Симметрия (физика) - Symmetry (physics)

Для использования в других целях см. Симметрия (значения).

Первый Зона Бриллюэна из Решетка FCC отображение меток симметрии

В физика, а симметрия из физическая система физическая или математическая характеристика системы (наблюдаемая или внутренняя), которая сохраняется или остается неизменной при некоторых трансформация.

Семейство частных преобразований может быть непрерывный (Такие как вращение круга) или дискретный (например., отражение двусторонней симметричной фигуры или вращение правильного многоугольника). Непрерывные и дискретные преобразования порождают соответствующие типы симметрий. Непрерывные симметрии можно описать как Группы Ли а дискретные симметрии описываются конечные группы (видеть Группа симметрии ).

Эти два понятия, Ли и конечные группы, составляют основу фундаментальных теорий современной физики. Симметрии часто поддаются математическим формулировкам, таким как групповые представления и, кроме того, может использоваться для упрощения многих задач.

Возможно, наиболее важным примером симметрии в физике является то, что скорость света имеет одно и то же значение во всех системах отсчета, что в математических терминах известно как Группа Пуанкаре, группа симметрии специальная теория относительности. Другой важный пример - это инвариантность формы физических законов при произвольных дифференцируемых преобразованиях координат, что является важной идеей в общая теория относительности.

Как своего рода инвариантность

Инвариантность задается математически с помощью преобразований, которые оставляют неизменными некоторые свойства (например, количество). Эта идея может применяться к основным наблюдениям в реальном мире. Например, температура может быть однородным по всей комнате. Поскольку температура не зависит от положения наблюдателя в комнате, мы говорим, что температура инвариантный при смещении позиции наблюдателя в помещении.

Точно так же однородная сфера, повернутая вокруг своего центра, будет выглядеть точно так же, как до вращения. Говорят, что сфера выставляет сферическая симметрия. Вращение вокруг любого ось сферы сохранит то, как сфера "выглядит".

Инвариантность в силе

Приведенные выше идеи приводят к полезной идее инвариантность при обсуждении наблюдаемой физической симметрии; это можно применить и к симметрии сил.

Например, считается, что электрическое поле, создаваемое электрически заряженным проводом бесконечной длины, проявляет цилиндрическая симметрия, поскольку напряженность электрического поля на заданном расстоянии р от проволоки будет иметь одинаковую величину в каждой точке поверхности цилиндра (осью которого является проволока) с радиусом р. Вращение провода вокруг собственной оси не меняет его положения или плотности заряда, поэтому поле сохраняется. Напряженность поля в повернутом положении такая же. В общем случае это неверно для произвольной системы начислений.

В теории механики Ньютона для двух тел, каждое с массой м, начиная с начала координат и двигаясь по Икс- оси в противоположных направлениях, одна со скоростью v₁ а другой со скоростью v₂ Общая кинетическая энергия системы (по данным наблюдателя в начале координат) равна ​¹⁄₂м(v₁² + v₂²) и остается прежним, если меняют скорости. Полная кинетическая энергия сохраняется при отражении в у-ось.

Последний пример выше иллюстрирует другой способ выражения симметрии, а именно через уравнения, описывающие некоторые аспекты физической системы. Приведенный выше пример показывает, что полная кинетическая энергия будет такой же, если v₁ и v₂ поменяны местами.

Локальный и глобальный

Основные статьи: Глобальная симметрия и Локальная симметрия

Симметрии можно широко классифицировать как Глобальный или же местный. А глобальная симметрия тот, который выполняется во всех точках пространство-время, тогда как локальная симметрия имеет различное преобразование симметрии в разных точках пространство-время; в частности, преобразование локальной симметрии параметризуется пространственно-временными координатами. Локальные симметрии играют важную роль в физике, поскольку они составляют основу калибровочные теории.

Непрерывный

Два описанных выше примера вращательной симметрии - сферическая и цилиндрическая - являются экземплярами непрерывная симметрия. Для них характерна инвариантность после непрерывного изменения геометрии системы. Например, провод можно повернуть на любой угол вокруг своей оси, и напряженность поля на данном цилиндре будет одинаковой. Математически непрерывные симметрии описываются непрерывный или же гладкие функции. Важным подклассом непрерывных симметрий в физике являются симметрии пространства-времени.

Пространство-время

Основная статья: Симметрии пространства-времени

Непрерывный симметрии пространства-времени симметрии, включающие преобразования Космос и время. Они могут быть далее классифицированы как пространственная симметрия, включая только пространственную геометрию, связанную с физической системой; временные симметрии, предполагающие только изменения во времени; или же пространственно-временные симметрии, включая изменения как в пространстве, так и во времени.

• Перевод времени: Физическая система может иметь одни и те же функции в течение определенного периода времени. ${\displaystyle \delta t}$; математически это выражается как инвариантность относительно преобразования ${\displaystyle t\,\rightarrow t+a}$ для любого действительные числа т и т + а в интервале. Например, в классической механике частица, на которую действует только сила тяжести, будет иметь гравитационно потенциальная энергия ${\displaystyle \,mgh}$ при подвешивании с высоты ${\displaystyle h}$ над поверхностью Земли. Если предположить, что высота частицы не изменится, это будет полная гравитационная потенциальная энергия частицы в любое время. Другими словами, рассматривая состояние частицы в определенный момент времени (в секундах) ${\displaystyle t_{0}}$ а также на ${\displaystyle t_{0}+3}$, скажем, полная гравитационная потенциальная энергия частицы будет сохранена.
• Пространственный перевод: Эти пространственные симметрии представлены преобразованиями вида ${\displaystyle {\vec {r}}\,\rightarrow {\vec {r}}+{\vec {a}}}$ и описать те ситуации, когда свойство системы не изменяется при постоянном изменении местоположения. Например, температура в комнате может не зависеть от того, где в комнате находится термометр.
• Пространственное вращение: Эти пространственные симметрии классифицируются как правильные вращения и неправильные вращения. Первые - это просто «обычные» вращения; математически они представлены квадратными матрицами с единицей измерения детерминант. Последние представлены квадратными матрицами с определителем −1 и состоят из собственного вращения в сочетании с пространственным отражением (инверсия ). Например, сфера имеет правильную симметрию вращения. Другие виды пространственных вращений описаны в статье. Симметрия вращения.
• Преобразования Пуанкаре: Это пространственно-временные симметрии, сохраняющие расстояния в Пространство-время Минковского, т.е. они являются изометриями пространства Минковского. Они изучаются преимущественно в специальная теория относительности. Те изометрии, которые оставляют начало координат фиксированным, называются Преобразования Лоренца и вызывают симметрию, известную как Ковариация Лоренца.
• Проективные симметрии: Это пространственно-временные симметрии, которые сохраняют геодезический структура пространство-время. Они могут быть определены на любом гладком многообразии, но находят множество приложений при изучении точные решения в общей теории относительности.
• Инверсионные преобразования: Это пространственно-временные симметрии, которые обобщают преобразования Пуанкаре, включая другие конформные взаимно-однозначные преобразования координат пространства-времени. Длины не инвариантны относительно инверсионные преобразования но существует инвариантное поперечное отношение по четырем точкам.

Математически симметрии пространства-времени обычно описываются гладкий векторные поля на гладкое многообразие. Лежащий в основе локальные диффеоморфизмы связанные с векторными полями, более точно соответствуют физическим симметриям, но сами векторные поля чаще используются при классификации симметрий физической системы.

Некоторые из наиболее важных векторных полей: Убивающие векторные поля которые представляют собой те пространственно-временные симметрии, которые сохраняют лежащие в основе метрика структура многообразия. Грубо говоря, векторные поля Киллинга сохраняют расстояние между любыми двумя точками многообразия и часто именуются изометрии.

Дискретный

Основная статья: Дискретная симметрия

А дискретная симметрия симметрия, описывающая прерывистые изменения в системе. Например, квадрат обладает дискретной симметрией вращения, так как только поворот на несколько прямых углов сохранит первоначальный вид квадрата. Дискретные симметрии иногда включают в себя какой-то тип «перестановки», обычно такие перестановки называются размышления или же развязки.

• Обратное время: Многие законы физики описывают реальные явления, когда время меняется на противоположное. Математически это представлено преобразованием, ${\displaystyle t\,\rightarrow -t}$. Например, Второй закон движения Ньютона все еще выполняется, если в уравнении ${\displaystyle F\,=m{\ddot {r}}}$, ${\displaystyle t}$ заменяется на ${\displaystyle -t}$. Это можно проиллюстрировать, записав движение объекта, подброшенного вертикально (без учета сопротивления воздуха), а затем воспроизведя его. Объект будет следовать тому же параболический траектория в воздухе независимо от того, воспроизводится ли запись в обычном или обратном порядке. Таким образом, положение симметрично относительно того момента, когда объект находится на максимальной высоте.
• Пространственная инверсия: Они представлены преобразованиями формы ${\displaystyle {\vec {r}}\,\rightarrow -{\vec {r}}}$ и указывают на свойство инвариантности системы, когда координаты «инвертированы». Другими словами, это симметрии между определенным объектом и его зеркальное изображение.
• Скользящее отражение: Они представлены композицией перевода и отражения. Эти симметрии встречаются в некоторых кристаллы и в некоторых плоских симметриях, известных как обои симметрии.

C, P и T

В Стандартная модель из физика элементарных частиц имеет три связанных естественных почти симметрии. Они утверждают, что вселенная, в которой мы живем, должна быть неотличима от той, в которой вводятся определенные изменения.

• C-симметрия (симметрия заряда), вселенная, в которой каждая частица заменена ее античастица
• P-симметрия (симметрия четности), вселенная, в которой все отражено по трем физическим осям

• Т-симметрия (симметрия обращения времени), вселенная, в которой направление времени обратный. T-симметрия противоречит интуиции (будущее и прошлое не симметричны), но объясняется тем, что Стандартная модель описывает локальные свойства, а не глобальные, такие как энтропия. Чтобы правильно изменить направление времени, нужно было бы поставить Большой взрыв и результирующее состояние с низкой энтропией в «будущем». Поскольку мы воспринимаем «прошлое» («будущее») как имеющее более низкую (более высокую) энтропию, чем настоящее, жители этой гипотетической перевернутой во времени вселенной будут воспринимать будущее так же, как мы воспринимаем прошлое, и наоборот.

Эти симметрии почти симметричны, потому что каждая из них нарушена в современной Вселенной. Однако Стандартная модель предсказывает, что комбинация трех (то есть одновременное применение всех трех преобразований) должна быть симметрией, называемой Симметрия CPT. Нарушение CP нарушение сочетания C- и P-симметрии необходимо при наличии значительных количеств барионная материя во вселенной. CP-нарушение - плодотворная область текущих исследований в физика элементарных частиц.

Суперсимметрия

Основная статья: Суперсимметрия

Тип симметрии, известный как суперсимметрия, использовался для теоретических успехов Стандартной модели. Суперсимметрия основана на идее, что существует другая физическая симметрия помимо уже разработанных в Стандартной модели, а именно симметрия между бозоны и фермионы. Суперсимметрия утверждает, что каждый тип бозона имеет в качестве суперсимметричного партнера фермион, называемый суперпартнером, и наоборот. Суперсимметрия еще не подтверждена экспериментально: ни одна известная частица не обладает правильными свойствами, чтобы быть суперпартнером любой другой известной частицы. В настоящее время LHC готовится к запуску, который проверяет суперсимметрию.

Математика физической симметрии

Основная статья: Группа симметрии

Смотрите также: Симметрия в квантовой механике и Симметрии в общей теории относительности

Преобразования, описывающие физические симметрии, обычно образуют математическую группа. Теория групп является важной областью математики для физиков.

Математически непрерывные симметрии задаются формулой непрерывные группы (называется Группы Ли ). Многие физические симметрии являются изометриями и задаются группами симметрии. Иногда этот термин используется для более общих типов симметрий. Набор всех собственных поворотов (на любой угол) через любую ось сферы образует группу Ли, называемую специальная ортогональная группа ${\displaystyle \,SO(3)}$. (The 3 относится к трехмерному пространству обычной сферы.) Таким образом, группа симметрии сферы с собственными вращениями равна ${\displaystyle \,SO(3)}$. Любое вращение сохраняет дистанцию ​​на поверхности мяча. Множество всех преобразований Лоренца образуют группу, называемую Группа Лоренца (это можно обобщить на Группа Пуанкаре ).

Дискретные группы описывают дискретные симметрии. Например, симметрии равностороннего треугольника характеризуются симметричная группа ${\displaystyle \,S_{3}}$.

Тип физической теории, основанной на местный симметрии называется измерять теория и симметрии, естественные для такой теории, называются калибровочные симметрии. Калибровочные симметрии в Стандартная модель, используется для описания трех из фундаментальные взаимодействия, основаны на СУ (3) × СУ (2) × U (1) группа. (Грубо говоря, симметрии группы SU (3) описывают сильная сила группа SU (2) описывает слабое взаимодействие а группа U (1) описывает электромагнитная сила.)

Также симметричное снижение функционала энергии под действием группы и спонтанное нарушение симметрии преобразований симметричных групп, кажется, проливают свет на темы в физика элементарных частиц (например, объединение из электромагнетизм и слабая сила в физическая космология ).

Законы сохранения и симметрия

Основная статья: Теорема Нётер

Свойства симметрии физической системы тесно связаны с законы сохранения характеризуя эту систему. Теорема Нётер дает точное описание этой связи. Теорема утверждает, что каждая непрерывная симметрия физической системы означает, что некоторые физические свойства этой системы сохраняются. И наоборот, каждой сохраняющейся величине соответствует соответствующая симметрия. Например, симметрия пространственного переноса (т.е. однородность пространства) приводит к сохранение (линейного) импульса, а симметрия трансляции во времени (то есть однородность времени) приводит к сохранение энергии.

В следующей таблице приведены некоторые фундаментальные симметрии и связанные с ними сохраняющиеся величины.

Учебный класс	Инвариантность	Сохраненное количество
Правильный ортохронный Симметрия Лоренца	перевод вовремя   (однородность )	энергия
	перевод в космос   (однородность )	линейный импульс
	вращение в пространстве   (изотропия )	угловой момент
	Лоренц-буст   (изотропия )	момент массы   ${\displaystyle \mathbf {N} =t\mathbf {p} -E\mathbf {r} }$
Дискретная симметрия	P, инверсия координат	пространственная четность
	C, зарядовое сопряжение	паритет заряда
	T, обращение времени	паритет времени
	CPT	произведение паритетов
Внутренняя симметрия (независим от пространство-время координаты )	U (1) калибровочное преобразование	электрический заряд
	U (1) калибровочное преобразование	номер поколения лептона
	U (1) калибровочное преобразование	сверхзаряд
	U (1)Y калибровочное преобразование	слабый гиперзаряд
	U (2) [ U (1) × SU (2) ]	электрослабая сила
	SU (2) калибровочное преобразование	изоспин
	SU (2)L калибровочное преобразование	слабый изоспин
	П × СУ (2)	G-паритет
	СУ (3) «заводной номер»	барионное число
	SU (3) калибровочное преобразование	цвет кварка
	SU (3) (приблизительно)	творог
	S (U (2) × U (3)) [ U (1) × SU (2) × SU (3) ]	Стандартная модель

Математика

Непрерывные симметрии в физике сохраняют преобразования. Можно указать симметрию, показав, как очень небольшое преобразование влияет на различные поля частиц. В коммутатор двух из этих бесконечно малых преобразований эквивалентны третьему бесконечно малому преобразованию того же типа, следовательно, они образуют Алгебра Ли.

Общее преобразование координат, описываемое как общее поле ${\displaystyle h(x)}$ (также известный как диффеоморфизм ) оказывает бесконечно малое влияние на скаляр ${\displaystyle \phi (x)}$, спинор ${\displaystyle \psi (x)}$ или же векторное поле ${\displaystyle A(x)}$ что можно выразить (используя Обозначения Эйнштейна ):

${\displaystyle \delta \phi (x)=h^{\mu }(x)\partial _{\mu }\phi (x)}$

${\displaystyle \delta \psi ^{\alpha }(x)=h^{\mu }(x)\partial _{\mu }\psi ^{\alpha }(x)+\partial _{\mu }h_{\nu }(x)\sigma _{\mu \nu }^{\alpha \beta }\psi ^{\beta }(x)}$

${\displaystyle \delta A_{\mu }(x)=h^{\nu }(x)\partial _{\nu }A_{\mu }(x)+A_{\nu }(x)\partial _{\mu }h^{\nu }(x)}$

Без гравитации сохраняются только симметрии Пуанкаре, что ограничивает ${\displaystyle h(x)}$ иметь форму:

${\displaystyle h^{\mu }(x)=M^{\mu \nu }x_{\nu }+P^{\mu }}$

куда M антисимметричный матрица (что дает лоренцеву и вращательную симметрии) и п - общий вектор (задающий трансляционные симметрии). Другие симметрии влияют на несколько полей одновременно. Например, локальные калибровочные преобразования применяются как к векторному, так и к спинорному полю:

${\displaystyle \delta \psi ^{\alpha }(x)=\lambda (x).\tau ^{\alpha \beta }\psi ^{\beta }(x)}$

${\displaystyle \delta A_{\mu }(x)=\partial _{\mu }\lambda (x)}$

куда ${\displaystyle \tau }$ являются генераторами определенного Группа Ли. Пока что преобразования справа включали только поля одного типа. Суперсимметрии определяются в соответствии с тем, как смешанные поля разные типы.

Другая симметрия, которая является частью одних теорий физики, но не является частью других, - это масштабная инвариантность, которая включает преобразования Вейля следующего вида:

${\displaystyle \delta \phi (x)=\Omega (x)\phi (x)}$

Если поля обладают такой симметрией, то можно показать, что теория поля почти наверняка также конформно инвариантна. Это означает, что в отсутствие гравитации h (x) будет ограничиваться формой:

${\displaystyle h^{\mu }(x)=M^{\mu \nu }x_{\nu }+P^{\mu }+Dx_{\mu }+K^{\mu }|x|^{2}-2K^{\nu }x_{\nu }x_{\mu }}$

с D генерация масштабных преобразований и K порождающие специальные конформные преобразования. Например, N = 4 супер-Ян-Миллс теория имеет эту симметрию, в то время как Общая теория относительности нет, хотя другие теории гравитации, такие как конформная гравитация делать. «Действие» теории поля - это инвариантный при всех симметриях теории. Большая часть современной теоретической физики связана с размышлениями о различных симметриях, которые может иметь Вселенная, и поиском инвариантов для построения теорий поля в качестве моделей.

В теориях струн, поскольку струна может быть разложена на бесконечное количество полей частиц, симметрии на мировом листе струны эквивалентны специальным преобразованиям, которые смешивают бесконечное количество полей.

Смотрите также

• Сохраненный ток
• Без координат
• Ковариация и контравариантность
• Фиктивная сила
• Галилеевская инвариантность
• Общая ковариация
• Условие гармонических координат
• Инерциальная система отсчета
• Список математических разделов теории относительности
• Стандартная модель (математическая формулировка)
• Теория поглотителя Уиллера – Фейнмана

Рекомендации

Обычные читатели

• Леон Ледерман и Кристофер Т. Хилл (2005) Симметрия и прекрасная Вселенная. Амхерст, Нью-Йорк: Книги Прометея.
• Шумм, Брюс (2004) Вещи в глубине души. Johns Hopkins Univ. Нажмите.
• Виктор Дж. Стенгер (2000) Вневременная реальность: симметрия, простота и множественность вселенных. Буффало Нью-Йорк: Книги Прометея. Гл. 12 - это легкое введение в законы симметрии, инвариантности и сохранения.
• Энтони Зи (2007) Страшная симметрия: поиск красоты в современной физике, 2-е изд. Издательство Принстонского университета. ISBN  978-0-691-00946-9. 1986 1-е изд. опубликовано Macmillan.

Технические читатели

• Брэдинг, К., Кастеллани, Э., ред. (2003) Симметрии в физике: философские размышления. Cambridge Univ. Нажмите.
• -------- (2007) «Симметрии и инварианты в классической физике» в Баттерфилде, Дж. И Джон Эрман, ред., Философия физики Часть B. Северная Голландия: 1331-68.
• Дебс, Т. и Рыжая, М. (2007) Объективность, инвариантность и условность: симметрия в физической науке. Harvard Univ. Нажмите.
• Джон Эрман (2002) "Законы, симметрия и нарушение симметрии: инвариантность, принципы сохранения и объективность. "Обращение к собранию 2002 г. Философия науки ассоциации.
• Г. Калмбах Е.П .: Квантовая математика: WIGRIS. RGN Publications, Дели, 2014 г.
• Майнцер, К. (1996) Симметрии природы. Берлин: Де Грюйтер.
• Муше, А. «Размышления о четырех аспектах симметрии: как физика служит примером рационального мышления». Европейский физический журнал H 38 (2013) 661 hal.archives-ouvertes.fr:hal-00637572
• Томпсон, Уильям Дж. (1994) Угловой момент: иллюстрированное руководство по симметриям вращения для физических систем. Вайли. ISBN  0-471-55264-X.
• Бас Ван Фраассен (1989) Законы и симметрия. Oxford Univ. Нажмите.
• Юджин Вигнер (1967) Симметрии и размышления. Indiana Univ. Нажмите.

внешняя ссылка

• Стэнфордская энциклопедия философии: "Симметрия "- К. Брэдинг и Э. Кастеллани.
• Педагогические пособия к квантовой теории поля Щелкните ссылку на главу 6: Симметрия, инвариантность и сохранение, чтобы получить упрощенное пошаговое введение в симметрию в физике.