Внешняя ковариантная производная - Exterior covariant derivative - Wikipedia

В математика, то внешняя ковариантная производная является аналогом внешняя производная что учитывает наличие связь.

Определение

Позволять грамм группа Ли и пM быть главный грамм-пучок на гладкое многообразие M. Предположим, есть связь на п; это дает естественное разложение в прямую сумму каждого касательного пространства в горизонтальный и вертикальный подпространства. Позволять - проекция на горизонтальное подпространство.

Если ϕ это k-форма на п со значениями в векторном пространстве V, то его внешняя ковариантная производная форма определяется

куда vя являются касательными векторами к п в ты.

Предположим, что ρ : грамм → GL (V) это представление из грамм в векторном пространстве V. Если ϕ является эквивариантный в том смысле, что

куда , тогда это тензорный (k + 1)-форма на п типа ρ: эквивариантно и горизонтально (форма ψ горизонтально, если ψ(v0, ..., vk) = ψ(hv0, ..., hvk).)

К злоупотребление обозначениями, дифференциал ρ в единичном элементе можно снова обозначить как ρ:

Позволять быть подключение одноформное и представление связи в То есть, это -значная форма, исчезающая на горизонтальном подпространстве. Если ϕ тензорный k-форма типа ρ, тогда

[1]

где, следуя обозначениям в Дифференциальная форма со значениями в алгебре Ли § Операции, мы написали

В отличие от обычного внешняя производная, который возводится в квадрат 0, внешняя ковариантная производная - нет. В общем, для тензорной нулевой формы ϕ,

[2]

куда F = ρ(Ом) это представление[требуется разъяснение ] в из кривизна двухформная Ω. Форму F иногда называют тензор напряженности поля, по аналогии с ролью, которую он играет в электромагнетизм. Обратите внимание, что D2 исчезает на плоское соединение (т.е. когда Ω = 0).

Если ρ : грамм → GL (рп), тогда можно написать

куда матрица с 1 на (я, j)-я запись и ноль для остальных записей. Матрица чьи записи являются 2-формами на п называется матрица кривизны.

Внешняя ковариантная производная для векторных расслоений

Когда ρ : грамм → GL (V) это представление, можно сформировать связанный пакет E = п ×ρ V. Тогда внешняя ковариантная производная D предоставлено связью на п индуцирует внешнюю ковариантную производную (иногда называемую внешнее соединение ) на связанном пакете, на этот раз используя набла символ:

Здесь Γ обозначает пространство местные разделы векторного расслоения. Расширение осуществляется через переписку между E-значные формы и тензорные формы шрифта ρ (видеть тензорные формы на главных расслоениях.)

Требуя, чтобы ∇ удовлетворяло правилу Лейбница, ∇ также действует на любом E-значная форма; таким образом, он задан на разложимых элементах пространства из -ценный k-формы по

.

Для раздел s из E, мы также устанавливаем

куда сокращение на Икс.

Наоборот, учитывая векторное расслоение Eможно взять его комплект кадров, которое является главным расслоением, и тем самым получить внешнее ковариантное дифференцирование на E (в зависимости от подключения). Выявление тензорных форм и E-значные формы, можно показать, что

что можно легко распознать как определение Тензор кривизны Римана на Римановы многообразия.

Пример

  • Вторая личность Бьянки, что говорит о том, что внешняя ковариантная производная Ω равна нулю (т. е. DΩ = 0) можно записать как: .

Примечания

  1. ^ Если k = 0, затем, написав для фундаментальное векторное поле (т.е. вертикальное векторное поле), генерируемое Икс в на п, у нас есть:
    ,
    поскольку ϕ(гу) = ρ(грамм−1)ϕ(ты). С другой стороны, (Икс#) = 0. Если Икс - горизонтальный касательный вектор, то и . В общем случае пусть Иксякасательные векторы к п в какой-то момент такой, что некоторые из Иксяявляются горизонтальными, а остальные - вертикальными. Если Икся является вертикальным, мы думаем о нем как об элементе алгебры Ли, а затем отождествляем его с порожденным им фундаментальным векторным полем. Если Икся горизонтально, заменим его на горизонтальный подъем векторного поля, продолжающего прямую πИкся. Таким образом, мы расширили Иксяк векторным полям. Обратите внимание, что расширение таково, что у нас есть: [Икся, Иксj] = 0, если Икся горизонтально и Иксj вертикальный. Наконец, инвариантная формула для внешней производной, у нас есть:
    ,
    который .
  2. ^ Доказательство: поскольку ρ действует на постоянную часть ω, он ездит с d и поэтому
    .
    Тогда по примеру на Дифференциальная форма со значениями в алгебре Ли § Операции,
    который к Структурное уравнение Э. Картана.

Рекомендации

  • Кобаяси, Шошичи; Номидзу, Кацуми (1996). Основы дифференциальной геометрии, Vol. 1 (Новое изд.). Wiley-Interscience. ISBN  0-471-15733-3.