Квантовая геометрия - Quantum geometry

В теоретическая физика, квантовая геометрия набор математических понятий, обобщающих понятия геометрия понимание которых необходимо для описания физических явлений на масштабах расстояний, сравнимых с Планковская длина. На этих расстояниях квантовая механика оказывает глубокое влияние на физические явления.

Квантовая гравитация

Основная статья: квантовая гравитация

Каждая теория квантовая гравитация использует термин «квантовая геометрия» несколько иначе. Теория струн, ведущий кандидат в квантовую теорию гравитации, использует термин квантовая геометрия для описания экзотических явлений, таких как Т-дуальность и другие геометрические двойственности, зеркальная симметрия, топология -смена переходов^{[требуется разъяснение ]}, минимально возможный масштаб расстояния и другие эффекты, бросающие вызов интуиции. С технической точки зрения квантовая геометрия относится к форме пространственно-временное многообразие как испытал D-браны который включает квантовые поправки к метрический тензор, например, мировой лист инстантоны. Например, квантовый объем цикла вычисляется из массы брана завернутый в этот цикл. В качестве другого примера, расстояние между двумя квантово-механическими частицами можно выразить через Метрика Лукашика – Кармовского.^[1]

В альтернативном подходе к квантовой гравитации под названием петля квантовой гравитации (LQG) фраза «квантовая геометрия» обычно относится к формализм в LQG, где наблюдаемые, которые захватывают информацию о геометрии, теперь являются четко определенными операторами на Гильбертово пространство. В частности, некоторые физические наблюдаемые, например площадь, имеют дискретный спектр. Также было показано, что петлевая квантовая геометрия некоммутативный.^[2]

Возможно (но считается маловероятным), что это строго квантованное понимание геометрии будет согласовываться с квантовой картиной геометрии, вытекающей из теории струн.

Другой, довольно успешный подход, который пытается восстановить геометрию пространства-времени из «первых принципов», - это Дискретная лоренцевская квантовая гравитация.

Квантовые состояния как дифференциальные формы

Основная статья: Волновая функция

Смотрите также: Дифференциальные формы

Дифференциальные формы используются для выражения квантовые состояния, с использованием клин:^[3]

${\displaystyle |\psi \rangle =\int \psi (\mathbf {x} ,t)\,|\mathbf {x} ,t\rangle \,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {x} }$

где вектор положения является

${\displaystyle \mathbf {x} =(x^{1},x^{2},x^{3})}$

дифференциал элемент объема является

${\displaystyle \mathrm {d} ^{3}\mathbf {x} =\mathrm {d} x^{1}\!\wedge \mathrm {d} x^{2}\!\wedge \mathrm {d} x^{3}}$

и Икс¹, Икс², Икс³ - произвольный набор координат, верхние индексы указать контравариантность, нижние индексы указывают ковариация, поэтому явно квантовое состояние в дифференциальной форме:

${\displaystyle |\psi \rangle =\int \psi (x^{1},x^{2},x^{3},t)\,|x^{1},x^{2},x^{3},t\rangle \,\mathrm {d} x^{1}\!\wedge \mathrm {d} x^{2}\!\wedge \mathrm {d} x^{3}}$

Интеграл перекрытия определяется как:

${\displaystyle \langle \chi |\psi \rangle =\int \chi ^{*}\psi ~\mathrm {d} ^{3}\mathbf {x} }$

в дифференциальной форме это

${\displaystyle \langle \chi |\psi \rangle =\int \chi ^{*}\psi ~\mathrm {d} x^{1}\!\wedge \mathrm {d} x^{2}\!\wedge \mathrm {d} x^{3}}$

Вероятность найти частицу в некоторой области космоса р дается интегралом по этой области:

${\displaystyle \langle \psi |\psi \rangle =\int _{R}\psi ^{*}\psi ~\mathrm {d} x^{1}\!\wedge \mathrm {d} x^{2}\!\wedge \mathrm {d} x^{3}}$

при условии, что волновая функция нормализованный. Когда р это все трехмерное позиционное пространство, интеграл должен быть 1 если частица существует.

Дифференциальные формы - это подход к описанию геометрии кривые и поверхности координатно-независимым способом. В квантовая механика, идеализированные ситуации возникают в прямоугольных Декартовы координаты, такой как потенциальная яма, частица в коробке, квантовый гармонический осциллятор, и более реалистичные приближения в сферические полярные координаты такие как электроны в атомы и молекулы. Для общности полезен формализм, который можно использовать в любой системе координат.

Смотрите также

• Некоммутативная геометрия

использованная литература

1. Новая концепция вероятностной метрики и ее применения в аппроксимации разрозненных наборов данных, Лукашик Шимон, Вычислительная механика, том 33, номер 4, 299–304, Springer-Verlag 2003 Дои:10.1007 / s00466-003-0532-2
2. Аштекар, Абхай; Коричи, Алехандро; Сапата, Хосе А. (1998), "Квантовая теория геометрии. III. Некоммутативность римановых структур", Классическая и квантовая гравитация, 15 (10): 2955–2972, arXiv:gr-qc / 9806041, Bibcode:1998CQGra..15.2955A, Дои:10.1088/0264-9381/15/10/006, Г-Н  1662415.
3. Дорога к реальности, Роджер Пенроуз, Винтажные книги, 2007, ISBN  0-679-77631-1

дальнейшее чтение

• Суперсимметрия, Demystified, P. Labelle, McGraw-Hill (США), 2010, ISBN  978-0-07-163641-4
• Квантовая механика, Э. Аберс, изд. Пирсона, Эддисон Уэсли, Prentice Hall Inc., 2004 г., ISBN  9780131461000
• Демистификация квантовой механики, Д. МакМахон, Мак Гроу Хилл (США), 2006 г., ISBN  0-07-145546 9
• Квантовая теория поля, Д. МакМахон, Мак Гроу Хилл (США), 2008 г., ISBN  978-0-07-154382-8

внешние ссылки

• Пространство и время: от древности до Эйнштейна и не только
• Квантовая геометрия и ее приложения
• Гиперкомплексные числа в геометрии и физике