Некоммутативная топология - Noncommutative topology

В математика, некоммутативная топология это термин, используемый для обозначения отношений между топологический и C * -алгебраический концепции. Термин берет свое начало в Теорема Гельфанда – Наймарка., что означает двойственность из категория из локально компактный Хаусдорфовы пространства и категория коммутативный C * -алгебры. Некоммутативная топология связана с аналитическими некоммутативная геометрия.

Примеры

Предпосылка некоммутативной топологии состоит в том, что некоммутативную C * -алгебру можно рассматривать как алгебру комплекснозначных непрерывные функции на «некоммутативном пространстве», которое классически не существует. Некоторые топологические свойства могут быть сформулированы как свойства C * -алгебр без ссылки на коммутативность или лежащее в основе пространство, и поэтому имеют немедленное обобщение.

Отдельным элементам коммутативной C * -алгебры соответствуют непрерывные функции. Таким образом, определенные типы функций могут соответствовать определенным свойствам C * -алгебры. Например, самосопряженный элементы коммутативной C * -алгебры соответствуют действительнозначным непрерывным функциям. Также, прогнозы (т.е. самосопряженный идемпотенты ) соответствуют индикаторные функции из Clopen наборы.

Категориальные конструкции приводят к некоторым примерам. Например, сопродукт пространств - это несвязный союз и, таким образом, соответствует прямая сумма алгебр, какой товар C * -алгебр. Так же, топология продукта соответствует копроизведению C * -алгебр, тензорное произведение алгебр. В более специализированном контексте компактификации топологий соответствуют унитизациям алгебр. Так что одноточечная компактификация соответствует минимальной унитизации C * -алгебр, Каменно-чешская компактификация соответствует алгебра множителей, и наборы короны соответствует алгебры короны.

Есть определенные примеры свойств, в которых возможно несколько обобщений, и неясно, какое из них предпочтительнее. Например, вероятностные меры может соответствовать либо состояния или следовые состояния. Поскольку в коммутативном случае все состояния являются пустыми следовыми состояниями, неясно, необходимо ли условие следа для того, чтобы быть полезным обобщением.

K-теория

Одним из основных примеров этой идеи является обобщение топологическая K-теория некоммутативным C * -алгебрам в виде операторная K-теория.

Дальнейшее развитие в этом двувариантный версия K-теории называется KK-теория, который имеет состав продукта

из которых кольцевая структура в обычной K-теории является частным случаем. Изделие придает структуру категория КК. Это было связано с корреспонденции алгебраических многообразий.[1]

использованная литература

  1. ^ Конн, Ален; Консани, Катерина; Марколли, Матильда (2007), «Некоммутативная геометрия и мотивы: термодинамика эндомотивов», Успехи в математике, 214 (2): 761–831, arXiv:math.QA/0512138, Дои:10.1016 / j.aim.2007.03.006, Г-Н  2349719