Жидкий раствор - Fluid solution

В общая теория относительности, а жидкий раствор является точное решение из Уравнение поля Эйнштейна в котором гравитационное поле полностью создается массой, импульсом и плотностью напряжений жидкость.

В астрофизика, жидкие растворы часто используются как звездные модели. (Было бы полезно думать об идеальном газе как об особом случае идеальной жидкости.) космология, жидкие растворы часто используются как космологические модели.

Математическое определение

В тензор энергии-импульса релятивистской жидкости можно записать в виде^[1]

{ Displaystyle T ^ {ab} = mu , u ^ {a} , u ^ {b} + p , h ^ {ab} + left (u ^ {a} , q ^ {b} + q ^ {a} , u ^ {b} right) + pi ^ {ab}}

Вот

мировые линии жидких элементов - это интегральные кривые вектор скорости ${ Displaystyle и ^ {а}}$ ,
то тензор проекции ${ displaystyle h_ {ab} = g_ {ab} + u_ {a} , u_ {b}}$ проецирует другие тензоры на элементы гиперплоскости, ортогональные ${ Displaystyle и ^ {а}}$ ,
то плотность материи дается скалярной функцией ${ displaystyle mu}$ ,
то давление дается скалярной функцией ${ displaystyle p}$ ,
то вектор теплового потока дан кем-то ${ displaystyle q ^ {a}}$ ,
то тензор вязкого сдвига дан кем-то ${ displaystyle pi ^ {ab}}$ .

Вектор теплового потока и тензор вязкого сдвига равны поперечный к мировым линиям, в том смысле, что

{ displaystyle q_ {a} , u ^ {a} = 0, ; ; pi _ {ab} , u ^ {b} = 0}

Это означает, что они фактически являются трехмерными величинами, а поскольку тензор вязких напряжений равен симметричный и бесследный, у них соответственно три и пять линейно независимый компоненты. Вместе с плотностью и давлением это дает в общей сложности 10 линейно независимых компонентов, которые представляют собой количество линейно независимых компонентов в четырехмерном симметричном тензоре второго ранга.

Особые случаи

Обращает на себя внимание несколько частных случаев жидких растворов (здесь скорость света c = 1):

А идеальная жидкость имеет исчезающий вязкий сдвиг и исчезающий тепловой поток:

{ displaystyle T ^ {ab} = ( mu + p) , u ^ {a} , u ^ {b} + p , g ^ {ab},}

А пыль идеальная жидкость без давления:

{ displaystyle T ^ {ab} = mu , u ^ {a} , u ^ {b},}

А радиационная жидкость идеальная жидкость с ${ displaystyle mu = 3p}$ :

{ displaystyle T ^ {ab} = p , left (4 , u ^ {a} , u ^ {b} + , g ^ {ab} right).}

Последние два часто используются как космологические модели для (соответственно) материальный и радиационный эпох. Обратите внимание, что, хотя обычно для задания жидкости требуется десять функций, для идеальной жидкости требуется только две, а для пыли и радиационных жидкостей требуется только одна функция. Такие решения найти намного проще, чем найти общее жидкое решение.

Среди идеальных жидкостей, отличных от пыли или радиационных жидкостей, наиболее важным частным случаем является случай статическая сферически симметричная идеальная жидкость решения. Их всегда можно сопоставить с Вакуум Шварцшильда по сферической поверхности, поэтому их можно использовать как интерьерные решения в звездной модели. В таких моделях сфера ${ Displaystyle г = г [0]}$ где внутренняя часть жидкости совпадает с внешней стороной вакуума, это поверхность звезды, и давление должно исчезать в пределе, когда радиус приближается ${ displaystyle r_ {0}}$ . Однако в пределе снизу плотность может быть отличной от нуля, а в пределе сверху она, конечно, равна нулю. В последние годы было предложено несколько удивительно простых схем получения все эти решения.

Тензор Эйнштейна

Компоненты тензора, вычисленные относительно поле кадра вместо координатного базиса часто называют физические компоненты, потому что это компоненты, которые в принципе могут быть измерены наблюдателем.

В частном случае идеальная жидкость, адаптированная рама

{ displaystyle { vec {e}} _ {0}, ; { vec {e}} _ {1}, ; { vec {e}} _ {2}, ; { vec {e }} _ {3}}

(первый - это подобный времени единица измерения векторное поле, последние три космический единичные векторные поля) всегда можно найти, в котором тензор Эйнштейна принимает простой вид

{ displaystyle G ^ {{ widehat {a ,}} { widehat {b ,}}} = 8 pi , left [{ begin {matrix} mu & 0 & 0 & 0 0 & p & 0 & 0 0 & 0 & p & 0 0 & 0 & 0 & p end {matrix}} right]}

где ${ displaystyle mu}$ это плотность энергии и ${ displaystyle p}$ это давление жидкости. Здесь времяподобное единичное векторное поле ${ displaystyle { vec {e}} _ {0}}$ везде касается мировых линий наблюдателей, которые сопутствуют жидким элементам, поэтому только что упомянутые плотность и давление измеряются сопутствующими наблюдателями. Это те же самые величины, которые фигурируют в выражении общего базиса координат, данном в предыдущем разделе; чтобы увидеть это, просто положите ${ displaystyle { vec {u}} = { vec {e}} _ {0}}$ . По форме физических компонентов легко увидеть, что группа изотропии любой совершенной жидкости изоморфна трехмерной группе Ли SO (3), обычной группе вращений.

Тот факт, что эти результаты точно такие же для искривленного пространства-времени, что и для гидродинамики в плоских Пространство-время Минковского является выражением принцип эквивалентности.

Собственные значения

В характеристический многочлен тензора Эйнштейна в идеальной жидкости должен иметь вид

{ Displaystyle чи ( лямбда) = влево ( лямбда -8 пи му вправо) , влево ( лямбда -8 пи п вправо) ^ {3}}

где ${ displaystyle mu, , p}$ снова являются плотностью и давлением жидкости, измеренными наблюдателями, сопровождающими элементы жидкости. (Обратите внимание, что эти количества могут варьироваться внутри жидкости.) Записывая это и применяя Основа Грёбнера методы для упрощения полученных алгебраических соотношений, мы находим, что коэффициенты характеристики должны удовлетворять следующим двум алгебраически независимый (и инвариантные) условия:

{ displaystyle 12a_ {4} + a_ {2} ^ {2} -3a_ {1} a_ {3} = 0}

{ displaystyle a_ {1} a_ {2} a_ {3} -9a_ {3} ^ {2} -9a_ {1} ^ {2} a_ {4} + 32a_ {2} a_ {4} = 0}

Но согласно Личности Ньютона, следы степеней тензора Эйнштейна связаны с этими коэффициентами следующим образом:

{ displaystyle {G ^ {a}} _ {a} = t_ {1} = a_ {1}}

{ displaystyle {G ^ {a}} _ {b} , {G ^ {b}} _ {a} = t_ {2} = a_ {1} ^ {2} -2a_ {2}}

{ displaystyle {G ^ {a}} _ {b} , {G ^ {b}} _ {c} , {G ^ {c}} _ {a} = t_ {3} = a_ {1} ^ {3} -3a_ {1} a_ {2} + 3a_ {3}}

{ displaystyle {G ^ {a}} _ {b} , {G ^ {b}} _ {c} , {G ^ {c}} _ {d} , {G ^ {d}} _ {a} = t_ {4} = a_ {1} ^ {4} -4a_ {1} ^ {2} a_ {2} + 4a_ {1} a_ {3} + 2a_ {2} ^ {2} -a_ {4}}

так что мы можем полностью переписать две вышеупомянутые величины в терминах следов сил. Очевидно, что это скалярные инварианты, и они должны тождественно обращаться в нуль в случае идеального жидкого решения:

{ displaystyle t_ {2} ^ {3} + 4t_ {3} ^ {2} + t_ {1} ^ {2} t_ {4} -4t_ {2} t_ {4} -2t_ {1} t_ {2 } t_ {3} = 0}

{ displaystyle t_ {1} ^ {4} + 7t_ {2} ^ {2} -8t_ {1} ^ {2} t_ {2} + 12t_ {1} t_ {3} -12t_ {4} = 0}

Обратите внимание, что это ничего не предполагает ни о каких возможных уравнение состояния соотнесение давления и плотности жидкости; мы предполагаем только, что у нас есть одно простое и одно тройное собственное значение.

В случае пылевого раствора (исчезающее давление) эти условия значительно упрощаются:

{ Displaystyle а_ {2} , = а_ {3} = а_ {4} = 0}

или

{ Displaystyle t_ {2} = t_ {1} ^ {2}, ; ; t_ {3} = t_ {1} ^ {3}, ; ; t_ {4} = t_ {1} ^ { 4}}

В обозначениях тензорной гимнастики это можно записать с помощью Скаляр Риччи так как:

{ displaystyle {G ^ {a}} _ {a} = - R}

{ displaystyle {G ^ {a}} _ {b} , {G ^ {b}} _ {a} = R ^ {2}}

{ displaystyle {G ^ {a}} _ {b} , {G ^ {b}} _ {c} , {G ^ {c}} _ {a} = - R ^ {3}}

{ displaystyle {G ^ {a}} _ {b} , {G ^ {b}} _ {c} , {G ^ {c}} _ {d} , {G ^ {d}} _ {a} = - R ^ {4}}

В случае радиационной жидкости критерии становятся

{ displaystyle a_ {1} = 0, ; 27 , a_ {3} ^ {2} + 8a_ {2} ^ {3} = 0, ; 12 , a_ {4} + a_ {2} ^ {2} = 0}

или

{ displaystyle t_ {1} = 0,7 , t_ {3} ^ {2} -t_ {2} , t_ {4} = 0, ; 12 , t_ {4} -7 , t_ { 2} ^ {2} = 0}

При использовании этих критериев необходимо следить за тем, чтобы наибольшее собственное значение принадлежало подобный времени собственный вектор, так как есть Лоренцевы многообразия, удовлетворяющая этому критерию собственного значения, в котором большое собственное значение принадлежит космический собственный вектор, и они не могут представлять радиационные жидкости.

Коэффициенты характеристики часто оказываются очень сложными, а следы не намного лучше; при поиске решений почти всегда лучше вычислить компоненты тензора Эйнштейна по отношению к соответствующим образом адаптированной системе отсчета, а затем напрямую уничтожить соответствующие комбинации компонентов. Однако, когда нет очевидного адаптированного кадра, эти критерии собственных значений иногда могут быть полезны, особенно когда они используются в сочетании с другими соображениями.

Эти критерии часто могут быть полезны для выборочной проверки предполагаемых идеальных жидких растворов, и в этом случае коэффициенты характеристики часто намного проще, чем они были бы для более простой несовершенной жидкости.

Примеры

Примечательные индивидуальные решения для пыли перечислены в статье о решения для пыли. Примечательные идеальные жидкие решения с положительным давлением включают различные модели радиационной жидкости из космологии, в том числе

Радиационные жидкости FRW, часто называемый радиационный Модели FRW.

В дополнение к семейству статических сферически симметричных совершенных жидкостей, заслуживающие внимания решения с вращающимися жидкостями включают

Жидкость Вальквиста, имеющий симметрию, аналогичную симметрии Керровский вакуум, что привело к первоначальным надеждам (с тех пор как они были опровергнуты), что он может обеспечить внутреннее решение для простой модели вращающейся звезды.

Смотрите также

Раствор для пыли, для важного частного случая пылевых растворов,
Точные решения в общей теории относительности, для точных решений в целом
Группа Лоренца
Идеальная жидкость, для идеальных жидкостей в физике в целом,
Релятивистские диски, для интерпретации релятивистских дисков в терминах идеальных жидкостей.

использованная литература

^ Эккарт, Карл (1940). «Термодинамика необратимых процессов III. Релятивистская теория простой жидкости». Phys. Rev. 58: 919. Bibcode:1940PhRv ... 58..919E. Дои:10.1103 / PhysRev.58.919.

Stephani, H .; Kramer, D .; MacCallum, M .; Hoenselaers, C .; Херлт, Э. (2003). Точные решения уравнений поля Эйнштейна (2-е изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-46136-7. Дает множество примеров точных идеальных решений для жидкостей и пыли.
Стефани, Ганс (1996). Общая теория относительности (второе издание). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-37941-5.. См. Главу 8 для обсуждения релятивистских жидкостей и термодинамики.
Delgaty, M. S. R .; Лейк, Кайл (1998). «Физическая приемлемость изолированных, статических, сферически-симметричных, идеальных жидких решений уравнений Эйнштейна». Comput. Phys. Сообщество. 115 (2–3): 395–415. arXiv:gr-qc / 9809013. Bibcode:1998CoPhC.115..395D. Дои:10.1016 / S0010-4655 (98) 00130-1.. В этой обзорной статье рассматриваются статические сферически-симметричные жидкие растворы, известные примерно до 1995 года.
Озеро, Кайл (2003). «Все статические сферически-симметричные идеальные жидкие решения уравнений Эйнштейна». Phys. Ред. D. 67 (10): 104015. arXiv:gr-qc / 0209104. Bibcode:2003ПхРвД..67дж4015Л. Дои:10.1103 / PhysRevD.67.104015.. В этой статье описывается одна из нескольких недавно найденных схем для получения всех статических сферически-симметричных идеальных жидких решений в общей теории относительности.

[1] Эккарт, Карл (1940). «Термодинамика необратимых процессов III. Релятивистская теория простой жидкости». Phys. Rev. 58: 919. Bibcode:1940PhRv ... 58..919E. Дои:10.1103 / PhysRev.58.919.

[1]