор из трех векторных полей ${\displaystyle E_{i}^{a}}$, ${\displaystyle i=1,2,3}$ которые ортогональны, то есть

${\displaystyle \delta _{ij}=q_{ab}E_{i}^{a}E_{j}^{b}}$.

В ${\displaystyle E_{i}^{a}}$ называются триадой или дрей-бейн (Дословный перевод с немецкого «трехногий»). В настоящее время существует два разных типа индексов, "космические" индексы. ${\displaystyle a,b,c}$ которые ведут себя как обычные индексы в искривленном пространстве, а "внутренние" индексы ${\displaystyle i,j,k}$ которые ведут себя как индексы плоского пространства (соответствующая "метрика", повышающая и понижающая внутренние индексы, просто ${\displaystyle \delta _{ij}}$). Определите двойной дрей-бейн ${\displaystyle E_{a}^{i}}$ так как

${\displaystyle E_{a}^{i}=q_{ab}E_{i}^{b}}$.

Тогда у нас есть два отношения ортогональности

${\displaystyle \delta ^{ij}=q^{ab}E_{a}^{i}E_{b}^{j}}$

где ${\displaystyle q^{ab}}$ - обратная матрица метрики ${\displaystyle q_{ab}}$ (это происходит из-за подстановки формулы двойного дрей-бейн через дрей-бейн в ${\displaystyle q^{ab}E_{a}^{i}E_{b}^{j}}$ и используя ортогональность дрей-бейнов).

и

${\displaystyle E_{i}^{a}E_{b}^{i}=\delta _{b}^{a}}$

(это происходит из-за заключения договора ${\displaystyle \delta _{ij}=q_{ab}E_{j}^{b}E_{i}^{a}}$ с участием ${\displaystyle E_{c}^{i}}$ и используя линейная независимость из ${\displaystyle E_{a}^{j}}$). Тогда это легко проверить из первого соотношения ортогональности (используя ${\displaystyle E_{i}^{a}E_{b}^{i}=\delta _{b}^{a}}$) это

${\displaystyle q^{ab}=\sum _{i,j=1}^{3}\delta _{ij}E_{i}^{a}E_{j}^{b}=\sum _{i=1}^{3}E_{i}^{a}E_{i}^{b},}$

мы получили формулу обратной метрики в терминах drei-beins - drei-beins можно рассматривать как «квадратный корень» из метрики (физический смысл этого состоит в том, что метрика ${\displaystyle q^{ab}}$, когда написано с точки зрения основы ${\displaystyle E_{i}^{a}}$, локально плоская). На самом деле то, что действительно считается,

${\displaystyle (\mathrm {det} (q))q^{ab}=\sum _{i=1}^{3}{\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}_{i}^{b},}$,

который включает уплотненный дрей-бейн ${\displaystyle {\tilde {E}}_{i}^{a}}$ вместо этого (уплотненный как ${\displaystyle {\tilde {E}}_{i}^{a}={\sqrt {\det(q)}}E_{i}^{a}}$). Выздоравливает от ${\displaystyle {\tilde {E}}_{i}^{a}}$ показатель, умноженный на коэффициент, заданный его определителем. Ясно, что ${\displaystyle {\tilde {E}}_{i}^{a}}$ и ${\displaystyle E_{i}^{a}}$ содержат ту же информацию, только переставленную. Теперь выбор для ${\displaystyle {\tilde {E}}_{i}^{a}}$ не уникален, и на самом деле можно выполнить локальное в пространстве вращение по внутренним показателям ${\displaystyle i}$ без изменения (обратной) метрики. Это происхождение ${\displaystyle SU(2)}$ калибровочная инвариантность. Теперь, если кто-то собирается работать с объектами, у которых есть внутренние индексы, необходимо ввести соответствующую производную (ковариантная производная ), например ковариантная производная для объекта ${\displaystyle V_{i}^{b}}$ будет

${\displaystyle D_{a}V_{i}^{b}=\partial _{a}V_{i}^{b}-\Gamma _{a\;\;i}^{\;\;j}V_{j}^{b}+\Gamma _{ac}^{b}V_{i}^{c}}$

где ${\displaystyle \Gamma _{ac}^{b}}$ это обычный Леви-Чивита связь и ${\displaystyle \Gamma _{a\;\;i}^{\;\;j}}$ так называемый спин-соединение. В качестве переменной конфигурации возьмем

${\displaystyle A_{a}^{i}=\Gamma _{a}^{i}+\beta K_{a}^{i}}$

где ${\displaystyle \Gamma _{a}^{i}=\Gamma _{ajk}\epsilon ^{jki}}$ и ${\displaystyle K_{a}^{i}=K_{ab}{\tilde {E}}^{bi}/{\sqrt {\det(q)}}}$. Уплотненный дрей-бейн является сопряженной переменной импульса этого трехмерного калибровочного поля SU (2) (или связи) ${\displaystyle A_{b}^{j}}$, в том, что он удовлетворяет скобке Пуассона

${\displaystyle \{{\tilde {E}}_{i}^{a}(x),A_{b}^{j}(y)\}=8\pi G_{\mathrm {Newton} }\beta \delta _{b}^{a}\delta _{i}^{j}\delta ^{3}(x-y)}$.

Постоянная ${\displaystyle \beta }$ это Параметр Иммирзи, фактор, который перенормирует Постоянная Ньютона ${\displaystyle G_{\mathrm {Newton} }}$. Уплотненный дрей-бейн можно использовать для восстановления метрики, как описано выше, а соединение можно использовать для восстановления внешней кривизны. Переменные Аштекар соответствуют выбору ${\displaystyle \beta =-i}$ (негатив мнимое число ), ${\displaystyle A_{a}^{i}}$ тогда называется киральной спиновой связностью. Причина этого выбора спиновой связи заключалась в том, что Аштекар мог значительно упростить наиболее проблемное уравнение канонической общей теории относительности, а именно Гамильтонова связь LQG; этот выбор заставил его второй, внушительный, член исчезнуть, а оставшийся член стал полиномиальным от его новых переменных. Это породило новые надежды на каноническую программу квантовой гравитации.^[5] Однако это представляло определенные трудности. Хотя переменные Аштекара обладали достоинством упрощения гамильтониана, проблема заключалась в том, что переменные становились сложными.^[6] При квантовании теории трудно обеспечить восстановление реальной общей теории относительности в отличие от сложной общей теории относительности. Также гамильтоново ограничение, с которым работал Аштекар, представляло собой уплотненную версию вместо исходного гамильтониана, то есть он работал с ${\displaystyle {\tilde {H}}={\sqrt {\det(q)}}H}$. Были серьезные трудности с продвижением этого количества в квантовый оператор. Это было Томас Тиманн кто сумел применить обобщение формализма Аштекара к реальным связям (${\displaystyle \beta }$ принимает действительные значения) и, в частности, в 1996 году разработал способ упрощения исходного гамильтониана вместе со вторым членом. Он также смог продвинуть это гамильтоново ограничение на хорошо определенный квантовый оператор внутри петлевого представления.^[7] Отчет об этих событиях см. Джон Баэз запись на домашней странице, Гамильтонова связь в петлевом представлении квантовой гравитации.^[8]

Смолин и другие независимо обнаружили, что на самом деле существует Лагранжиан формулировка теории с учетом самодуальной формулировки тетрадное действие Палатини принцип общей теории относительности.^[9][10][11] Эти доказательства были даны в терминах спиноров. Чисто тензорное доказательство новых переменных в терминах триад было дано Голдбергом.^[12] и в терминах тетрад Хенно и др.^[13]

использованная литература

1. Гравитация Чарльз В. Миснер, Кип С. Торн, Джон Арчибальд Уиллер, опубликовано В. Х. Фриманом и компанией. Нью-Йорк.
2. Аштекар, А (1986). «Новые переменные для классической и квантовой гравитации». Письма с физическими проверками. 57 (18): 2244–2247. Bibcode:1986ПхРвЛ..57.2244А. Дои:10.1103 / Physrevlett.57.2244. PMID  10033673.
3. Rovelli, C .; Смолин, Л. (1988). «Теория узлов и квантовая гравитация». Письма с физическими проверками. 61 (10): 1155–1158. Bibcode:1988ПхРвЛ..61.1155Р. Дои:10.1103 / Physrevlett.61.1155. PMID  10038716.
4. Дж. Ааструп; Дж. М. Гримструп (2015). «Квантовая теория голономии». Fortschritte der Physik. 64 (10): 783. arXiv:1504.07100. Bibcode:2016ForPh..64..783A. Дои:10.1002 / prop.201600073.
5. Посмотреть книгу Лекции о непертурбативной канонической гравитации для получения более подробной информации об этом и последующих разработках. Впервые опубликовано в 1991 году. World Scientific Publishing Co. Pte. LtD.
6. См. Часть III, главу 5 Измерительные поля, узлы и гравитация, Джон Баэз, Хавьер П. Муниаин. Впервые опубликовано в 1994 г. World Scientific Publishing Co. Pte. LtD.
7. Тиманн, Т. (1996). «Формулировка без аномалий непертурбативной четырехмерной лоренцевой квантовой гравитации». Письма по физике B. Elsevier BV. 380 (3–4): 257–264. arXiv:gr-qc / 9606088. Дои:10.1016/0370-2693(96)00532-1. ISSN  0370-2693.
8. Гамильтонова связь в петлевом представлении квантовой гравитации, http://math.ucr.edu/home/baez/hamiltonian/hamiltonian.html
9. Самуэль, Дж. (Апрель 1987 г.). «Лагранжева основа для формулировки Аштекара канонической гравитации». Прамана - Физический журнал. Индийская национальная академия наук. 28 (4): L429-L432.
10. Джейкобсон, Тед; Смолин, Ли (1987). «Левосторонняя спиновая связь как переменная канонической гравитации». Письма по физике B. Elsevier BV. 196 (1): 39–42. Дои:10.1016/0370-2693(87)91672-8. ISSN  0370-2693.
11. Якобсон, Т; Смолин, Л. (1988-04-01). «Ковариантное действие для формы канонической гравитации Аштекара». Классическая и квантовая гравитация. IOP Publishing. 5 (4): 583–594. Дои:10.1088/0264-9381/5/4/006. ISSN  0264-9381.
12. Голдберг, Дж. Н. (1988-04-15). «Триадный подход к гамильтониану общей теории относительности». Физический обзор D. Американское физическое общество (APS). 37 (8): 2116–2120. Дои:10.1103 / Physrevd.37.2116. ISSN  0556-2821.
13. Henneaux, M .; Nelson, J. E .; Шомблонд, К. (1989-01-15). «Получение аштекарских переменных из тетрадной гравитации». Физический обзор D. Американское физическое общество (APS). 39 (2): 434–437. Дои:10.1103 / Physrevd.39.434. ISSN  0556-2821.

дальнейшее чтение

• Аштекар, Абхай (1986). «Новые переменные для классической и квантовой гравитации». Письма с физическими проверками. 57 (18): 2244–2247. Bibcode:1986ПхРвЛ..57.2244А. Дои:10.1103 / PhysRevLett.57.2244. PMID  10033673.