Теория Калуцы – Клейна - Kaluza–Klein theory

Эта статья о гравитации и электромагнетизме. Для математического обобщения K теория, видеть КК-теория.

В физика, Теория Калуцы – Клейна (KK теория) является классическим единая теория поля из гравитация и электромагнетизм построенный на идее пятое измерение сверх обычных четырех пространство и время и считался важным предшественником теория струн. Гуннар Нордстрём имел более раннюю похожую идею. Но в этом случае к электромагнитному векторному потенциалу был добавлен пятый компонент, представляющий ньютоновский гравитационный потенциал и записывающий уравнения Максвелла в 5 измерениях.^[1]

Пятимерная (5D) теория развивалась в три этапа. Первоначальная гипотеза пришла из Теодор Калуца, который отправил свои результаты Эйнштейну в 1919 году,^[2] и опубликовал их в 1921 году.^[3] Калуца ​​представил чисто классическое расширение общая теория относительности до 5D, с метрическим тензором из 15 компонентов. 10 компонентов отождествляются с четырехмерной метрикой пространства-времени, четыре компонента с электромагнитным векторным потенциалом и один компонент с неопознанным скалярное поле иногда называют "радион "или" дилатон ". Соответственно, 5D уравнения Эйнштейна дают 4D Уравнения поля Эйнштейна, то Уравнения Максвелла для электромагнитное поле, и уравнение для скалярного поля. Калуца ​​также представил гипотезу «состояния цилиндра», согласно которой ни один компонент пятимерной метрики не зависит от пятого измерения. Без этого предположения вводятся члены, включающие производные полей по пятой координате. Эта дополнительная степень свободы такова, что уравнения поля полностью переменной 5D теории относительности становятся невероятно сложными. Стандартная физика 4D, кажется, проявляет состояние цилиндра и соответствующую более простую математику.

В 1926 г. Оскар Кляйн дал классической пятимерной теории Калуцы квантовую интерпретацию,^[4][5] чтобы соответствовать недавним открытиям Гейзенберга и Шредингера. Кляйн выдвинул гипотезу о том, что пятое измерение свернуто и микроскопично, чтобы объяснить состояние цилиндра. Кляйн предположил, что геометрия дополнительного пятого измерения может иметь форму круга с радиусом 10⁻³⁰ см.^[5] Кляйн также внес вклад в классическую теорию, предоставив должным образом нормализованную 5D-метрику.^[4] Работа над теорией поля Калуцы продолжалась в 1930-х годах Эйнштейном и его коллегами в Принстоне.

В 1940-х годах классическая теория была завершена, и полные уравнения поля, включая скалярное поле, были получены тремя независимыми исследовательскими группами:^[6] Тири,^[7][8][9] работал во Франции над диссертацией под руководством Лихнеровича; Иордания, Людвиг и Мюллер в Германии,^{[10][11][12][13][14]} при критическом вкладе Паули и Фирца; и Шеррер^[15][16][17] работаю один в Швейцарии. Работа Джордана привела к скалярно-тензорной теории Бранс-Дике;^[18] Бранс и Дике, очевидно, ничего не знали о Тири и Шеррере. Полные уравнения Калуцы в условиях цилиндра довольно сложны, и большинство англоязычных обзоров, а также английские переводы Тири содержат некоторые ошибки. Тензоры кривизны для полных уравнений Калуцы вычислялись с использованием программное обеспечение тензорной алгебры в 2015 г.^[19] проверка результатов Ferrari^[20] и Coquereaux & Esposito-Farese.^[21] 5D ковариантная форма источников энергии-импульса рассмотрена Уильямсом.^[22]

Гипотеза Калуцы

В своей статье 1921 г.^[3] Калуца ​​установил все элементы классической пятимерной теории: метрику, уравнения поля, уравнения движения, тензор напряжения-энергии и условие цилиндра. Без бесплатные параметры, он просто расширяет общую теорию относительности до пяти измерений. Начнем с гипотезы о форме пятимерной метрики ${displaystyle {widetilde {g}}_{ab}}$, где латинские индексы охватывают пять измерений. Также введем четырехмерную метрику пространства-времени ${displaystyle {g}_{mu u }}$, где греческие индексы охватывают обычные четыре измерения пространства и времени; 4-вектор ${displaystyle A^{mu }}$ отождествляется с электромагнитным векторным потенциалом; и скалярное поле ${displaystyle phi }$. Затем разложите 5D-метрику так, чтобы 4D-метрика была обрамлена электромагнитным векторным потенциалом со скалярным полем на пятой диагонали. Это можно представить как:

${displaystyle {widetilde {g}}_{ab}equiv {egin{bmatrix}g_{mu u }+phi ^{2}A_{mu }A_{u }&phi ^{2}A_{mu }phi ^{2}A_{u }&phi ^{2}end{bmatrix}}}$.

Точнее можно написать

${displaystyle {widetilde {g}}_{mu u }equiv g_{mu u }+phi ^{2}A_{mu }A_{u },qquad {widetilde {g}}_{5u }equiv {widetilde {g}}_{u 5}equiv phi ^{2}A_{u },qquad {widetilde {g}}_{55}equiv phi ^{2}}$

где индекс ${displaystyle 5}$ указывает пятую координату по соглашению, даже если первые четыре координаты имеют индекс 0, 1, 2 и 3. Связанная обратная метрика

${displaystyle {widetilde {g}}^{ab}equiv {egin{bmatrix}g^{mu u }&-A^{mu }-A^{u }&g_{alpha eta }A^{alpha }A^{eta }+{1 over phi ^{2}}end{bmatrix}}}$.

Это разложение является довольно общим, и все члены безразмерны. Затем Калуца ​​применяет стандартную технику. общая теория относительности к этой метрике. Уравнения поля получаются из пятимерных Уравнения Эйнштейна, и уравнения движения из пятимерной геодезической гипотезы. Полученные в результате уравнения поля дают уравнения как общей теории относительности, так и электродинамики; уравнения движения обеспечивают четырехмерное геодезическое уравнение и Закон силы Лоренца, и обнаруживается, что электрический заряд отождествляется с движением в пятом измерении.

Гипотеза для метрики подразумевает инвариантный пятимерный элемент длины ${displaystyle operatorname {d} !s}$:

${displaystyle operatorname {d} !s^{2}equiv {widetilde {g}}_{ab}operatorname {d} !x^{a}operatorname {d} !x^{b}=g_{mu u }dx^{mu }operatorname {d} !x^{u }+phi ^{2}(A_{u }operatorname {d} !x^{u }+operatorname {d} !x^{5})^{2}}$

Уравнения поля из гипотезы Калуцы

Уравнения поля 5-мерной теории никогда не были адекватно предоставлены Калуцой или Клейном, потому что они игнорировали скалярное поле. Полные уравнения поля Калуцы обычно приписываются Тири,^[8] который получил уравнения вакуумного поля, хотя Калуца ^[3] первоначально предоставил тензор энергии-импульса для своей теории, а Тири включил тензор энергии-напряжения в свою диссертацию. Но, как описал Гоннер,^[6] несколько независимых групп работали над уравнениями поля в 1940-х годах и ранее. Тири, возможно, наиболее известен только потому, что Эпплквист, Чодос и Фройнд предоставили английский перевод в их обзорной книге.^[23] Applequist et al. также предоставил английский перевод статьи Калуцы. Иорданские документы не переведены на английский язык.^[10][11][13]. Первые правильные уравнения поля Калуцы на английском языке, включая скалярное поле, были предоставлены ^[19].

Чтобы получить уравнения поля 5D, соединения 5D ${displaystyle {widetilde {Gamma }}_{bc}^{a}}$ рассчитываются по метрике 5D ${displaystyle {widetilde {g}}_{ab}}$, а 5D тензор Риччи ${displaystyle {widetilde {R}}_{ab}}$ рассчитывается из 5D соединений.

Классические результаты Тири и других авторов предполагают состояние цилиндра:

${displaystyle {partial {widetilde {g}}_{ab} over partial x^{5}}=0}$.

Без этого предположения уравнения поля становятся намного более сложными, обеспечивая гораздо больше степеней свободы, которые можно отождествить с различными новыми полями. Пол Вессон и его коллеги пытались ослабить условие цилиндра, чтобы получить дополнительные члены, которые можно отождествить с полями материи,^[24] для чего Калуза ^[3] в противном случае вручную вставили тензор энергии-импульса.

Первоначальной гипотезе Калуцы было возражением использовать пятое измерение только для того, чтобы отрицать его динамику. Но Тири утверждал ^[6] что интерпретация закона силы Лоренца в терминах 5-мерной геодезической сильно противоречит пятому измерению независимо от состояния цилиндра. Поэтому большинство авторов использовали условие цилиндра при выводе уравнений поля. Кроме того, обычно предполагаются уравнения вакуума, для которых

${displaystyle {widetilde {R}}_{ab}=0}$

куда

${displaystyle {widetilde {R}}_{ab}equiv partial _{c}{widetilde {Gamma }}_{ab}^{c}-partial _{b}{widetilde {Gamma }}_{ca}^{c}+{widetilde {Gamma }}_{cd}^{c}{widetilde {Gamma }}_{ab}^{d}-{widetilde {Gamma }}_{bd}^{c}{widetilde {Gamma }}_{ac}^{d}}$

и

${displaystyle {widetilde {Gamma }}_{bc}^{a}equiv {1 over 2}{widetilde {g}}^{ad}(partial _{b}{widetilde {g}}_{dc}+partial _{c}{widetilde {g}}_{db}-partial _{d}{widetilde {g}}_{bc})}$

Уравнения вакуумного поля, полученные таким образом Тири ^[8] и группа Иордании ^[10][11][13] являются следующими.

Полевое уравнение для ${displaystyle phi }$ получается из

${displaystyle {widetilde {R}}_{55}=0Rightarrow Box phi ={1 over 4}phi ^{3}F^{alpha eta }F_{alpha eta }}$

куда ${displaystyle F_{alpha eta }equiv partial _{alpha }A_{eta }-partial _{eta }A_{alpha }}$,куда ${displaystyle Box equiv g^{mu u }abla _{mu }abla _{u }}$, и где ${displaystyle abla _{mu }}$ является стандартной четырехмерной ковариантной производной. Это показывает, что электромагнитное поле является источником скалярного поля. Обратите внимание, что скалярное поле не может быть установлено на постоянное значение без ограничения электромагнитного поля. Более ранние трактовки Калуцы и Клейна не имели адекватного описания скалярного поля и не осознавали подразумеваемое ограничение на электромагнитное поле, предполагая, что скалярное поле постоянное.

Полевое уравнение для ${displaystyle A^{u }}$ получается из

${displaystyle {widetilde {R}}_{5alpha }=0={1 over 2}g^{eta mu }abla _{mu }(phi ^{3}F_{alpha eta })}$

Он имеет форму вакуумных уравнений Максвелла, если скалярное поле постоянно.

Уравнение поля для 4D тензора Риччи ${displaystyle R_{mu u }}$ получается из

${displaystyle {egin{aligned}{widetilde {R}}_{mu u }-{1 over 2}{widetilde {g}}_{mu u }{widetilde {R}}&=0Rightarrow R_{mu u }-{1 over 2}g_{mu u }R&={1 over 2}phi ^{2}left(g^{alpha eta }F_{mu alpha }F_{u eta }-{1 over 4}g_{mu u }F_{alpha eta }F^{alpha eta }ight)+{1 over phi }left(abla _{mu }abla _{u }phi -g_{mu u }Box phi ight)end{aligned}}}$

куда ${displaystyle R}$ стандартный четырехмерный скаляр Риччи.

Это уравнение показывает замечательный результат, названный «чудом Калуцы», когда точная форма для электромагнитный тензор энергии-напряжения возникает из уравнений 5D вакуума как источник в уравнениях 4D: поле из вакуума. Это соотношение позволяет окончательно идентифицировать ${displaystyle A^{mu }}$ с электромагнитным векторным потенциалом. Следовательно, поле необходимо масштабировать с помощью константы преобразования. ${displaystyle k}$ такой, что ${displaystyle A^{mu }ightarrow kA^{mu }}$.

Приведенное выше соотношение показывает, что мы должны иметь

${displaystyle {k^{2} over 2}={8pi G over c^{4}}{1 over mu _{0}}={2G over c^{2}}{4pi epsilon _{0}}}$

куда ${displaystyle G}$ это гравитационная постоянная и ${displaystyle mu _{0}}$ это проницаемость свободного пространства. В теории Калуцы гравитационную постоянную можно понимать как константу электромагнитной связи в метрике. Также существует тензор энергии-импульса для скалярного поля. Скалярное поле ведет себя как переменная гравитационная постоянная с точки зрения модуляции связи энергии электромагнитного напряжения с кривизной пространства-времени. Знак ${displaystyle phi ^{2}}$ в метрике фиксируется в соответствии с теорией 4D, так что плотности электромагнитной энергии положительны. Часто предполагается, что пятая координата пространственноподобна по своей сигнатуре в метрике.

В присутствии вещества условие 5D-вакуума не может быть допущено. Действительно, Калуца ​​этого не предполагал. Полные уравнения поля требуют вычисления 5D тензора Эйнштейна

${displaystyle {widetilde {G}}_{ab}equiv {widetilde {R}}_{ab}-{1 over 2}{widetilde {g}}_{ab}{widetilde {R}}}$

как видно из восстановления тензора электромагнитного напряжения-энергии выше. Тензоры кривизны 5D сложны, и большинство англоязычных обзоров содержат ошибки либо в ${displaystyle {widetilde {G}}_{ab}}$ или же ${displaystyle {widetilde {R}}_{ab}}$, как и английский перевод.^[8] Видеть ^[19] для полного набора 5D тензоров кривизны в условиях цилиндра, оцененных с помощью программного обеспечения тензорной алгебры.

Уравнения движения из гипотезы Калуцы

Уравнения движения получены из пятимерной геодезической гипотезы ^[3] с точки зрения 5-скоростной ${displaystyle {widetilde {U}}^{a}equiv dx^{a}/ds}$:

${displaystyle {widetilde {U}}^{b}{widetilde {abla }}_{b}{widetilde {U}}^{a}={d{widetilde {U}}^{a} over ds}+{widetilde {Gamma }}_{bc}^{a}{widetilde {U}}^{b}{widetilde {U}}^{c}=0}$

Это уравнение можно переформулировать несколькими способами, и в различных формах оно изучалось авторами, включая Калуцу,^[3] Паули,^[25] Гросс и Перри,^[26] Гегенберг и Кунштаттер,^[27] и Wesson & Ponce de Leon,^[28]но поучительно преобразовать его обратно в обычный четырехмерный элемент длины ${displaystyle c^{2}d au ^{2}equiv g_{mu u }dx^{mu }dx^{u }}$, который связан с 5-мерным элементом длины ${displaystyle ds}$ как указано выше:

${displaystyle ds^{2}=c^{2}d au ^{2}+phi ^{2}(kA_{u }dx^{u }+dx^{5})^{2}}$

Тогда 5D геодезическое уравнение можно записать ^[29] для пространственно-временных компонент 4-скорости,

${displaystyle U^{u }equiv dx^{u }/d au }$

${displaystyle {dU^{u } over d au }+{widetilde {Gamma }}_{alpha eta }^{mu }U^{alpha }U^{eta }+2{widetilde {Gamma }}_{5alpha }^{mu }U^{alpha }U^{5}+{widetilde {Gamma }}_{55}^{mu }(U^{5})^{2}+U^{mu }{d over d au }ln left({cd au over ds}ight)=0}$

Термин квадратичный по ${displaystyle U^{u }}$ обеспечивает 4D геодезическое уравнение плюс некоторые электромагнитные термины:

${displaystyle {widetilde {Gamma }}_{alpha eta }^{mu }=Gamma _{alpha eta }^{mu }+{1 over 2}g^{mu u }k^{2}phi ^{2}(A_{alpha }F_{eta u }+A_{eta }F_{alpha u }-A_{alpha }A_{eta }partial _{u }ln phi ^{2})}$

Член линейный по ${displaystyle U^{u }}$ предоставляет Закон силы Лоренца:

${displaystyle {widetilde {Gamma }}_{5alpha }^{mu }={1 over 2}g^{mu u }kphi ^{2}(F_{alpha u }-A_{alpha }partial _{u }ln phi ^{2})}$

Это еще одно проявление «калужского чуда». Та же самая гипотеза для 5D-метрики, которая обеспечивает электромагнитное напряжение-энергию в уравнениях Эйнштейна, также обеспечивает закон силы Лоренца в уравнении движения наряду с уравнением геодезической 4D. Тем не менее, соответствие закону силы Лоренца требует, чтобы мы отождествляли компонент 5-скорости вдоль 5-го измерения с электрическим зарядом:

${displaystyle kU^{5}=k{dx^{5} over d au }ightarrow {q over mc}}$

куда ${displaystyle m}$ масса частицы и ${displaystyle q}$ - электрический заряд частицы. Таким образом, электрический заряд понимается как движение по пятому измерению. Тот факт, что закон силы Лоренца можно было понять как геодезическую в 5-ти измерениях, был для Калуцы основной мотивацией для рассмотрения 5-мерной гипотезы даже при наличии эстетически неприятного состояния цилиндра.

Но есть проблема: термин, квадратичный по ${displaystyle U^{5}}$

${displaystyle {widetilde {Gamma }}_{55}^{mu }=-{1 over 2}g^{mu alpha }partial _{alpha }phi ^{2}}$

Если в скалярном поле нет градиента, член, квадратичный по ${displaystyle U^{5}}$ исчезает. Но в противном случае из приведенного выше выражения следует

${displaystyle U^{5}sim c{q/m over G^{1/2}}}$

Для элементарных частиц ${displaystyle U^{5}>{m {10}}^{20}c}$. Термин квадратичный по ${displaystyle U^{5}}$ должно доминировать в уравнении, возможно, в противоречии с опытом. В этом был главный недостаток 5-мерной теории, по мнению Калуцы,^[3] и он обсуждает это в своей оригинальной статье.

Уравнение движения для ${displaystyle U^{5}}$ особенно прост в условиях цилиндра. Начнем с альтернативной формы уравнения геодезических, записанного для ковариантной 5-скорости:

${displaystyle {d{widetilde {U}}_{a} over ds}={1 over 2}{widetilde {U}}^{b}{widetilde {U}}^{c}{partial {widetilde {g}}_{bc} over partial x^{a}}}$

Это означает, что в условиях цилиндра ${displaystyle {widetilde {U}}_{5}}$ постоянная 5-мерного движения:

${displaystyle {widetilde {U}}_{5}={widetilde {g}}_{5a}{widetilde {U}}^{a}=phi ^{2}{cd au over ds}(kA_{u }U^{u }+U^{5})={m {constant}}}$

Гипотеза Калуцы о тензоре энергии-импульса вещества

Калуца ^[3] предложил 5D тензор напряжения материи ${displaystyle {widetilde {T}}_{M}^{ab}}$ формы

${displaystyle {widetilde {T}}_{M}^{ab}=ho {dx^{a} over ds}{dx^{b} over ds}}$

куда ${displaystyle ho }$ - это плотность и элемент длины ${displaystyle ds}$ определено выше.

Тогда пространственно-временная компонента дает типичный тензор энергии «пылевого» напряжения:

${displaystyle {widetilde {T}}_{M}^{mu u }=ho {dx^{mu } over ds}{dx^{u } over ds}}$

Смешанный компонент обеспечивает 4-токовый источник для уравнений Максвелла:

${displaystyle {widetilde {T}}_{M}^{5mu }=ho {dx^{mu } over ds}{dx^{5} over ds}=ho U^{mu }{q over kmc}}$

Подобно тому, как пятимерная метрика включает в себя 4-мерную метрику, обрамленную электромагнитным векторным потенциалом, 5-мерный тензор энергии-импульса включает 4-мерный тензор энергии-импульса, обрамленный векторным 4-током.

Квантовая интерпретация Клейна

Первоначальная гипотеза Калуцы была чисто классическим и расширенным открытием общей теории относительности. Ко времени выступления Кляйна открытия Гейзенберга, Шредингера и де Бройля привлекали большое внимание. Кляйна Природа бумага ^[5] предположил, что пятое измерение является замкнутым и периодическим, и что отождествление электрического заряда с движением в пятом измерении можно интерпретировать как стоячие волны длины волны ${displaystyle lambda ^{5}}$подобно электронам вокруг ядра в модели атома Бора. Тогда квантование электрического заряда можно было бы хорошо понять в терминах целых кратных пятимерного импульса. Комбинируя предыдущий результат Калуцы для ${displaystyle U^{5}}$ в терминах электрического заряда и соотношения де Бройля для импульса ${displaystyle p^{5}=h/lambda ^{5}}$, Кляйн ^[5] получили выражение для 0-й моды таких волн:

${displaystyle mU^{5}={cq over G^{1/2}}={h over lambda ^{5}}qquad Rightarrow qquad lambda ^{5}sim {hG^{1/2} over cq}}$

куда ${displaystyle h}$ - постоянная Планка. Кляйн нашел ${displaystyle lambda ^{5}sim {m {10}}^{-30}}$ см, и тем самым объяснение состояния цилиндра при этом небольшом значении.

Кляйна Zeitschrift für Physik бумага того же года,^[4] дал более подробную трактовку, в которой явно использовались методы Шредингера и де Бройля. Он резюмировал большую часть классической теории Калуцы, описанной выше, а затем перешел в квантовую интерпретацию Клейна. Кляйн решил волновое уравнение, подобное Шредингеру, используя разложение по пятимерным волнам, резонирующим в замкнутом, компактном пятом измерении.

Интерпретация квантовой теории поля

Интерпретация теории групп

Космос M × C компактифицирован над компактом C, а после разложения Калуцы – Клейна эффективная теория поля над М.

В 1926 году Оскар Кляйн предположил, что четвертое пространственное измерение свернуто в круг очень маленького размера. радиус, так что частица перемещение на небольшое расстояние по этой оси вернулось бы туда, где оно началось. Расстояние, которое может пройти частица, прежде чем она достигнет своего начального положения, называется размером измерения. Это дополнительное измерение - компактный набор, и построение этой компактной размерности называется компактификация.

В современной геометрии дополнительное пятое измерение можно понимать как круговая группа U (1), так как электромагнетизм можно по существу сформулировать как калибровочная теория на пучок волокон, то связка кругов, с группа датчиков U (1). В теории Калуцы – Клейна эта группа предполагает, что калибровочная симметрия - это симметрия круговых компактных размеров. Как только эта геометрическая интерпретация будет понята, относительно просто заменить U(1) генералом Группа Ли. Такие обобщения часто называют Теории Янга – Миллса. Если проводится различие, то теории Янга – Миллса возникают в плоском пространстве-времени, тогда как Калуца ​​– Клейн рассматривает более общий случай искривленного пространства-времени. Базовое пространство теории Калуцы – Клейна не обязательно должно быть четырехмерным пространством-временем; это может быть любой (псевдо- )Риманово многообразие, или даже суперсимметричный коллектор или орбифолд или даже некоммутативное пространство.

Конструкцию можно примерно описать следующим образом.^[30] Начнем с рассмотрения основной пучок волокон п с группа датчиков грамм через многообразие М. Учитывая связь на пачке, а метрика на базовом многообразии и калибровочно-инвариантную метрику на касательной к каждому слою можно построить метрика пакета определен на всем пакете. Вычисление скалярная кривизна этой метрики расслоения обнаруживается, что она постоянна на каждом слое: это и есть «чудо Калуцы». Не нужно было явно накладывать условие цилиндра или компактифицировать: по предположению калибровочная группа уже компактна. Затем эту скалярную кривизну принимают за Плотность лагранжиана, и, исходя из этого, строит Действие Эйнштейна – Гильберта за комплект в целом. Уравнения движения, Уравнения Эйлера – Лагранжа., затем можно получить, рассмотрев, где действует стационарный относительно вариаций либо метрики на базовом многообразии, либо калибровочной связности. Вариации относительно базовой метрики дают Уравнения поля Эйнштейна на базовом коллекторе, с тензор энергии-импульса предоставленный кривизна (напряженность поля ) соединения манометра. С другой стороны, действие является стационарным по отношению к вариациям соединения датчика, именно тогда, когда соединение датчика решает проблему Уравнения Янга – Миллса. Таким образом, применяя единственную идею: принцип наименьшего действия, к одной величине: скалярной кривизне на расслоении (в целом), можно получить одновременно все необходимые уравнения поля, как для пространства-времени, так и для калибровочного поля.

В качестве подхода к объединению сил несложно применить теорию Калуцы – Клейна в попытке объединить гравитацию с сильный и электрослабый сил, используя группу симметрии Стандартная модель, SU (3) × SU (2) × U (1). Однако попытка превратить эту интересную геометрическую конструкцию в добросовестную модель реальности терпит неудачу по ряду вопросов, включая тот факт, что фермионы необходимо вводить искусственно (в несуперсимметричных моделях). Тем не менее, KK остается важным пробный камень в теоретической физике и часто включается в более сложные теории. Он изучается сам по себе как объект геометрического интереса в K-теория.

Даже при отсутствии полностью удовлетворительной основы теоретической физики идея исследования дополнительных, компактифицированных измерений представляет значительный интерес для экспериментальная физика и астрофизика сообщества. Можно сделать самые разные прогнозы с реальными экспериментальными последствиями (в случае большие дополнительные размеры и деформированные модели ). Например, исходя из простейших принципов, можно было бы ожидать, что стоячие волны в дополнительном компактифицированном измерении (ах). Если дополнительное пространственное измерение имеет радиус р, инвариант масса таких стоячих волн было бы M_п = нэ/Rc с п ан целое число, час существование Постоянная Планка и c то скорость света. Этот набор возможных значений массы часто называют Калуца ​​– Башня Клейна. Аналогичным образом в Теория теплового квантового поля компактификация евклидова временного измерения приводит к Мацубара частоты и, таким образом, к дискретному спектру тепловой энергии.

Однако подход Кляйна к квантовой теории ошибочен.^{[нужна цитата ]} и, например, приводит к расчетной массе электрона порядка величины Планковская масса.^[31]

Примеры экспериментальных занятий включают работу CDF сотрудничество, которое повторно проанализировало коллайдер частиц данные для сигнатуры эффектов, связанных с большими дополнительными измерениями /деформированные модели.

Бранденбергер и Вафа предположили, что в ранней Вселенной космическая инфляция заставляет три пространственных измерения расширяться до космологических размеров, в то время как остальные измерения пространства остаются микроскопическими.

Теория пространства-времени-материи

Одним из частных вариантов теории Калуцы – Клейна является теория пространства-времени-материи или же теория индуцированной материи, в основном обнародованные Пол Вессон и другие члены Консорциума Пространство-Время-Материя.^[32] В этой версии теории отмечается, что решения уравнения

${displaystyle {widetilde {R}}_{ab}=0}$

можно переформулировать так, чтобы в четырех измерениях эти решения удовлетворяли Уравнения Эйнштейна

${displaystyle G_{mu u }=8pi T_{mu u },}$

с точной формой Т_μν следует из Состояние Риччи-квартиры на пятимерном пространстве. Другими словами, цилиндрическое состояние предыдущей разработки отбрасывается, и теперь энергия-напряжение получается из производных 5D-метрики по пятой координате. Поскольку тензор энергии-импульса обычно понимается, что это происходит из-за концентрации материи в четырехмерном пространстве, вышеупомянутый результат интерпретируется как утверждение, что четырехмерная материя индуцируется геометрией в пятимерном пространстве.

В частности, солитон решения ${displaystyle {widetilde {R}}_{ab}=0}$ можно показать, что он содержит Метрика Фридмана – Лемэтра – Робертсона – Уолкера. как в формах с преобладанием излучения (ранняя Вселенная), так и с преобладанием материи (позднее Вселенная). Можно показать, что общие уравнения достаточно согласованы с классическими тесты общей теории относительности быть приемлемым по физическим принципам, оставляя при этом значительную свободу для создания интересных космологические модели.

Геометрическая интерпретация

Теория Калуцы – Клейна имеет особенно элегантное изложение с точки зрения геометрии. В определенном смысле это похоже на обычную гравитацию в свободное место, за исключением того, что он сформулирован в пяти измерениях вместо четырех.

Уравнения Эйнштейна

Уравнения обычной гравитации в свободном пространстве могут быть получены из действие, применяя вариационный принцип к определенному действие. Позволять M быть (псевдо- )Риманово многообразие, который можно принять за пространство-время из общая теория относительности. Если грамм это метрика на этом многообразии определяется действие S(грамм) в качестве

${displaystyle S(g)=int _{M}R(g)mathrm {vol} (g),}$

куда р(грамм) это скалярная кривизна и объем (грамм) это элемент объема. Применяя вариационный принцип к действию

${displaystyle {frac {delta S(g)}{delta g}}=0}$

получается именно Уравнения Эйнштейна на свободное место:

${displaystyle R_{ij}-{frac {1}{2}}g_{ij}R=0}$

Здесь, р_ij это Тензор Риччи.

Уравнения Максвелла

Напротив, Уравнения Максвелла описание электромагнетизм можно понять как Уравнения Ходжа из основной U (1) -бандл или же связка кругов ${displaystyle pi :P o M}$ с волокном U (1). Это электромагнитное поле ${displaystyle F}$ это гармоническая 2-форма в пространстве ${displaystyle Omega ^{2}(M)}$ дифференцируемых 2-формы на коллекторе ${displaystyle M}$. В отсутствие зарядов и токов уравнения Максвелла в свободном поле имеют вид

${displaystyle dF=0quad { ext{and}}quad d*F=0.}$

куда ${displaystyle *}$ это Ходжа звезда оператор.

Геометрия Калуцы – Клейна

Для построения теории Калуцы – Клейна выбирается инвариантная метрика на окружности ${displaystyle S^{1}}$ то есть волокно U (1)-расслоения электромагнетизма. В этом обсуждении инвариантная метрика просто тот, который инвариантен относительно вращений окружности. Предположим, эта метрика дает кругу общую длину ${displaystyle wedge }$. Затем рассматриваются метрики ${displaystyle {widehat {g}}}$ на пачке ${displaystyle P}$ которые согласованы как с метрикой слоя, так и с метрикой на подлежащем многообразии ${displaystyle M}$. Условия согласованности:

• Проекция ${displaystyle {widehat {g}}}$ к вертикальное подпространство ${displaystyle {mbox{Vert}}_{p}Psubset T_{p}P}$ необходимо согласовать с метрикой на слое над точкой многообразия ${displaystyle M}$.
• Проекция ${displaystyle {widehat {g}}}$ к горизонтальное подпространство ${displaystyle {mbox{Hor}}_{p}Psubset T_{p}P}$ из касательное пространство в точке ${displaystyle pin P}$ должен быть изоморфен метрике ${displaystyle g}$ на ${displaystyle M}$ в ${displaystyle pi (P)}$.

Действие Калуцы – Клейна для такой метрики дается формулой

${displaystyle S({widehat {g}})=int _{P}R({widehat {g}});{mbox{vol}}({widehat {g}}),}$

Скалярная кривизна, записанная в компонентах, затем расширяется до

${displaystyle R({widehat {g}})=pi ^{*}left(R(g)-{frac {Lambda ^{2}}{2}}vert Fvert ^{2}ight),}$

куда ${displaystyle pi ^{*}}$ это откат проекции пучка волокон ${displaystyle pi :P o M}$. Связь ${displaystyle A}$ на пучке волокон связана с напряженностью электромагнитного поля как

${displaystyle pi ^{*}F=mathrm {d} A}$

То, что такая связь существует всегда, даже для расслоений сколь угодно сложной топологии, является результатом гомология и, в частности, K-теория. Применение Теорема Фубини и интегрируя по волокну, получаем

${displaystyle S({widehat {g}})=Lambda int _{M}left(R(g)-{frac {1}{Lambda ^{2}}}vert Fvert ^{2}ight);{mbox{vol}}(g)}$

Изменение действия по отношению к компоненту ${displaystyle A}$, мы возвращаемся к уравнениям Максвелла. Применение вариационного принципа к базовой метрике ${displaystyle g}$, получаем уравнения Эйнштейна

${displaystyle R_{ij}-{frac {1}{2}}g_{ij}R={frac {1}{Lambda ^{2}}}T_{ij}}$

с тензор энергии-импульса дается

${displaystyle T^{ij}=F^{ik}F^{jl}g_{kl}-{frac {1}{4}}g^{ij}vert Fvert ^{2},}$

иногда называют Тензор напряжений Максвелла.

Исходная теория определяет ${displaystyle wedge }$ с метрикой волокна ${displaystyle g_{55}}$, и позволяет ${displaystyle wedge }$ варьироваться от волокна к волокну. В этом случае связь между гравитацией и электромагнитным полем не постоянна, но имеет собственное динамическое поле, радион.

Обобщения

В приведенном выше описании размер петли Λ действует как константа связи между гравитационным полем и электромагнитным полем. Если базовое многообразие четырехмерно, многообразие Калуцы – Клейна п пятимерный. Пятое измерение - это компактное пространство, и называется компактный размер. Техника введения компактных размеров для получения многомерного многообразия называется компактификация. Компактификация не производит групповых действий на киральных фермионах, за исключением очень специфических случаев: размерность всего пространства должна быть 2 mod 8, а G-индекс оператора Дирака компакта должен быть ненулевым.^[33]

Вышеупомянутое развитие более или менее прямолинейно обобщается на общие главный грамм-бандлы для произвольного Группа Ли грамм заняв место U (1). В таком случае теорию часто называют Теория Янга – Миллса, и иногда считается синонимом. Если основное многообразие суперсимметричный, результирующая теория является суперсимметричной теорией Янга – Миллса.

Эмпирические тесты

Официальных сообщений об экспериментальных или наблюдательных признаках дополнительных измерений не поступало. Было предложено много теоретических методов поиска для обнаружения резонансов Калуцы – Клейна с использованием массовых связей таких резонансов с верхний кварк. Однако до Большой адронный коллайдер (LHC) выходит на полную мощность, наблюдение таких резонансов маловероятно. Анализ результатов, полученных на LHC в декабре 2010 г., серьезно ограничивает теории. большие дополнительные размеры.^[34]

Наблюдение за Хиггс -подобный бозон на LHC устанавливает новый эмпирический тест, который может быть применен к поиску резонансов Калуцы – Клейна и суперсимметричных частиц. Диаграммы Фейнмана которые существуют во взаимодействиях Хиггса, позволяют любой частице с электрическим зарядом и массой двигаться по такой петле. Частицы Стандартной модели, помимо верхний кварк и W-бозон не дают большого вклада в сечение, наблюдаемое в H → γγ распадаются, но если есть новые частицы за пределами Стандартной модели, они потенциально могут изменить соотношение предсказанной Стандартной модели H → γγ сечение к экспериментально наблюдаемому сечению. Следовательно, измерение любого резкого изменения в H → γγ поперечное сечение, предсказываемое Стандартной моделью, имеет решающее значение для исследования физики за ее пределами.

Еще одна недавняя статья от июля 2018 г.^[35] дает некоторую надежду на эту теорию; в статье они оспаривают, что гравитация проникает в более высокие измерения, как в теории бран. Однако в статье показано, что электромагнитное поле и гравитация имеют одинаковое количество измерений, и этот факт подтверждает теорию Калуцы – Клейна; действительно ли количество измерений 3 + 1 или на самом деле 4 + 1, является предметом дальнейших споров.

Смотрите также

• Классические теории гравитации
• Сложное пространство-время
• Модель DGP
• Квантовая гравитация
• Компактификация (физика)
• Модель Рэндалла – Сундрама
• Матей Павшич
• Теория струн
• Супергравитация
• Теория суперструн

Примечания

1. Нордстрём, Гуннар (1914). «О возможности объединения гравитационного и электромагнитного полей». Phys. Zeitschr. 15: 504.
2. Паис, Авраам (1982). Тонок Господь ...: Наука и жизнь Альберта Эйнштейна. Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. С. 329–330.
3. Калуца, Теодор (1921). "Zum Unitätsproblem in der Physik". Sitzungsber. Прейс. Акад. Wiss. Берлин. (Математика и физика): 966–972. Bibcode:1921SPAW ....... 966K.
4. Кляйн, Оскар (1926). "Quantentheorie und fünfdimensionale Relativitätstheorie". Zeitschrift für Physik A. 37 (12): 895–906. Bibcode:1926ZPhy ... 37..895K. Дои:10.1007 / BF01397481.
5. Кляйн, Оскар (1926). «Атомарность электричества как закон квантовой теории». Природа. 118 (2971): 516. Bibcode:1926Натура.118..516К. Дои:10.1038 / 118516a0. S2CID  4127863.
6. Геннер, Х. (2012). «Несколько замечаний о происхождении скалярно-тензорных теорий». Общая теория относительности и гравитации. 44 (8): 2077–2097. arXiv:1204.3455. Bibcode:2012GReGr..44.2077G. Дои:10.1007 / s10714-012-1378-8. S2CID  13399708.
7. Lichnerowicz, A .; Тири, М.Ю. (1947). "Проблемы расчета вариаций как в классической динамике, так и в теории единства чемпионов". Компт. Ренд. Акад. Sci. Париж. 224: 529–531.
8. Тири, М.Ю. (1948). "Les équations de la théorie unitaire de Kaluza". Компт. Ренд. Акад. Sci. Париж. 226: 216–218.
9. Тири, М.Ю. (1948). "Sur la régularité des champs gravitationnel et électromagnétique dans les théories unitaires". Компт. Ренд. Акад. Sci. Париж. 226: 1881–1882.
10. Джордан, П. (1946). "Relativistische Gravitationstheorie mit variabler Gravitationskonstante". Naturwissenschaften. 11 (8): 250–251. Bibcode:1946NW ..... 33..250J. Дои:10.1007 / BF01204481. S2CID  20091903.
11. Jordan, P .; Мюллер, К. (1947). "Über die Feldgleichungen der Gravitation bei variabler" Gravitationslonstante"". З. Натурфорш. 2а (1): 1–2. Bibcode:1947 ZNatA ... 2 .... 1J. Дои:10.1515 / zna-1947-0102. S2CID  93849549.
12. Людвиг, Г. (1947). "Der Zusammenhang zwischen den Variationsprinzipien der projektiven und der vierdimensionalen Relativitätstheorie". З. Натурфорш. 2а (1): 3–5. Bibcode:1947 г.ZNatA ... 2 .... 3L. Дои:10.1515 / zna-1947-0103. S2CID  94454994.
13. Джордан, П. (1948). "Fünfdimensionale Kosmologie". Astron. Nachr. 276 (5–6): 193–208. Bibcode:1948AN .... 276..193J. Дои:10.1002 / asna.19482760502.
14. Ludwig, G .; Мюллер, К. (1948). "Ein Modell des Kosmos und der Sternentstehung". Annalen der Physik. 2 (6): 76–84. Bibcode:1948АнП ... 437 ... 76Л. Дои:10.1002 / andp.19484370106.
15. Шеррер, В. (1941). "Bemerkungen zu meiner Arbeit:" Ein Ansatz für die Wechselwirkung von Elementarteilchen"". Helv. Phys. Acta. 14 (2): 130.
16. Шеррер, В. (1949). "Uber den Einfluss des metrischen Feldes auf ein skalares Materiefeld". Helv. Phys. Acta. 22: 537–551.
17. Шеррер, В. (1950). "Uber den Einfluss des metrischen Feldes auf ein skalares Materiefeld (2. Mitteilung)". Helv. Phys. Acta. 23: 547–555.
18. Brans, C.H .; Дике, Р. Х. (1 ноября 1961 г.). «Принцип Маха и релятивистская теория гравитации». Физический обзор. 124 (3): 925–935. Bibcode:1961ПхРв..124..925Б. Дои:10.1103 / PhysRev.124.925.
19. Уильямс, Л.Л. (2015). "Полевые уравнения и лагранжиан для метрики Калуцы, вычисленные с помощью программного обеспечения тензорной алгебры". Журнал гравитации. 2015: 901870. Дои:10.1155/2015/901870.
20. Феррари, Дж. (1989). «О приближенном решении для заряженного объекта и экспериментальном подтверждении теории Калуцы-Клейна». Gen. Rel. И Грав. 21 (7): 683. Bibcode:1989GReGr..21..683F. Дои:10.1007 / BF00759078. S2CID  121977988.
21. Coquereaux, R .; Эспозито-Фарезе, Г. (1990). "Теория Калуцы-Кляйн-Джордан-Тири снова". Анна. Del'i.H. Пуанкаре. 52: 113.
22. Уильямс, Л.Л. (2020). "Полевые уравнения и лагранжиан тензора энергии-импульса Калуцы". Adv. По математике. Физика. 2020: 1263723. Дои:10.1155/2020/1263723.
23. Аппельквист, Томас; Чодос, Алан; Фройнд, Питер Г. О. (1987). Современные теории Калуцы – Клейна. Менло-Парк, Калифорния: Аддисон – Уэсли. ISBN  978-0-201-09829-7.
24. Вессон, Пол С. (1999). Пространство – время – материя, современная теория Калуцы – Клейна.. Сингапур: World Scientific. ISBN  978-981-02-3588-8.
25. Паули, Вольфганг (1958). Теория относительности (перевод Джорджа Филда ред.). Нью-Йорк: Pergamon Press. С. Приложение 23.
26. Гросс, Д.Дж .; Перри, М.Дж. (1983). «Магнитные монополи в теориях Калуцы – Клейна». Nucl. Phys. B. 226 (1): 29–48. Bibcode:1983НуФБ.226 ... 29Г. Дои:10.1016/0550-3213(83)90462-5.
27. Gegenberg, J .; Кунштаттер, Г. (1984). «Движение заряженных частиц в пространстве-времени Калуцы – Клейна». Phys. Латыш. 106A (9): 410. Bibcode:1984ФЛА..106..410Г. Дои:10.1016/0375-9601(84)90980-0.
28. Wesson, P.S .; Понсе де Леон, Дж. (1995). «Уравнение движения в космологии Калуцы – Клейна и его значение для астрофизики». Астрономия и астрофизика. 294: 1. Bibcode:1995 A&A ... 294 .... 1 Вт.
29. Уильямс, Л.Л. (2012). «Физика электромагнитного управления пространством-временем и гравитацией». Труды 48-й конференции AIAA Joint Propulsion. AIAA 2012-3916. Дои:10.2514/6.2012-3916. ISBN  978-1-60086-935-8. S2CID  122586403.
30. Дэвид Бликер "Калибровочная теория и вариационные принципы "(1982) D. Reidel Publishing (См. Главу 9)
31. Равндал, Ф., Оскар Кляйн и пятое измерение, arXiv: 1309.4113 [Physics.hist-ph]
32. 5Dstm.org
33. Л. Кастеллани и др., Супергравитация и суперструны, Том 2, глава V.11.
34. CMS Collaboration, "Поиск микроскопических сигнатур черных дыр на Большом адронном коллайдере", https://arxiv.org/abs/1012.3375
35. Ограничения на количество измерений пространства-времени от GW170817, https://arxiv.org/abs/1801.08160

Рекомендации

• Калуца, Теодор (1921). "Zum Unitätsproblem in der Physik". Sitzungsber. Прейс. Акад. Wiss. Берлин. (Математика и физика): 966–972. Bibcode:1921SPAW ....... 966K. https://archive.org/details/sitzungsberichte1921preussi
• Кляйн, Оскар (1926). "Quantentheorie und fünfdimensionale Relativitätstheorie". Zeitschrift für Physik A. 37 (12): 895–906. Bibcode:1926ZPhy ... 37..895K. Дои:10.1007 / BF01397481.
• Виттен, Эдвард (1981). «Поиски реалистической теории Калуцы – Клейна». Ядерная физика B. 186 (3): 412–428. Bibcode:1981НуФБ.186..412Вт. Дои:10.1016/0550-3213(81)90021-3.
• Аппельквист, Томас; Чодос, Алан; Фройнд, Питер Г. О. (1987). Современные теории Калуцы – Клейна. Менло-Парк, Калифорния: Аддисон – Уэсли. ISBN  978-0-201-09829-7. (Включает оттиски указанных выше статей, а также других важных статей, относящихся к теории Калуцы – Клейна.)
• Дафф, М. Дж. (1994). "Теория Калуцы – Клейна в перспективе". В Lindström, Ульф (ред.). Материалы симпозиума "Столетие Оскара Клейна". Сингапур: World Scientific. С. 22–35. ISBN  978-981-02-2332-8.
• Overduin, J.M .; Вессон, П. С. (1997). «Калуца ​​– Клейн Гравитация». Отчеты по физике. 283 (5): 303–378. arXiv:gr-qc / 9805018. Bibcode:1997PhR ... 283..303O. Дои:10.1016 / S0370-1573 (96) 00046-4. S2CID  119087814.
• Вессон, Пол С. (2006). Пятимерная физика: классические и квантовые последствия космологии Калуцы – Клейна. Сингапур: World Scientific. Bibcode:2006fdpc.book ..... W. ISBN  978-981-256-661-4.

дальнейшее чтение

• Сотрудничество CDF, Поиск дополнительных измерений с использованием недостающей энергии в CDF, (2004) (Упрощенное представление поиска дополнительных измерений на Детектор коллайдера в Фермилабе (CDF) объект физики элементарных частиц.)
• Джон М. Пьер, НАДСТРОЙКИ! Дополнительные размеры, (2003).

• Крис Поуп, Лекции по теории Калуцы – Клейна.
• Эдвард Виттен (2014). «Заметка об Эйнштейне, Бергманне и пятом измерении», arXiv:1401.8048