Теорема Эренфеста - Ehrenfest theorem

В Теорема Эренфеста, названный в честь Поль Эренфест, австрийский физик-теоретик Лейденский университет, связывает время производная из ожидаемые значения позиции и импульса операторы Икс и п к ожидаемому значению силы ${\displaystyle F=-V'(x)}$ на массивной частице, движущейся в скалярном потенциале ${\displaystyle V(x)}$,^[1]

${\displaystyle m{\frac {d}{dt}}\langle x\rangle =\langle p\rangle ,\;\;{\frac {d}{dt}}\langle p\rangle =-\left\langle V'(x)\right\rangle ~.}$

Хотя на первый взгляд может показаться, что теорема Эренфеста утверждает, что квантово-механические математические ожидания подчиняются классическим уравнениям движения Ньютона, на самом деле это не так.^[2] Если пара ${\displaystyle (\langle x\rangle ,\langle p\rangle )}$ если бы он удовлетворял второму закону Ньютона, правая часть второго уравнения должна была бы быть

${\displaystyle -V'\left(\left\langle x\right\rangle \right),}$

что обычно не то же самое, что

${\displaystyle -\left\langle V'(x)\right\rangle .}$

Если, например, потенциал ${\displaystyle V(x)}$ является кубическим (т.е. пропорциональным ${\displaystyle x^{3}}$), тогда ${\displaystyle V'}$ квадратичная (пропорциональная ${\displaystyle x^{2}}$). Это означает, что в случае второго закона Ньютона правая часть была бы в виде ${\displaystyle \langle x\rangle ^{2}}$, а в теореме Эренфеста - в виде ${\displaystyle \langle x^{2}\rangle }$. Разница между этими двумя величинами - это квадрат неопределенности ${\displaystyle x}$ и поэтому отличен от нуля.

Исключение составляет случай, когда классические уравнения движения линейны, то есть когда ${\displaystyle V}$ квадратично и ${\displaystyle V'}$ линейно. В этом особом случае ${\displaystyle V'\left(\left\langle x\right\rangle \right)}$ и ${\displaystyle \left\langle V'(x)\right\rangle }$ согласен. Таким образом, в случае квантового гармонического осциллятора ожидаемое положение и ожидаемый импульс точно следуют классическим траекториям.

Для общих систем, если волновая функция сильно сконцентрирована вокруг точки ${\displaystyle x_{0}}$, тогда ${\displaystyle V'\left(\left\langle x\right\rangle \right)}$ и ${\displaystyle \left\langle V'(x)\right\rangle }$ будет почти то же самое, так как оба будут примерно равны ${\displaystyle V'(x_{0})}$. В этом случае ожидаемая позиция и ожидаемый импульс будут примерно следуют классическим траекториям, по крайней мере, до тех пор, пока волновая функция остается локализованной в своем положении.^[3]

Теорема Эренфеста - это частный случай более общей связи между математическим ожиданием любого квантово-механический оператор и ожидание коммутатор этого оператора с Гамильтониан системы ^[4][5]

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle A\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle [A,H]\rangle +\left\langle {\frac {\partial A}{\partial t}}\right\rangle ~,}$

куда А - некоторый квантово-механический оператор и ⟨А⟩ это его ожидаемое значение. Эта более общая теорема на самом деле не была выведена Эренфестом (она связана с Вернер Гейзенберг ).^{[нужна цитата ]}

Это наиболее очевидно в Картинка Гейзенберга квантовой механики, где это просто математическое ожидание уравнения движения Гейзенберга. Он обеспечивает математическую поддержку принцип соответствия.

Причина в том, что теорема Эренфеста тесно связана с Теорема Лиувилля из Гамильтонова механика, который включает Скобка Пуассона вместо коммутатора. Дирака практическое правило предполагает, что утверждения в квантовой механике, которые содержат коммутатор, соответствуют утверждениям в классической механике, где коммутатор заменяется скобкой Пуассона, умноженной на я. Это заставляет математические ожидания подчиняться соответствующим классическим уравнениям движения при условии, что гамильтониан не более чем квадратичен по координатам и импульсам. В противном случае уравнения эволюции все еще могут выполняться примерно, при условии небольших колебаний.

Вывод в картине Шредингера

Предположим, что некоторая система сейчас находится в квантовое состояние Φ. Если мы хотим узнать мгновенную производную по времени от математического ожидания А, то есть по определению

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\langle A\rangle &={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int \Phi ^{*}A\Phi \,\mathrm {d} ^{3}x\\&=\int \left({\frac {\partial \Phi ^{*}}{\partial t}}\right)A\Phi \,\mathrm {d} ^{3}x+\int \Phi ^{*}\left({\frac {\partial A}{\partial t}}\right)\Phi \,\mathrm {d} ^{3}x+\int \Phi ^{*}A\left({\frac {\partial \Phi }{\partial t}}\right)\,\mathrm {d} ^{3}x\\&=\int \left({\frac {\partial \Phi ^{*}}{\partial t}}\right)A\Phi \,\mathrm {d} ^{3}x+\left\langle {\frac {\partial A}{\partial t}}\right\rangle +\int \Phi ^{*}A\left({\frac {\partial \Phi }{\partial t}}\right)\,\mathrm {d} ^{3}x\end{aligned}}}$

где мы интегрируем по всему пространству. Если мы применим Уравнение Шредингера, мы находим, что

${\displaystyle {\frac {\partial \Phi }{\partial t}}={\frac {1}{i\hbar }}H\Phi }$

Принимая комплексное сопряжение, находим

${\displaystyle {\frac {\partial \Phi ^{*}}{\partial t}}=-{\frac {1}{i\hbar }}\Phi ^{*}H^{*}=-{\frac {1}{i\hbar }}\Phi ^{*}H.}$ ^[6]

Примечание ЧАС = ЧАС ^∗, поскольку Гамильтониан является Эрмитский. Помещая это в приведенное выше уравнение, мы имеем

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle A\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\int \Phi ^{*}(AH-HA)\Phi ~d^{3}x+\left\langle {\frac {\partial A}{\partial t}}\right\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle [A,H]\rangle +\left\langle {\frac {\partial A}{\partial t}}\right\rangle .}$

Часто (но не всегда) оператор А не зависит от времени, так что его производная равна нулю, и мы можем игнорировать последний член.

Вывод в картине Гейзенберга

в Картинка Гейзенберга, вывод тривиален. Картина Гейзенберга переносит временную зависимость системы на операторы, а не на векторы состояния. Начиная с уравнения движения Гейзенберга

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}A(t)={\frac {\partial A(t)}{\partial t}}+{\frac {1}{i\hbar }}[A(t),H],}$

мы можем вывести теорему Эренфеста, просто проецируя уравнение Гейзенберга на ${\displaystyle |\Psi \rangle }$ справа и ${\displaystyle \langle \Psi |}$ слева или взяв математическое ожидание, поэтому

${\displaystyle \left\langle \Psi \left|{\frac {d}{dt}}A(t)\right|\Psi \right\rangle =\left\langle \Psi \left|{\frac {\partial A(t)}{\partial t}}\right|\Psi \right\rangle +\left\langle \Psi \left|{\frac {1}{i\hbar }}[A(t),H]\right|\Psi \right\rangle ,}$

Мы можем потянуть d/dt из первого члена, поскольку векторы состояния больше не зависят от времени в картине Гейзенберга. Следовательно,

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle A(t)\rangle =\left\langle {\frac {\partial A(t)}{\partial t}}\right\rangle +{\frac {1}{i\hbar }}\left\langle [A(t),H]\right\rangle }$

Общий пример

Однако математические ожидания теоремы в Картина Шредингера также. Для самого общего примера массивного частица переезд в потенциал, гамильтониан просто

${\displaystyle H(x,p,t)={\frac {p^{2}}{2m}}+V(x,t)}$

куда Икс - положение частицы.

Предположим, мы хотим узнать мгновенное изменение ожидания импульса. п. Используя теорему Эренфеста, имеем

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle p\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle [p,H]\rangle +\left\langle {\frac {\partial p}{\partial t}}\right\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle [p,V(x,t)]\rangle ,}$

поскольку оператор п коммутирует сама с собой и не зависит от времени.^[7] Расширяя правую часть, заменяя п к −я∇, мы получили

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle p\rangle =\int \Phi ^{*}V(x,t){\frac {\partial }{\partial x}}\Phi ~dx-\int \Phi ^{*}{\frac {\partial }{\partial x}}(V(x,t)\Phi )~dx~.}$

После применения правило продукта на второй срок имеем

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\langle p\rangle &=\int \Phi ^{*}V(x,t){\frac {\partial }{\partial x}}\Phi ~dx-\int \Phi ^{*}\left({\frac {\partial }{\partial x}}V(x,t)\right)\Phi ~dx-\int \Phi ^{*}V(x,t){\frac {\partial }{\partial x}}\Phi ~dx\\&=-\int \Phi ^{*}\left({\frac {\partial }{\partial x}}V(x,t)\right)\Phi ~dx\\&=\left\langle -{\frac {\partial }{\partial x}}V(x,t)\right\rangle =\langle F\rangle .\end{aligned}}}$

Как объяснялось во введении, этот результат нет говорят, что пара ${\displaystyle (\langle X\rangle ,\langle P\rangle )}$ удовлетворяет Второй закон Ньютона, поскольку правая часть формулы равна ${\displaystyle \langle F(x,t)\rangle ,}$ скорее, чем ${\displaystyle F(\langle X\rangle ,t)}$. Тем не менее, как объяснялось во введении, для состояний, которые сильно локализованы в пространстве, ожидаемое положение и импульс будут примерно следовать классическим траекториям, которые можно рассматривать как пример принцип соответствия.

Точно так же мы можем получить мгновенное изменение математического ожидания позиции.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\langle x\rangle &={\frac {1}{i\hbar }}\langle [x,H]\rangle +\left\langle {\frac {\partial x}{\partial t}}\right\rangle \\&={\frac {1}{i\hbar }}\left\langle \left[x,{\frac {p^{2}}{2m}}+V(x,t)\right]\right\rangle +0\\&={\frac {1}{i\hbar }}\left\langle \left[x,{\frac {p^{2}}{2m}}\right]\right\rangle \\&={\frac {1}{i\hbar 2m}}\left\langle [x,p]{\frac {d}{dp}}p^{2}\right\rangle \\&={\frac {1}{i\hbar 2m}}\langle i\hbar 2p\rangle \\&={\frac {1}{m}}\langle p\rangle \end{aligned}}}$

Этот результат фактически полностью соответствует классическому уравнению.

Вывод уравнения Шредингера из теорем Эренфеста

Выше было установлено, что теоремы Эренфеста являются следствием Уравнение Шредингера. Однако верно и обратное: уравнение Шредингера можно вывести из теорем Эренфеста.^[8] Мы начинаем с

${\displaystyle {\begin{aligned}m{\frac {d}{dt}}\left\langle \Psi (t)\right|{\hat {x}}\left|\Psi (t)\right\rangle &=\left\langle \Psi (t)\right|{\hat {p}}\left|\Psi (t)\right\rangle ,\\{\frac {d}{dt}}\left\langle \Psi (t)\right|{\hat {p}}\left|\Psi (t)\right\rangle &=\left\langle \Psi (t)\right|-V'({\hat {x}})\left|\Psi (t)\right\rangle .\end{aligned}}}$

Применение правило продукта приводит к

${\displaystyle {\begin{aligned}\left\langle {\frac {d\Psi }{dt}}{\Big |}{\hat {x}}{\Big |}\Psi \right\rangle +\left\langle \Psi {\Big |}{\hat {x}}{\Big |}{\frac {d\Psi }{dt}}\right\rangle &=\left\langle \Psi {\Big |}{\frac {\hat {p}}{m}}{\Big |}\Psi \right\rangle ,\\\left\langle {\frac {d\Psi }{dt}}{\Big |}{\hat {p}}{\Big |}\Psi \right\rangle +\left\langle \Psi {\Big |}{\hat {p}}{\Big |}{\frac {d\Psi }{dt}}\right\rangle &=\langle \Psi |-V'({\hat {x}})|\Psi \rangle ,\end{aligned}}}$

Здесь примените Теорема Стоуна, с помощью ЧАС для обозначения квантового генератора перевода времени. Следующий шаг - показать, что это то же самое, что и оператор Гамильтона, используемый в квантовой механике. Из теоремы Стоуна следует

${\displaystyle i\hbar \left|{\frac {d\Psi }{dt}}\right\rangle ={\hat {H}}|\Psi (t)\rangle ~,}$

куда час была введена как нормировочная константа к размерности баланса. Поскольку эти тождества должны выполняться для любого начального состояния, от усреднения можно отказаться и система уравнений коммутатора для ЧАС получены:

${\displaystyle im[{\hat {H}},{\hat {x}}]=\hbar {\hat {p}},\qquad i[{\hat {H}},{\hat {p}}]=-\hbar V'({\hat {x}}).}$

Предполагая, что наблюдаемые координаты и импульс подчиняются каноническое коммутационное соотношение [x̂, p̂] = я. Параметр ${\displaystyle {\hat {H}}=H({\hat {x}},{\hat {p}})}$, уравнения коммутатора можно преобразовать в дифференциальные уравнения^[8][9]

${\displaystyle m{\frac {\partial H(x,p)}{\partial p}}=p,\qquad {\frac {\partial H(x,p)}{\partial x}}=V'(x),}$

чье решение знакомо квантовый гамильтониан

${\displaystyle {\hat {H}}={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}+V({\hat {x}}).}$

Отсюда Уравнение Шредингера был выведен из теорем Эренфеста в предположении канонической коммутационной связи между координатой и импульсом. Если предположить, что координата и импульс коммутируют, один и тот же вычислительный метод приводит к Классическая механика Купмана – фон Неймана, какой Гильбертово пространство формулировка классическая механика.^[8] Следовательно, этот вывод, как и вывод механики Купмана – фон Неймана, показывает, что существенное отличие квантовой механики от классической сводится к значению коммутатора [x̂, p̂].

Следствия теоремы Эренфеста для систем с классической хаотической динамикой обсуждаются в статье Scholarpedia. Эренфест время и хаос. Показано, что из-за экспоненциальной неустойчивости классических траекторий время Эренфеста, на котором существует полное соответствие между квантовой и классической эволюцией, является логарифмически коротким, пропорциональным логарифму типичного квантового числа. Для случая интегрируемой динамики этот временной масштаб намного больше, поскольку он пропорционален некоторой степени квантового числа.

Примечания

1. Зал 2013 Раздел 3.7.5
2. Уилер, Николас. «Замечания относительно статуса и некоторых ответвлений теоремы Эренфеста» (PDF).
3. Зал 2013 п. 78
4. Эренфест, П. (1927). "Bemerkung über die angenäherte Gültigkeit der klassischen Mechanik innerhalb der Quantenmechanik". Zeitschrift für Physik. 45 (7–8): 455–457. Bibcode:1927ZPhy ... 45..455E. Дои:10.1007 / BF01329203.
5. Смит, Хенрик (1991). Введение в квантовую механику. World Scientific Pub Co Inc., стр. 108–109. ISBN  978-9810204754.
6. В обозначение бюстгальтера, ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\langle \phi |x\rangle ={\frac {-1}{i\hbar }}\langle \phi |{\hat {H}}|x\rangle ={\frac {-1}{i\hbar }}\langle \phi |x\rangle H={\frac {-1}{i\hbar }}\Phi ^{*}H,}$куда ${\displaystyle {\hat {H}}}$ - оператор Гамильтона, а ЧАС представляет собой гамильтониан, представленный в координатном пространстве (как в случае вывода выше). Другими словами, мы применили сопряженную операцию ко всему уравнению Шредингера, что изменило порядок операций для ЧАС и Φ.
7. Хотя математическое ожидание импульса ⟨п⟩, что является настоящий номер -значная функция времени, будет иметь зависимость от времени, сам оператор импульса, п нет, на этом рисунке: скорее, оператор импульса является константой линейный оператор на Гильбертово пространство системы. Зависимость математического ожидания от времени на этом рисунке связана с эволюция во времени волновой функции, для которой рассчитывается математическое ожидание. An Для этого случая пример оператора, который имеет временную зависимость: ⟨xt²⟩, куда Икс - обычный оператор позиции и т это просто (неоператорское) время, параметр.
8. Бондарь, Д .; Cabrera, R .; Lompay, R .; Иванов, М .; Рабиц, Х. (2012). «Оперативное динамическое моделирование за пределами квантовой и классической механики». Письма с физическими проверками. 109 (19): 190403. arXiv:1105.4014. Bibcode:2012ПхРвЛ.109с0403Б. Дои:10.1103 / PhysRevLett.109.190403. PMID  23215365.
9. Transtrum, M. K .; Ван Хуэле, Дж. Ф. О. С. (2005). «Коммутационные соотношения для функций операторов». Журнал математической физики. 46 (6): 063510. Bibcode:2005JMP .... 46f3510T. Дои:10.1063/1.1924703.

Рекомендации

• Холл, Брайан К. (2013), Квантовая теория для математиков, Тексты для выпускников по математике, 267, Спрингер, ISBN  978-1461471158