Параметризованный постньютоновский формализм - Parameterized post-Newtonian formalism

В общей теории относительности и многих альтернативах ей постньютоновский формализм это вычислительный инструмент, который выражает (Нелинейные) уравнения гравитации Эйнштейна по низшим отклонениям от Закон всемирного тяготения Ньютона. Это позволяет приближения к Эйнштейн уравнения, которые должны быть составлены в случае слабых полей. Для повышения точности можно добавить члены более высокого порядка, но для сильных полей может быть предпочтительнее решать полные уравнения численно. Некоторые из этих постньютоновских приближений представляют собой разложения по малому параметру, который представляет собой отношение скорости вещества, формирующего гравитационное поле, к скорости скорость света, который в данном случае лучше называть скорость гравитации. В пределе, когда основная скорость гравитации становится бесконечной, постньютоновское расширение сводится к закону Ньютона сила тяжести.

В параметризованный постньютоновский формализм или же Формализм PPN, является версией этой формулировки, которая явно детализирует параметры, в которых общая теория гравитации может отличаться от ньютоновской гравитации. Он используется как инструмент для сравнения ньютоновской и эйнштейновской гравитации в пределе, в котором гравитационное поле слабый и создается объектами, движущимися медленно по сравнению со скоростью света. В общем, формализм PPN применим ко всем метрическим теориям гравитации, в которых все тела удовлетворяют теории Эйнштейна. принцип эквивалентности (EEP). В формализме PPN скорость света остается постоянной, и предполагается, что метрический тензор всегда симметричен.

История

Самые ранние параметризации постньютоновского приближения были выполнены сэром Артур Стэнли Эддингтон в 1922 году. Однако они имели дело исключительно с вакуумным гравитационным полем вне изолированного сферического тела. Кен Нордтведт (1968, 1969) расширил это понятие, включив семь параметров в статьи, опубликованные в 1968 и 1969 годах. Клиффорд Мартин Уилл представил описание небесных тел с помощью напряженной непрерывной материи в 1971 году.

Описанные здесь версии основаны на Вэй-Тоу Ни (1972), Уилл и Нордведт (1972), Чарльз В. Миснер и другие. (1973) (см. Гравитация (книга) ) и Will (1981, 1993) и имеют десять параметров.

Бета-дельта-запись

Десять постньютоновские параметры полностью характеризуют поведение теории в слабом поле. Формализм был ценным инструментом в тесты общей теории относительности. В обозначениях Уилла (1971), Ни (1972) и Миснера и др. (1973) они имеют следующие значения:

${\displaystyle \gamma }$	Сколько искривления пространства ${\displaystyle g_{ij}}$ производится единицей массы покоя?
${\displaystyle \beta }$	Сколько нелинейность есть ли в суперпозиция закон гравитации ${\displaystyle g_{00}}$?
${\displaystyle \beta _{1}}$	Сколько силы тяжести создается единицей кинетическая энергия ${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{2}}\rho _{0}v^{2}}$?
${\displaystyle \beta _{2}}$	Сколько силы тяжести создается единицей гравитационный потенциал энергия ${\displaystyle \rho _{0}/U}$?
${\displaystyle \beta _{3}}$	Сколько гравитации создается единицей внутренней энергии ${\displaystyle \rho _{0}\Pi }$?
${\displaystyle \beta _{4}}$	Сколько гравитации создается единичным давлением ${\displaystyle p}$?
${\displaystyle \zeta }$	Разница между радиальной и поперечной кинетической энергией силы тяжести
${\displaystyle \eta }$	Разница между радиальным и поперечным напряжением силы тяжести
${\displaystyle \Delta _{1}}$	Сколько перетаскивания инерциальные системы отсчета ${\displaystyle g_{0j}}$ производится единицей импульс ${\displaystyle \rho _{0}v}$?
${\displaystyle \Delta _{2}}$	Разница между радиальным и поперечным импульсом при перетаскивании инерциальных систем отсчета

${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ симметричный метрический тензор 4 на 4 с индексами ${\displaystyle \mu }$ и ${\displaystyle \nu }$ от 0 до 3. Ниже индекс 0 будет указывать направление времени и индексы. ${\displaystyle i}$ и ${\displaystyle j}$ (переход от 1 к 3) укажет пространственные направления.

В теории Эйнштейна значения этих параметров выбираются (1) для соответствия закону всемирного тяготения Ньютона в пределе скоростей и массы, приближающихся к нулю, (2) для обеспечения сохранение энергии, масса, импульс, и угловой момент, и (3) сделать уравнения независимыми от система отсчета. В этих обозначениях общая теория относительности имеет параметры PPN${\displaystyle \gamma =\beta =\beta _{1}=\beta _{2}=\beta _{3}=\beta _{4}=\Delta _{1}=\Delta _{2}=1}$ и ${\displaystyle \zeta =\eta =0.}$

Обозначение альфа-дзета

В более поздних обозначениях Уилла и Нордтведта (1972) и Уилла (1981, 1993, 2006) используется другой набор из десяти параметров PPN.

${\displaystyle \gamma =\gamma }$

${\displaystyle \beta =\beta }$

${\displaystyle \alpha _{1}=7\Delta _{1}+\Delta _{2}-4\gamma -4}$

${\displaystyle \alpha _{2}=\Delta _{2}+\zeta -1}$

${\displaystyle \alpha _{3}=4\beta _{1}-2\gamma -2-\zeta }$

${\displaystyle \zeta _{1}=\zeta }$

${\displaystyle \zeta _{2}=2\beta +2\beta _{2}-3\gamma -1}$

${\displaystyle \zeta _{3}=\beta _{3}-1}$

${\displaystyle \zeta _{4}=\beta _{4}-\gamma }$

${\displaystyle \xi }$ рассчитывается из ${\displaystyle 3\eta =12\beta -3\gamma -9+10\xi -3\alpha _{1}+2\alpha _{2}-2\zeta _{1}-\zeta _{2}}$

Смысл этого в том, что ${\displaystyle \alpha _{1}}$, ${\displaystyle \alpha _{2}}$ и ${\displaystyle \alpha _{3}}$ измерить степень предпочтительных эффектов кадра. ${\displaystyle \zeta _{1}}$, ${\displaystyle \zeta _{2}}$, ${\displaystyle \zeta _{3}}$, ${\displaystyle \zeta _{4}}$ и ${\displaystyle \alpha _{3}}$ измерить нарушение сохранения энергии, количества движения и момента количества движения.

В этих обозначениях общая теория относительности имеет параметры PPN

${\displaystyle \gamma =\beta =1}$ и ${\displaystyle \alpha _{1}=\alpha _{2}=\alpha _{3}=\zeta _{1}=\zeta _{2}=\zeta _{3}=\zeta _{4}=\xi =0}$

Математическая связь между метрикой, метрическими потенциалами и параметрами PPN для этого обозначения:

${\displaystyle {\begin{matrix}g_{00}=-1+2U-2\beta U^{2}-2\xi \Phi _{W}+(2\gamma +2+\alpha _{3}+\zeta _{1}-2\xi )\Phi _{1}+2(3\gamma -2\beta +1+\zeta _{2}+\xi )\Phi _{2}\\\ +2(1+\zeta _{3})\Phi _{3}+2(3\gamma +3\zeta _{4}-2\xi )\Phi _{4}-(\zeta _{1}-2\xi )A-(\alpha _{1}-\alpha _{2}-\alpha _{3})w^{2}U\\\ -\alpha _{2}w^{i}w^{j}U_{ij}+(2\alpha _{3}-\alpha _{1})w^{i}V_{i}+O(\epsilon ^{3})\end{matrix}}}$

${\displaystyle g_{0i}=-\textstyle {\frac {1}{2}}(4\gamma +3+\alpha _{1}-\alpha _{2}+\zeta _{1}-2\xi )V_{i}-\textstyle {\frac {1}{2}}(1+\alpha _{2}-\zeta _{1}+2\xi )W_{i}-\textstyle {\frac {1}{2}}(\alpha _{1}-2\alpha _{2})w^{i}U-\alpha _{2}w^{j}U_{ij}+O(\epsilon ^{\frac {5}{2}})}$

${\displaystyle g_{ij}=(1+2\gamma U)\delta _{ij}+O(\epsilon ^{2})}$

где суммируются повторные индексы. ${\displaystyle \epsilon }$ порядка потенциалов, таких как ${\displaystyle U}$, квадратная величина координатных скоростей вещества и т. д. ${\displaystyle w^{i}}$ - вектор скорости системы координат PPN относительно средней системы покоя Вселенной. ${\displaystyle w^{2}=\delta _{ij}w^{i}w^{j}}$ - квадратная величина этой скорости. ${\displaystyle \delta _{ij}=1}$ если и только если ${\displaystyle i=j}$, ${\displaystyle 0}$ иначе.

Есть десять метрических потенциалов, ${\displaystyle U}$, ${\displaystyle U_{ij}}$, ${\displaystyle \Phi _{W}}$, ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle \Phi _{1}}$, ${\displaystyle \Phi _{2}}$, ${\displaystyle \Phi _{3}}$, ${\displaystyle \Phi _{4}}$, ${\displaystyle V_{i}}$ и ${\displaystyle W_{i}}$, по одному для каждого параметра PPN, чтобы обеспечить уникальное решение. 10 линейных уравнений с 10 неизвестными решаются путем инвертирования матрицы 10 на 10. Эти метрические потенциалы имеют такие формы, как:

${\displaystyle U(\mathbf {x} ,t)=\int {\rho (\mathbf {x} ',t) \over |\mathbf {x} -\mathbf {x} '|}d^{3}x'}$

что просто еще один способ записать ньютоновский гравитационный потенциал,

${\displaystyle U_{ij}=\int {\rho (\mathbf {x} ',t)(x-x')_{i}(x-x')_{j} \over |\mathbf {x} -\mathbf {x} '|^{3}}d^{3}x'}$

${\displaystyle \Phi _{W}=\int {\rho (\mathbf {x} ',t)\rho (\mathbf {x} '',t)(x-x')_{i} \over |\mathbf {x} -\mathbf {x} '|^{3}}\left({(x'-x'')^{i} \over |\mathbf {x} -\mathbf {x} '|}-{(x-x'')^{i} \over |\mathbf {x} '-\mathbf {x} ''|}\right)d^{3}x'd^{3}x''}$

${\displaystyle A=\int {\rho (\mathbf {x} ',t)\left(\mathbf {v} (\mathbf {x} ',t)\cdot (\mathbf {x} -\mathbf {x} ')\right)^{2} \over |\mathbf {x} -\mathbf {x} '|^{3}}d^{3}x'}$

${\displaystyle \Phi _{1}=\int {\rho (\mathbf {x} ',t)\mathbf {v} (\mathbf {x} ',t)^{2} \over |\mathbf {x} -\mathbf {x} '|}d^{3}x'}$

${\displaystyle \Phi _{2}=\int {\rho (\mathbf {x} ',t)U(\mathbf {x} ',t) \over |\mathbf {x} -\mathbf {x} '|}d^{3}x'}$

${\displaystyle \Phi _{3}=\int {\rho (\mathbf {x} ',t)\Pi (\mathbf {x} ',t) \over |\mathbf {x} -\mathbf {x} '|}d^{3}x'}$

${\displaystyle \Phi _{4}=\int {p(\mathbf {x} ',t) \over |\mathbf {x} -\mathbf {x} '|}d^{3}x'}$

${\displaystyle V_{i}=\int {\rho (\mathbf {x} ',t)v(\mathbf {x} ',t)_{i} \over |\mathbf {x} -\mathbf {x} '|}d^{3}x'}$

${\displaystyle W_{i}=\int {\rho (\mathbf {x} ',t)\left(\mathbf {v} (\mathbf {x} ',t)\cdot (\mathbf {x} -\mathbf {x} ')\right)(x-x')_{i} \over |\mathbf {x} -\mathbf {x} '|^{3}}d^{3}x'}$

куда ${\displaystyle \rho }$ - плотность массы покоя, ${\displaystyle \Pi }$ - внутренняя энергия на единицу массы покоя, ${\displaystyle p}$ - давление, измеренное в локальной свободно падающей системе отсчета, мгновенно сопутствующей с веществом, и ${\displaystyle \mathbf {v} }$ - координатная скорость вещества.

Тензор энергии-напряжения для идеальной жидкости принимает вид

${\displaystyle T^{00}=\rho (1+\Pi +\mathbf {v} ^{2}+2U)}$

${\displaystyle T^{0i}=\rho (1+\Pi +\mathbf {v} ^{2}+2U+p/\rho )v^{i}}$

${\displaystyle T^{ij}=\rho (1+\Pi +\mathbf {v} ^{2}+2U+p/\rho )v^{i}v^{j}+p\delta ^{ij}(1-2\gamma U)}$

Как применять PPN

Примеры процесса применения формализма PPN к альтернативным теориям гравитации можно найти в Will (1981, 1993). Это процесс из девяти шагов:

• Шаг 1: Определите переменные, которые могут включать: (а) динамические гравитационные переменные, такие как метрика ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$, скалярное поле ${\displaystyle \phi }$, векторное поле ${\displaystyle K_{\mu }}$, тензорное поле ${\displaystyle B_{\mu \nu }}$ и так далее; (б) априорные геометрические переменные, такие как метрика плоского фона ${\displaystyle \eta _{\mu \nu }}$, функция космического времени ${\displaystyle t}$, и так далее; (c) материя и переменные негравитационного поля.
• Шаг 2: Установите космологические граничные условия. Предположите однородную изотропную космологию с изотропными координатами в системе покоя Вселенной. Полное космологическое решение может понадобиться, а может и не потребоваться. Назовите результаты ${\displaystyle g_{\mu \nu }^{(0)}=\operatorname {diag} (-c_{0},c_{1},c_{1},c_{1})}$, ${\displaystyle \phi _{0}}$, ${\displaystyle K_{\mu }^{(0)}}$, ${\displaystyle B_{\mu \nu }^{(0)}}$.
• Шаг 3. Получите новые переменные из ${\displaystyle h_{\mu \nu }=g_{\mu \nu }-g_{\mu \nu }^{(0)}}$, с ${\displaystyle \phi -\phi _{0}}$, ${\displaystyle K_{\mu }-K_{\mu }^{(0)}}$ или же ${\displaystyle B_{\mu \nu }-B_{\mu \nu }^{(0)}}$ если нужно.
• Шаг 4: подставьте эти формы в уравнения поля, оставив только те члены, которые необходимы для получения окончательного согласованного решения для ${\displaystyle h_{\mu \nu }}$. Замените источники материи на идеальный тензор напряжений жидкости.
• Шаг 5: Решите для ${\displaystyle h_{00}}$ к ${\displaystyle O(2)}$. Предполагая, что это стремится к нулю вдали от системы, мы получаем форму ${\displaystyle h_{00}=2\alpha U}$ куда ${\displaystyle U}$ - ньютоновский гравитационный потенциал и ${\displaystyle \alpha }$ может быть сложной функцией, включая гравитационную «постоянную» ${\displaystyle G}$. Метрика Ньютона имеет вид ${\displaystyle g_{00}=-c_{0}+2\alpha U}$, ${\displaystyle g_{0j}=0}$, ${\displaystyle g_{ij}=\delta _{ij}c_{1}}$. Работа в единицах, в которых гравитационная «постоянная», измеренная сегодня вдали от гравитирующей материи, равна единице, так что установите ${\displaystyle G_{\mathrm {today} }=\alpha /c_{0}c_{1}=1}$.
• Шаг 6: Из линеаризованных версий уравнений поля решите для ${\displaystyle h_{ij}}$ к ${\displaystyle O(2)}$ и ${\displaystyle h_{0j}}$ к ${\displaystyle O(3)}$.
• Шаг 7: Решите для ${\displaystyle h_{00}}$ к ${\displaystyle O(4)}$. Это самый запутанный шаг, связанный со всеми нелинейностями в уравнениях поля. Тензор энергии-импульса также необходимо разложить до достаточного порядка.
• Шаг 8: Преобразование в локальные квазидекартовы координаты и стандартную шкалу PPN.
• Шаг 9: сравнивая результат для ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ с уравнениями, представленными в PPN с альфа-дзета параметрами, считайте значения параметра PPN.

Сравнение теорий гравитации

Основная статья: Альтернативы общей теории относительности § Параметрические постньютоновские параметры для ряда теорий

Таблицу, в которой сравниваются параметры PPN для 23 теорий гравитации, можно найти в Альтернативы общей теории относительности # Параметрические постньютоновские параметры для ряда теорий.

Большинство метрических теорий гравитации можно разделить на категории. Скалярные теории гравитации включают конформно плоские теории и стратифицированные теории с ортогональными во времени пространственными срезами.

В конформно-плоских теориях, таких как Теория гравитации Нордстрёма метрика дается ${\displaystyle \mathbf {g} =f{\boldsymbol {\eta }}}$ и для этой метрики ${\displaystyle \gamma =-1}$, что резко расходится с наблюдениями. В стратифицированных теориях, таких как Йылмаз теория гравитации метрика дается ${\displaystyle \mathbf {g} =f_{1}\mathbf {d} t\otimes \mathbf {d} t+f_{2}{\boldsymbol {\eta }}}$ и для этой метрики ${\displaystyle \alpha _{1}=-4(\gamma +1)}$, что также резко расходится с наблюдениями.

Другой класс теорий - это квазилинейные теории, такие как Теория гравитации Уайтхеда. Для этих ${\displaystyle \xi =\beta }$. Относительные величины гармоник земных приливов зависят от ${\displaystyle \xi }$ и ${\displaystyle \alpha _{2}}$, и измерения показывают, что квазилинейные теории не согласуются с наблюдениями за земными приливами.

Другой класс метрических теорий - это биметрическая теория. Для всех этих ${\displaystyle \alpha _{2}}$ не равно нулю. Из прецессии вращения Солнца мы знаем, что ${\displaystyle \alpha _{2}<4\times 10^{-7}}$, что фактически исключает биметрические теории.

Другой класс метрических теорий - это скалярные тензорные теории, Такие как Теория Бранса – Дике. Для всего этого ${\displaystyle \gamma =\textstyle {\frac {1+\omega }{2+\omega }}}$. Предел ${\displaystyle \gamma -1<2.3\times 10^{-5}}$ Значит это ${\displaystyle \omega }$ должен быть очень большим, поэтому эти теории выглядят все менее и менее вероятными по мере повышения точности экспериментов.

Последний основной класс метрических теорий - это векторно-тензорные теории. Для всех них гравитационная «постоянная» меняется со временем и ${\displaystyle \alpha _{2}}$ не равно нулю. Эксперименты по лазерной локации Луны жестко ограничивают изменение гравитационной «постоянной» со временем и ${\displaystyle \alpha _{2}<4\times 10^{-7}}$, так что эти теории также выглядят маловероятными.

Есть несколько метрических теорий гравитации, которые не попадают в вышеуказанные категории, но имеют схожие проблемы.

Точность экспериментальных испытаний

Границы параметров PPN из Will (2006) и Will (2014)

Параметр	Граница	Последствия	Эксперимент
${\displaystyle \gamma -1}$	2.3×10−5	Задержка по времени, отклонение света	Кассини отслеживание
${\displaystyle \beta -1}$	8×10−5	Сдвиг перигелия	Сдвиг перигелия
${\displaystyle \beta -1}$	2.3×10−4	Эффект Нордтведта с допущением ${\displaystyle \eta _{N}=4\beta -\gamma -3}$	Эффект Нордтведта
${\displaystyle \xi }$	4×10−9	Прецессия спина	Миллисекундные пульсары
${\displaystyle \alpha _{1}}$	1×10−4	Орбитальная поляризация	Лазерная локация Луны
${\displaystyle \alpha _{1}}$	4×10−5	Орбитальная поляризация	PSR J1738 + 0333
${\displaystyle \alpha _{2}}$	2×10−9	Прецессия спина	Миллисекундные пульсары
${\displaystyle \alpha _{3}}$	4×10−20	Самоускорение	Статистика замедления вращения пульсара
${\displaystyle \eta _{N}}$	9×10−4	Эффект Нордтведта	Лазерная локация Луны
${\displaystyle \zeta _{1}}$	0.02	Комбинированные границы PPN	—
${\displaystyle \zeta _{2}}$	4×10−5†	Ускорение двоичного пульсара	ПСР 1913 + 16
${\displaystyle \zeta _{3}}$	1×10−8	3-й закон Ньютона	Лунное ускорение
${\displaystyle \zeta _{4}}$	0.006‡	—	Крейцеровский эксперимент

† Уилл, К. М. (10 июля 1992 г.). «Сохраняется ли импульс? Тест в двоичной системе PSR 1913 + 16». Письма в астрофизический журнал. 393 (2): L59 – L61. Bibcode:1992ApJ ... 393L..59W. Дои:10.1086/186451. ISSN  0004-637X.

‡ На основе ${\displaystyle 6\zeta _{4}=3\alpha _{3}+2\zeta _{1}-3\zeta _{3}}$ от Уилла (1976, 2006). Теоретически возможно^{[требуется разъяснение ]} для альтернативной модели гравитации, чтобы обойти эту границу, и в этом случае граница ${\displaystyle |\zeta _{4}|<0.4}$ из Ni (1972).

Смотрите также

• Физический портал

• Альтернативы общей теории относительности # Параметрические постньютоновские параметры для ряда теорий
• Линеаризованная гравитация
• Параметр Пескина – Такеучи То же, что и PPN, но для электрослабая теория вместо гравитация
• Тесты общей теории относительности

Рекомендации

• Эддингтон, А. С. (1922) Математическая теория относительности, Cambridge University Press.
• Миснер, К. В., Торн, К. С. и Уиллер, Дж. А. (1973) Gravitation, W.H. Freeman and Co.
• Нордтведт, Кеннет (1968-05-25). «Принцип эквивалентности для массивных тел. II. Теория». Физический обзор. Американское физическое общество (APS). 169 (5): 1017–1025. Дои:10.1103 / Physrev.169.1017. ISSN  0031-899X.
• Нордтведт, К. (1969-04-25).«Принцип эквивалентности массивных тел, включая энергию вращения и радиационное давление». Физический обзор. Американское физическое общество (APS). 180 (5): 1293–1298. Дои:10.1103 / Physrev.180.1293. ISSN  0031-899X.
• Уилл, Клиффорд М. (1971). «Теоретические основы для проверки релятивистской гравитации. II. Параметризованная постньютоновская гидродинамика и эффект Нордтведта». Астрофизический журнал. IOP Publishing. 163: 611-628. Дои:10.1086/150804. ISSN  0004-637X.
• Уилл К. М. (1976). «Активная масса в релятивистской гравитации - Теоретическая интерпретация эксперимента Крейцера». Астрофизический журнал. IOP Publishing. 204: 224-234. Дои:10.1086/154164. ISSN  0004-637X.
• Уилл К. М. (1981, 1993) Теория и эксперимент в гравитационной физике, Cambridge University Press. ISBN  0-521-43973-6.
• Уилл К. М. (2006) Противостояние общей теории относительности и эксперимента. https://web.archive.org/web/20070613073754/http://relativity.livingreviews.org/Articles/lrr-2006-3/
• Уилл, Клиффорд М. (11.06.2014). «Противостояние общей теории относительности и эксперимента». Живые обзоры в теории относительности. ООО "Спрингер Сайенс энд Бизнес Медиа". 17 (1): 4. Дои:10.12942 / lrr-2014-4. ISSN  2367-3613.
• Уилл, Клиффорд М .; Нордтведт, Кеннет младший (1972). "Законы сохранения и предпочтительные системы отсчета в релятивистской гравитации. I. Теории предпочтительных систем отсчета и расширенный формализм PPN". Астрофизический журнал. IOP Publishing. 177: 757. Дои:10.1086/151754. ISSN  0004-637X.