Калибровочно-ковариантная производная - Gauge covariant derivative

В калибровочная ковариантная производная это вариант ковариантная производная используется в общая теория относительности. Если теория калибровочные преобразования, это означает, что некоторые физические свойства некоторых уравнений сохраняются при этих преобразованиях. Точно так же калибровочная ковариантная производная - это обычная производная, модифицированная таким образом, чтобы заставить ее вести себя как истинный векторный оператор, так что уравнения, написанные с использованием ковариантной производной, сохраняют свои физические свойства при калибровочных преобразованиях.

Обзор

Есть много способов понять калибровочную ковариантную производную. Подход, используемый в этой статье, основан на исторически традиционных обозначениях, используемых во многих учебниках физики.^[1][2][3] Другой подход состоит в том, чтобы понять калибровочную ковариантную производную как своего рода связь, а точнее, аффинная связь.^[4][5][6] Аффинная связь интересна тем, что не требует никакого понятия метрический тензор быть определенным; то кривизна аффинной связи можно понимать как напряженность поля калибровочного потенциала. Когда метрика доступна, можно пойти в другом направлении и определить соединение на комплект кадров. Этот путь ведет прямо к общей теории относительности; однако для этого требуется метрика, которая физика элементарных частиц калибровочные теории нет.

Вместо того, чтобы быть обобщениями друг друга, аффинная и метрическая геометрия расходятся в разных направлениях: группа датчиков из (псевдо- )Риманова геометрия должен быть неопределенная ортогональная группа O (s, r) в целом, или Группа Лоренца O (3,1) для пространство-время. Это потому, что волокна комплект кадров обязательно должны по определению подключать касательная и котангенсные пространства пространства-времени.^[7] Напротив, калибровочные группы, используемые в физике элементарных частиц, могут быть (в принципе) любыми Группа Ли вообще (и на практике U (1), SU (2) или же SU (3) в Стандартная модель ). Обратите внимание, что группы Ли не снабжены метрикой.

Еще более сложный, но более точный и геометрически поучительный подход состоит в том, чтобы понять, что калибровочная ковариантная производная (в точности) то же самое, что и внешняя ковариантная производная на раздел из связанный пакет для основной пучок волокон калибровочной теории;^[8] и в случае спиноров связанный пучок был бы спин-связка из спиновая структура.^[9] Хотя концептуально такой же, этот подход использует совсем другой набор обозначений и требует гораздо более продвинутого опыта в нескольких областях дифференциальная геометрия.

Последним шагом в геометризации калибровочной инвариантности является признание того, что в квантовой теории нужно только сравнивать соседние волокна основного пучка волокон, и что сами волокна обеспечивают излишнее дополнительное описание. Это приводит к идее модификации калибровочной группы для получения калибровочный группоид как наиболее близкое описание калибровочной связности в квантовой теории поля.^[6][10]

Для обычных алгебр Ли калибровочная ковариантная производная по пространственным симметриям (симметриям псевдориманова многообразия и общей теории относительности) не может быть переплетена с внутренними калибровочными симметриями; то есть метрическая геометрия и аффинная геометрия обязательно являются отдельными математическими предметами: это содержание Теорема Коулмана – Мандулы. Однако посылка этой теоремы нарушается Супералгебры Ли (которые нет Алгебры Ли!), Что дает надежду на то, что единая унифицированная симметрия может описывать как пространственные, так и внутренние симметрии: это основа суперсимметрия.

Более математический подход использует безиндексную нотацию, подчеркивая геометрическую и алгебраическую структуру калибровочной теории и ее связь с Алгебры Ли и Римановы многообразия; например, рассматривая калибровочную ковариацию как эквивалентность на волокнах жгута волокон. Индексные обозначения, используемые в физике, делают ее гораздо более удобной для практических расчетов, хотя и делают общую геометрическую структуру теории более непрозрачной.^[7] Физический подход также имеет педагогическое преимущество: общая структура калибровочной теории может быть раскрыта после минимального изучения опыта. многомерное исчисление, тогда как геометрический подход требует больших затрат времени на общую теорию дифференциальная геометрия, Римановы многообразия, Алгебры Ли, представления алгебр Ли и основные пакеты прежде, чем можно будет выработать общее понимание. В более продвинутых дискуссиях оба обозначения обычно смешиваются.

В этой статье делается попытка максимально приблизиться к обозначениям и языку, обычно используемым в учебных программах по физике, лишь кратко затрагивая более абстрактные связи.

Динамика жидкостей

В динамика жидкостей калибровочно-ковариантная производная жидкости может быть определена как

${\displaystyle \nabla _{t}\mathbf {v} :=\partial _{t}\mathbf {v} +(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} }$

куда ${\displaystyle \mathbf {v} }$ это скорость векторное поле жидкости.

Калибровочная теория

В калибровочная теория, который изучает определенный класс поля которые важны в квантовая теория поля, то минимально связанный калибровочная ковариантная производная определяется как

${\displaystyle D_{\mu }:=\partial _{\mu }-iqA_{\mu }}$

куда ${\displaystyle A_{\mu }}$ это электромагнитный четырехпотенциал.

(Это действительно для Минковского метрическая подпись (−, +, +, +), что характерно для общая теория относительности и используется ниже. Для физика элементарных частиц соглашение (+, −, −, −), это ${\displaystyle D_{\mu }:=\partial _{\mu }+iqA_{\mu }}$. В электрон заряд определяется как отрицательный ${\displaystyle q_{e}=-|e|}$, а поле Дирака определено как преобразующееся положительно как ${\displaystyle \psi (x)\rightarrow e^{iq\alpha (x)}\psi (x).}$)

Построение ковариантной производной через требование калибровочной ковариантности

Рассмотрим типичное (возможно, неабелево) калибровочное преобразование, определяемое оператором симметрии ${\displaystyle U(x)=e^{i\alpha (x)}}$, действуя на поле ${\displaystyle \phi (x)}$, так что

${\displaystyle \phi (x)\rightarrow \phi '(x)=U(x)\phi (x)\equiv e^{i\alpha (x)}\phi (x),}$

${\displaystyle \phi ^{\dagger }(x)\rightarrow \phi {'}^{\dagger }=\phi ^{\dagger }(x)U^{\dagger }(x)\equiv \phi ^{\dagger }(x)e^{-i\alpha (x)},\qquad U^{\dagger }=U^{-1}.}$

куда ${\displaystyle \alpha (x)}$ является элементом Алгебра Ли связанный с Группа Ли преобразований симметрии и могут быть выражены через образующие группы, ${\displaystyle \{t^{a}\}_{a}}$, в качестве ${\displaystyle \alpha (x)=\alpha ^{a}(x)t^{a}}$.

Частная производная ${\displaystyle \partial _{\mu }}$ преобразуется, соответственно, как

${\displaystyle \partial _{\mu }\phi (x)\rightarrow \partial _{\mu }\phi '(x)=U(x)\partial _{\mu }\phi (x)+(\partial _{\mu }U)\phi (x)\equiv e^{i\alpha (x)}\partial _{\mu }\phi (x)+i(\partial _{\mu }\alpha )e^{i\alpha (x)}\phi (x)}$

и кинетический член вида ${\displaystyle \phi ^{\dagger }\partial _{\mu }\phi }$ таким образом, не инвариантен относительно этого преобразования.

Мы можем ввести ковариантную производную ${\displaystyle D_{\mu }}$ в этом контексте как обобщение частной производной ${\displaystyle \partial _{\mu }}$ который ковариантно преобразуется при калибровке преобразования, т.е. объект, удовлетворяющий

${\displaystyle D_{\mu }\phi (x)\rightarrow D'_{\mu }\phi '(x)=U(x)D_{\mu }\phi (x),}$

который в операторной форме принимает вид

${\displaystyle D'_{\mu }=U(x)D_{\mu }U^{\dagger }(x).}$

Таким образом, мы вычисляем (опуская явное ${\displaystyle x}$ зависимости для краткости)

${\displaystyle D_{\mu }\phi \rightarrow D'_{\mu }U\phi =UD_{\mu }\phi +(\delta D_{\mu }U+[D_{\mu },U])\phi }$,

куда

${\displaystyle D_{\mu }\rightarrow D'_{\mu }\equiv D_{\mu }+\delta D_{\mu }}$.

Требование для ${\displaystyle D_{\mu }}$ преобразовать ковариантно теперь переводится в условие

${\displaystyle (\delta D_{\mu }U+[D_{\mu },U])\phi =0.}$

Чтобы получить явное выражение, мы следуем QED и сделать анзац

${\displaystyle D_{\mu }=\partial _{\mu }-igA_{\mu },}$

где векторное поле ${\displaystyle A_{\mu }}$ удовлетворяет,

${\displaystyle A_{\mu }\rightarrow A'_{\mu }=A_{\mu }+\delta A_{\mu },}$

откуда следует, что

${\displaystyle \delta D_{\mu }\equiv -ig\delta A_{\mu }}$

и

${\displaystyle \delta A_{\mu }=[U,A_{\mu }]U^{\dagger }-{\frac {i}{g}}[\partial _{\mu },U]U^{\dagger }}$

который, используя ${\displaystyle U(x)=1+i\alpha (x)+{\mathcal {O}}(\alpha ^{2})}$, принимает вид

${\displaystyle \delta A_{\mu }={\frac {1}{g}}([\partial _{\mu },\alpha ]-ig[A_{\mu },\alpha ])+{\mathcal {O}}(\alpha ^{2})={\frac {1}{g}}[D_{\mu },\alpha ]+{\mathcal {O}}(\alpha ^{2})}$

Итак, мы нашли объект ${\displaystyle D_{\mu }}$ такой, что

${\displaystyle \phi ^{\dagger }(x)D_{\mu }\phi (x)\rightarrow \phi '^{\dagger }(x)D'_{\mu }\phi '(x)=\phi ^{\dagger }(x)D_{\mu }\phi (x).}$

Квантовая электродинамика

Если калибровочное преобразование задается формулой

${\displaystyle \psi \mapsto e^{i\Lambda }\psi }$

а для калибровочного потенциала

${\displaystyle A_{\mu }\mapsto A_{\mu }+{1 \over e}(\partial _{\mu }\Lambda )}$

тогда ${\displaystyle D_{\mu }}$ трансформируется как

${\displaystyle D_{\mu }\mapsto \partial _{\mu }-ieA_{\mu }-i(\partial _{\mu }\Lambda )}$,

и ${\displaystyle D_{\mu }\psi }$ трансформируется как

${\displaystyle D_{\mu }\psi \mapsto e^{i\Lambda }D_{\mu }\psi }$

и ${\displaystyle {\bar {\psi }}:=\psi ^{\dagger }\gamma ^{0}}$ трансформируется как

${\displaystyle {\bar {\psi }}\mapsto {\bar {\psi }}e^{-i\Lambda }}$

так что

${\displaystyle {\bar {\psi }}D_{\mu }\psi \mapsto {\bar {\psi }}D_{\mu }\psi }$

и ${\displaystyle {\bar {\psi }}D_{\mu }\psi }$ в QED Лагранжиан поэтому калибровочно инвариантна, и поэтому калибровочная ковариантная производная названа удачно.

С другой стороны, нековариантная производная ${\displaystyle \partial _{\mu }}$ не сохранит калибровочную симметрию лагранжиана, поскольку

${\displaystyle {\bar {\psi }}\partial _{\mu }\psi \mapsto {\bar {\psi }}\partial _{\mu }\psi +i{\bar {\psi }}(\partial _{\mu }\Lambda )\psi }$.

Квантовая хромодинамика

В квантовая хромодинамика калибровочно-ковариантная производная равна^[11]

${\displaystyle D_{\mu }:=\partial _{\mu }-ig_{s}\,G_{\mu }^{\alpha }\,\lambda _{\alpha }/2}$

куда ${\displaystyle g_{s}}$ это константа связи сильного взаимодействия, ${\displaystyle G}$ глюон калибровочное поле, для восьми различных глюонов ${\displaystyle \alpha =1\dots 8}$, и где ${\displaystyle \lambda _{\alpha }}$ один из восьми Матрицы Гелл-Манна. Матрицы Гелл-Манна дают представление из цветовая симметрия группа SU (3). Для кварков это представление фундаментальное представление, для глюонов представлением является присоединенное представительство.

Стандартная модель

Ковариантная производная в Стандартная модель сочетает в себе электромагнитное, слабое и сильное взаимодействия. Это можно выразить в следующей форме:^[12]

${\displaystyle D_{\mu }:=\partial _{\mu }-i{\frac {g'}{2}}Y\,B_{\mu }-i{\frac {g}{2}}\sigma _{j}\,W_{\mu }^{j}-i{\frac {g_{s}}{2}}\lambda _{\alpha }\,G_{\mu }^{\alpha }}$

Калибровочные поля здесь принадлежат фундаментальные представления из электрослабый Группа Ли ${\displaystyle U(1)\otimes SU(2)}$ раз цветовая симметрия Группа Ли SU (3). Константа связи ${\displaystyle g'}$ обеспечивает связь гиперзаряда ${\displaystyle Y}$ к ${\displaystyle B}$ бозон и ${\displaystyle g}$ связь через три векторных бозона ${\displaystyle W^{j}}$ ${\displaystyle (j=1,2,3)}$ слабому изоспину, компоненты которого здесь обозначены как Матрицы Паули ${\displaystyle \sigma _{j}}$. Через Механизм Хиггса эти бозонные поля объединяются в безмассовое электромагнитное поле ${\displaystyle A_{\mu }}$ а поля трех массивных векторных бозонов ${\displaystyle W^{\pm }}$ и ${\displaystyle Z}$.

Общая теория относительности

В общая теория относительности, калибровочная ковариантная производная определяется как

${\displaystyle \nabla _{j}v^{i}:=\partial _{j}v^{i}+\sum _{k}\Gamma ^{i}{}_{jk}v^{k}}$

куда ${\displaystyle \Gamma ^{i}{}_{jk}}$ это Символ Кристоффеля. Более формально эту производную можно понимать как Риманова связь на комплект кадров. «Калибровочная свобода» здесь - это произвольный выбор система координат в каждой точке пространство-время.

Смотрите также

• Кинетический импульс
• Связь (математика)
• Минимальное сцепление
• Исчисление Риччи

Рекомендации

1. Л.Д. Фаддеев, А.А. Славнов, Калибровочные поля: введение в калибровочную теорию, (1980) Бенджамин Каммингс, ISBN  0-8053-9016-2
2. Клод Ициксон, Жан-Бернар Зубер, Квантовая теория поля (1980) Макгроу-Хилл ISBN  0-07-032071-3
3. Уоррен Сигел, Поля (1999) ArXiv
4. Ричард С. Пале, Геометризация физики (1981) Конспект лекций, Институт математики, Национальный университет Цин Хуа
5. М. Э. Майер "Обзор: Дэвид Д. Бликер, Калибровочная теория и вариационные принципы ", Бык. Амер. Математика. Soc. (Н.С.) 9 (1983), нет. 1, 83-92
6. Александр Гуай, Геометрические аспекты локальной калибровочной симметрии (2004)
7. Чарльз В. Миснер, Кип С. Торн и Джон Арчибальд Уиллер, Гравитация, (1973) В. Х. Фриман и компания
8. Дэвид Бликер "Калибровочная теория и вариационные принципы "(1982) D. Reidel Publishing (См. Главу 3)
9. Дэвид Бликер, op. соч. (См. Главу 6.)
10. Мейнхард Э. Майер, "Основные связки против группоидов Ли в калибровочной теории", (1990) в Дифференциально-геометрические методы в теоретической физике, Объем 245 стр 793-802
11. http://www.fuw.edu.pl/~dobaczew/maub-42w/node9.html
12. См. Например экв. 3.116 в К. Талли, Физика элементарных частиц в двух словах, 2011, Издательство Принстонского университета.

• Цутому Камбэ, Принцип манометра для идеальных жидкостей и вариационный принцип. (PDF-файл.)