Закон Планка - Plancks law - Wikipedia

Не путать с Соотношение Планка.

Закон планка описывает спектральная плотность электромагнитного излучения, испускаемого черное тело в тепловое равновесие при данном температура Т, когда нет чистого потока материи или энергии между телом и окружающей средой.^[1]

В конце XIX века физики не могли объяснить, почему наблюдаемый спектр излучение черного тела, которые к тому времени были точно измерены, значительно расходились на более высоких частотах от предсказываемых существующими теориями. В 1900 г. Макс Планк эвристически вывел формулу для наблюдаемого спектра, предположив, что гипотетический электрически заряженный осциллятор в полости, содержащей излучение черного тела, могло только изменить его энергия с минимальным приращением, E, что было пропорционально частота связанных с ней электромагнитная волна. Это решило проблему ультрафиолетовая катастрофа предсказано классическая физика. Это открытие было новаторским современная физика и имеет фундаментальное значение для квантовая теория.

Закон

Закон Планка точно описывает излучение черного тела. Здесь показано семейство кривых для разных температур. Классическая (черная) кривая отклоняется от наблюдаемой интенсивности на высоких частотах (коротких длинах волн).

Каждый физическое тело самопроизвольно и непрерывно излучает электромагнитное излучение и спектральное сияние тела, B, описывает спектральную мощность излучения на единицу площади на единицу телесного угла для определенных частот излучения. Отношения, данные Планка Закон излучения, приведенный ниже, показывает, что при повышении температуры полная излучаемая энергия увеличивается, а пик излучаемого спектра смещается в сторону более коротких волн.^[2] Согласно этому спектральная яркость тела для частота ν в абсолютная температура Т дан кем-то

${\displaystyle B(\nu ,T)={\frac {2h\nu ^{3}}{c^{2}}}{\frac {1}{e^{\frac {h\nu }{k_{\mathrm {B} }T}}-1}}}$

куда k_B это Постоянная Больцмана, час это Постоянная Планка, и c это скорость света в среде, будь то материал или вакуум.^[3][4][5] Спектральную яркость также можно выразить за единицу длина волны λ вместо единицы частоты. Выбрав подходящую систему единица измерения (т.е. естественный Единицы Планка ), закон можно упростить до:

${\displaystyle B(\nu ,T)=2\nu ^{3}{\frac {1}{e^{\frac {\nu }{T}}-1}}}$

Приравнивая интеграл спектральной яркости на единицу длины волны к интегралу на единицу частоты

${\displaystyle \int _{\lambda _{1}}^{\lambda _{2}}B(\lambda ,T)d\lambda =\int _{\nu (\lambda _{2})}^{\nu (\lambda _{1})}B(\nu ,T)d\nu =\int _{\lambda _{2}}^{\lambda _{1}}B(\nu ,T){\frac {d\nu }{d\lambda }}d\lambda =\int _{\lambda _{1}}^{\lambda _{2}}-B(\nu ,T){\frac {d\nu }{d\lambda }}d\lambda }$

где второй интеграл интегрируется из ${\textstyle \nu (\lambda _{2})}$ к ${\textstyle \nu (\lambda _{1})}$ потому что интегрирование вперед в частотном пространстве означает обратное интегрирование в пространстве длин волн. (Длина волны увеличивается с уменьшением частоты, поэтому, если ${\textstyle \lambda _{1}<\lambda _{2}}$ тогда ${\textstyle \nu (\lambda _{2})<\nu (\lambda _{1})}$). Поскольку это уравнение справедливо для любых пределов

${\displaystyle B(\lambda ,T)=-B(\nu ,T){\frac {d\nu }{d\lambda }}}$

С помощью ${\textstyle c=\lambda \nu }$, Мы видим, что^[6]

${\displaystyle B(\lambda ,T)={\frac {2hc^{2}}{\lambda ^{5}}}{\frac {1}{e^{\frac {hc}{\lambda k_{\mathrm {B} }T}}-1}},}$

показывающий, как излучаемая энергия, излучаемая на более коротких длинах волн, увеличивается с температурой быстрее, чем энергия, излучаемая на более длинных волнах. Закон также может быть выражен другими терминами, такими как количество фотонов, испускаемых на определенной длине волны, или плотность энергии в объеме излучения. В Единицы СИ из B_ν находятся W ·SR⁻¹·м⁻²·Гц⁻¹, в то время как B_λ находятся Вт · ср⁻¹· М⁻³.

В пределе низких частот (то есть длинных волн) закон Планка стремится к Закон Рэлея – Джинса, а в пределе высоких частот (т.е. малых длин волн) стремится к Вина приближение.

Макс Планк разработал закон в 1900 г., используя только константы, определенные эмпирически, и позже показал, что, выраженное в виде распределения энергии, это уникальное стабильное распределение излучения в термодинамическое равновесие.^[1] Как распределение энергии, это одно из семейства распределений теплового равновесия, которые включают Распределение Бозе – Эйнштейна, то Распределение Ферми – Дирака и Распределение Максвелла – Больцмана.

Излучение черного тела

Основная статья: Излучение черного тела

Солнце приближается к радиатору черного тела. Его эффективная температура около 5777 К.

Черное тело - это идеализированный объект, который поглощает и излучает все частоты излучения. Возле термодинамическое равновесие испускаемое излучение близко описывается законом Планка и из-за его зависимости от температура, Планковское излучение называется тепловым излучением, так что чем выше температура тела, тем больше излучения оно излучает на каждой длине волны.

Излучение Планка имеет максимальную интенсивность на длине волны, которая зависит от температуры тела. Например, при комнатной температуре (~300 K) тело излучает тепловое излучение, в основном инфракрасный и невидимый. При более высоких температурах количество инфракрасного излучения увеличивается и может ощущаться как тепло, и испускается больше видимого излучения, поэтому тело светится заметно красным. При более высоких температурах тело становится ярко-желтым или бело-голубым и излучает значительное количество коротковолнового излучения, в том числе ультрафиолетовый и даже рентгеновские лучи. Поверхность солнца (~6000 К) испускает большое количество как инфракрасного, так и ультрафиолетового излучения; его излучение имеет максимум в видимой области спектра. Этот сдвиг из-за температуры называется Закон смещения Вина.

Планковское излучение - это наибольшее количество излучения, которое любое тело, находящееся в состоянии теплового равновесия, может испустить со своей поверхности, независимо от его химического состава или структуры поверхности.^[7] Прохождение излучения через границу раздела сред можно охарактеризовать излучательная способность интерфейса (соотношение фактических сияние к теоретическому планковскому сиянию), обычно обозначаемый символом ε. Обычно это зависит от химического состава и физической структуры, от температуры, от длины волны, от угла прохождения и от поляризация.^[8] Излучательная способность естественного интерфейса всегда находится между ε = 0 и 1.

Тело, которое взаимодействует с другой средой, у которой есть ε = 1 и поглощает все падающее на него излучение, считается черным телом. Поверхность черного тела можно смоделировать с помощью небольшого отверстия в стене большого корпуса, температура которого поддерживается при постоянной температуре, с непрозрачными стенками, которые на каждой длине волны не являются идеально отражающими. В состоянии равновесия излучение внутри этой камеры описывается законом Планка, как и излучение, выходящее из небольшого отверстия.

Так же, как Распределение Максвелла – Больцмана это единственный максимум энтропия распределение энергии для газа материальных частиц в тепловом равновесии, так же как и распределение Планка для газ фотонов.^[9][10] В отличие от материального газа, в котором массы и количество частиц играют роль, спектральная яркость, давление и плотность энергии фотонного газа при тепловом равновесии полностью определяются температурой.

Если фотонный газ не планковский, то второй закон термодинамики гарантирует, что взаимодействия (между фотонами и другими частицами или даже, при достаточно высоких температурах, между самими фотонами) вызовут изменение распределения энергии фотонов и приближение к распределению Планка. При таком подходе к термодинамическому равновесию фотоны создаются или аннигилируют в нужном количестве и с нужной энергией, чтобы заполнить полость распределением Планка, пока они не достигнут равновесной температуры. Это как если бы газ представляет собой смесь субгазов, по одному на каждую полосу длин волн, и каждый субгаз в конечном итоге достигает общей температуры.

Количество B_ν(ν, Т) это спектральное сияние как функция температуры и частоты. Он имеет единицы W ·м⁻²·SR⁻¹·Гц⁻¹ в Система СИ. Бесконечно малое количество энергии B_ν(ν, Т) cos θ dА dΩ dν излучается в направлении, описываемом углом θ от нормали к поверхности от бесконечно малой площади поверхности dА в бесконечно малый телесный угол dΩ в бесконечно малой полосе частот шириной dν сосредоточен на частоте ν. Полная мощность, излучаемая в любой телесный угол, равна интеграл из B_ν(ν, Т) над этими тремя величинами, и дается Закон Стефана – Больцмана. Спектральная яркость планковского излучения от черного тела имеет одно и то же значение для каждого направления и угла поляризации, и поэтому черное тело называют Ламбертианский радиатор.

Различные формы

Закон Планка можно встретить в нескольких формах в зависимости от условностей и предпочтений различных научных областей. Различные формы закона спектральной яркости суммированы в таблице ниже. Формы слева чаще всего встречаются в экспериментальные поля, а те, что справа, чаще всего встречаются в теоретические области.

Закон Планка, выраженный через различные спектральные переменные^[11][12][13]

с час		с час
Переменная	распределение	Переменная	распределение
Частота ν	${\displaystyle B_{\nu }(\nu ,T)={\frac {2h\nu ^{3}}{c^{2}}}{\frac {1}{e^{h\nu /(k_{\mathrm {B} }T)}-1}}}$	Угловая частота ω	${\displaystyle B_{\omega }(\omega ,T)={\frac {\hbar \omega ^{3}}{4\pi ^{3}c^{2}}}{\frac {1}{e^{\hbar \omega /(k_{\mathrm {B} }T)}-1}}}$
Длина волны λ	${\displaystyle B_{\lambda }(\lambda ,T)={\frac {2hc^{2}}{\lambda ^{5}}}{\frac {1}{e^{hc/(\lambda k_{\mathrm {B} }T)}-1}}}$	Угловая длина волны у	${\displaystyle B_{y}(y,T)={\frac {\hbar c^{2}}{4\pi ^{3}y^{5}}}{\frac {1}{e^{\hbar c/(yk_{\mathrm {B} }T)}-1}}}$
Волновое число ν̃	${\displaystyle B_{\tilde {\nu }}({\tilde {\nu }},T)=2hc^{2}{\tilde {\nu }}^{3}{\frac {1}{e^{hc{\tilde {\nu }}/(k_{\mathrm {B} }T)}-1}}}$	Угловое волновое число k	${\displaystyle B_{k}(k,T)={\frac {\hbar c^{2}k^{3}}{4\pi ^{3}}}{\frac {1}{e^{\hbar ck/(k_{\mathrm {B} }T)}-1}}}$

Эти распределения представляют собой спектральную яркость черных тел - мощность, излучаемую излучающей поверхностью, на единицу проектируемой площади излучающей поверхности на единицу телесный угол, на спектральную единицу (частоту, длину волны, волновое число или их угловые эквиваленты). Поскольку сияние изотропный (т.е. независимо от направления), мощность, излучаемая под углом к нормальный пропорциональна площади проецирования и, следовательно, косинусу этого угла согласно Закон косинусов Ламберта, и является неполяризованный.

Соответствие форм спектральных переменных

Разные спектральные переменные требуют разных соответствующих форм выражения закона. В общем, нельзя конвертировать между различными формами закона Планка, просто заменяя одну переменную другой, потому что при этом не принимается во внимание, что разные формы имеют разные единицы. Единицы измерения длины волны и частоты взаимны.

Соответствующие формы выражения связаны, потому что они выражают один и тот же физический факт: для определенного физического спектрального приращения излучается соответствующее конкретное приращение физической энергии.

Это так, независимо от того, выражено ли это в терминах приращения частоты, dν, или, соответственно, длины волны, dλ. Знак минус может указывать на то, что увеличение частоты соответствует уменьшению длины волны. Чтобы преобразовать соответствующие формы так, чтобы они выражали одно и то же количество в одних и тех же единицах, мы умножаем его на спектральное приращение. Затем для конкретного спектрального приращения конкретное приращение физической энергии может быть записано

${\displaystyle B_{\lambda }(\lambda ,T)\,d\lambda =-B_{\nu }(\nu (\lambda ),T)\,d\nu ,}$ что приводит к${\displaystyle B_{\lambda }(\lambda ,T)=-{\frac {d\nu }{d\lambda }}B_{\nu }(\nu (\lambda ),T).}$

Также, ν(λ) = c/λ, так что dν/dλ = − c/λ². Подстановка дает соответствие между формами частоты и длины волны с их различными размерами и единицами измерения.^[13][14]Как следствие,

${\displaystyle {\frac {B_{\lambda }(T)}{B_{\nu }(T)}}={\frac {c}{\lambda ^{2}}}={\frac {\nu ^{2}}{c}}.}$

Очевидно, что положение пика спектрального распределения закона Планка зависит от выбора спектральной переменной. Тем не менее, как бы говоря, эта формула означает, что форма спектрального распределения не зависит от температуры в соответствии с законом смещения Вина, как подробно описано ниже в подразделе Процентили раздела Характеристики.

Форма спектральной плотности энергии

Закон Планка также можно записать в терминах спектральной плотность энергии (ты) умножением B к 4π/c:^[15]

${\displaystyle u_{i}(T)={\frac {4\pi }{c}}B_{i}(T).}$

Эти распределения имеют единицы энергии на объем на спектральную единицу.

Первая и вторая радиационные постоянные

В приведенных выше вариантах закона Планка Длина волны и Волновое число варианты используют термины 2hc² и hc/k_B которые содержат только физические константы. Следовательно, эти члены можно рассматривать как сами физические константы,^[16] и поэтому называются первая радиационная постоянная c_1L и вторая радиационная постоянная c₂ с

c_1L = 2hc²

и

c₂ = hc/k_B.

Используя радиационные постоянные, Длина волны вариант закона Планка можно упростить до

${\displaystyle L(\lambda ,T)={\frac {c_{1L}}{\lambda ^{5}}}{\frac {1}{\exp \left({\frac {c_{2}}{\lambda T}}\right)-1}}}$

и волновое число вариант может быть соответственно упрощен.

L здесь используется вместо B потому что это символ SI для спектральное сияние. В L в c_1L относится к этому. Эта ссылка необходима, потому что закон Планка можно переформулировать, чтобы спектральное излучение M(λ,Т) скорее, чем спектральное сияние L(λ,Т), в таком случае c₁ заменяет c_1L, с

c₁ = 2πhc²,

так что закон Планка для спектральное излучение можно записать как

${\displaystyle M(\lambda ,T)={\frac {c_{1}}{\lambda ^{5}}}{\frac {1}{\exp \left({\frac {c_{2}}{\lambda T}}\right)-1}}}$

Физика

Замораживание высокоэнергетических осцилляторов

Закон Планка описывает уникальное и характерное спектральное распределение электромагнитного излучения в термодинамическом равновесии, когда нет чистого потока вещества или энергии.^[1] Его физику легче всего понять, рассматривая излучение в полости с жесткими непрозрачными стенками. Движение стен может повлиять на излучение. Если стенки непрозрачны, то термодинамическое равновесие не изолировано. Интересно объяснить, как достигается термодинамическое равновесие. Есть два основных случая: (а) когда приближение к термодинамическому равновесию заключается в присутствии вещества, когда стенки полости неидеально отражают для каждой длины волны, или когда стенки полностью отражают, в то время как полость содержит небольшое черное тело ( это был основной случай, рассмотренный Планком); или (b) когда приближение к равновесию происходит в отсутствие вещества, когда стенки идеально отражают для всех длин волн, а полость не содержит вещества. Для материи, не заключенной в такую ​​полость, тепловое излучение приближенно можно объяснить соответствующим использованием закона Планка.

Классическая физика привела теорема о равнораспределении, в ультрафиолетовая катастрофа, предсказание, что полная интенсивность излучения абсолютно черного тела бесконечна. Если дополнить классически неоправданным предположением, что по какой-то причине излучение конечно, классическая термодинамика дает представление о некоторых аспектах распределения Планка, таких как Закон Стефана – Больцмана, а Закон смещения Вина. В случае наличия материи квантовая механика дает хорошее объяснение, как показано ниже в разделе, озаглавленном Коэффициенты Эйнштейна. Это был случай, рассмотренный Эйнштейном, и в настоящее время используется в квантовой оптике.^[17][18] В случае отсутствия материи квантовая теория поля необходима, потому что нерелятивистская квантовая механика с фиксированным числом частиц не дает достаточного объяснения.

Фотоны

Квантовое теоретическое объяснение закона Планка рассматривает излучение как газ безмассовых, незаряженных бозонных частиц, а именно фотонов, в термодинамическое равновесие. Фотоны рассматриваются как носители электромагнитного взаимодействия между электрически заряженными элементарными частицами. Числа фотонов не сохраняются. Фотоны создаются или аннигилируют в нужном количестве и с нужной энергией, чтобы заполнить полость распределением Планка. Для фотонного газа в термодинамическом равновесии плотность внутренней энергии полностью определяется температурой; более того, давление полностью определяется плотностью внутренней энергии. Это отличается от случая термодинамического равновесия для материальных газов, для которых внутренняя энергия определяется не только температурой, но также независимо от соответствующего числа различных молекул и, опять же, независимо от конкретных характеристик различных молекул. молекулы. Для различных материальных газов при данной температуре давление и плотность внутренней энергии могут изменяться независимо, поскольку разные молекулы могут нести независимо разные энергии возбуждения.

Закон Планка возникает как предел Распределение Бозе – Эйнштейна, распределение энергии, описывающее неинтерактивный бозоны в термодинамическом равновесии. В случае безмассовых бозонов типа фотоны и глюоны, то химический потенциал равен нулю, и распределение Бозе – Эйнштейна сводится к распределению Планка. Существует еще одно фундаментальное равновесное распределение энергии: Распределение Ферми – Дирака, который описывает фермионы, такие как электроны, в тепловом равновесии. Эти два распределения различаются, потому что несколько бозонов могут занимать одно и то же квантовое состояние, а несколько фермионов - нет. При низких плотностях количество доступных квантовых состояний на частицу велико, и это различие становится несущественным. В пределе низкой плотности каждое из распределений Бозе – Эйнштейна и Ферми – Дирака сводится к Распределение Максвелла – Больцмана.

Закон Кирхгофа теплового излучения

Основная статья: Закон Кирхгофа теплового излучения

Закон Кирхгофа о тепловом излучении - это сжатое и краткое описание сложной физической ситуации. Ниже приводится вводный набросок этой ситуации, и он очень далек от строгого физического аргумента. Цель здесь состоит только в том, чтобы обобщить основные физические факторы ситуации и основные выводы.

Спектральная зависимость теплового излучения

Есть разница между кондуктивной теплопередачей и радиационной теплопередачей. Излучение теплопередачи может быть отфильтровано, чтобы пропускать только определенный диапазон частот излучения.

Общеизвестно, что чем горячее становится тело, тем больше тепла оно излучает на каждой частоте.

В полости в непрозрачном теле с жесткими стенками, которые не обладают идеальным отражением на любой частоте, в термодинамическом равновесии существует только одна температура, и она должна совместно использоваться излучением каждой частоты.

Можно представить себе две такие полости, каждая в своем изолированном радиационном и термодинамическом равновесии. Можно представить себе оптическое устройство, которое обеспечивает лучистую теплопередачу между двумя полостями, отфильтрованную для пропускания только определенной полосы частот излучения. Если значения спектральной яркости излучения в полостях отличаются в этой полосе частот, можно ожидать, что тепло будет переходить от более горячего к более холодному. Можно было бы предложить использовать такой отфильтрованный перенос тепла в такой полосе для привода теплового двигателя. Если два тела имеют одинаковую температуру, второй закон термодинамики не позволяет тепловому двигателю работать. Можно сделать вывод, что для температуры, общей для двух тел, значения спектральной яркости в полосе пропускания также должны быть общими. Это должно выполняться для каждой полосы частот.^[19][20][21] Это стало ясно Бальфуру Стюарту, а затем Кирхгофу. Бальфур Стюарт экспериментально обнаружил, что из всех поверхностей одна из ламповой сажи испускает наибольшее количество теплового излучения для всех видов излучения, судя по различным фильтрам.

Рассуждая теоретически, Кирхгоф пошел немного дальше и указал, что это означает, что спектральная яркость как функция частоты излучения любой такой полости в термодинамическом равновесии должна быть уникальной универсальной функцией температуры. Он постулировал идеальное черное тело, которое взаимодействует с окружающей средой таким образом, чтобы поглощать все падающее на него излучение. Согласно принципу взаимности Гельмгольца, излучение изнутри такого тела будет беспрепятственно проходить непосредственно к его окружению без отражения на границе раздела. В термодинамическом равновесии тепловое излучение, испускаемое таким телом, будет иметь уникальную универсальную спектральную яркость как функцию температуры. Это понимание лежит в основе закона Кирхгофа о тепловом излучении.

Связь между поглощающей способностью и излучательной способностью

Можно представить себе небольшое однородное сферическое материальное тело с надписью Икс при температуре Т_Икс, лежащая в поле излучения внутри большой полости со стенками из материала с маркировкой Y при температуре Т_Y. Тело Икс испускает собственное тепловое излучение. С определенной частотой ν, излучение, испускаемое из определенного поперечного сечения через центр Икс в каком-то смысле направление, нормальное к этому поперечному сечению, может быть обозначено я_ν,Икс(Т_Икс), характерно для материала Икс. На этой частоте ν, мощность излучения от стен в этом поперечном сечении в противоположном смысле в этом направлении может быть обозначена я_ν,Y(Т_Y), для температуры стены Т_Y. Для материала Икс, определяя поглощающую способность α_ν,Икс,Y(Т_Икс, Т_Y) как доля падающего излучения, поглощенная Икс, эта падающая энергия поглощается со скоростью α_ν,Икс,Y(Т_Икс, Т_Y) я_ν,Y(Т_Y).

Оценка q(ν,Т_Икс,Т_Y) накопления энергии в одном смысле в поперечном сечении тела можно выразить

${\displaystyle q(\nu ,T_{X},T_{Y})=\alpha _{\nu ,X,Y}(T_{X},T_{Y})I_{\nu ,Y}(T_{Y})-I_{\nu ,X}(T_{X}).}$

Основополагающее открытие Кирхгофа, упомянутое выше, заключалось в том, что при термодинамическом равновесии при температуре Т, существует уникальное универсальное радиационное распределение, которое в настоящее время обозначается B_ν(Т), который не зависит от химических характеристик материалов Икс и Y, что приводит к очень ценному пониманию равновесия радиационного обмена любого тела, как показано ниже.

Когда есть термодинамическое равновесие при температуре Тизлучение полости от стен имеет то уникальное универсальное значение, что я_ν,Y(Т_Y) = B_ν(Т). Далее можно определить коэффициент излучения ε_ν,Икс(Т_Икс) из материала корпуса Икс именно так, чтобы при термодинамическом равновесии при температуре Т_Икс = Т, надо я_ν,Икс(Т_Икс) = я_ν,Икс(Т) = ε_ν,Икс(Т) B_ν(Т) .

Когда тепловое равновесие преобладает при температуре Т = Т_Икс = Т_Yскорость накопления энергии обращается в нуль, так что q(ν,Т_Икс,Т_Y) = 0. Отсюда следует, что в термодинамическом равновесии, когда Т = Т_Икс = Т_Y,

${\displaystyle 0=\alpha _{\nu ,X,Y}(T,T)B_{\nu }(T)-\epsilon _{\nu ,X}(T)B_{\nu }(T).}$

Кирхгоф указал, что из этого следует, что в термодинамическом равновесии, когда Т = Т_Икс = Т_Y,

${\displaystyle \alpha _{\nu ,X,Y}(T,T)=\epsilon _{\nu ,X}(T).}$

Вводя специальные обозначения α_ν,Икс(Т) на поглощающую способность материала Икс при термодинамическом равновесии при температуре Т (оправданное открытием Эйнштейна, как указано ниже), еще одно имеет равенство

${\displaystyle \alpha _{\nu ,X}(T)=\epsilon _{\nu ,X}(T)}$

при термодинамическом равновесии.

Продемонстрированное здесь равенство коэффициентов поглощения и излучения характерно для термодинамического равновесия при температуре Т и, как правило, не следует ожидать, что оно будет выполняться, когда не выполняются условия термодинамического равновесия. Излучательная способность и поглощающая способность - это свойства молекул материала по отдельности, но они по-разному зависят от распределения состояний молекулярного возбуждения в данном случае из-за явления, известного как «вынужденное излучение», которое было обнаружено Эйнштейном. В случаях, когда материал находится в термодинамическом равновесии или в состоянии, известном как локальное термодинамическое равновесие, излучательная способность и поглощающая способность становятся равными. Очень сильное падающее излучение или другие факторы могут нарушить термодинамическое равновесие или локальное термодинамическое равновесие. Локальное термодинамическое равновесие в газе означает, что столкновения молекул намного перевешивают излучение и поглощение света при определении распределения состояний возбуждения молекул.

Кирхгоф указал, что ему неизвестен точный характер B_ν(Т), но он считал важным, чтобы это выяснилось. Спустя четыре десятилетия после того, как Кирхгоф понял общие принципы его существования и характера, вклад Планка состоял в том, чтобы определить точное математическое выражение этого равновесного распределения. B_ν(Т).

Черное тело

Основная статья: Черное тело

В физике рассматривается идеальное черное тело, обозначенное здесь B, определяемый как тот, который полностью поглощает все электромагнитное излучение, падающее на него на каждой частоте ν (отсюда и термин «черный»). Согласно закону Кирхгофа теплового излучения, это означает, что для каждой частоты ν, при термодинамическом равновесии при температуре Т, надо α_ν,B(Т) = ε_ν,B(Т) = 1, так что тепловое излучение от черного тела всегда равно полной величине, определенной законом Планка. Ни одно физическое тело не может излучать тепловое излучение, превышающее тепловое излучение черного тела, поскольку, если бы оно находилось в равновесии с полем излучения, оно испускало бы больше энергии, чем было бы на него.

Хотя совершенно черных материалов не существует, на практике можно точно аппроксимировать черную поверхность.^[1] Что касается его материальной внутренней части, то тело из конденсированной материи, жидкости, твердого тела или плазмы с определенной границей раздела с окружающей средой является полностью черным для излучения, если оно полностью непрозрачно. Это означает, что он поглощает все излучение, которое проникает через границу раздела тела с окружающей средой и попадает в тело. На практике это не так уж и сложно. С другой стороны, идеально черный интерфейс в природе не встречается. Совершенно черный интерфейс не отражает излучения, но пропускает все, что падает на него с любой стороны. Наилучший практический способ создать эффективно черный интерфейс - это смоделировать «интерфейс» с помощью небольшого отверстия в стенке большой полости в полностью непрозрачном твердом теле из материала, который не отражает идеально на любой частоте, со стенками в контролируемая температура. Помимо этих требований, материал стен не ограничен. Излучение, попадающее в отверстие, практически не имеет возможности выйти из полости, не поглотившись при многократных ударах о ее стенки.^[22]

Закон косинусов Ламберта

Основная статья: Закон косинусов Ламберта

Как объяснил Планк,^[23] излучающее тело имеет внутреннюю часть, состоящую из вещества, и границу раздела с прилегающей соседней материальной средой, которая обычно является средой, изнутри которой наблюдается излучение от поверхности тела. Интерфейс не состоит из физической материи, а представляет собой теоретическую концепцию, математическую двумерную поверхность, совместное свойство двух смежных сред, строго говоря, не принадлежащих ни к одной из них по отдельности. Такой интерфейс не может ни поглощать, ни излучать, потому что он не состоит из физической материи; но это место отражения и пропускания излучения, потому что это поверхность неоднородности оптических свойств. Отражение и пропускание излучения на границе раздела подчиняются Принцип взаимности Стокса – Гельмгольца..

В любой точке внутри черного тела, находящегося внутри полости, находящейся в термодинамическом равновесии при температуре Т излучение однородное, изотропное и неполяризованное. Черное тело поглощает все и не отражает ни одного падающего на него электромагнитного излучения. Согласно принципу взаимности Гельмгольца, излучение изнутри черного тела не отражается от его поверхности, а полностью передается наружу. Из-за изотропии излучения внутри тела спектральное сияние излучения, передаваемого изнутри наружу через его поверхность, не зависит от направления.^[24]

Это выражается в том, что излучение от поверхности черного тела в термодинамическом равновесии подчиняется закону косинусов Ламберта.^[25][26] Это означает, что спектральный поток dΦ (dA, θ, dΩ, dν) от заданного бесконечно малого элемента площади dA фактической излучающей поверхности черного тела, обнаруженной с заданного направления, образующего угол θ с нормалью к реальной излучающей поверхности на dA, в элемент телесного угла обнаружения dΩ с центром в направлении, обозначенном θ, в элементе полосы частот dν, можно представить как^[27]

${\displaystyle {\frac {d\Phi (dA,\theta ,d\Omega ,d\nu )}{d\Omega }}=L^{0}(dA,d\nu )\,dA\,d\nu \,\cos \theta }$

куда L⁰(dA, dν) обозначает поток на единицу площади на единицу частоты на единицу телесного угла, что площадь dA покажет, если измерять его в нормальном направлении θ = 0.

Фактор потому что θ присутствует, потому что область, к которой непосредственно относится спектральная яркость, является проекцией фактической площади излучающей поверхности на плоскость, перпендикулярную направлению, обозначенному θ . Это причина названия закон косинуса.

Учитывая независимость направления спектральной яркости излучения от поверхности черного тела в термодинамическом равновесии, имеем L⁰(dA, dν) = B_ν(Т) и так

${\displaystyle {\frac {d\Phi (dA,\theta ,d\Omega ,d\nu )}{d\Omega }}=B_{\nu }(T)\,dA\,d\nu \,\cos \theta .}$

Таким образом, закон косинуса Ламберта выражает независимость направления спектральной яркости B_ν (Т) поверхности черного тела в термодинамическом равновесии.

Закон Стефана – Больцмана

Основная статья: Закон Стефана – Больцмана

Полная мощность, излучаемая на единицу площади на поверхности черного тела (п) может быть найден путем интегрирования спектрального потока черного тела, найденного из закона Ламберта, по всем частотам и по телесным углам, соответствующим полусфере (час) над поверхностью.

${\displaystyle P=\int _{0}^{\infty }d\nu \int _{h}d\Omega \,B_{\nu }\cos(\theta )}$

Бесконечно малый телесный угол можно выразить в виде сферические полярные координаты:

${\displaystyle d\Omega =\sin(\theta )\,d\theta \,d\phi .}$

Так что:

${\displaystyle P=\int _{0}^{\infty }d\nu \int _{0}^{\tfrac {\pi }{2}}d\theta \int _{0}^{2\pi }d\phi \,B_{\nu }(T)\cos(\theta )\sin(\theta )=\sigma T^{4}}$

куда

${\displaystyle \sigma ={\frac {2k_{\mathrm {B} }^{4}\pi ^{5}}{15c^{2}h^{3}}}\approx 5.670400\times 10^{-8}\,\mathrm {J\,s^{-1}m^{-2}K^{-4}} }$

известен как Постоянная Стефана – Больцмана.^[28]

Радиационный перенос

Основная статья: Радиационный перенос

Уравнение переноса излучения описывает способ воздействия на излучение при его прохождении через материальную среду. Для особого случая, когда материальная среда находится в термодинамическое равновесие в окрестности точки в среде закон Планка имеет особое значение.

Для простоты мы можем рассматривать линейное установившееся состояние без рассеяние. Уравнение переноса излучения гласит, что для луча света, проходящего малое расстояние ds, энергия сохраняется: изменение (спектральной) сияние этого луча (я_ν) равно количеству, удаленному материальной средой, плюс количество, полученное из материальной среды. Если поле излучения находится в равновесии с материальной средой, эти два вклада будут равны. Материальная среда будет иметь определенную коэффициент выбросов и коэффициент поглощения.

Коэффициент поглощения α - частичное изменение интенсивности светового луча при его прохождении на расстояние ds, и имеет единицы длины⁻¹. Он состоит из двух частей: уменьшения за счет поглощения и увеличения за счет стимулированное излучение. Вынужденное излучение - это излучение материального тела, которое вызвано поступающим излучением и пропорционально ему. Он включен в термин поглощения, потому что, как и поглощение, он пропорционален интенсивности входящего излучения. Поскольку количество абсорбции обычно изменяется линейно, как плотность ρ материала, мы можем определить "коэффициент поглощения массы" κ_ν = α/ρ что является свойством самого материала. Изменение интенсивности светового луча из-за поглощения при прохождении небольшого расстояния ds тогда будет^[4]

${\displaystyle dI_{\nu }=-\kappa _{\nu }\rho I_{\nu }\,ds}$

«Массовый коэффициент выбросов» j_ν равна яркости на единицу объема небольшого элемента объема, деленной на его массу (поскольку, что касается массового коэффициента поглощения, излучение пропорционально излучающей массе), и имеет единицы мощности твердый угол⁻¹⋅частота⁻¹⋅плотность⁻¹. Как и коэффициент поглощения массы, это свойство самого материала. Изменение светового луча при прохождении небольшого расстояния ds тогда будет^[29]

${\displaystyle dI_{\nu }=j_{\nu }\rho \,ds}$

Уравнение переноса излучения будет тогда суммой этих двух вкладов:^[30]

${\displaystyle {\frac {dI_{\nu }}{ds}}=j_{\nu }\rho -\kappa _{\nu }\rho I_{\nu }.}$

Если поле излучения находится в равновесии с материальной средой, то излучение будет однородным (независимо от положения), так что dя_ν = 0 и:

${\displaystyle \kappa _{\nu }B_{\nu }=j_{\nu }}$

что является еще одним утверждением закона Кирхгофа, связывающего два материальных свойства среды, и который дает уравнение переноса излучения в точке, вокруг которой среда находится в термодинамическом равновесии:

${\displaystyle {\frac {dI_{\nu }}{ds}}=\kappa _{\nu }\rho (B_{\nu }-I_{\nu }).}$

Коэффициенты Эйнштейна

Основная статья: Атомная спектральная линия

Принцип подробный баланс утверждает, что при термодинамическом равновесии каждый элементарный процесс уравновешивается своим обратным процессом.

В 1916 г. Альберт Эйнштейн применил этот принцип на атомном уровне к случаю, когда атом излучает и поглощает излучение из-за переходов между двумя конкретными уровнями энергии,^[31] что дает более глубокое понимание уравнения переноса излучения и закона Кирхгофа для этого типа излучения. Если уровень 1 - это нижний энергетический уровень с энергией E₁, а уровень 2 - верхний энергетический уровень с энергией E₂, то частота ν Излучаемого или поглощенного излучения будет определяться условием частоты Бора:^[32][33]

${\displaystyle E_{2}-E_{1}=h\nu }$.

Если п₁ и п₂ - числовые плотности атома в состояниях 1 и 2 соответственно, то скорость изменения этих плотностей во времени будет определяться тремя процессами:

${\displaystyle \left({\frac {dn_{1}}{dt}}\right)_{\mathrm {spon} }=A_{21}n_{2}}$	Спонтанное излучение
${\displaystyle \left({\frac {dn_{1}}{dt}}\right)_{\mathrm {stim} }=B_{21}n_{2}u_{\nu }}$	Вынужденное излучение
${\displaystyle \left({\frac {dn_{2}}{dt}}\right)_{\mathrm {abs} }=B_{12}n_{1}u_{\nu }}$	Фотоабсорбция

куда ты_ν - спектральная плотность энергии поля излучения. Три параметра А₂₁, B₂₁ и B₁₂, известные как коэффициенты Эйнштейна, связаны с частотой фотонов ν образуется переходом между двумя энергетическими уровнями (состояниями). В результате каждая линия в спектре имеет свой собственный набор связанных коэффициентов. Когда атомы и поле излучения находятся в равновесии, яркость будет определяться законом Планка и, согласно принципу детального баланса, сумма этих скоростей должна быть равна нулю:

${\displaystyle 0=A_{21}n_{2}+B_{21}n_{2}{\frac {4\pi }{c}}B_{\nu }(T)-B_{12}n_{1}{\frac {4\pi }{c}}B_{\nu }(T)}$

Поскольку атомы также находятся в равновесии, населенности двух уровней связаны соотношением Фактор Больцмана:

${\displaystyle {\frac {n_{2}}{n_{1}}}={\frac {g_{2}}{g_{1}}}e^{-h\nu /k_{\mathrm {B} }T}}$

куда грамм₁ и грамм₂ - кратности соответствующих уровней энергии. Объединение двух приведенных выше уравнений с требованием, чтобы они действовали при любой температуре, дает два соотношения между коэффициентами Эйнштейна:

${\displaystyle {\frac {A_{21}}{B_{21}}}={\frac {8\pi h\nu ^{3}}{c^{3}}}}$

${\displaystyle {\frac {B_{21}}{B_{12}}}={\frac {g_{1}}{g_{2}}}}$

так что знание одного коэффициента даст два других. Для случая изотропного поглощения и излучения коэффициент излучения (j_ν) и коэффициент поглощения (κ_ν), определенный в разделе переноса излучения выше, может быть выражен через коэффициенты Эйнштейна. Соотношения между коэффициентами Эйнштейна дадут выражение закона Кирхгофа, выраженное в виде Радиационный перенос раздел выше, а именно, что

${\displaystyle j_{\nu }=\kappa _{\nu }B_{\nu }.}$

Эти коэффициенты применимы как к атомам, так и к молекулам.

Характеристики

Пики

Распределения B_ν, B_ω, B_ν̃ и B_k пик при энергии фотона^[34]

${\displaystyle E=\left[3+W\left({\frac {-3}{e^{3}}}\right)\right]k_{\mathrm {B} }T\approx 2.821\ k_{\mathrm {B} }T,}$

куда W это W функция Ламберта и е является Число Эйлера.

Распределения B_λ и B_у однако пик с другой энергией^[34]

${\displaystyle E=\left[5+W\left({\frac {-5}{e^{5}}}\right)\right]k_{\mathrm {B} }T\approx 4.965\ k_{\mathrm {B} }T,}$

Причина этого в том, что, как было сказано выше, нельзя перейти (например) B_ν к B_λ просто заменив ν к λ. Кроме того, необходимо еще и результат замены умножить на

${\displaystyle \left|{\frac {d\nu }{d\lambda }}\right|=c/\lambda ^{2}}$.

Этот 1/λ² Фактор сдвигает пик распределения в область более высоких энергий. Эти пики являются Режим энергия фотона, когда мусорный бак с использованием элементов разрешения равного размера по частоте или длине волны соответственно. Между тем средний энергия фотона от черного тела равна

${\displaystyle E=\left[360{\frac {\zeta (5)}{\pi ^{4}}}\right]k_{\mathrm {B} }T\approx 3.832\ k_{\mathrm {B} }T,}$

куда ${\displaystyle \zeta }$ это Дзета-функция Римана. Разделение hc по этому энергетическому выражению получается длина волны пика. Для этого можно использовать hc/k_B = 143870,770 мкм · К.

Спектральная яркость на этих пиках определяется как:

${\displaystyle B_{\nu ,{\text{max}}}(T)={\frac {2k_{\mathrm {B} }^{3}T^{3}(3+W(-3\exp(-3))^{3}}{h^{2}c^{2}}}{\frac {1}{e^{3+W(-3\exp(-3))}-1}}\approx \left(1.896\times 10^{-19}{\frac {\text{W}}{{\text{m}}^{2}\cdot {\text{Hz}}\cdot {\text{K}}^{3}}}\right)\times T^{3}}$

${\displaystyle B_{\lambda ,{\text{max}}}(T)={\frac {2k_{\mathrm {B} }^{5}T^{5}(5+W(-5\exp(-5))^{5}}{h^{4}c^{3}}}{\frac {1}{e^{5+W(-5\exp(-5))}-1}}\approx \left(4.096\times 10^{-6}{\frac {\text{W}}{{\text{m}}^{3}\cdot {\text{K}}^{5}}}\right)\times ~T^{5}}$

Приближения

Графики логарифмической яркости в зависимости от частоты для закона Планка (зеленый) по сравнению с Закон Рэлея – Джинса (красный) и Вина приближение (синий) для черного тела при 8 мК температура.

В пределе низких частот (то есть длинных волн) закон Планка становится Закон Рэлея – Джинса^[35][36][37]

${\displaystyle B_{\nu }(T)\approx {\frac {2\nu ^{2}}{c^{2}}}k_{\mathrm {B} }T}$ или же${\displaystyle \qquad B_{\lambda }(T)\approx {\frac {2c}{\lambda ^{4}}}k_{\mathrm {B} }T.}$

Яркость увеличивается пропорционально квадрату частоты, иллюстрируя ультрафиолетовая катастрофа. В пределе высоких частот (т.е. малых длин волн) закон Планка стремится к Вина приближение:^[37][38][39]

${\displaystyle B_{\nu }(T)\approx {\frac {2h\nu ^{3}}{c^{2}}}e^{-{\frac {h\nu }{k_{\mathrm {B} }T}}}}$ или же${\displaystyle B_{\lambda }(T)\approx {\frac {2hc^{2}}{\lambda ^{5}}}e^{-{\frac {hc}{\lambda k_{\mathrm {B} }T}}}.}$

Оба приближения были известны Планку до того, как он разработал свой закон. Эти два приближения привели его к разработке закона, объединяющего оба предела, который в конечном итоге стал законом Планка.

Процентили

Закон смещения Вина в своей более сильной форме утверждает, что форма закона Планка не зависит от температуры. Таким образом, можно перечислить процентильные точки общего излучения, а также пики для длины волны и частоты в форме, которая дает длину волны λ при делении на температуру Т.^[40] Во второй строке следующей таблицы перечислены соответствующие значения λT, то есть те значения Икс для которого длина волны λ является Икс/Т микрометры в точке процентиля яркости, заданной соответствующей записью в первой строке.

Процентиль	0.01%	0.1%	1%	10%	20%	25.0%	30%	40%	41.8%	50%	60%	64.6%	70%	80%	90%	99%	99.9%	99.99%
λT (мкм · К)	910	1110	1448	2195	2676	2898	3119	3582	3670	4107	4745	5099	5590	6864	9376	22884	51613	113374

То есть 0,01% излучения приходится на длину волны ниже 910/Т мкм, ниже 20% 2676/Т мкм и т. д. Пики длины волны и частоты выделены жирным шрифтом и составляют 25,0% и 64,6% соответственно. Точка 41,8% - это нейтральный по длине волны пик. Это точки, в которых действуют соответствующие законы Планка. 1/λ⁵, ν³ и ν²/λ² деленное на exp(hν/k_BТ) − 1 достичь своих максимумов. Значительно меньший разрыв в соотношении длин волн от 0,1% до 0,01% (1110 на 22% больше, чем 910), чем между 99,9% и 99,99% (113374 на 120% больше, чем 51613), отражает экспоненциальный спад энергии на коротких волнах (слева конец) и полиномиальное затухание при long.

Какой пик использовать, зависит от приложения. Обычным выбором является пик длины волны при 25,0%, определяемый по формуле Закон смещения Вина в слабой форме. Для некоторых целей может быть более подходящей медиана или точка 50%, делящая общее излучение на две половины. Последний находится ближе к пику частоты, чем к пику длины волны, потому что яркость падает экспоненциально на коротких длинах волн и только полиномиально на длинных. По той же причине нейтральный пик возникает на более короткой длине волны, чем медиана.

Для Солнца, Т составляет 5778 K, что позволяет табулировать процентильные точки солнечного излучения в нанометрах следующим образом при моделировании как излучатель черного тела, к которому Солнце является хорошим приближением. Для сравнения: планета, смоделированная как черное тело, излучающее при номинальной температуре 288 К (15 ° C), как репрезентативное значение сильно изменчивой температуры Земли, имеет длины волн, более чем в двадцать раз превышающие длину волны Солнца, что указано в третьей строке в микрометрах (тысячи нанометров).

Процентиль	0.01%	0.1%	1%	10%	20%	25.0%	30%	40%	41.8%	50%	60%	64.6%	70%	80%	90%	99%	99.9%	99.99%
солнце λ (мкм)	0.157	0.192	0.251	0.380	0.463	0.502	0.540	0.620	0.635	0.711	0.821	0.882	0.967	1.188	1.623	3.961	8.933	19.620
288 К планета λ (мкм)	3.16	3.85	5.03	7.62	9.29	10.1	10.8	12.4	12.7	14.3	16.5	17.7	19.4	23.8	32.6	79.5	179	394

То есть только 1% солнечного излучения имеет длину волны короче 251 нм и только 1% - длиннее 3961 нм. Выражаясь в микрометрах, это означает, что 98% солнечного излучения находится в диапазоне от 0,251 до 3,961 мкм. Соответствующие 98% энергии, излучаемой планетой 288 K, составляют от 5,03 до 79,5 мкм, что значительно выше диапазона солнечного излучения (или ниже, если выражено в терминах частот). ν = c/λ вместо длин волн λ).

Следствием этой более чем порядковой разницы в длине волны солнечного и планетарного излучения является то, что фильтры, предназначенные для пропускания одного и блокирования другого, легко сконструировать. Например, окна, изготовленные из обычного стекла или прозрачного пластика, пропускают не менее 80% входящего солнечного излучения 5778 K, длина волны которого составляет менее 1,2 мкм, и блокируют более 99% исходящего теплового излучения 288 K на расстоянии 5 мкм и выше. при которой большинство видов стекла и пластика строительной толщины фактически непрозрачны.

Излучение Солнца - это излучение, достигающее верхних слоев атмосферы (TOA). Как видно из таблицы, излучение ниже 400 нм или ультрафиолетовый, составляет около 12%, а выше 700 нм или инфракрасный, начинается примерно с 49% и составляет 51% от общей суммы. Следовательно, человеческому глазу видно только 37% инсоляции TOA. Атмосфера существенно сдвигает эти проценты в пользу видимого света, поскольку поглощает большую часть ультрафиолета и значительное количество инфракрасного.

Вывод

Смотрите также: Газ в коробке и Фотонный газ

Рассмотрим куб из стороны L с проводящими стенками, заполненными электромагнитным излучением, в тепловом равновесии при температуре Т. Если в одной из стенок есть небольшое отверстие, излучение, исходящее из отверстия, будет характерно для идеального черное тело. Сначала мы рассчитаем спектральную плотность энергии в полости, а затем определим спектральную яркость испускаемого излучения.

У стенок куба параллельная составляющая электрического поля и ортогональная составляющая магнитного поля должны исчезнуть. Аналогично волновой функции частица в коробке, оказывается, что поля являются суперпозициями периодических функций. Три длины волны λ₁, λ₂, и λ₃, в трех направлениях, перпендикулярных стенам, могут быть:

${\displaystyle \lambda _{i}={\frac {2L}{n_{i}}},}$

где п_я положительные целые числа. Для каждого набора целых чисел п_я есть два линейно независимых решения (известных как режимы). Согласно квантовой теории, уровни энергии моды определяются следующим образом:

${\displaystyle E_{n_{1},n_{2},n_{3}}\left(r\right)=\left(r+{\frac {1}{2}}\right){\frac {hc}{2L}}{\sqrt {n_{1}^{2}+n_{2}^{2}+n_{3}^{2}}}.\qquad {\text{(1)}}}$

Квантовое число р можно интерпретировать как количество фотонов в моде. Два режима для каждого набора п_я соответствуют двум состояниям поляризации фотона со спином 1. Для р = 0 энергия моды не равна нулю. Эта вакуумная энергия электромагнитного поля отвечает за Эффект Казимира. Далее мы рассчитаем внутреннюю энергию ящика при абсолютная температура Т.

В соответствии с статистическая механика, равновесное распределение вероятности по энергетическим уровням конкретной моды определяется выражением:

${\displaystyle P_{r}={\frac {\exp \left(-\beta E\left(r\right)\right)}{Z\left(\beta \right)}}.}$

Здесь

${\displaystyle \beta \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {1}{k_{\mathrm {B} }T}}.}$

Знаменатель Z(β), это функция распределения одного режима и делает п_р правильно нормализовано:

${\displaystyle Z\left(\beta \right)=\sum _{r=0}^{\infty }e^{-\beta E\left(r\right)}={\frac {e^{-\beta \varepsilon /2}}{1-e^{-\beta \varepsilon }}}.}$

Здесь мы неявно определили

${\displaystyle \varepsilon \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {hc}{2L}}{\sqrt {n_{1}^{2}+n_{2}^{2}+n_{3}^{2}}},}$

что является энергией одиночного фотона. Как объяснено здесь, средняя энергия в моде может быть выражена через статистическую сумму:

${\displaystyle \left\langle E\right\rangle =-{\frac {d\log \left(Z\right)}{d\beta }}={\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{e^{\beta \varepsilon }-1}}.}$

Эта формула, помимо первого члена энергии вакуума, является частным случаем общей формулы для частиц, подчиняющихся Статистика Бозе – Эйнштейна. Поскольку нет ограничений на общее количество фотонов, химический потенциал равно нулю.

Если мы измеряем энергию относительно основного состояния, полная энергия в коробке определяется суммированием ⟨E⟩ − ε/2 по всем разрешенным однофотонным состояниям. Это можно сделать точно в термодинамическом пределе как L приближается к бесконечности. В этом пределе ε становится непрерывным, и затем мы можем интегрировать ⟨E⟩ − ε/2 над этим параметром. Чтобы вычислить таким образом энергию в ящике, нам нужно оценить, сколько состояний фотона находится в данном диапазоне энергий. Если мы запишем общее количество однофотонных состояний с энергиями между ε и ε + dε в качестве грамм(ε) dε, куда грамм(ε) это плотность состояний (что оценивается ниже), то мы можем написать:

${\displaystyle U=\int _{0}^{\infty }{\frac {\varepsilon }{e^{\beta \varepsilon }-1}}g(\varepsilon )\,d\varepsilon .\qquad {\mbox{(2)}}}$

Для расчета плотности состояний перепишем уравнение (1) следующим образом:

${\displaystyle \varepsilon \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {hc}{2L}}n,}$

куда п - норма вектора п = (п₁, п₂, п₃):

${\displaystyle n={\sqrt {n_{1}^{2}+n_{2}^{2}+n_{3}^{2}}}.}$

Для каждого вектора п с целочисленными компонентами, большими или равными нулю, есть два состояния фотона. Это означает, что количество состояний фотона в определенной области п-пространство в два раза превышает объем этой области. Энергетический диапазон dε соответствует оболочке толщиной dп = 2L/hc dε в п-Космос. Поскольку компоненты п должно быть положительным, эта оболочка охватывает октант сферы. Количество состояний фотона грамм(ε) dε, в диапазоне энергий dε, таким образом, определяется как:

${\displaystyle g(\varepsilon )\,d\varepsilon =2{\frac {1}{8}}4\pi n^{2}\,dn={\frac {8\pi L^{3}}{h^{3}c^{3}}}\varepsilon ^{2}\,d\varepsilon .}$

Вставляя это в уравнение. (2) дает:

${\displaystyle U=L^{3}{\frac {8\pi }{h^{3}c^{3}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\varepsilon ^{3}}{e^{\beta \varepsilon }-1}}\,d\varepsilon .\qquad {\text{(3)}}}$

Из этого уравнения можно получить спектральную плотность энергии как функцию частоты ты_ν(Т) и как функция длины волны ты_λ(Т):

${\displaystyle {\frac {U}{L^{3}}}=\int _{0}^{\infty }u_{\nu }(T)\,d\nu ,}$

куда

${\displaystyle u_{\nu }(T)={8\pi h\nu ^{3} \over c^{3}}{1 \over e^{h\nu /k_{\mathrm {B} }T}-1}.}$

И:

${\displaystyle {\frac {U}{L^{3}}}=\int _{0}^{\infty }u_{\lambda }(T)\,d\lambda ,}$

куда

${\displaystyle u_{\lambda }(T)={8\pi hc \over \lambda ^{5}}{1 \over e^{hc/\lambda k_{\mathrm {B} }T}-1}.}$

Это также функция спектральной плотности энергии с единицами энергии на единицу длины волны на единицу объема. Интегралы этого типа для бозе- и ферми-газов могут быть выражены через полилогарифмы. Однако в этом случае можно вычислить интеграл в замкнутой форме, используя только элементарные функции. Подстановка

${\displaystyle \varepsilon =k_{\mathrm {B} }Tx,}$

в уравнении. (3), делает переменную интегрирования безразмерной, давая:

${\displaystyle u(T)={\frac {8\pi (k_{\mathrm {B} }T)^{4}}{(hc)^{3}}}J,}$

куда J это Интеграл Бозе – Эйнштейна предоставлено:

${\displaystyle J=\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{3}}{e^{x}-1}}\,dx={\frac {\pi ^{4}}{15}}.}$

Таким образом, полная электромагнитная энергия внутри коробки определяется выражением:

${\displaystyle {U \over V}={\frac {8\pi ^{5}(k_{\mathrm {B} }T)^{4}}{15(hc)^{3}}},}$

куда V = L³ объем коробки.

Комбинация hc/k_B имеет ценность 143870,770 мкм · К.

Это нет то Закон Стефана – Больцмана (что обеспечивает полную энергию излученный черным телом на единицу площади поверхности в единицу времени), но его можно записать более компактно, используя Постоянная Стефана – Больцмана σ, давая

${\displaystyle {U \over V}={\frac {4\sigma T^{4}}{c}}.}$

Постоянная 4σ/c иногда называют радиационной постоянной.

Поскольку излучение одинаково во всех направлениях и распространяется со скоростью света (c) спектральная яркость излучения, выходящего из малого отверстия, равна

${\displaystyle B_{\nu }(T)={\frac {u_{\nu }(T)c}{4\pi }},}$

что дает

${\displaystyle B_{\nu }(T)={\frac {2h\nu ^{3}}{c^{2}}}~{\frac {1}{e^{h\nu /k_{\mathrm {B} }T}-1}}.}$

Его можно преобразовать в выражение для B_λ(Т) в единицах длины волны путем замены ν к c/λ и оценивая

${\displaystyle B_{\lambda }(T)=B_{\nu }(T)\left|{\frac {d\nu }{d\lambda }}\right|.}$

Анализ размерностей показывает, что единица стерадиан, показанная в знаменателе правой части приведенного выше уравнения, генерируется и переносится через вывод, но не появляется ни в одном из измерений для любого элемента в левой части. уравнения.

Этот вывод основан на Брем и Маллин 1989.

История

Бальфур Стюарт

В 1858 г. Бальфур Стюарт описал свои эксперименты по тепловому излучению, излучательной и поглощающей способности полированных пластин из различных веществ по сравнению с мощностью лампа-черный поверхности при той же температуре.^[7] Стюарт выбрал в качестве эталона поверхности черного цвета из-за различных предыдущих экспериментальных результатов, особенно Пьер Прево и из Джон Лесли. Он писал: «Черная лампа, которая поглощает все падающие на нее лучи и поэтому обладает максимально возможной поглощающей способностью, будет также обладать максимально возможной излучающей способностью».

Стюарт измерил излучаемую мощность с помощью термоэлемента и чувствительного гальванометра, считываемого с помощью микроскопа. Его интересовало селективное тепловое излучение, которое он исследовал с пластинками веществ, которые излучают и поглощают избирательно для разных качеств излучения, а не максимально для всех качеств излучения. Он обсуждал эксперименты с точки зрения лучей, которые могли отражаться и преломляться и которые подчинялись Принцип взаимности Гельмгольца (хотя он не использовал для этого эпоним). В этой статье он не упоминал, что качества лучей можно описать их длинами волн, и не использовал спектрально разрешающие устройства, такие как призмы или дифракционные решетки. Его работа была количественной в рамках этих ограничений. Он проводил измерения при комнатной температуре и быстро, чтобы поймать свои тела в состоянии, близком к тепловому равновесию, в котором они были приготовлены путем нагревания до равновесия с кипящей водой. Его измерения подтвердили, что вещества, которые излучают и поглощают избирательно, соблюдают принцип избирательного равенства излучения и поглощения при тепловом равновесии.

Стюарт предложил теоретическое доказательство того, что это должно происходить отдельно для каждого выбранного качества теплового излучения, но его математические расчеты не были строго верными. По словам историка Д. М. Сигеля: «Он не практиковал более сложные методы математической физики девятнадцатого века; он даже не использовал функциональную нотацию при работе со спектральными распределениями».^[41] В этой статье он не упомянул термодинамику, хотя и упомянул о сохранении vis viva. Он предположил, что его измерения подразумевали, что излучение как поглощается, так и испускается частицами материи на всей глубине среды, в которой оно распространяется. Он применил принцип взаимности Гельмгольца для учета процессов взаимодействия с материалами в отличие от процессов во внутреннем материале. Он пришел к выводу, что его эксперименты показали, что внутри помещения в тепловом равновесии лучистое тепло, отраженное и испускаемое вместе, оставляя любую часть поверхности, независимо от ее вещества, было таким же, как и та же самая часть поверхность, если она была составлена ​​из лампового черного. Он не упомянул возможность идеально отражающих стен; в частности, он отметил, что полированные настоящие физические металлы поглощают очень мало.

Густав Кирхгоф

В 1859 году, не зная о работе Стюарта, Густав Роберт Кирхгоф сообщили о совпадении длин волн спектрально разрешенных линий поглощения и излучения видимого света. Что важно для теплофизики, он также заметил, что яркие или темные линии видны в зависимости от разницы температур между излучателем и поглотителем.^[42]

Затем Кирхгоф продолжил рассмотрение тел, которые излучают и поглощают тепловое излучение в непрозрачном корпусе или полости, находящиеся в равновесии при температуре Т.

Здесь используются обозначения, отличные от обозначений Кирхгофа. Здесь излучающая мощность E(Т, я) обозначает размерную величину, полное излучение, испускаемое телом, обозначенным индексом я при температуре Т. Общий коэффициент поглощения а(Т, я) этого тела безразмерно, отношение поглощенного и падающего излучения в полости при температуре Т . (В отличие от Бальфура Стюарта, определение Кирхгофом его коэффициента поглощения не относится, в частности, к черной поверхности как источнику падающего излучения.) Таким образом, отношение E(Т, я)/а(Т, я) отношения излучаемой мощности к поглощению - это размерная величина с размерами излучаемой мощности, потому что а(Т, я) безразмерен. Также здесь определяется мощность излучения тела, зависящая от длины волны, при температуре Т обозначается E(λ, Т, я) и коэффициент поглощения, зависящий от длины волны, на а(λ, Т, я) . Опять же, соотношение E(λ, Т, я)/а(λ, Т, я) Отношение излучаемой мощности к поглощению - это величина, измеряемая с размерами излучаемой мощности.

Во втором отчете, сделанном в 1859 году, Кирхгоф объявил новый общий принцип или закон, для которого он предложил теоретическое и математическое доказательство, хотя он не предлагал количественных измерений мощности излучения.^[43] Его теоретическое доказательство было и до сих пор считается некоторыми авторами недействительным.^[41][44] Однако его принцип сохранился: для тепловых лучей одной длины волны, находящихся в равновесии при данной температуре, отношение мощности излучения к коэффициенту поглощения, зависящее от длины волны, имеет одно и то же общее значение для всех тел, излучающих и поглощают на этой длине волны. В символах закон гласил, что отношение длины волны E(λ, Т, я)/а(λ, Т, я) имеет одно и то же значение для всех тел, то есть для всех значений индекса я. В этом отчете не было упоминания о черных телах.

В 1860 году, все еще не зная об измерениях Стюарта избранных качеств излучения, Кирхгоф указал, что давно экспериментально установлено, что для полного теплового излучения невыбранного качества, испускаемого и поглощаемого телом в равновесии, измеренное отношение общего излучения E(Т, я)/а(Т, я), имеет одно и то же значение, общее для всех тел, т. е. для каждого значения показателя материала я.^[45] Опять же без измерений мощности излучения или других новых экспериментальных данных, Кирхгоф затем предложил новое теоретическое доказательство своего нового принципа универсальности значения отношения длин волн. E(λ, Т, я)/а(λ, Т, я) при тепловом равновесии. Его новое теоретическое доказательство было и остается некоторыми авторами недействительным.^[41][44]

Но что более важно, он опирался на новый теоретический постулат "совершенно черные тела", поэтому и говорят о законе Кирхгофа. Такие черные тела демонстрировали полное поглощение своей бесконечно тонкой самой поверхностной поверхностью. Они соответствуют эталонным телам Бальфура Стюарта с внутренним излучением, покрытым ламповой сажей. Они не были более реалистичными совершенно черными телами, которые позже рассмотрел Планк. Черные тела Планка излучали и поглощали только материал, находящийся внутри них; их границы раздела с прилегающими средами были только математическими поверхностями, неспособными ни к поглощению, ни к излучению, а только к отражению и передаче с преломлением.^[46]

В доказательстве Кирхгофа рассматривалось произвольное неидеальное тело с меткой я а также различные совершенные черные тела, помеченные BB. Требовалось, чтобы тела находились в полости в тепловом равновесии при температуре Т . Его доказательство призвано показать, что соотношение E(λ, Т, я)/а(λ, Т, я) не зависел от природы я неидеального тела, каким бы полупрозрачным или частично отражающим оно ни было.

Его доказательство сначала утверждало, что длина волны λ и при температуре Т, при тепловом равновесии все абсолютно черные тела одного размера и формы имеют одно и то же общее значение излучательной способности E(λ, Т, BB), с габаритами мощности. В его доказательстве отмечалось, что безразмерный коэффициент поглощения, зависящий от длины волны а(λ, Т, BB) абсолютно черного тела по определению равно 1. Тогда для абсолютно черного тела отношение мощности излучения к коэффициенту поглощения, зависящее от длины волны E(λ, Т, BB)/а(λ, Т, BB) снова просто E(λ, Т, BB), с габаритами мощности. Кирхгоф последовательно рассматривал тепловое равновесие с произвольным неидеальным телом и с абсолютно черным телом того же размера и формы, находящимся в его полости в состоянии равновесия при температуре Т . Он утверждал, что потоки теплового излучения должны быть одинаковыми в каждом случае. Таким образом, он утверждал, что при тепловом равновесии отношение E(λ, Т, я)/а(λ, Т, я) был равен E(λ, Т, BB), который теперь можно обозначить B_λ (λ, Т), непрерывная функция, зависящая только от λ при фиксированной температуре Т, и возрастающая функция Т на фиксированной длине волны λ, при низких температурах исчезают для видимых, но не для более длинных волн, с положительными значениями для видимых длин волн при более высоких температурах, которые не зависят от природы я произвольного неидеального тела. (Геометрические факторы, подробно учтенные Кирхгофом, выше не учитывались.)

Таким образом Закон Кирхгофа теплового излучения можно констатировать: Для любого материала, излучающего и поглощающего в термодинамическом равновесии при любой заданной температуре Т, для каждой длины волны λ, отношение мощности излучения к коэффициенту поглощения имеет одно универсальное значение, которое характерно для идеального черного тела, и представляет собой мощность излучения, которую мы здесь представляем как B_λ (λ, Т). (Для наших обозначений B_λ (λ, Т), Первоначальные обозначения Кирхгофа были просто е.)^{[4][45][47][48][49][50]}

Кирхгоф объявил, что определение функции B_λ (λ, Т) была проблемой высочайшей важности, хотя он понимал, что придется преодолевать экспериментальные трудности. Он предположил, что, как и другие функции, не зависящие от свойств отдельных тел, это будет простая функция. Эта функция B_λ (λ, Т) иногда называли «(эмиссионной, универсальной) функцией Кирхгофа»,^{[51][52][53][54]} хотя его точная математическая форма не будет известна еще сорок лет, пока он не будет открыт Планком в 1900 году. Теоретическое доказательство принципа универсальности Кирхгофа было разработано и обсуждено различными физиками в то же время, а затем и позже.^[44] Позднее в 1860 году Кирхгоф заявил, что его теоретическое доказательство лучше, чем доказательство Бальфура Стюарта, и в некоторых отношениях так оно и было.^[41] В статье Кирхгофа 1860 года не упоминался второй закон термодинамики и, конечно, не упоминалась концепция энтропии, которая в то время еще не была установлена. В более продуманном отчете в книге 1862 года Кирхгоф упомянул связь своего закона с «принципом Карно», который является формой второго закона.^[55]

Согласно Хельге Крагу, «квантовая теория обязана своим происхождением изучению теплового излучения, в частности, излучения« черного тела », которое Роберт Кирхгоф впервые определил в 1859–1860 годах».^[56]

Эмпирические и теоретические компоненты для научной индукции закона Планка

В 1860 году Кирхгоф предсказал экспериментальные трудности для эмпирического определения функции, описывающей зависимость спектра черного тела как функцию только от температуры и длины волны. Так и оказалось. Чтобы получить надежный результат, потребовалось около сорока лет разработки усовершенствованных методов измерения электромагнитного излучения.^[57]

В 1865 г. Джон Тиндалл описал излучение электрически нагреваемых нитей и углеродных дуг как видимое и невидимое.^[58] Тиндаль спектрально разложил излучение с помощью призмы из каменной соли, пропускающей тепло, а также видимые лучи, и измерил интенсивность излучения с помощью термобатареи.^[59][60]

В 1880 году Андре-Проспер-Поль Крова опубликовал диаграмму трехмерного внешнего вида графика силы теплового излучения как функции длины волны и температуры.^[61] Он определил спектральную переменную с помощью призм. Он проанализировал поверхность с помощью так называемых «изотермических» кривых, участков для одной температуры, со спектральной переменной по абсциссе и переменной мощности по ординате. Он провел плавные кривые через свои экспериментальные точки данных. Они имели один пик со спектральным значением, характерным для температуры, и падали по обе стороны от него по направлению к горизонтальной оси.^[62][63] Такие спектральные разрезы широко показаны и сегодня.

В серии статей с 1881 по 1886 год Лэнгли сообщил об измерениях спектра теплового излучения с использованием дифракционных решеток и призм и самых чувствительных детекторов, которые он мог сделать. Он сообщил, что была пиковая интенсивность, которая увеличивалась с температурой, что форма спектра не была симметричной относительно пика, что было сильное падение интенсивности, когда длина волны была короче, чем приблизительное значение отсечки для каждого Температура, что приблизительная длина волны отсечки уменьшалась с увеличением температуры, и что длина волны пиковой интенсивности уменьшалась с температурой, так что интенсивность сильно увеличивалась с температурой для коротких длин волн, которые были больше, чем приблизительное отсечение для температуры.^[64]

Прочитав Лэнгли, в 1888 г. русский физик В.А. Майкельсон опубликовал рассмотрение идеи о том, что неизвестная функция излучения Кирхгофа может быть объяснена физически и математически сформулирована в терминах «полной нерегулярности колебаний ... атомов».^[65][66] В то время Планк внимательно не изучал излучение и не верил ни в атомы, ни в статистическую физику.^[67] Майкельсон вывел формулу для спектра температуры:

${\displaystyle I_{\lambda }=B_{1}\theta ^{\frac {3}{2}}\exp \left(-{\frac {c}{\lambda ^{2}\theta }}\right)\lambda ^{-6},}$

куда я_λ обозначает удельную интенсивность излучения на длине волны λ и температура θ, и где B₁ и c являются эмпирическими константами.

В 1898 г. Отто Люммер и Фердинанд Курлбаум опубликовали отчет об источнике излучения в их полости.^[68] Их конструкция до сих пор практически не изменилась для измерения радиации. Это был платиновый ящик, разделенный диафрагмами, а его внутренняя часть была чернена оксидом железа. Это был важный ингредиент для постоянно улучшающихся измерений, которые привели к открытию закона Планка.^[69] В версии, описанной в 1901 году, внутренняя часть была чернена смесью оксидов хрома, никеля и кобальта.^[70]

Важность источника излучения полости Люммера и Курлбаума заключалась в том, что он был экспериментально доступным источником излучения черного тела, в отличие от излучения от просто экспонированного раскаленного твердого тела, которое было ближайшим доступным экспериментальным приближением к излучению черного тела более подходящий диапазон температур. Просто открытые раскаленные твердые тела, которые использовались ранее, испускали излучение с отклонениями от спектра черного тела, что делало невозможным определение истинного спектра черного тела в экспериментах.^[71][72]

Взгляды Планка, предшествовавшие эмпирическим фактам, привели его к открытию своего окончательного закона.

Планк впервые обратил внимание на проблему излучения черного тела в 1897 году.^[73]Теоретический и эмпирический прогресс позволил Люммеру и Прингсхайму в 1899 году написать, что имеющиеся экспериментальные данные приблизительно соответствуют определенному закону интенсивности. Cλ⁻⁵е^{​−c⁄_λT} куда C и c обозначают эмпирически измеримые константы, а где λ и Т обозначают длину волны и температуру соответственно.^[74][75] По теоретическим причинам Планк в то время принял эту формулировку, которая имеет эффективное отсечение коротких волн.^[76][77][78]

Нахождение эмпирического закона

Макс Планк представил свой закон 19 октября 1900 г.^[79][80] как улучшение Вина приближение, опубликованный в 1896 г. Вильгельм Вена, которые соответствуют экспериментальным данным на коротких волнах (высокие частоты), но отклоняются от них на длинных волнах (низкие частоты).^[38] В июне 1900 г. эвристический теоретических соображений, Рэлей предложил формулу^[81] то, что он предложил, можно проверить экспериментально. Было высказано предположение, что универсальная функция Стюарта – Кирхгофа может иметь вид c₁Tλ⁻⁴ехр (-c₂/λT) . Это была не знаменитая формула Рэлея – Джинса. 8πk_BTλ⁻⁴, который появился только в 1905 году,^[35] хотя он уменьшился до последнего для длинных волн, которые здесь важны. По словам Кляйна,^[73] можно предположить, что вполне вероятно, что Планк видел это предположение, хотя он не упоминал о нем в своих статьях 1900 и 1901 годов. Планк знал о различных других предложенных формулах.^[57][82] 7 октября 1900 года Рубенс сказал Планку, что в дополнительной области (длинноволновая, низкая частота) и только там формула Рэлея 1900 года хорошо соответствует наблюдаемым данным.^[82]

Для длинных волн эвристическая формула Рэлея 1900 года приблизительно означала, что энергия пропорциональна температуре, U_λ = const. Т.^[73][82][83] Известно, что dS/dU_λ = 1/Т и это приводит к dS/dU_λ = const./U_λ и оттуда d²S/dU_λ² = −const./U_λ² для длинных волн. Но для коротких волн формула Вина приводит к 1/Т = - const. пер U_λ + const. и оттуда d²S/dU_λ² = − const./U_λ для коротких волн. Планк, возможно, соединил эти две эвристические формулы для длинных и коротких волн,^[82][84] произвести формулу

${\displaystyle {\frac {d^{2}S}{dU_{\lambda }^{2}}}={\frac {\alpha }{U_{\lambda }(\beta +U_{\lambda })}}.}$^[79]

Это привело Планка к формуле

${\displaystyle B_{\lambda }(T)={\frac {C\lambda ^{-5}}{e^{\frac {c}{\lambda T}}-1}},}$

где Планк использовал символы C и c для обозначения констант эмпирической подгонки.

Планк отправил этот результат Рубенсу, который сравнил его с данными своих наблюдений и данных Курлбаума и обнаружил, что он замечательно подходит для всех длин волн. 19 октября 1900 года Рубенс и Курлбаум кратко сообщили о соответствии данным:^[85] Планк добавил краткое изложение, чтобы дать теоретический набросок своей формулы.^[79] В течение недели Рубенс и Курлбаум представили более полный отчет о своих измерениях, подтверждающих закон Планка. Их метод спектрального разрешения более длинноволнового излучения был назван методом остаточных лучей. Лучи многократно отражались от полированных кристаллических поверхностей, и лучи, прошедшие весь процесс, были «остаточными» и имели длину волны, предпочтительно отражавшуюся кристаллами из подходящих материалов.^[86][87][88]

Пытаясь найти физическое объяснение закона

Смотрите также: Соотношение Планка – Эйнштейна

Как только Планк открыл эмпирически подобранную функцию, он построил физический вывод этого закона. Его мысли были связаны с энтропией, а не с температурой. Планк рассматривал полость с идеально отражающими стенками; полость содержала конечное число гипотетических хорошо разделенных и узнаваемых, но идентично составленных, резонансных колебательных тел определенной величины, несколько таких осцилляторов на каждой из конечного числа характерных частот. Гипотетические осцилляторы были для Планка чисто воображаемыми теоретическими исследовательскими зондами, и он сказал о них, что такие осцилляторы не обязательно должны «действительно существовать где-то в природе, при условии, что их существование и их свойства согласуются с законами термодинамики и электродинамики».^[89] Планк не придавал какой-либо определенной физической значимости своей гипотезе о резонансных осцилляторах, а скорее предложил ее как математический аппарат, который позволил ему вывести единое выражение для спектра черного тела, которое соответствовало эмпирическим данным на всех длинах волн.^[90] Он предварительно упомянул о возможной связи таких генераторов с атомы. В каком-то смысле осцилляторы соответствовали углеродной крупинке Планка; размер пятнышка может быть небольшим независимо от размера полости, при условии, что пятнышко эффективно преобразовывает энергию между излучательными модами с длиной волны.^[82]

Отчасти следуя эвристическому методу расчета, впервые примененному Больцманом для молекул газа, Планк рассмотрел возможные способы распределения электромагнитной энергии по различным режимам своих гипотетических осцилляторов заряженного материала. Это принятие вероятностного подхода после Больцмана для Планка было радикальным изменением его прежней позиции, которая до того времени сознательно выступала против такого мышления, предложенного Больцманом.^[91] Эвристически Больцман распределил энергию произвольными чисто математическими квантами. ϵ, который он начал стремиться к нулю по величине, потому что конечная величина ϵ служил только для возможности точного подсчета ради математического расчета вероятностей и не имел никакого физического значения. Ссылаясь на новую универсальную константу природы, час,^[92] Планк предположил, что в нескольких осцилляторах каждой из конечного числа характеристических частот полная энергия распределяется между каждым в виде целого числа, кратного определенной физической единице энергии, ϵ, не произвольно, как в методе Больцмана, а теперь для Планка, в новом подходе, характерном для соответствующей характеристической частоты.^{[80][93][94][95]} Его новая универсальная константа природы, час, теперь известен как Постоянная Планка.

Планк объяснил дальше^[80] что соответствующая определенная единица, ϵ, энергии должна быть пропорциональна соответствующей характеристической частоте колебаний ν гипотетического осциллятора, и в 1901 году он выразил это с помощью константы пропорциональности час:^[96][97]

${\displaystyle \epsilon =h\nu .}$

Планк не предлагал квантовать свет, распространяющийся в свободном пространстве.^{[98][99][100]} Идея квантования свободного электромагнитного поля была развита позже и в конечном итоге вошла в то, что мы теперь знаем как квантовая теория поля.^[101]

В 1906 году Планк признал, что его воображаемые резонаторы, обладающие линейной динамикой, не обеспечивают физического объяснения преобразования энергии между частотами.^[102][103] Современная физика, вслед за Эйнштейном, объясняет преобразование частот в присутствии атомов их квантовой возбудимостью. Планк считал, что в полости с идеально отражающими стенками и без материи электромагнитное поле не может обмениваться энергией между частотными компонентами.^[104] Это из-за линейность из Уравнения Максвелла.^[105] Современная квантовая теория поля предсказывает, что в отсутствие вещества электромагнитное поле подчиняется нелинейный уравнения и в этом смысле самовзаимодействуют.^[106][107] Такое взаимодействие в отсутствие вещества еще не измерялось напрямую, потому что для этого потребуются очень высокие интенсивности, очень чувствительные и малошумящие детекторы, которые все еще находятся в процессе создания.^[106][108] Планк считал, что поле без взаимодействий не подчиняется и не нарушает классический принцип равнораспределения энергии,^[109][110] и вместо этого остается точно таким же, как и при введении, а не превращается в поле черного тела.^[111] Таким образом, линейность его механических допущений помешала Планку получить механическое объяснение максимизации энтропии термодинамического равновесного поля теплового излучения. Вот почему ему пришлось прибегнуть к вероятностным аргументам Больцмана.^[112][113]Некоторые недавние предложения о возможном физическом объяснении постоянной Планка предполагают, что после де Бройль дух волновая дуальность, если рассматривать излучение как волновой пакет, постоянная Планка определяется физическими свойствами вакуума и критической величиной возмущения в электромагнитном поле.^[114]

Закон Планка можно рассматривать как выполнение предсказания Густав Кирхгоф что его закон теплового излучения имел высочайшее значение. В своем зрелом изложении собственного закона Планк предложил подробное и подробное теоретическое доказательство закона Кирхгофа:^[115] теоретическое доказательство которого до тех пор иногда обсуждалось, отчасти потому, что оно, как говорили, основывалось на нефизических теоретических объектах, таких как идеально поглощающая бесконечно тонкая черная поверхность Кирхгофа.^[116]

Последующие события

Лишь через пять лет после того, как Планк сделал свое эвристическое предположение об абстрактных элементах энергии или действия, Альберт Эйнштейн задуманный реально существующий кванты света в 1905 году^[117] как революционное объяснение излучения черного тела, фотолюминесценции, фотоэлектрический эффект, и об ионизации газов ультрафиолетом. В 1905 году «Эйнштейн считал, что теорию Планка нельзя заставить согласиться с идеей световых квантов, и эту ошибку он исправил в 1906 году».^[118] Вопреки представлениям Планка того времени, Эйнштейн предложил модель и формулу, согласно которым свет испускался, поглощался и распространялся в свободном пространстве в виде квантов энергии, локализованных в точках пространства.^[117] В качестве предисловия к своим рассуждениям Эйнштейн резюмировал планковскую модель гипотетических резонансных материальных электрических осцилляторов в качестве источников и приемников излучения, но затем он предложил новый аргумент, не связанный с этой моделью, но частично основанный на термодинамическом аргументе Вина, в котором формула ϵ = hν не сыграли никакой роли.^[119] Эйнштейн дал энергетическое содержание таких квантов в виде Rβν/N. Таким образом, Эйнштейн противоречил волновой теории света, которой придерживался Планк. В 1910 году, критикуя рукопись, присланную ему Планком, зная, что Планк был стойким сторонником специальной теории относительности Эйнштейна, Эйнштейн написал Планку: «Мне кажется абсурдным иметь непрерывное распределение энергии в пространстве без использования эфира».^[120]

В соответствии с Томас Кун, только в 1908 году Планк более или менее принял часть аргументов Эйнштейна в пользу физической в ​​отличие от абстрактной математической дискретности в физике теплового излучения. Еще в 1908 году, рассматривая предложение Эйнштейна о квантовом распространении, Планк высказал мнение, что в таком революционном шаге, возможно, нет необходимости.^[121] До этого момента Планк был последовательным в том, что дискретность квантов действия нельзя найти ни в его резонансных осцилляторах, ни в распространении теплового излучения. Кун писал, что в более ранних работах Планка и в своей монографии 1906 года:^[122] нет ни упоминания о разрыве, ни разговора об ограничении энергии осциллятора, ни какой-либо формулы вроде U = nhν. »Кун указал, что его исследование работ Планка 1900 и 1901 гг. И его монографии 1906 г.^[122] привели его к «еретическим» выводам, вопреки широко распространенным предположениям тех, кто рассматривал письмо Планка только с точки зрения более поздних, анахронистических точек зрения.^[123] Выводы Куна, указывающие на период до 1908 года, когда Планк последовательно придерживался своей «первой теории», были приняты другими историками.^[124]

Во втором издании своей монографии в 1912 году Планк поддержал свое несогласие с предложением Эйнштейна о квантах света. Он довольно подробно предположил, что поглощение света его виртуальными материальными резонаторами может быть непрерывным, происходящим с постоянной скоростью в равновесии, в отличие от квантового поглощения. Только излучение было квантовым.^[105][125] Иногда это называли «второй теорией» Планка.^[126]

Только в 1919 году Планк в третьем издании своей монографии более или менее принял его «третью теорию», согласно которой излучение и поглощение света являются квантовыми.^[127]

Красочный термин "ультрафиолетовая катастрофа "был предоставлен Поль Эренфест в 1911 г. к парадоксальному результату, что полная энергия в полости стремится к бесконечности, когда теорема о равнораспределении классической статистической механики (ошибочно) применяется к излучению черного тела.^[128][129] Но это не было частью мышления Планка, потому что он не пытался применить доктрину равнораспределения: когда он сделал свое открытие в 1900 году, он не заметил никакой «катастрофы».^{[76][77][78][73][130]} Впервые это было отмечено Лорд Рэйли в 1900 г.,^{[81][131][132]} а затем в 1901 г.^[133] сэр Джеймс Джинс; а позже, в 1905 году, Эйнштейн, когда он хотел поддержать идею о том, что свет распространяется в виде дискретных пакетов, позже названных «фотонами», и Рэлея^[36] и джинсами.^{[35][134][135][136]}

В 1913 году Бор дал другую формулу с другим физическим смыслом для величины hν.^{[31][32][33][137][138][139]} В отличие от формул Планка и Эйнштейна, формула Бора явно и категорично относится к энергетическим уровням атомов. Формула Бора была W_τ2 − W_τ1 = hν куда W_τ2 и W_τ1 обозначают энергетические уровни квантовых состояний атома с квантовыми числами τ₂ и τ₁. Символ ν обозначает частоту кванта излучения, который может испускаться или поглощаться, когда атом проходит между этими двумя квантовыми состояниями. В отличие от модели Планка, частота ${\displaystyle \nu }$ не имеет непосредственного отношения к частотам, которые могли бы описывать сами эти квантовые состояния.

Позже, в 1924 году, Сатьендра Нат Бос разработал теорию статистической механики фотонов, которая позволила теоретический вывод закона Планка.^[140] Само слово «фотон» придумал еще позже Г. Льюис в 1926 году,^[141] кто ошибочно полагал, что фотоны сохраняются, вопреки статистике Бозе-Эйнштейна; тем не менее слово «фотон» было принято для выражения постулата Эйнштейна о пакетной природе распространения света. В электромагнитном поле, изолированном в вакууме в сосуде с идеально отражающими стенками, как это рассматривал Планк, действительно фотоны будут сохраняться в соответствии с моделью Эйнштейна 1905 года, но Льюис имел в виду поле фотонов, рассматриваемое как система, замкнутая с по отношению к весомой материи, но открытому для обмена электромагнитной энергией с окружающей системой весомой материи, и он ошибочно полагал, что фотоны все еще сохраняются, сохраняются внутри атомов.

В конечном итоге закон Планка о излучении черного тела внес вклад в концепцию Эйнштейна о квантах света, несущих линейный импульс,^[31][117] который стал фундаментальной основой для развития квантовая механика.

Вышеупомянутая линейность механических предположений Планка, не учитывающая энергетических взаимодействий между частотными компонентами, была заменена в 1925 году оригинальной квантовой механикой Гейзенберга. В его статье, представленной 29 июля 1925 года, теория Гейзенберга объясняла вышеупомянутую формулу Бора 1913 года. Она допускала нелинейные осцилляторы в качестве моделей квантовых состояний атома, позволяя в некоторых случаях энергетическое взаимодействие между их собственными множественными внутренними дискретными частотными компонентами Фурье. излучения или поглощения квантов излучения. Частота кванта излучения была частотой определенной связи между внутренними атомными метастабильными колебательными квантовыми состояниями.^[142][143] В то время Гейзенберг ничего не знал о матричной алгебре, но Макс Борн прочитал рукопись статьи Гейзенберга и признал матричный характер теории Гейзенберга. Тогда Родился и Иордания опубликовал явно матричную теорию квантовой механики, основанную на исходной квантовой механике Гейзенберга, но по форме явно отличную от нее; именно матричную теорию Борна и Жордана сегодня называют матричной механикой.^{[144][145][146]} Объяснение Гейзенбергом осцилляторов Планка как нелинейных эффектов, очевидных как фурье-моды переходных процессов излучения или поглощения излучения, показало, почему осцилляторы Планка, рассматриваемые как устойчивые физические объекты, которые можно было бы представить в классической физике, не давали адекватного представления. объяснение явлений.

В настоящее время в качестве выражения энергии кванта света часто встречается формула E = ħω, куда час = час/2π, и ω = 2πν обозначает угловую частоту,^{[147][148][149][150][151]} и реже эквивалентная формула E = hν.^{[150][151][152][153][154]} Это утверждение о реально существующем и распространяющемся кванте света, основанное на теории Эйнштейна, имеет физический смысл, отличный от приведенного выше утверждения Планка. ϵ = hν об абстрактных единицах энергии, которые будут распределены между его гипотетическими резонансными материальными осцилляторами.

Статья Хельге Краг, опубликованная в Мир физики дает отчет об этой истории.^[95]

Смотрите также

• Излучательная способность
• Сияние
• Уравнение Сакума – Хаттори
• Закон смещения Вина

Рекомендации

1. Планк 1914, п. 42
2. Гаофэн Шао и др. 2019 г., п.6.
3. Планк 1914, стр.6, 168
4. Чандрасекар 1960, п. 8
5. Рыбицки и Лайтман, 1979, п. 22
6. Эндрюс 2000, п. 54.
7. Стюарт 1858
8. Хапке 1993, стр. 362–373
9. Планк 1914
10. Лаудон 2000, стр. 3–45
11. Каниу 1999, п. 117
12. Kramm & Mölders 2009, п. 10
13. Шарков 2003, п. 210
14. Гуди и Юнг 1989, п. 16.
15. Фишер 2011
16. Мор, Тейлор и Ньюэлл 2012, п. 1591
17. Лаудон 2000
18. Мандель и Вольф 1995
19. Уилсон 1957, п. 182
20. Адкинс 1983, стр. 147–148
21. Ландсберг 1978, п. 208
22. Сигель и Хауэлл 2002, п. 25
23. Планк 1914, стр. 9–11
24. Планк 1914, п. 35 год
25. Ландсберг 1961, стр. 273–274
26. Born & Wolf 1999, стр. 194–199
27. Born & Wolf 1999, п. 195
28. Рыбицки и Лайтман, 1979, п. 19
29. Чандрасекар 1960, п. 7
30. Чандрасекар 1960, п. 9
31. Эйнштейн 1916
32. Бор 1913
33. Джаммер 1989, стр.113, 115
34. Киттель и Кремер 1980, п. 98
35. Джинсы 1905a, п. 98
36. Рэлей 1905
37. Рыбицки и Лайтман, 1979, п. 23
38. Вена 1896 г., п. 667
39. Планк 1906, п. 158
40. Лоуэн и Бланч 1940
41. Сигел 1976
42. Кирхгоф 1860a
43. Кирхгоф 1860b
44. Ширмахер 2001
45. Кирхгоф 1860c
46. Планк 1914, п. 11
47. Милн 1930, п. 80
48. Рыбицки и Лайтман, 1979, стр. 16–17
49. Михалас и Вайбель-Михалас 1984, п. 328
50. Гуди и Юнг 1989, стр. 27–28
51. Пашен, Ф. (1896), личное письмо, процитированное Герман 1971, п. 6
52. Герман 1971, п. 7
53. Кун 1978, стр.8, 29
54. Мехра и Рехенберг 1982, стр.26, 28, 31, 39
55. Кирхгоф 1862, п. 573
56. Краг 1999, п. 58
57. Кангро 1976
58. Тиндаль 1865a
59. Тиндаль 1865b
60. Кангро 1976, стр. 8–10
61. Crova 1880
62. Crova 1880, п. 577, таблица I
63. Кангро 1976, стр. 10–15
64. Кангро 1976, стр. 15–26
65. Михельсон 1888
66. Кангро 1976, стр. 30–36
67. Кангро 1976, стр. 122–123
68. Люммер и Курлбаум 1898
69. Кангро 1976, п. 159
70. Люммер и Курлбаум 1901
71. Кангро 1976, стр. 75–76
72. Пашен 1895, стр. 297–301
73. Кляйн 1962, п. 460.
74. Люммер и Прингсхайм 1899, п. 225
75. Кангро 1976, п. 174
76. Планк 1900d
77. Рэлей 1900, п. 539
78. Кангро 1976, стр. 181–183
79. Планк 1900a
80. Планк 1900b
81. Рэлей 1900
82. Дугал 1976
83. Планк 1943, п. 156
84. Хеттнер 1922
85. Рубенс и Курльбаум, 1900a
86. Рубенс и Курльбаум, 1900b
87. Кангро 1976, п. 165
88. Мехра и Рехенберг, 1982 г., п. 41 год
89. Планк 1914, п. 135
90. Кун 1978, стр. 117–118
91. Герман 1971, п. 16
92. Планк 1900c
93. Кангро 1976, п. 214
94. Кун 1978, п. 106
95. Краг 2000
96. Планк 1901
97. Планк 1915, п. 89
98. Эренфест и Камерлинг-Оннес, 1914 г., п. 873
99. тер Хаар 1967, п. 14
100. Stehle 1994, п. 128
101. Скалли и Зубайри 1997, п. 21.
102. Планк 1906, п. 220
103. Кун 1978, п. 162
104. Планк 1914, стр. 44–45, 113–114
105. Stehle 1994, п. 150
106. Эмили и Рорлих 1980, Глава 13
107. Карплюс и Нойман 1951 г.
108. Tommasini et al. 2008 г.
109. Джеффрис 1973, п. 223
110. Планк 1906, п. 178
111. Планк 1914, п. 26
112. Больцман 1878 г.
113. Кун 1978, стр. 38–39
114. Чанг 2017.
115. Планк 1914, стр. 1–45
116. Хлопок 1899
117. Эйнштейн 1905
118. Краг 1999, п. 67
119. Stehle 1994, стр. 132–137
120. Эйнштейн 1993, п. 143, письмо 1910 г.
121. Планк 1915, п. 95
122. Планк 1906
123. Кун 1978, стр. 196–202
124. Краг 1999, стр. 63–66
125. Планк 1914, п. 161
126. Кун 1978, стр. 235–253
127. Кун 1978, стр. 253–254
128. Эренфест 1911
129. Кун 1978, п. 152
130. Кун 1978, стр. 151–152
131. Кангро 1976, п. 190
132. Кун 1978, стр. 144–145
133. Джинсы 1901, сноска на стр. 398
134. Джинсы 1905b
135. Джинсы 1905c
136. Джинсы 1905d
137. Зоммерфельд 1923, п. 43
138. Гейзенберг 1925, п. 108
139. Бриллюэн 1970, п. 31 год
140. Бозе 1924
141. Льюис 1926
142. Гейзенберг 1925
143. Разавы 2011, стр. 39–41
144. Родился и Иордания 1925
145. Stehle 1994, п. 286
146. Разавы 2011, стр. 42–43
147. Мессия 1958, п. 14
148. Паули 1973, п. 1
149. Фейнман, Лейтон и Сэндс, 1963 г., п. 38-1
150. Швингер 2001, п. 203
151. Bohren & Clothiaux 2006, п. 2
152. Шифф 1949, п. 2
153. Михалас и Вайбель-Михалас 1984, п. 143
154. Рыбицки и Лайтман, 1979, п. 20

Библиография

• Адкинс, К. Дж. (1983). Равновесная термодинамика (3-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-25445-8.
• Эндрюс, Дэвид (2000). Введение в физику атмосферы. Издательство Кембриджского университета. ISBN  0511800770.
• Бор, Н. (1913). «О строении атомов и молекул» (PDF). Философский журнал. 26 (153): 1–25. Bibcode:1913ПМаг ... 26..476Б. Дои:10.1080/14786441308634993.
• Борен, К.Ф.; Clothiaux, E. E. (2006). Основы атмосферного излучения. Вайли-ВЧ. ISBN  978-3-527-40503-9.
• Больцманн, Л. (1878). "Über die Beziehung zwischen dem zweiten Hauptsatze der Mechanischen Wärmetheorie und der Wahrscheinlichkeitsrechnung, соответствующий den Sätzen über das Wärmegleichgewicht". Sitzungsberichte Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Classe der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften в Вене. 76 (2): 373–435.
• Родился М.; Вольф, Э. (1999). Принципы оптики (7-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-64222-4.
• Родился М.; Джордан, П. (1925). "Zur Quantenmechanik". Zeitschrift für Physik. 34 (1): 858–888. Bibcode:1925ZPhy ... 34..858B. Дои:10.1007 / BF01328531. S2CID  186114542. Частично переведено как «О квантовой механике» в ван дер Варден, Б. Л. (1967). Источники квантовой механики. Издательство Северной Голландии. С. 277–306.
• Бос, Сатьендра Натх (1924). "Plancks Gesetz und Lichtquantenhypothese". Zeitschrift für Physik (на немецком). 26 (1): 178–181. Bibcode:1924ZPhy ... 26..178B. Дои:10.1007 / BF01327326. S2CID  186235974.
• Brehm, J. J .; Муллин, В. Дж. (1989). Введение в структуру материи. Wiley. ISBN  978-0-471-60531-7.
• Бриллюэн, Л. (1970). Пересмотр теории относительности. Академическая пресса. ISBN  978-0-12-134945-5.
• Каниу, Дж. (1999). Пассивное инфракрасное обнаружение: теория и приложения. Springer. ISBN  978-0-7923-8532-5.
• Чандрасекхар, С. (1960) [1950]. Радиационный перенос (Доработанная перепечатка под ред.). Dover Publications. ISBN  978-0-486-60590-6.
• Чанг, Дональд С. (2017). «Физическая интерпретация постоянной Планка на основе теории Максвелла». Китайская физика B. 26 (4). 040301. arXiv:1706.04475. Дои:10.1088/1674-1056/26/4/040301. S2CID  119415586.
• Коттон, А. (1899). «Текущее состояние закона Кирхгофа». Астрофизический журнал. 9: 237–268. Bibcode:1899ApJ ..... 9..237C. Дои:10.1086/140585.
• Крова, А. П. П. (1880). "Étude des radations émises par les corps incandescens. Mesure optique des hautes températures". Анналы химии и тела. Серия 5. 19: 472–550.
• Дугал, Р. К. (1976). «Изложение формулы излучения Планка (учебное пособие)». Физическое образование. 11 (6): 438–443. Bibcode:1976PhyEd..11..438D. Дои:10.1088/0031-9120/11/6/008.
• Эренфест, П. (1911). "Welche Züge der Lichtquantenhypothese spielen in der Theorie der Wärmestrahlung eine wesentliche Rolle?". Annalen der Physik. 36 (11): 91–118. Bibcode:1911AnP ... 341 ... 91E. Дои:10.1002 / andp.19113411106.
• Эренфест, П.; Камерлинг-Оннес, Х. (1914). «Упрощенный вывод формулы из теории комбинаций, которую Планк использует в качестве основы своей теории излучения». Труды Королевской голландской академии наук в Амстердаме. 17 (2): 870–873. Bibcode:1914KNAB ... 17..870E.
• Эйнштейн, А. (1905). "Über einen die Erzeugung und Verwandlung des Lichtes betreffenden heuristischen Gesichtspunkt". Annalen der Physik. 17 (6): 132–148. Bibcode:1905AnP ... 322..132E. Дои:10.1002 / andp.19053220607. Переведено на Arons, A.B .; Пеппард, М. Б. (1965). "Предложение Эйнштейна о концепции фотона: перевод Annalen der Physik бумага 1905 г. " (PDF). Американский журнал физики. 33 (5): 367. Bibcode:1965AmJPh..33..367A. Дои:10.1119/1.1971542. Архивировано из оригинал (PDF) 4 марта 2016 г.. Получено 19 апреля 2011.
• Эйнштейн, А. (1916). "Zur Quantentheorie der Strahlung". Mitteilungen der Physikalischen Gesellschaft Zürich. 18: 47–62. и почти идентичная версия Эйнштейн, А. (1917). "Zur Quantentheorie der Strahlung". Physikalische Zeitschrift. 18: 121–128. Bibcode:1917PhyZ ... 18..121E. Переведено на тер Хаар, Д. (1967). «К квантовой теории излучения». Старая квантовая теория. Pergamon Press. С. 167–183. LCCN  66029628. Смотрите также [1].
• Эйнштейн, А. (1993). Сборник статей Альберта Эйнштейна. 3. Английский перевод Бека, А. Princeton University Press. ISBN  978-0-691-10250-4.
• Фейнман, Р. П.; Лейтон, Р. Б.; Песков, М. (1963). Лекции Фейнмана по физике, том 1. Эддисон-Уэсли. ISBN  978-0-201-02010-6.
• Фишер, Т. (1 ноября 2011 г.). «Темы: Вывод закона Планка». ThermalHUB. Получено 19 июн 2015.
• Гаофэн Шао; Юкао Лу; Дориан А.Х. Ханаор; Шэн Цуй; Цзянь Цзяо; Сяодун Шэнь (2019). «Повышенная стойкость к окислению покрытий с высоким коэффициентом излучения на волокнистой керамике для многоразовых космических систем». Наука о коррозии. Эльзевир. 146: 233–246. Дои:10.1016 / j.corsci.2018.11.006. HAL Id: hal-02308467 - через архивы HAL.
• Goody, R.M .; Юнг, Ю.Л. (1989). Атмосферное излучение: теоретические основы (2-е изд.). Oxford University Press. ISBN  978-0-19-510291-8.
• Гуггенхайм, Э. (1967). Термодинамика. Передовое лечение для химиков и физиков (5-е изд., Перераб.). Издательская компания Северной Голландии.
• Хакен, Х. (1981). Свет (Перепечатка ред.). Амстердам: Издательство Северной Голландии. ISBN  978-0-444-86020-0.
• Хапке, Б. (1993). Теория спектроскопии отражения и эмиттанса. Издательство Кембриджского университета, Кембридж, Великобритания. ISBN  978-0-521-30789-5.
• Гейзенберг, В. (1925). "Über quantentheoretische Umdeutung kinematischer und Mechanischer Beziehungen". Zeitschrift für Physik. 33 (1): 879–893. Bibcode:1925ZPhy ... 33..879H. Дои:10.1007 / BF01328377. S2CID  186238950. Переводится как «Квантово-теоретическая переинтерпретация кинематических и механических соотношений» в ван дер Варден, Б. Л. (1967). Источники квантовой механики. Издательство Северной Голландии. С. 261–276.
• Гейзенберг, В. (1930). Физические принципы квантовой теории. Eckart, C .; Хойт, Ф. К. (пер.). Издательство Чикагского университета.
• Германн, А. (1971). Возникновение квантовой теории. Нэш, C.W. (перевод). MIT Press. ISBN  978-0-262-08047-7. перевод Frühgeschichte der Quantentheorie (1899–1913), Physik Verlag, Мосбах / Баден, 1969.
• Хеттнер, Г. (1922). "Die Bedeutung von Rubens Arbeiten für die Plancksche Strahlungsformel". Naturwissenschaften. 10 (48): 1033–1038. Bibcode:1922NW ..... 10.1033H. Дои:10.1007 / BF01565205. S2CID  46268714.
• Джаммер, М. (1989). Концептуальное развитие квантовой механики (второе изд.). Издательство Томаш /Американский институт физики. ISBN  978-0-88318-617-6.
• Jauch, J.M .; Рорлих, Ф. (1980) [1955]. Теория фотонов и электронов. Релятивистская квантовая теория поля заряженных частиц со спином половина (второй тираж второго изд.). Springer. ISBN  978-0-387-07295-1.
• Джинс, Дж. Х. (1901). «Распределение молекулярной энергии». Философские труды Королевского общества A. 196 (274–286): 397–430. Bibcode:1901RSPTA.196..397J. Дои:10.1098 / рста.1901.0008. JSTOR  90811.
• Джинс, Дж. Х. (1905а). «XI. О разделении энергии между материей и эфиром». Философский журнал. 10 (55): 91–98. Дои:10.1080/14786440509463348.
• Джинс, Дж. Х. (1905b). «О применении статистической механики к общей динамике вещества и эфира». Труды Королевского общества А. 76 (510): 296–311. Bibcode:1905RSPSA..76..296J. Дои:10.1098 / RSPA.1905.0029. JSTOR  92714.
• Джинс, Дж. Х. (1905c). «Сравнение двух теорий излучения». Природа. 72 (1865): 293–294. Bibcode:1905Натура..72..293J. Дои:10.1038 / 072293d0. S2CID  3955227.
• Джинс, Дж. Х. (1905d). «О законах радиации». Труды Королевского общества А. 76 (513): 545–552. Bibcode:1905RSPSA..76..545J. Дои:10.1098 / rspa.1905.0060. JSTOR  92704.
• Джеффрис, Х. (1973). Научный вывод (3-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-08446-8.
• Кангро, Х. (1976). Ранняя история закона излучения Планка. Тейлор и Фрэнсис. ISBN  978-0-85066-063-0.
• Karplus, R .; Нойман М. (1951). «Рассеяние света светом». Физический обзор. 83 (4): 776–784. Bibcode:1951ПхРв ... 83..776К. Дои:10.1103 / PhysRev.83.776.
• Кирхгоф, Г. (1860a). "Über die Fraunhofer'schen Linien". Monatsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin: 662–665.
• Кирхгоф, Г. (1860b). "Uber den Zusammenhang zwischen Emission und Absorption von Licht und Wärme". Monatsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin: 783–787.
• Кирхгоф, Г. (1860c). "Uber das Verhältniss zwischen dem Emissionsvermögen und dem Absorptionsvermögen der Körper für Wärme and Licht". Annalen der Physik und Chemie. 109 (2): 275–301. Bibcode:1860AnP ... 185..275K. Дои:10.1002 / andp.18601850205. Перевод Guthrie, F. as Кирхгоф, Г. Р. (1860). «О соотношении излучающей и поглощающей способностей различных тел для света и тепла». Философский журнал. Серия 4. 20: 1–21.
• Кирхгоф, Г. (1862 г.), "Uber das Verhältniss zwischen dem Emissionsvermögen und dem Absorptionsvermögen der Körper für Wärme und Licht", Гессамелте Абхандлунген, Иоганн Амвросий Барт, стр. 571–598
• Киттель, К.; Кремер, Х. (1980). Теплофизика (2-е изд.). В. Х. Фриман. ISBN  978-0-7167-1088-2.
• Кляйн, М. Дж. (1962). «Макс Планк и истоки квантовой теории». Архив истории точных наук. 1 (5): 459–479. Дои:10.1007 / BF00327765. S2CID  121189755.
• Краг, Х. (1999). Квантовые поколения. История физики в двадцатом веке. Princeton University Press. ISBN  978-0-691-01206-3.
• Краг, Х. (декабрь 2000 г.). "Макс Планк: упорный революционер". Мир физики. 13 (12): 31–36. Дои:10.1088/2058-7058/13/12/34.
• Крамм, Герхард; Мёльдерс, Н. (2009). «Закон излучения черного тела Планка: представление в различных областях и определение соответствующей размерной постоянной». Журнал математического общества Калькутты. 5 (1–2): 27–61. arXiv:0901.1863. Bibcode:2009arXiv0901.1863K.
• Кун, Т.С. (1978). Теория черного тела и квантовый разрыв.. Oxford University Press. ISBN  978-0-19-502383-1.
• Ландсберг, П. Т. (1961). Термодинамика с квантовыми статистическими иллюстрациями. Издатели Interscience.
• Ландсберг, П. Т. (1978). Термодинамика и статистическая механика. Oxford University Press. ISBN  978-0-19-851142-7.
• Льюис, Г. Н. (1926). «Сохранение фотонов». Природа. 118 (2981): 874–875. Bibcode:1926Натура.118..874L. Дои:10.1038 / 118874a0. S2CID  4110026.
• Лаудон, Р. (2000). Квантовая теория света (3-е изд.). Oxford University Press. ISBN  978-0-19-850177-0.
• Lowen, A.N .; Бланч, Г. (1940). «Таблицы излучения Планка и функции фотонов». Журнал Оптического общества Америки. 30 (2): 70. Bibcode:1940JOSA ... 30 ... 70л. Дои:10.1364 / JOSA.30.000070.
• Люммер, О.; Курлбаум, Ф. (1898). "Der electrisch geglühte" absolut schwarze "Körper und seine Temperaturmessung". Verhandlungen der Deutschen Physikalischen Gesellschaft. 17: 106–111.
• Люммер, О.; Прингсхайм, Э. (1899 г.). "1. Die Vertheilung der Energie в Spectrum des schwarzen Körpers und des blanken Platins; 2. Temperaturbestimmung fester glühender Körper". Verhandlungen der Deutschen Physikalischen Gesellschaft. 1: 215–235.
• Люммер, О.; Курлбаум, Ф. (1901). "Der elektrisch geglühte" schwarze "Körper". Annalen der Physik. 310 (8): 829–836. Bibcode:1901AnP ... 310..829L. Дои:10.1002 / ап.19013100809.
• Мандель, Л.; Вольф, Э. (1995). Оптическая когерентность и квантовая оптика. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-41711-2.
• Мехра, Дж.; Рехенберг, Х. (1982). Историческое развитие квантовой теории. 1. Springer-Verlag. ISBN  978-0-387-90642-3.
• Мессия, А. (1958). Квантовая механика. Теммер Г.Г. (пер.). Wiley.
• Михельсон, В. А. (1888). «Теоретический очерк о распределении энергии в спектрах твердых тел». Философский журнал. Серия 5. 25 (156): 425–435. Дои:10.1080/14786448808628207.
• Михалас, Д.; Вейбель-Михалас, Б. (1984). Основы радиационной гидродинамики. Oxford University Press. ISBN  978-0-19-503437-0.
• Милн, Э. (1930). «Термодинамика звезд». Handbuch der Astrophysik. 3 (1): 63–255.
• Mohr, P.J .; Taylor, B.N .; Ньюэлл, Д. Б. (2012). "CODATA Рекомендуемые значения фундаментальных физических констант: 2010 г." (PDF). Обзоры современной физики. 84 (4): 1527–1605. arXiv:1203.5425. Bibcode:2012РвМП ... 84.1527М. CiteSeerX  10.1.1.150.1225. Дои:10.1103 / RevModPhys.84.1527. S2CID  103378639.
• Пэлтридж, Дж. У.; Платт, К. М. Р. (1976). Радиационные процессы в метеорологии и климатологии. Эльзевир. ISBN  978-0-444-41444-1.
• Пашен, Ф. (1895). "Über Gesetzmäßigkeiten in den Spectren fester Körper und über ein neue Bestimmung der Sonnentemperatur". Nachrichten von der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen (Mathematisch-Physikalische Klasse): 294–304.
• Паули, В. (1973). Энц, К. П. (ред.). Волновая механика. Маргулис, С .; Льюис, Х. Р. (перевод). MIT Press. ISBN  978-0-262-16050-6.
• Планк, М. (1900a). "Über eine Verbesserung der Wien'schen Spectralgleichung". Verhandlungen der Deutschen Physikalischen Gesellschaft. 2: 202–204. Переведено на тер Хаар, Д. (1967). "Об улучшении уравнения Вина для спектра" (PDF). Старая квантовая теория. Pergamon Press. С. 79–81. LCCN  66029628.
• Планк, М. (1900b). "Zur Theorie des Gesetzes der Energieverteilung im Normalspectrum". Verhandlungen der Deutschen Physikalischen Gesellschaft. 2: 237–245. Переведено на тер Хаар, Д. (1967). «К теории закона распределения энергии нормального спектра» (PDF). Старая квантовая теория. Pergamon Press. п. 82. LCCN  66029628.
• Планк, М. (1900c). "Entropie und Temperatur strahlender Wärme". Annalen der Physik. 306 (4): 719–737. Bibcode:1900АнП ... 306..719П. Дои:10.1002 / andp.19003060410.
• Планк, М. (1900г). "Убер необратимый Strahlungsvorgänge". Annalen der Physik. 306 (1): 69–122. Bibcode:1900АнП ... 306 ... 69П. Дои:10.1002 / andp.19003060105.
• Планк, М. (1901). "Über das Gesetz der Energieverteilung im Normalspektrum". Annalen der Physik. 4 (3): 553–563. Bibcode:1901АнП ... 309..553П. Дои:10.1002 / andp.19013090310. Переведено на Андо, К. «О законе распределения энергии в нормальном спектре» (PDF). Архивировано из оригинал (PDF) 6 октября 2011 г.. Получено 13 октября 2011.
• Планк, М. (1906). Vorlesungen über die Theorie der Wärmestrahlung. Иоганн Амвросий Барт. LCCN  07004527.
• Планк, М. (1914). Теория теплового излучения. Перевод Мазиуса, М. (2-е изд.). Сын П. Блэкистона и компания ПР  7154661M.
• Планк, М. (1915). Восемь лекций по теоретической физике, прочитанных в Колумбийском университете в 1909 г. (PDF). Переведено Уиллс, А. Нью-Йорк: издательство Колумбийского университета. Получено 11 мая 2020 - через Project Gutenberg.
• Планк, М. (1943). "Zur Geschichte der Auffindung des Physikalischen Wirkungsquantums". Naturwissenschaften. 31 (14–15): 153–159. Bibcode:1943NW ..... 31..153P. Дои:10.1007 / BF01475738. S2CID  44899488.
• Рэйли, лорд (1900). «LIII. Замечания о законе полного излучения». Философский журнал. Серия 5. 49 (301): 539–540. Дои:10.1080/14786440009463878.
• Рэйли, лорд (1905). «Динамическая теория газов и излучения». Природа. 72 (1855): 54–55. Bibcode:1905Натура..72 ... 54р. Дои:10.1038 / 072054c0. S2CID  4057048.
• Разавы, М. (2011). Квантовая механика Гейзенберга. Всемирный научный. ISBN  978-981-4304-10-8.
• Рубенс, Х.; Курлбаум, Ф. (1900a). "Über die Emission langer Wellen durch den schwarzen Körper". Verhandlungen der Deutschen Physikalischen Gesellschaft. 2: 181.
• Рубенс, Х.; Курлбаум, Ф. (1900b). «Убер die Emission langwelliger Wärmestrahlen durch den schwarzen Körper bei verschiedenen Temperaturen». Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin: 929–941. Переведено на Рубенс, Х.; Курлбаум, Ф. (1901). «О длинноволновом тепловом излучении, испускаемом черными телами при разных температурах». Астрофизический журнал. 14: 335–348. Bibcode:1901ApJ .... 14..335R. Дои:10.1086/140874.
• Рыбицки, Г. Б .; Лайтман, А. (1979). Радиационные процессы в астрофизике. Джон Уайли и сыновья. ISBN  978-0-471-82759-7.
• Шарков, Е. А. (2003). «Излучение черного тела» (PDF). Пассивное микроволновое дистанционное зондирование Земли. Springer. ISBN  978-3-540-43946-2.
• Шифф, Л.И. (1949). Квантовая механика. Макгроу-Хилл.
• Ширмахер, А. (2001). Теория экспериментов: доказательства закона излучения Кирхгофа до и после Планка. Münchner Zentrum für Wissenschafts und Technikgeschichte.
• Швингер, Дж. (2001). Энглерт, Б.-Г. (ред.). Квантовая механика: символика атомных измерений. Springer. ISBN  978-3-540-41408-7.
• Скалли, М.О.; Зубайри, М.С. (1997). Квантовая оптика. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-43458-4.
• Сигел, Д. М. (1976). "Бальфур Стюарт и Густав Роберт Кирхгоф: два независимых подхода к" закону излучения Кирхгофа """. Исида. 67 (4): 565–600. Дои:10.1086/351669. PMID  794025.
• Сигель, Р.; Хауэлл, Дж. Р. (2002). Тепловой радиационный теплообмен, Том 1 (4-е изд.). Тейлор и Фрэнсис. ISBN  978-1-56032-839-1.
• Зоммерфельд, А. (1923). Атомная структура и спектральные линии. Brose, H. L. (пер.) (Из 3-го немецкого изд.). Метуэн.
• Стеле, П. (1994). Порядок, Хаос, Порядок. Переход от классической физики к квантовой. Oxford University Press. ISBN  978-0-19-507513-7.
• Стюарт, Б. (1858). "Отчет о некоторых экспериментах по лучистому теплу". Сделки Королевского общества Эдинбурга. 22: 1–20. Дои:10.1017 / S0080456800031288.
• тер Хаар, Д. (1967). Старая квантовая теория. Pergamon Press. LCCN  66-029628.
• Thornton, S.T .; Рекс, А. Ф. (2002). Современная физика. Thomson Learning. ISBN  978-0-03-006049-6.
• Тиса, Л. (1966). Обобщенная термодинамика. MIT Press.
• Tommasini, D .; Феррандо, Ф .; Michinel, H .; Секо, М. (2008). «Детектирование фотон-фотонного рассеяния в вакууме на эксаваттных лазерах». Физический обзор A. 77 (1): 042101. arXiv:Quant-ph / 0703076. Bibcode:2008PhRvA..77a2101M. Дои:10.1103 / PhysRevA.77.012101.
• Тиндаль, Дж. (1865a). "Über leuchtende und dunkle Strahlung". Annalen der Physik und Chemie. 200 (1): 36–53. Bibcode:1865АнП ... 200 ... 36 зуб.. Дои:10.1002 / andp.18652000103.
• Тиндаль, Дж. (1865b). Тепло рассматривается как способ движения. Д. Эпплтон и компания.
• Вена, В. (1896). "Über die Energievertheilung im Emissionsspectrum eines schwarzen Körpers". Annalen der Physik und Chemie. 294 (8): 662–669. Bibcode:1896AnP ... 294..662Вт. Дои:10.1002 / andp.18962940803.
• Уилсон, А. Х. (1957). Термодинамика и статистическая механика. Издательство Кембриджского университета.

внешняя ссылка

• Резюме радиации
• Излучение черного тела - интерактивное моделирование игры с законом Планка
• Запись в Scienceworld о законе Планка