Рудольф Хааг - Rudolf Haag

Рудольф Хааг
Haag color 300 dpi v003 jpg.jpg
Родившийся(1922-08-17)17 августа 1922 г.
Тюбинген, Германия
Умер5 января 2016 г.(2016-01-05) (93 года)
Neuhaus (Шлирзее), Германия[1]
Альма-матерШтутгартский университет
Известен
Награды
Научная карьера
ПоляФизика
Учреждения
ТезисDie korrespondenzmäßige Methode in der Theorie der Elementarteilchen
ДокторантФриц Бопп
Докторанты

Рудольф Хааг (17 августа 1922 г. - 5 января 2016 г.) был немецким теоретиком физик, которые в основном занимались фундаментальными вопросами квантовая теория поля.

биография

Рудольф Хааг родился 17 августа 1922 года в г. Тюбинген, университетский городок в центре Баден-Вюртемберг. Его семья принадлежала к культурному среднему классу. Матерью Хаага была писательница и временный политик Анна Хааг.[2]. Его отец, Альберт Хааг, был Гимназия математика учитель. После окончания Средняя школа в 1939 году он посетил свою сестру в Лондон незадолго до начала Вторая Мировая Война. Он был интернированный как враг пришелец и провел войну в лагере немецких мирных жителей в Манитоба. Там он использовал свободное время после ежедневных обязательных работ для учебы. физика и математика как самоучка[3].

После войны Хааг вернулся в Германию и поступил в Технический университет. Штутгартский университет в 1946 году, где он получил диплом физика в 1948 году. В 1951 году он получил докторская степень на Мюнхенский университет под присмотром Фриц Бопп[4] и был его помощником до 1956 года. В период с 1953 по 1954 год он дважды присоединялся к группе теоретических исследований под руководством Нильс Бор в ЦЕРН, который в то время был еще в Копенгаген[5]. В 1954 г. окончил Немецкий абилитация[6] и стал Приватдозент. С 1956 по 1957 год он переехал в Гёттинген где он работал с Вернер Гейзенберг на Институт физики Макса Планка[7].

С 1957 по 1959 год он был приглашенным профессором в Университет Принстона а с 1959 по 1960 гг. Марсельский университет. Он стал профессором физики в Университет Иллинойса в Урбане-Шампейне в 1960 году. В 1965 году вместе с Рес Йост ведущий журнал Коммуникации по математической физике, и он был первым главным редактором до 1973 г.[8]. В 1966 году он принял должность профессора теоретической физики Гамбургский университет, где он оставался до выхода на пенсию в 1987 году. После выхода на пенсию он работал над концепцией мероприятие в квантовой физике[9] до его смерти[10].

Хааг проявил интерес к музыке в раннем возрасте. Он начал изучать скрипка, но позже предпочел пианино, в которую он играл почти каждый день. В 1948 году Хааг женился на Кете Фуэс.[11], с которой у него было четверо детей: Альберт, Фридрих, Элизабет и Ульрих. После выхода на пенсию он переехал вместе со второй женой Барбарой Кли.[12] к Шлирзее, пасторальная деревня в Баварский горы. Он умер 5 января 2016 года в городе Фишхаузен-Нойхаус на юге Баварии.[13].

Научная карьера

Даже в начале своей карьеры Хааг внес значительный вклад в концепции квантовой теории поля, включая Теорема Хаага[14]. Из этой теоремы следует, что картина взаимодействия квантовая механика не существует в квантовой теории поля[15]. Поэтому был необходим новый подход к описанию процессов рассеяния частиц, который он разработал в последующие годы и известен как Теория рассеяния Хаага – Рюэля[16].

Во время этой работы он понял, что жесткой связи между полями и частицами, которая постулировалась до этого момента, не существовало. Решающим фактором для интерпретации частиц является скорее Эйнштейн. принцип локальности, перешла в квантовую теорию поля, которая связывает операторы с областями пространства-времени. Эти идеи нашли свою окончательную формулировку в Аксиомы Хаага-Кастлера для локальных наблюдаемых каждой квантовой теории поля[17]. Эта структура использует элементы теории операторных алгебр и поэтому называется алгебраическая квантовая теория поля или, с точки зрения физического содержания, как локальная квантовая физика[18].

Эта концепция оказалась плодотворной для понимания фундаментальных свойств любой теории в четырехмерном пространстве. Пространство Минковского. Без предположений о существовании полей, которые нельзя наблюдать напрямую, поскольку они изменяют заряд, Хааг, в сотрудничестве с Серджио Допличер и Джон Э. Робертс, выяснили возможную структуру секторы суперотбора наблюдаемых в теориях с короткодействующими силами[19]. Секторы всегда можно составить, каждый сектор удовлетворяет либо пара-Bose или пара-Ферми статистики и для каждого сектора существует сопряженный сектор. Эти идеи соответствуют аддитивности зарядов в интерпретации частиц, альтернативе Бозе – Ферми для статистики частиц и существованию античастицы[20]. В частном случае простых секторов глобальный группа датчиков и поля, несущие заряд, могут быть восстановлены из наблюдаемых, заряженные поля генерируют все сектора из вакуумного состояния[21]. Позднее эти результаты были обобщены для произвольных секторов в Теорема двойственности Допличера – Робертса[22]. Применение этих методов к теориям в низкоразмерных пространствах также привело к пониманию возникновения группа кос статистика и квантовые группы[23].

В квантовая статистическая механика, Хааг вместе с Николаас М. Гугенгольц и Мариус Виннинк сумели обобщить Гиббс –фон Нейман характеризация состояний теплового равновесия с помощью Состояние KMS (названный в честь Рёго Кубо, Пол К. Мартин и Джулиан Швингер ) таким образом, что он также распространяется на бесконечные системы в термодинамический предел[24]. Оказалось, что это условие также играет важную роль в теории алгебры фон Неймана и привело к Теория Томиты – Такесаки. Эта теория оказалась центральным элементом структурного анализа и в последнее время[25] также при построении конкретных квантово-теоретических моделей поля[26]. Вместе с Дэниел Кастлер и Ева Трич-Польмайер, Хаагу также удалось вывести условие KMS из свойств устойчивости состояний теплового равновесия.[27]. Вместе с Хузихиро Араки, Дэниел Кастлер и Масамичи Такэсаки, он также разработал теорию химический потенциал в контексте[28].

Каркас, созданный Хаагом и Кастлером для изучения квантовых теорий поля в пространстве Минковского, может быть перенесен на теории в искривленном пространстве-времени. Работая с Клаусом Фреденхагеном, Хайде Нарнхофер и Ульрихом Штайном, Хааг внес важный вклад в понимание Эффект Унру[29] и Радиация Хокинга[30].

У Хаага было определенное недоверие к тому, что он считал спекулятивными событиями в теоретическая физика[31] но периодически сталкивался с такими вопросами. Самым известным является Теорема Хаага – Лопушанского – Сониуса[32], который классифицирует возможные суперсимметрии из S-матрица которые не покрываются Теорема Коулмана – Мандулы[33].

Почести и награды

В 1970 году он получил Медаль Макса Планка за выдающиеся достижения в теоретической физике[34] а в 1997 г. Премия Анри Пуанкаре[35] за фундаментальный вклад в квантовую теорию поля как одного из основоположников современной формулировки[36]. Он был членом Немецкая национальная академия наук Леопольдина с 1980[37] и Гёттингенская академия наук с 1981 г.[38]. Он был членом-корреспондентом Баварская Академия Наук с 1979 г.[39] и из Австрийская Академия Наук с 1987[40].

Публикации

  • Хааг, Рудольф (1955). «О квантовых теориях поля». Дэн. Мат. Fys. Medd. 29N12: 1–37. (Теорема Хаага).
  • Хааг, Рудольф (1958). «Квантовые теории поля с составными частицами и асимптотическими условиями». Физический обзор. 112 (2): 669–673. Bibcode:1958ПхРв..112..669Г. Дои:10.1103 / PhysRev.112.669. (Теория рассеяния Хаага – Рюэля).
  • Хааг, Рудольф; Кастлер, Дэниел (1964). «Алгебраический подход к квантовой теории поля». Журнал математической физики. 5 (7): 848–861. Bibcode:1964JMP ..... 5..848H. Дои:10.1063/1.1704187. (Аксиомы Хаага – Кастлера).
  • Хааг, Рудольф; Hugenholtz, Nico M .; Виннинк, Мариус (1967). «О состояниях равновесия в квантовой статистической механике». Коммуникации по математической физике. 5 (3): 215–236. Bibcode:1967CMaPh ... 5..215H. Дои:10.1007 / BF01646342. S2CID  120899390. (Условие KMS).
  • Допличер, Серджио; Хааг, Рудольф; Робертс, Джон Э. (1971). «Локальные наблюдаемые и статистика частиц. 1». Коммуникации по математической физике. 23 (3): 199–230. Bibcode:1971CMaPh..23..199D. Дои:10.1007 / BF01877742. S2CID  189833852.
  • Допличер, Серджио; Хааг, Рудольф; Робертс, Джон Э. (1974). «Локальные наблюдаемые и статистика частиц. 2». Коммуникации по математической физике. 35 (1): 49–85. Bibcode:1974CMaPh..35 ... 49D. Дои:10.1007 / BF01646454. S2CID  73627903. (Анализ Доплишера-Хаага-Робертса структуры суперселекции).
  • Хааг, Рудольф; Кастлер, Дэниел; Трич-Польмейер, Ева Б. (1974). «Устойчивость и равновесные состояния». Коммуникации по математической физике. 38 (3): 173–193. Bibcode:1974CMaPh..38..173H. Дои:10.1007 / BF01651541. S2CID  123017142. (Стабильность и состояние KMS).
  • Хааг, Рудольф; Лопушанский, Ян Т .; Сониус, Мартин (1975). «Все возможные генераторы суперсимметрий s-матрицы». Ядерная физика B. 88 (2): 257–274. Bibcode:1975НуФБ..88..257Х. Дои:10.1016/0550-3213(75)90279-5. (Классификация суперсимметрии).
  • Араки, Хузихиро; Кастлер, Дэниел; Такесаки, Масамичи; Хааг, Рудольф (1977). «Расширение состояний KMS и химический потенциал». Коммуникации по математической физике. 53 (2): 97–134. Bibcode:1977CMaPh..53 ... 97A. Дои:10.1007 / BF01609126. S2CID  122319446. (Состояние KMS и химический потенциал).
  • Хааг, Рудольф; Нарнгофер, Хайде; Штейн, Ульрих (1984). «О квантовой теории поля в гравитационном фоне». Коммуникации по математической физике. 94 (2): 219–238. Bibcode:1984CMaPh..94..219H. Дои:10.1007 / BF01209302. S2CID  189832431. (Эффект Унру).
  • Фреденхаген, Клаус; Хааг, Рудольф (1990). "Об образовании излучения Хокинга, связанного с образованием черной дыры" (PDF). Коммуникации по математической физике. 127 (2): 273–284. Bibcode:1990CMaPh.127..273F. Дои:10.1007 / BF02096757. S2CID  122962630. (Радиация Хокинга).
  • Хааг, Рудольф (1990). «Фундаментальная необратимость и концепция событий» (PDF). Коммуникации по математической физике. 132 (1): 245–252. Bibcode:1990CMaPh.132..245H. Дои:10.1007 / BF02278010. S2CID  120715539. (Понятие события; см. Также Раздел VII.3 в следующей книге).
  • Хааг, Рудольф (1996). Локальная квантовая физика: поля, частицы, алгебры (2-е изд.). Springer-Verlag Berlin Heidelberg. Дои:10.1007/978-3-642-61458-3. ISBN  978-3-540-61049-6. (Учебник).
  • Бухгольц, Детлев; Хааг, Рудольф (2000). «Поиски понимания в релятивистской квантовой физике». Журнал математической физики. 41 (6): 3674–3697. arXiv:hep-th / 9910243. Bibcode:2000JMP .... 41.3674B. Дои:10.1063/1.533324. S2CID  2088998. (Обзор и прогноз).
  • Хааг, Рудольф (2000). «Вопросы квантовой физики: личный взгляд». Математическая физика 2000: 87–100. arXiv:hep-th / 0001006. Bibcode:2000hep.th .... 1006H. Дои:10.1142/9781848160224_0005. ISBN  978-1-86094-230-3. S2CID  15880862. (Outlook).
  • Хааг, Рудольф (2010). «Некоторые люди и некоторые проблемы встретились за полвека приверженности математической физике». Европейский физический журнал H. 35 (3): 263–307. Bibcode:2010EPJH ... 35..263H. Дои:10.1140 / epjh / e2010-10032-4. S2CID  59320730. (Личные воспоминания).
  • Хааг, Рудольф (2010). «Локальные алгебры. Взгляд в прошлое, на некоторые достижения и упущенные возможности». Европейский физический журнал H. 35 (3): 255–261. Bibcode:2010EPJH ... 35..255H. Дои:10.1140 / epjh / e2010-10042-7. S2CID  122586098. (Личные воспоминания).
  • Хааг, Рудольф (2015). «Лица квантовой физики». Сообщение квантовой науки. Конспект лекций по физике. 899. Шпрингер, Берлин, Гейдельберг. С. 219–234. Дои:10.1007/978-3-662-46422-9_9. ISBN  978-3-662-46422-9. (Обзор и концепция мероприятия).
  • Хааг, Рудольф (2019). «По квантовой теории». Международный журнал квантовой информации. 17 (4): 1950037-1–9. Bibcode:2019IJQI ... 1750037H. Дои:10.1142 / S0219749919500370. (Квантовая онтология и концепция события).

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ Рудольф Хааг (13 января 2016 г.); Бухгольц, Детлев; Фреденхаген, Клаус (2016). "Nachruf auf Rudolf Haag". Физический журнал (на немецком). 15 (4): 53. (Некрологи).
  2. ^ Хааг, Рудольф; Хааг, Анна (2003). Leben und gelebt werden: Erinnerungen und Betrachtungen (на немецком языке) (1-е изд.). Зильбербург. ISBN  978-3874075626. Тиммс, Эдвард (2016). Анна Хааг и ее секретный дневник Второй мировой войны: ответ немецкой демократической феминистки на катастрофу национал-социализма. Питер Ланг АГ, международный представитель Verlag der Wissenschaften. ISBN  978-3034318181.
  3. ^ Кастлер, Дэниел (2003). «Рудольф Хааг - восемьдесят лет». Коммуникации по математической физике. 237 (1–2): 3–6. Bibcode:2003CMaPh.237 .... 3K. Дои:10.1007 / s00220-003-0829-1. S2CID  121438414.
  4. ^ Докторская диссертация Хааг, Рудольф (1951). Die korrespondenzmässige Methode in der Theorie der Elementarteilchen (Диссертация) (на немецком языке). Мюнхен.
  5. ^ Поггендорф, Иоганн К. (1958). J.C. Poggendorffs biographisch-literarisches Handwörterbuch zur Geschichte der exacten Wissenschaften (на немецком). J.A. Барт.
  6. ^ Тезис о абилитации Хааг, Рудольф (1954). О квантовых теориях поля (Тезис). 29. Копенгаген: Munksgaard in Komm. (опубликовано в 1955 г.).
  7. ^ Бухгольц, Детлев; Фреденхаген, Клаус (2016). "Nachruf auf Rudolf Haag". Физический журнал (на немецком). 15 (4): 53.
  8. ^ Джефф, Артур; Ререн, Карл-Хеннинг (2016). «Рудольф Хааг». Физика сегодня. 69 (7): 70–71. Bibcode:2016ФТ .... 69г..70Дж. Дои:10.1063 / PT.3.3244.
  9. ^ Хааг, Рудольф (1990). «Фундаментальная необратимость и концепция событий» (PDF). Коммуникации по математической физике. 132 (1): 245–252. Bibcode:1990CMaPh.132..245H. Дои:10.1007 / BF02278010. S2CID  120715539. Хааг, Рудольф (2015). «Лица квантовой физики». Сообщение квантовой науки. Конспект лекций по физике. 899. Шпрингер, Берлин, Гейдельберг. С. 219–234. Дои:10.1007/978-3-662-46422-9_9. ISBN  978-3-662-46422-9. Хааг, Рудольф (2019). «По квантовой теории». Международный журнал квантовой информации. 17 (4): 1950037-1–9. Bibcode:2019IJQI ... 1750037H. Дои:10.1142 / S0219749919500370.
  10. ^ Шёнхаммер, Курт (2016). "Nachruf auf Rudolf Haag. 17. августа 1922 - 5. января 2016". Jahrbuch der Akademie der Wissenschaften zu Göttingen (на немецком языке): 236–237. Дои:10.1515 / jbg-2016-0026. S2CID  188592087.
  11. ^ Кете Фуэс была одной из дочерей немецкого физика-теоретика Эрвин Фуэс см. сноску в "Das Jahr 1958 Letzte Zusammenarbeit mit Heisenberg. Die Spinortheorie der Elementarteilchen und die Genfer Hochenergiekonferenz". Вольфганг Паули. Источники по истории математики и физических наук (на немецком языке). 18. Шпрингер, Берлин, Гейдельберг. 2005. с. 1186. Дои:10.1007/3-540-26832-4_2. ISBN  978-3-540-26832-1.
  12. ^ Хааг женился на Барбаре Кли после преждевременной смерти Кете.
  13. ^ Бухгольц, Детлев; Допличер, Серджио; Фреденхаген, Клаус (2016). «Рудольф Хааг (1922 - 2016)» (PDF). Информационный бюллетень, Международная ассоциация математической физики: 27–31.
  14. ^ Теорема Хаага утверждает, что обычный Пространство фока представление не может использоваться для описания взаимодействующих релятивистских квантовых полей с каноническими коммутационными соотношениями. Один нужен неэквивалентный Гильбертово пространство представления полей; смотрите также Энциклопедия математики.
  15. ^ Хааг, Рудольф (1955). «О квантовых теориях поля». Дэн. Мат. Fys. Medd. 29N12: 1–37.
  16. ^ См. Например обзор: Бухгольц, Детлев; Саммерс, Стивен Дж. (2006). "Рассеяние в релятивистской квантовой теории поля: фундаментальные концепции и инструменты". Энциклопедия математической физики. Академическая пресса. С. 456–465. arXiv:math-ph / 0509047. Дои:10.1016 / B0-12-512666-2 / 00018-3. ISBN  978-0-12-512666-3. S2CID  16258638.
  17. ^ Хааг, Рудольф; Кастлер, Дэниел (1964). «Алгебраический подход к квантовой теории поля». Журнал математической физики. 5 (7): 848–861. Bibcode:1964JMP ..... 5..848H. Дои:10.1063/1.1704187.
  18. ^ Хааг, Рудольф (1996). Локальная квантовая физика: поля, частицы, алгебры (2-е изд.). Springer-Verlag Berlin Heidelberg. Дои:10.1007/978-3-642-61458-3. ISBN  978-3-540-61049-6.
  19. ^ Единственным дополнительным предположением к аксиомам Хаага-Кастлера для наблюдаемых в этом анализе был постулат двойственности Хаага, который позже был установлен Джозефом Дж. Бизоньяно и Эйвинд Х. Вихманн в рамках квантовой теории поля; обошлось и без обсуждения бесконечной статистики.
  20. ^ Допличер, Серджио; Хааг, Рудольф; Робертс, Джон Э. (1971). «Локальные наблюдаемые и статистика частиц. 1». Коммуникации по математической физике. 23 (3): 199–230. Bibcode:1971CMaPh..23..199D. Дои:10.1007 / BF01877742. S2CID  189833852.; Допличер, Серджио; Хааг, Рудольф; Робертс, Джон Э. (1974). «Локальные наблюдаемые и статистика частиц. 2». Коммуникации по математической физике. 35 (1): 49–85. Bibcode:1974CMaPh..35 ... 49D. Дои:10.1007 / BF01646454. S2CID  73627903.
  21. ^ Допличер, Серджио; Хааг, Рудольф; Робертс, Джон Э. (1969). «Поля, наблюдаемые и калибровочные преобразования I». Коммуникации по математической физике. 13 (1): 1–23. Bibcode:1969CMaPh..13 .... 1D. Дои:10.1007 / BF01645267. S2CID  123420887. Допличер, Серджио; Хааг, Рудольф; Робертс, Джон Э. (1969). «Поля, наблюдаемые и калибровочные преобразования II». Коммуникации по математической физике. 15 (3): 173–200. Bibcode:1969CMaPh..15..173D. Дои:10.1007 / BF01645674. S2CID  189831020.
  22. ^ Допличер, Серджио; Робертс, Джон Э. (1989). «Новая теория двойственности для компактных групп». Inventiones Mathematicae. 98: 157–218. Bibcode:1989InMat..98..157D. Дои:10.1007 / BF01388849. S2CID  120280418. Допличер, Серджио; Робертс, Джон Э. (1990). «Почему существует алгебра поля с компактной калибровочной группой, описывающей структуру суперселекции в физике элементарных частиц». Коммуникации по математической физике. 131 (1): 51–107. Bibcode:1990CMaPh.131 ... 51D. Дои:10.1007 / BF02097680. S2CID  121071316.
  23. ^ Фреденхаген, Клаус; Ререн, Карл-Хеннинг; Шроер, Берт (1989). "Секторы суперселекции со статистикой групп кос и алгебрами обмена. 1. Общая теория". Коммуникации по математической физике. 125 (2): 201. Bibcode:1989CMaPh.125..201F. Дои:10.1007 / BF01217906. S2CID  122633954. Фреденхаген, Клаус; Ререн, Карл-Хеннинг; Шроер, Берт (1992). «Секторы суперселекции со статистикой группы кос и алгебрами обмена. 2. Геометрические аспекты и конформная ковариантность». Обзоры по математической физике. 4: 113–157. Bibcode:1992РвМаП ... 4С.113Ф. Дои:10.1142 / S0129055X92000170. Froehlich, Juerg; Габбиани, Фабрицио (1991). «Статистика кос в локальной квантовой теории». Обзоры по математической физике. 2 (3): 251–354. Дои:10.1142 / S0129055X90000107.
  24. ^ Хааг, Рудольф; Hugenholtz, Nico M .; Виннинк, Мариус (1967). «О состояниях равновесия в квантовой статистической механике». Коммуникации по математической физике. 5 (3): 215–236. Bibcode:1967CMaPh ... 5..215H. Дои:10.1007 / BF01646342. S2CID  120899390.
  25. ^ Это относится к алгебраическим конструктивные квантовые теории поля родился в начале этого века. Они отличаются от конструктивных теорий, математически разработанных в 70-х и 80-х годах, вдохновленных полуклассическими идеями. См., Например, Summers ' исторический обзор.
  26. ^ Обзор построения большого количества моделей с использованием этих методов можно найти в: Лехнер, Гэндальф (2015). «Алгебраическая конструктивная квантовая теория поля: интегрируемые модели и методы деформации». Успехи алгебраической квантовой теории поля. Математическая физика. Издательство Springer International. С. 397–448. Дои:10.1007/978-3-319-21353-8. ISBN  978-3-319-21352-1.
  27. ^ Хааг, Рудольф; Кастлер, Дэниел; Трич-Польмейер, Ева Б. (1974). «Устойчивость и равновесные состояния». Коммуникации по математической физике. 38 (3): 173–193. Bibcode:1974CMaPh..38..173H. Дои:10.1007 / BF01651541. S2CID  123017142.
  28. ^ Араки, Хузихиро; Кастлер, Дэниел; Такесаки, Масамичи; Хааг, Рудольф (1977). «Расширение состояний KMS и химический потенциал». Коммуникации по математической физике. 53 (2): 97–134. Bibcode:1977CMaPh..53 ... 97A. Дои:10.1007 / BF01609126. S2CID  122319446.
  29. ^ Хааг, Рудольф; Нарнгофер, Хайде; Штейн, Ульрих (1984). «О квантовой теории поля в гравитационном фоне». Коммуникации по математической физике. 94 (2): 219–238. Bibcode:1984CMaPh..94..219H. Дои:10.1007 / BF01209302. S2CID  189832431.
  30. ^ Фреденхаген, Клаус; Хааг, Рудольф (1990). «Об образовании излучения Хокинга, связанного с образованием черной дыры» (PDF). Коммуникации по математической физике. 127 (2): 273–284. Bibcode:1990CMaPh.127..273F. Дои:10.1007 / BF02096757. S2CID  122962630.
  31. ^ Хааг, Рудольф (2010). «Локальные алгебры. Взгляд в прошлое, на некоторые достижения и упущенные возможности». Европейский физический журнал H. 35 (3): 255–261. Bibcode:2010EPJH ... 35..255H. Дои:10.1140 / epjh / e2010-10042-7. S2CID  122586098.
  32. ^ Хааг, Рудольф; Лопушанский, Ян Т .; Сониус, Мартин (1975). «Все возможные генераторы суперсимметрий s-матрицы». Ядерная физика B. 88 (2): 257–274. Bibcode:1975НуФБ..88..257Х. Дои:10.1016/0550-3213(75)90279-5.
  33. ^ Теорема о Сидни Коулман и Джеффри Мандула исключает нетривиальную связь бозонных групп внутренней симметрии с геометрическими симметриями (Группа Пуанкаре ). С другой стороны, суперсимметрия допускает такую ​​связь.
  34. ^ https://www.dpg-physik.de/auszeichnungen/dpg-preise/max-planck-medaille/preistraeger.
  35. ^ http://www.iamp.org/page.php?page=page_prize_poincare.
  36. ^ http://www.iamp.org/poincare/rh97-cit.html.
  37. ^ https://www.leopoldina.org/en/members/list-of-members/list-of-members/member/Member/show/rudolf-haag/.
  38. ^ (: Неизвестно) Неизвестно (2011). Akademie der Wissenschaften zu Göttingen (ed.). Jahrbuch der Akademie der Wissenschaften zu Göttingen 2010 (на немецком). Де Грюйтер. Дои:10.26015 / adwdocs-386. ISBN  978-3110236767.
  39. ^ Страница членов Баварской академии наук Рудольфа Хаага.
  40. ^ Страница членов Австрийской академии наук Рудольфа Хаага.

дальнейшее чтение

внешняя ссылка