Основная теорема римановой геометрии - Fundamental theorem of Riemannian geometry

В Риманова геометрия, то основная теорема римановой геометрии заявляет, что на любом Риманово многообразие (или же псевдориманово многообразие ) есть уникальный без кручения метрика связь, называется Леви-Чивита связь данной метрики. Здесь метрика (или же Риманов) соединение - это соединение, сохраняющее метрический тензор. Точнее:

Основная теорема римановой геометрии. Позволять (M, грамм) быть Риманово многообразие (или же псевдориманово многообразие ). Тогда существует единственная связность ∇, удовлетворяющая следующим условиям:

• для любых векторных полей Икс, Y, Z у нас есть

${\displaystyle \partial _{X}\langle Y,Z\rangle =\langle \nabla _{X}Y,Z\rangle +\langle Y,\nabla _{X}Z\rangle ,}$

куда ${\displaystyle \partial _{X}\langle Y,Z\rangle }$ обозначает производную функции ${\displaystyle \langle Y,Z\rangle }$ вдоль векторного поля Икс.

• для любых векторных полей Икс, Y,

${\displaystyle \nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X=[X,Y],}$

куда [Икс, Y] обозначает Кронштейн лжи за векторные поля Икс, Y.

Первое условие означает, что метрический тензор сохраняется параллельный транспорт, а второе условие выражает тот факт, что кручение равен нулю.

Расширение основной теоремы утверждает, что для псевдориманова многообразия существует единственная связность, сохраняющая метрический тензор с любой заданной векторной 2-формой в качестве кручения. Разница между произвольной связью (с кручением) и соответствующей связностью Леви-Чивиты состоит в том, что тензор искривления.

Следующее техническое доказательство представляет формулу для Символы Кристоффеля соединения в локальной системе координат. Для данной метрики эта система уравнений может стать довольно сложной. Существуют более быстрые и простые методы получения символов Кристоффеля для данной метрики, например с использованием действие интеграл и связанные с ним уравнения Эйлера-Лагранжа.

Геодезические, определяемые метрикой или связью

А метрика определяет кривые, которые геодезические ; но связь также определяет геодезические (см. также параллельный транспорт ). Связь ${\displaystyle {\bar {\nabla }}}$ считается равным другому ${\displaystyle \nabla }$ двумя разными способами:^[1]

• очевидно, если ${\displaystyle {\bar {\nabla }}_{X}Y=\nabla _{X}Y}$ для каждой пары векторных полей ${\displaystyle X,Y}$
• если ${\displaystyle \nabla }$ и ${\displaystyle {\bar {\nabla }}}$ определить те же геодезические и имеют то же самое кручение

Это означает, что два разных соединения могут привести к одним и тем же геодезическим, давая разные результаты для некоторых векторных полей.

Поскольку метрика также определяет геодезические дифференциального многообразия, для некоторой метрики существует не только одна связь, определяющая одни и те же геодезические. (некоторые примеры подключения можно найти на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ведущие к прямым как геодезические, но с некоторым кручением в отличие от тривиальной связности на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$, т.е. обычный производная по направлению ) , и учитывая метрику, единственное соединение, которое определяет те же геодезические (что оставляет метрику неизменной на параллельный транспорт ) и который без кручения это Леви-Чивита связь (который получается из метрики дифференцированием).

Доказательство теоремы

Позволять м быть размером M а в некоторой локальной карте рассмотрим стандартные векторные поля координат

${\displaystyle {\partial }_{i}={\frac {\partial }{\partial x^{i}}},\qquad i=1,\dots ,m.}$

Локально запись грамм_ij метрического тензора тогда дается выражением

${\displaystyle g_{ij}=\left\langle {\partial }_{i},{\partial }_{j}\right\rangle .}$

Для указания соединения достаточно указать, для всех я, j, и k,

${\displaystyle \left\langle \nabla _{\partial _{i}}\partial _{j},\partial _{k}\right\rangle .}$

Напомним также, что локально a связь дан кем-то м³ гладкие функции

${\displaystyle \left\{\Gamma ^{l}{}_{ij}\right\},}$

куда

${\displaystyle \nabla _{\partial _{i}}\partial _{j}=\sum _{l}\Gamma _{ij}^{l}\partial _{l}.}$

Свойство без кручения означает

${\displaystyle \nabla _{\partial _{i}}\partial _{j}=\nabla _{\partial _{j}}\partial _{i}.}$

С другой стороны, из совместимости с римановой метрикой следует, что

${\displaystyle \partial _{k}g_{ij}=\left\langle \nabla _{\partial _{k}}\partial _{i},\partial _{j}\rangle +\langle \partial _{i},\nabla _{\partial _{k}}\partial _{j}\right\rangle .}$

Для фиксированного, я, j, и k, перестановка дает 3 уравнения с 6 неизвестными. Предположение об отсутствии кручения сокращает количество переменных до 3. Решение полученной системы из трех линейных уравнений дает единственные решения.

${\displaystyle \left\langle \nabla _{\partial _{i}}\partial _{j},\partial _{k}\right\rangle ={\tfrac {1}{2}}\left(\partial _{i}g_{jk}-\partial _{k}g_{ij}+\partial _{j}g_{ik}\right).}$

Это первая личность Кристоффеля.

С

${\displaystyle \left\langle \nabla _{\partial _{i}}\partial _{j},\partial _{k}\right\rangle =\Gamma _{ij}^{l}g_{lk},}$

где мы используем соглашение о суммировании Эйнштейна. То есть индекс повторяется подстрочный и надстрочный подразумевает, что он суммируется по всем значениям. Обращение метрического тензора дает вторая личность Кристоффеля:

${\displaystyle \Gamma _{ij}^{l}={\tfrac {1}{2}}\left(\partial _{i}g_{jk}-\partial _{k}g_{ij}+\partial _{j}g_{ik}\right)g^{kl}.}$

Еще раз, с соглашением о суммировании Эйнштейна. Получившаяся уникальная связь называется Леви-Чивита связь.

Формула Кошуля

Альтернативное доказательство основной теоремы римановой геометрии состоит в том, чтобы показать, что метрическая связность без кручения на римановом многообразии M обязательно дается Формула Кошуля:

${\displaystyle {\begin{array}{ll}2g(\nabla _{X}Y,Z)&=\,X(g(Y,Z))+Y(g(X,Z))-Z(g(X,Y))\\&\quad +\,g([X,Y],Z)-g([X,Z],Y)-g([Y,Z],X),\end{array}}}$

где векторное поле ${\displaystyle X}$ естественным образом действует на гладких функциях на римановом многообразии (так что ${\displaystyle Xf=\partial _{X}f}$).

Предполагая существование симметричного соединения, ${\displaystyle \nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X=[X,Y]}$, и совместим с метрикой, ${\displaystyle Xg(Y,Z)=g(\nabla _{X}Y,Z)+g(Y,\nabla _{X}Z)}$, сумма ${\displaystyle Xg(Y,Z)+Yg(X,Z)-Zg(Y,X)}$ можно упростить, используя свойство симметрии. Это приводит к формуле Кошуля.

Выражение для ${\displaystyle g(\nabla _{X}Y,Z)}$ поэтому однозначно определяет ${\displaystyle \nabla _{X}Y}$. И наоборот, формула Кошуля может использоваться для определения ${\displaystyle \nabla _{X}Y}$ и обычно проверяют, что ${\displaystyle \nabla _{X}}$ является аффинной связностью, симметричной и согласованной с метрикой грамм. (Правая часть определяет векторное поле, потому что оно C^∞(M)-линейный по переменной ${\displaystyle Z}$.) ^[2]

Примечания

1. Спивак 1999, п. 249
2. ду Карму 1992, п. 55

Рекомендации

• ду Карму, Манфреду (1992), Риманова геометрия, Математика: теория и приложения, Биркхойзер, ISBN  0-8176-3490-8
• Спивак Михаил (1999), Всестороннее введение в дифференциальную геометрию, том 2 (PDF) (3-е изд.), Publish-or-Perish Press