Твистор пространство - Twistor space

В математика и теоретическая физика (особенно твисторная теория ), твистор пространство это сложный векторное пространство решений твистор уравнение ${\displaystyle \nabla _{A'}^{(A}\Omega _{^{}}^{B)}=0}$. Он был описан в 1960-х годах Роджер Пенроуз и Малькольм МакКаллум.^[1] В соответствии с Эндрю Ходжес, твисторное пространство полезно для концептуализации пути фотонов в пространстве, используя четыре сложные числа. Он также утверждает, что твисторное пространство может помочь в понимании асимметрия из слабая ядерная сила.^[2]

Неформальная мотивация

В (переведенных) словах Жак Адамар: «кратчайший путь между двумя истинами в реальной области проходит через сложную область». Поэтому при изучении четырехмерного пространства ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ было бы полезно идентифицировать его с ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}.}$ Однако, поскольку нет канонического способа сделать это, вместо этого все изоморфизмы с учетом ориентации и метрики между ними. Оказывается, что комплексное проективное 3-пространство ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{3}}$ параметризует такие изоморфизмы вместе с комплексными координатами. Таким образом, одна комплексная координата описывает идентификацию, а две другие - точку в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$. Оказывается, что векторные пучки с самодвойственные соединения на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$(инстантоны ) биективно соответствовать к голоморфные расслоения на комплексном проективном 3-пространстве ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{3}.}$

Формальное определение

За Пространство Минковского, обозначенный ${\displaystyle \mathbb {M} }$, решения твисторного уравнения имеют вид

${\displaystyle \Omega ^{A}(x)=\omega ^{A}-ix^{AA'}\pi _{A'}}$

куда ${\displaystyle \omega ^{A}}$ и ${\displaystyle \pi _{A'}}$ два постоянных Спиноры Вейля и ${\displaystyle x^{AA'}=\sigma _{\mu }^{AA'}x^{\mu }}$ является точкой в ​​пространстве Минковского. В ${\displaystyle \sigma _{\mu }=(I,{\vec {\sigma }})}$ являются Матрицы Паули, с ${\displaystyle A,A^{\prime }=1,2}$ индексы матриц. Это твисторное пространство представляет собой четырехмерное комплексное векторное пространство, точки которого обозначены ${\displaystyle Z^{\alpha }=(\omega ^{A},\pi _{A'})}$, и с эрмитская форма

${\displaystyle \Sigma (Z)=\omega ^{A}{\bar {\pi }}_{A}+{\bar {\omega }}^{A'}\pi _{A'}}$

который инвариантен относительно группа SU (2,2) который является четырехкратным покрытием конформная группа C (1,3) компактифицированного пространства-времени Минковского.

Точки в пространстве Минковского связаны с подпространствами твисторного пространства через отношение инцидентности

${\displaystyle \omega ^{A}=ix^{AA'}\pi _{A'}.}$

Это отношение инцидентности сохраняется при полном масштабировании твистора, поэтому обычно работают в проективном твисторном пространстве, обозначенном ${\displaystyle \mathbb {PT} }$, которая как комплексное многообразие изоморфна ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{3}}$.

Учитывая точку ${\displaystyle x\in M}$ он связан с линией в проективном твисторном пространстве, где мы можем видеть отношение инцидентности как линейное вложение ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{1}}$ параметризовано ${\displaystyle \pi _{A'}}$.

Геометрическая связь между проективным твисторным пространством и комплексифицированным компактифицированным пространством Минковского такая же, как между линиями и двумя плоскостями в твисторном пространстве; точнее, твисторное пространство

${\displaystyle \mathbb {T} :=\mathbb {C} ^{4}.}$

Это связано с двойным расслоение из многообразия флагов ${\displaystyle \mathbb {P} \xleftarrow {\mu } \mathbb {F} \xrightarrow {\nu } \mathbb {M} }$ куда ${\displaystyle \mathbb {P} }$ является проективным твисторным пространством

${\displaystyle \mathbb {P} =F_{1}(\mathbb {T} )=\mathbb {CP} ^{3}=\mathbf {P} (\mathbb {C} ^{4})}$

и ${\displaystyle \mathbb {M} }$ компактифицированное комплексифицированное пространство Минковского

${\displaystyle \mathbb {M} =F_{2}(\mathbb {T} )=\operatorname {Gr} _{2}(\mathbb {C} ^{4})=\operatorname {Gr} _{2,4}(\mathbb {C} )}$

и пространство соответствия между ${\displaystyle \mathbb {P} }$ и ${\displaystyle \mathbb {M} }$ является

${\displaystyle \mathbb {F} =F_{1,2}(\mathbb {T} )}$

В приведенном выше описании ${\displaystyle \mathbf {P} }$ означает проективное пространство, ${\displaystyle \operatorname {Gr} }$ а Грассманиан, и ${\displaystyle F}$ а многообразие флагов. В двойное расслоение рождает два корреспонденции (смотрите также Преобразование Пенроуза ), ${\displaystyle c=\nu \circ \mu ^{-1}}$ и ${\displaystyle c^{-1}=\mu \circ \nu ^{-1}.}$

Компактифицированное комплексифицированное пространство Минковского ${\displaystyle \mathbb {M} }$ встроен в ${\displaystyle \mathbf {P} _{5}\cong \mathbf {P} (\wedge ^{2}\mathbb {T} )}$ посредством Плюккеровское вложение; изображение Кляйн квадрик.

Рекомендации

1. Р. Пенроуз и М. А. Х. Маккаллум, Твисторная теория: подход к квантованию полей и пространства-времени. Дои:10.1016/0370-1573(73)90008-2
2. Эндрю Ходжес (14 мая 2010 г.). Один к девяти: внутренняя жизнь чисел. Doubleday Canada. п. 142. ISBN  978-0-385-67266-5.

• Уорд, Р. и Уэллс, Раймонд О. мл., Твисторная геометрия и теория поля, Издательство Кембриджского университета (1991). ISBN  0-521-42268-X.
• Хаггетт, С.А. и Тод, К.П., Введение в теорию твисторов, Издательство Кембриджского университета (1994). ISBN  978-0-521-45689-0.