Граничный член Гиббонса – Хокинга – Йорка - Gibbons–Hawking–York boundary term

В общая теория относительности, то Граничный член Гиббонса – Хокинга – Йорка это термин, который нужно добавить к Действие Эйнштейна – Гильберта когда основной пространство-время многообразие имеет границу.

Действие Эйнштейна – Гильберта лежит в основе наиболее элементарных вариационный принцип откуда полевые уравнения общей теории относительности можно определить. Однако использование действия Эйнштейна – Гильберта уместно только тогда, когда лежащее в основе пространственно-временное многообразие ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ является закрыто, т.е. многообразие, одновременно являющееся компактный и без границ. В случае, если многообразие имеет границу ${\displaystyle \partial {\mathcal {M}}}$, действие должно быть дополнено граничным членом, чтобы вариационный принцип был четко определен.

Необходимость такого граничного члена впервые осознал Йорк и позже незначительно усовершенствован Гиббонс и Хокинг.

Для незамкнутого многообразия подходящим действием является

${\displaystyle {\mathcal {S}}_{\mathrm {EH} }+{\mathcal {S}}_{\mathrm {GHY} }={\frac {1}{16\pi }}\int _{\mathcal {M}}\mathrm {d} ^{4}x\,{\sqrt {-g}}R+{\frac {1}{8\pi }}\int _{\partial {\mathcal {M}}}\mathrm {d} ^{3}y\,\epsilon {\sqrt {h}}K,}$

куда ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{\mathrm {EH} }}$ - действие Эйнштейна – Гильберта, ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{\mathrm {GHY} }}$ - граничный член Гиббонса – Хокинга – Йорка, ${\displaystyle h_{ab}}$ это индуцированная метрика (см. определения ниже в разделе) на границе, ${\displaystyle h}$ его определитель, ${\displaystyle K}$ это след вторая основная форма, ${\displaystyle \epsilon }$ равно ${\displaystyle +1}$ где нормаль к ${\displaystyle \partial {\mathcal {M}}}$ космический и ${\displaystyle -1}$ где нормаль к ${\displaystyle \partial {\mathcal {M}}}$ времяподобно, и ${\displaystyle y^{a}}$ - координаты на границе. Варьируя действие относительно метрики ${\displaystyle g_{\alpha \beta }}$, при условии

${\displaystyle \delta g_{\alpha \beta }{\big |}_{\partial {\mathcal {M}}}=0,}$

дает Уравнения Эйнштейна; Добавление граничного члена означает, что при выполнении вариации геометрия границы закодирована в поперечной метрике ${\displaystyle h_{ab}}$ исправлено (см. раздел ниже). В действии остается неоднозначность с точностью до произвольного функционала индуцированной метрики ${\displaystyle h_{ab}}$.

В гравитационном случае необходим граничный член, потому что ${\displaystyle R}$, гравитационная плотность лагранжиана, содержит вторые производные метрического тензора. Это нетипичная особенность теорий поля, которые обычно формулируются в терминах лагранжианов, которые включают в себя вариации только первых производных полей.

Термин GHY желателен, поскольку он обладает рядом других ключевых особенностей. При переходе к гамильтонову формализму необходимо включить член GHY, чтобы воспроизвести правильную энергию Арновитта – Дезера – Мизнера (ADM Energy ). Этот член необходим для обеспечения интеграла по путям (а-ля Хокинг) для квантовая гравитация имеет правильные композиционные свойства. При вычислении энтропии черной дыры с использованием евклидова полуклассического подхода весь вклад вносит член GHY. Этот термин недавно нашел применение в петля квантовой гравитации при вычислении амплитуд переходов и амплитуд рассеяния, не зависящих от фона.

Чтобы определить конечное значение действия, может потребоваться вычесть поверхностный член для плоского пространства-времени:

${\displaystyle S_{EH}+S_{GHY,0}={\frac {1}{16\pi }}\int _{\mathcal {M}}\mathrm {d} ^{4}x\,{\sqrt {-g}}R+{\frac {1}{8\pi }}\int _{\partial {\mathcal {M}}}\mathrm {d} ^{3}y\,\epsilon {\sqrt {h}}K-{1 \over 8\pi }\int _{\partial {\mathcal {M}}}\mathrm {d} ^{3}y\,\epsilon {\sqrt {h}}K_{0},}$

куда ${\displaystyle K_{0}}$ - внешняя кривизна границы вложенного плоского пространства-времени. В качестве ${\displaystyle {\sqrt {h}}}$ инвариантен относительно вариаций ${\displaystyle g_{\alpha \beta }}$, этот дополнительный член не влияет на уравнения поля; как таковой, это называется нединамическим термином.

Введение в гиперповерхности

Определение гиперповерхностей

В четырехмерном многообразии пространства-времени гиперповерхность - это трехмерное подмногообразие это может быть времяподобное, пространственноподобное или нулевое.

Особая гиперповерхность ${\displaystyle \Sigma }$ можно выбрать либо путем наложения ограничения на координаты

${\displaystyle f(x^{\alpha })=0,}$

или задав параметрические уравнения,

${\displaystyle x^{\alpha }=x^{\alpha }(y^{a}),}$

куда ${\displaystyle y^{a}(a=1,2,3)}$ - координаты, присущие гиперповерхности.

Например, двумерная сфера в трехмерном евклидовом пространстве может быть описана либо следующим образом:

${\displaystyle f(x^{\alpha })=x^{2}+y^{2}+z^{2}-r^{2}=0,}$

куда ${\displaystyle r}$ - радиус сферы, или

${\displaystyle x=r\sin \theta \cos \phi ,\quad y=r\sin \theta \sin \phi ,\quad z=r\cos \theta ,}$

куда ${\displaystyle \theta }$ и ${\displaystyle \phi }$ являются внутренними координатами.

Гиперповерхностные ортогональные векторные поля

Возьмем метрическое соглашение (-, +, ..., +). Начнем с семейства гиперповерхностей:

${\displaystyle f(x^{\alpha })=C}$

где разные члены семейства соответствуют разным значениям постоянной ${\displaystyle C}$. Рассмотрим две соседние точки ${\displaystyle P}$ и ${\displaystyle Q}$ с координатами ${\displaystyle x^{\alpha }}$ и ${\displaystyle x^{\alpha }+dx^{\alpha }}$соответственно, лежащие на одной гиперповерхности. Затем мы должны сначала заказать

${\displaystyle C=f(x^{\alpha }+dx^{\alpha })=f(x^{\alpha })+{\partial f \over \partial x^{\alpha }}dx^{\alpha }.}$

Вычитание ${\displaystyle C=f(x^{\alpha })}$ из этого уравнения дает

${\displaystyle {\partial f \over \partial x^{\alpha }}dx^{\alpha }=0}$

в ${\displaystyle P}$. Отсюда следует, что ${\displaystyle f_{,\alpha }}$ нормально к гиперповерхности. Единица нормальная ${\displaystyle n_{\alpha }}$ может быть введено в случае, когда гиперповерхность не равна нулю. Это определяется

${\displaystyle n^{\alpha }n_{\alpha }\equiv \epsilon ={\begin{cases}-1&{\text{if }}\Sigma {\text{ is spacelike}}\\+1&{\text{if }}\Sigma {\text{ is timelike}}\end{cases}}}$

и мы требуем, чтобы ${\displaystyle n^{\alpha }}$ указать в сторону увеличения ${\displaystyle f:n^{\alpha }f_{,\alpha }>0}$. Тогда легко проверить, что ${\displaystyle n_{\alpha }}$ дан кем-то

${\displaystyle n_{\alpha }={\epsilon f_{,\alpha } \over |g^{\alpha \beta }f_{,\alpha }f_{,\beta }|^{1 \over 2}}}$

если гиперповерхность либо пространственноподобная, либо времениподобная.

Индуцированная и поперечная метрика

Три вектора

${\displaystyle e_{a}^{\alpha }=\left({\partial x^{\alpha } \over \partial y^{a}}\right)_{\partial {\mathcal {M}}}\quad a=1,2,3}$

касаются гиперповерхности.

Индуцированная метрика - это трехтензорный ${\displaystyle h_{ab}}$ определяется

${\displaystyle h_{ab}=g_{\alpha \beta }e_{a}^{\alpha }e_{b}^{\beta }.}$

Это действует как метрический тензор на гиперповерхности в ${\displaystyle y^{a}}$ координаты. Для перемещений, ограниченных гиперповерхностью (так что ${\displaystyle x^{\alpha }=x^{\alpha }(y^{a})}$)

${\displaystyle {\begin{aligned}ds^{2}&=g_{\alpha \beta }dx^{\alpha }dx^{\beta }\\&=g_{\alpha \beta }\left({\frac {\partial x^{\alpha }}{\partial y^{a}}}dy^{a}\right)\left({\frac {\partial x^{\beta }}{\partial y^{b}}}dy^{b}\right)\\&=\left(g_{\alpha \beta }e_{a}^{\alpha }e_{b}^{\beta }\right)dy^{a}dy^{b}\\&=h_{ab}dy^{a}dy^{b}\end{aligned}}}$

Поскольку три вектора ${\displaystyle e_{1}^{\alpha },e_{2}^{\alpha },e_{3}^{\alpha }}$ касаются гиперповерхности,

${\displaystyle n_{\alpha }e_{a}^{\alpha }=0}$

куда ${\displaystyle n_{\alpha }}$ - единичный вектор (${\displaystyle n_{\alpha }n^{\alpha }=\pm 1}$) нормально к гиперповерхности.

Введем так называемую поперечную метрику

${\displaystyle h_{\alpha \beta }=g_{\alpha \beta }-\epsilon n_{\alpha }n_{\beta }.}$

Он изолирует часть метрики, поперечную к нормали. ${\displaystyle n^{\alpha }}$.

Легко видеть, что этот четырехтензорный

${\displaystyle {h^{\alpha }}_{\beta }={\delta ^{\alpha }}_{\beta }-\epsilon n^{\alpha }n_{\beta }}$

проецирует часть четырехвектора поперек нормали ${\displaystyle n^{\alpha }}$ в качестве

${\displaystyle {h^{\alpha }}_{\beta }n^{\beta }=({\delta ^{\alpha }}_{\beta }-\epsilon n^{\alpha }n_{\beta })n^{\beta }=(n^{\alpha }-\epsilon ^{2}n^{\alpha })=0\quad {\text{and }}\;\mathrm {if} \quad w^{\alpha }n_{\alpha }=0\quad \mathrm {then} \quad {h^{\alpha }}_{\beta }w^{\beta }=w^{\alpha }.}$

У нас есть

${\displaystyle h_{ab}=h_{\alpha \beta }e_{a}^{\alpha }e_{b}^{\beta }.}$

Если мы определим ${\displaystyle h^{ab}}$ быть противоположным ${\displaystyle h_{ab}}$, легко проверить

${\displaystyle h^{\alpha \beta }=h^{ab}e_{a}^{\alpha }e_{b}^{\beta }}$

куда

${\displaystyle h^{\alpha \beta }=g^{\alpha \beta }-\epsilon n^{\alpha }n^{\beta }.}$

Обратите внимание, что изменение зависит от условия

${\displaystyle \delta g_{\alpha \beta }{\big |}_{\partial {\mathcal {M}}}=0,}$

подразумевает, что ${\displaystyle h_{ab}=g_{\alpha \beta }e_{a}^{\alpha }e_{b}^{\beta }}$, индуцированная метрика на ${\displaystyle \partial {\mathcal {M}}}$, фиксируется во время изменения.

О доказательстве основного результата

В следующих подразделах мы сначала вычислим вариацию члена Эйнштейна-Гильберта, а затем вариацию граничного члена, и покажем, что их сумма дает

${\displaystyle \delta S_{TOTAL}=\delta S_{EH}+\delta S_{GHY}={\frac {1}{16\pi }}\int _{\mathcal {M}}G_{\alpha \beta }\delta g^{\alpha \beta }{\sqrt {-g}}d^{4}x}$

куда ${\displaystyle G_{\alpha \beta }=R_{\alpha \beta }-{1 \over 2}g_{\alpha \beta }R}$ это Тензор Эйнштейна, что дает правильную левую часть Уравнения поля Эйнштейна, без космологический термин, который, однако, тривиально включить, заменив ${\displaystyle S_{EH}}$ с

${\displaystyle {1 \over 16\pi }\int _{\mathcal {M}}(R-2\Lambda ){\sqrt {-g}}d^{4}x}$

куда ${\displaystyle \Lambda }$ это космологическая постоянная.

В третьем подразделе мы уточняем значение нединамического термина.

Вариация члена Эйнштейна – Гильберта.

Мы будем использовать айдентику

${\displaystyle \delta {\sqrt {-g}}\equiv -{1 \over 2}{\sqrt {-g}}g_{\alpha \beta }\delta g^{\alpha \beta },}$

и Фирменный стиль Палатини:

${\displaystyle \delta R_{\alpha \beta }\equiv \nabla _{\mu }(\delta \Gamma _{\alpha \beta }^{\mu })-\nabla _{\beta }(\delta \Gamma _{\alpha \mu }^{\mu }),}$

которые оба получены в статье Действие Эйнштейна – Гильберта.

Мы рассматриваем вариацию члена Эйнштейна – Гильберта:

${\displaystyle {\begin{aligned}(16\pi )\delta S_{EH}&=\int _{\mathcal {M}}\delta \left(g^{\alpha \beta }R_{\alpha \beta }{\sqrt {-g}}\right)d^{4}x\\&=\int _{\mathcal {M}}\left(R_{\alpha \beta }{\sqrt {-g}}\delta g^{\alpha \beta }+g^{\alpha \beta }R_{\alpha \beta }\delta {\sqrt {-g}}+{\sqrt {-g}}g^{\alpha \beta }\delta R_{\alpha \beta }\right)d^{4}x\\&=\int _{\mathcal {M}}\left(R_{\alpha \beta }-{1 \over 2}g_{\alpha \beta }R\right)\delta g^{\alpha \beta }{\sqrt {-g}}d^{4}x+\int _{\mathcal {M}}g^{\alpha \beta }\delta R_{\alpha \beta }{\sqrt {-g}}d^{4}x.\end{aligned}}}$

Первый член дает нам то, что нам нужно для левой части уравнений поля Эйнштейна. Мы должны учитывать второй срок.

По идентичности Палатини

${\displaystyle g^{\alpha \beta }\delta R_{\alpha \beta }=\delta {V^{\mu }}_{;\mu },\qquad \delta V^{\mu }=g^{\alpha \beta }\delta \Gamma _{\alpha \beta }^{\mu }-g^{\alpha \mu }\delta \Gamma _{\alpha \beta }^{\beta }.}$

Нам понадобится Теорема Стокса в виде:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\mathcal {M}}{A^{\mu }}_{;\mu }{\sqrt {-g}}d^{4}x&=\int _{\mathcal {M}}({\sqrt {-g}}A^{\mu })_{,\mu }d^{4}x\\&=\oint _{\partial {\mathcal {M}}}A^{\mu }d\Sigma _{\mu }\\&=\oint _{\partial {\mathcal {M}}}\epsilon A^{\mu }n_{\mu }{\sqrt {|h|}}d^{3}y\end{aligned}}}$

куда ${\displaystyle n_{\mu }}$ нормальна ли единица к ${\displaystyle \partial _{\mathcal {M}}}$ и ${\displaystyle \epsilon \equiv n^{\mu }n_{\mu }=\pm 1}$, и ${\displaystyle y^{a}}$ - координаты на границе. И ${\displaystyle d\Sigma _{\mu }=\epsilon n_{\mu }d\Sigma }$ куда ${\displaystyle d\Sigma =|h|^{1 \over 2}d^{3}y}$ куда ${\displaystyle h=\det[h_{ab}]}$, является инвариантным элементом трехмерного объема на гиперповерхности. В нашем конкретном случае мы берем ${\displaystyle A^{\mu }=\delta V^{\mu }}$.

Теперь мы оцениваем ${\displaystyle \delta V^{\mu }n_{\mu }}$ на границе ${\displaystyle \partial {\mathcal {M}}}$, имея в виду, что на ${\displaystyle \partial {\mathcal {M}},\delta g_{\alpha \beta }=0=\delta g^{\alpha \beta }}$. Учитывая это, имеем

${\displaystyle \delta \Gamma _{\alpha \beta }^{\mu }{\big |}_{\partial {\mathcal {M}}}={\frac {1}{2}}g^{\mu \nu }(\delta g_{\nu \alpha ,\beta }+\delta g_{\nu \beta ,\alpha }-\delta g_{\alpha \beta ,\nu }).}$

Полезно отметить, что

${\displaystyle {\begin{aligned}g^{\alpha \mu }\delta \Gamma _{\alpha \beta }^{\beta }{\big |}_{\partial {\mathcal {M}}}&={1 \over 2}g^{\alpha \mu }g^{\beta \nu }(\delta g_{\nu \alpha ,\beta }+\delta g_{\nu \beta ,\alpha }-\delta g_{\alpha \beta ,\nu })\\&={1 \over 2}g^{\mu \nu }g^{\alpha \beta }(\delta g_{\nu \alpha ,\beta }+\delta g_{\alpha \beta ,\nu }-\delta g_{\nu \beta ,\alpha })\end{aligned}}}$

где во второй строке мы поменяли местами ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle \nu }$ и использовал, что метрика симметрична. Тогда нетрудно разработать ${\displaystyle \delta V^{\mu }=g^{\mu \nu }g^{\alpha \beta }(\delta g_{\nu \beta ,\alpha }-\delta g_{\alpha \beta ,\nu })}$.

А сейчас

${\displaystyle {\begin{aligned}\delta V^{\mu }n_{\mu }{\big |}_{\partial {\mathcal {M}}}&=n^{\mu }g^{\alpha \beta }(\delta g_{\mu \beta ,\alpha }-\delta g_{\alpha \beta ,\mu })\\&=n^{\mu }(\epsilon n^{\alpha }n^{\beta }+h^{\alpha \beta })(\delta g_{\mu \beta ,\alpha }-\delta g_{\alpha \beta ,\mu })\\&=n^{\mu }h^{\alpha \beta }(\delta g_{\mu \beta ,\alpha }-\delta g_{\alpha \beta ,\mu })\end{aligned}}}$

где во второй строке мы использовали тождество ${\displaystyle g^{\alpha \beta }=\epsilon n^{\alpha }n^{\beta }+h^{\alpha \beta }}$, а в третьей строке мы использовали антисимметрию в ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle \mu }$. В качестве ${\displaystyle \delta g_{\alpha \beta }}$ исчезает всюду на границе ${\displaystyle \partial {\mathcal {M}}}$, его тангенциальные производные также должны обращаться в нуль: ${\displaystyle \delta g_{\alpha \beta ,\gamma }e_{c}^{\gamma }=0}$. Следует, что ${\displaystyle h^{\alpha \beta }\delta g_{\mu \beta ,\alpha }=h^{ab}e_{a}^{\alpha }e_{b}^{\beta }\delta g_{\mu \beta ,\alpha }=0}$. Итак, наконец, у нас есть

${\displaystyle n^{\mu }\delta V_{\mu }{\big |}_{\partial {\mathcal {M}}}=-h^{\alpha \beta }\delta g_{\alpha \beta ,\mu }n^{\mu }.}$

Собирая результаты, получаем

${\displaystyle (16\pi )\delta S_{EH}=\int _{\mathcal {M}}G_{\alpha \beta }\delta g^{\alpha \beta }{\sqrt {-g}}d^{4}x-\oint _{\partial {\mathcal {M}}}\epsilon h^{\alpha \beta }\delta g_{\alpha \beta ,\mu }n^{\mu }{\sqrt {h}}d^{3}y\quad Eq1.}$

Далее мы покажем, что указанный выше граничный член будет отменен вариацией ${\displaystyle S_{GHY}}$.

Вариация граничного срока

Обратимся теперь к вариации ${\displaystyle S_{GHY}}$ срок. Поскольку индуцированная метрика фиксируется на ${\displaystyle \partial {\mathcal {M}},}$ Единственное, что нужно изменить, это ${\displaystyle K}$ это след внешняя кривизна.

У нас есть

${\displaystyle {\begin{aligned}K&={n^{\alpha }}_{;\alpha }\\&=g^{\alpha \beta }n_{\alpha ;\beta }\\&=\left(\epsilon n^{\alpha }n^{\beta }+h^{\alpha \beta }\right)n_{\alpha ;\beta }\\&=h^{\alpha \beta }n_{\alpha ;\beta }\\&=h^{\alpha \beta }(n_{\alpha ,\beta }-\Gamma _{\alpha \beta }^{\gamma }n_{\gamma })\end{aligned}}}$

где мы использовали это ${\displaystyle 0=(n^{\alpha }n_{\alpha })_{;\beta }}$ подразумевает ${\displaystyle n^{\alpha }n_{\alpha ;\beta }=0.}$ Итак, вариация ${\displaystyle K}$ является

${\displaystyle {\begin{aligned}\delta K&=-h^{\alpha \beta }\delta \Gamma _{\alpha \beta }^{\gamma }n_{\gamma }\\&=-h^{\alpha \beta }n_{\gamma }{\frac {1}{2}}g^{\gamma \sigma }\left(\delta g_{\sigma \alpha ,\beta }+\delta g_{\sigma \beta ,\alpha }-\delta g_{\alpha \beta ,\sigma }\right)\\&=-{1 \over 2}h^{\alpha \beta }\left(\delta g_{\mu \alpha ,\beta }+\delta g_{\mu \beta ,\alpha }-\delta g_{\alpha \beta ,\mu }\right)n^{\mu }\\&={\frac {1}{2}}h^{\alpha \beta }\delta g_{\alpha \beta ,\mu }n^{\mu }\end{aligned}}}$

где мы использовали тот факт, что касательные производные от ${\displaystyle \delta g_{\alpha \beta }}$ исчезнуть на ${\displaystyle \partial {\mathcal {M}}.}$ Мы получили

${\displaystyle (16\pi )\delta S_{GHY}=\oint _{\partial {\mathcal {M}}}\epsilon h^{\alpha \beta }\delta g_{\alpha \beta ,\mu }n^{\mu }{\sqrt {h}}d^{3}y}$

который сокращает второй интеграл в правой части уравнения. 1. Полная вариация гравитационного воздействия:

${\displaystyle \delta S_{TOTAL}={1 \over 16\pi }\int _{\mathcal {M}}G_{\alpha \beta }\delta g^{\alpha \beta }{\sqrt {-g}}d^{4}x.}$

Это дает правильную левую часть уравнений Эйнштейна. Это доказывает основной результат.

Этот результат был обобщен на теории гравитации четвертого порядка на многообразиях с границами в 1983 г.^[1] и опубликовано в 1985 году.^[2]

Нединамичный термин

Мы подробно остановимся на роли

${\displaystyle S_{0}={1 \over 8\pi }\oint _{\partial {\mathcal {M}}}\epsilon K_{0}|h|^{1 \over 2}d^{3}y}$

в гравитационном действии. Как уже было сказано выше, поскольку этот срок зависит только от ${\displaystyle h_{ab}}$, его вариация относительно ${\displaystyle g_{\alpha \beta }}$ дает ноль и поэтому не влияет на уравнения поля, его цель - изменить числовое значение воздействия. Поэтому мы будем называть его нединамичным термином.

Предположим, что ${\displaystyle g_{\alpha \beta }}$ является решением уравнений вакуумного поля, и в этом случае скаляр Риччи ${\displaystyle R}$ исчезает. Численное значение гравитационного воздействия тогда

${\displaystyle S={1 \over 8\pi }\oint _{\partial {\mathcal {M}}}\epsilon K|h|^{1 \over 2}d^{3}y,}$

где мы пока игнорируем нединамический член. Давайте оценим это для плоского пространства-времени. Выберите границу ${\displaystyle \partial {\mathcal {M}}}$ состоять из двух гиперповерхностей постоянного значения времени ${\displaystyle t=t_{1},t_{2}}$ и большой трехцилиндровый на ${\displaystyle r=r_{0}}$ (то есть произведение конечного интервала и трехсферы радиуса ${\displaystyle r_{0}}$). У нас есть ${\displaystyle K=0}$ на гиперповерхностях постоянного времени. На трех цилиндрах в координатах, присущих гиперповерхности, линейный элемент имеет вид

${\displaystyle {\begin{aligned}ds^{2}&=-dt^{2}+r_{0}^{2}d\Omega ^{2}\\&=-dt^{2}+r_{0}^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\phi ^{2})\end{aligned}}}$

означает, что индуцированная метрика

${\displaystyle h_{ab}={\begin{bmatrix}-1&0&0\\0&r_{0}^{2}&0\\0&0&r_{0}^{2}\sin ^{2}\theta \end{bmatrix}}.}$

так что ${\displaystyle |h|^{1 \over 2}=r_{0}^{2}\sin \theta }$. Единица нормальная ${\displaystyle n_{\alpha }=\partial _{\alpha }r}$, так ${\displaystyle K={n^{\alpha }}_{;\alpha }=2/r_{0}}$. потом

${\displaystyle \oint _{\partial {\mathcal {M}}}\epsilon K|h|^{1 \over 2}d^{3}y=\int _{t_{1}}^{t_{2}}dt\int _{0}^{2\pi }d\varphi \int _{0}^{\pi }d\theta \left({2 \over r_{0}}\right)(r_{0}^{2}\sin \theta )=8\pi r_{0}(t_{2}-t_{1})}$

и расходится как ${\displaystyle r_{0}\to \infty }$, то есть когда пространственная граница отодвинута до бесконечности, даже когда ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ограничен двумя гиперповерхностями постоянного времени. Можно было бы ожидать такой же проблемы для искривленных пространств-времени, которые асимптотически плоский (нет проблем, если пространство-время компактно). Эта проблема решается нединамичным термином. Разница ${\displaystyle S_{GHY}-S_{0}}$ будет хорошо определен в пределе ${\displaystyle r_{0}\to \infty }$.

Вариация модифицированных условий гравитации

Основная статья: Альтернативы общей теории относительности

Есть много теорий, которые пытаются различными способами модифицировать общую теорию относительности, например f (R) гравитация заменяет R, скаляр Риччи в действии Эйнштейна-Гильберта на функцию f (R). Guarnizo et al. нашел граничный член для общей теории f (R).^[3] Они обнаружили, что «модифицированное действие в метрическом формализме f (R) гравитации плюс граничный член типа Гиббонса-Йорка-Хокинга должны быть записаны как:

${\displaystyle S_{mod}={\frac {1}{2\kappa }}\int _{V}d^{4}x{\sqrt {-g}}f(R)+2\int _{\partial V}d^{3}y\epsilon |h|f'(R)K}$

куда ${\displaystyle f'(R)\equiv {\frac {df(R)}{dR}}}$.

Используя Разложение ADM и введением дополнительных вспомогательных полей, в 2009 г. Deruelle и другие. нашел способ найти граничный член для «теорий гравитации, лагранжиан которых является произвольной функцией тензора Римана».^[4] Этот метод можно использовать для нахождения граничных условий GHY для Бесконечная производная гравитация.^[5]

Интегральный подход к квантовой гравитации

Как упоминалось в начале, член GHY требуется, чтобы гарантировать, что интеграл по путям (а-ля Хокинг и др.) Для квантовой гравитации имеет правильные композиционные свойства.

Этот старый подход к интегральной по траекториям квантовой гравитации имел ряд трудностей и нерешенных проблем. Отправной точкой в ​​этом подходе является идея Фейнмана о том, что можно представить амплитуду

${\displaystyle \langle g_{2},\phi _{2},\Sigma _{2}|g_{1},\phi _{1},\Sigma _{1}\rangle }$

перейти из состояния с метрикой ${\displaystyle g_{1}}$ и поля материи ${\displaystyle \phi _{1}}$ на поверхности ${\displaystyle \Sigma _{1}}$ в состояние с метрикой ${\displaystyle g_{2}}$ и поля материи ${\displaystyle \phi _{2}}$ на поверхности ${\displaystyle \Sigma _{2}}$, как сумма по всем конфигурациям полей ${\displaystyle g}$ и ${\displaystyle \phi }$ которые принимают граничные значения полей на поверхностях ${\displaystyle \Sigma _{1}}$ и ${\displaystyle \Sigma _{2}}$. Мы пишем

${\displaystyle \langle g_{2},\phi _{2},\Sigma _{2}|g_{1},\phi _{1},\Sigma _{1}\rangle =\int {\mathcal {D}}[g,\phi ]\exp(iS[g,\phi ])}$

куда ${\displaystyle {\mathcal {D}}[g,\phi ]}$ является мерой на пространстве всех конфигураций полей ${\displaystyle g}$ и ${\displaystyle \phi }$, ${\displaystyle S[g,\phi ]}$ - действие полей, а интеграл берется по всем полям, которые имеют заданные значения на ${\displaystyle \Sigma _{1}}$ и ${\displaystyle \Sigma _{2}}$.

Утверждается, что достаточно указать трехмерную индуцированную метрику ${\displaystyle h}$ на границе.

Теперь рассмотрим ситуацию, когда происходит переход от метрики ${\displaystyle h_{1}}$, на поверхности ${\displaystyle \Sigma _{1}}$, в метрику ${\displaystyle h_{2}}$, на поверхности ${\displaystyle \Sigma _{2}}$ а затем к метрике ${\displaystyle h_{3}}$ на более поздней поверхности ${\displaystyle \Sigma _{3}}$

Хотелось бы иметь обычное правило композиции

${\displaystyle \langle h_{3},\Sigma _{3}|h_{1},\Sigma _{1}\rangle =\sum _{h_{2}}\langle h_{3},\Sigma _{3}|h_{2},\Sigma _{2}\rangle \langle h_{2},\Sigma _{2}|h_{1},\Sigma _{1}\rangle }$

выражая, что амплитуда перехода от начального к конечному состоянию должна быть получена путем суммирования по всем состояниям на промежуточной поверхности ${\displaystyle \Sigma _{2}}$.

Позволять ${\displaystyle g_{1}}$ быть метрикой между ${\displaystyle \Sigma _{1}}$ и ${\displaystyle \Sigma _{2}}$ и ${\displaystyle g_{2}}$ быть метрикой между ${\displaystyle \Sigma _{2}}$ и ${\displaystyle \Sigma _{3}}$. Хотя индуцированная метрика ${\displaystyle g_{1}}$ и ${\displaystyle g_{2}}$ согласится на ${\displaystyle \Sigma _{2}}$, нормальная производная от ${\displaystyle g_{1}}$ в ${\displaystyle \Sigma _{2}}$ в целом не будет равняться ${\displaystyle g_{2}}$ в ${\displaystyle \Sigma _{2}}$. Принимая во внимание последствия этого, затем можно показать, что правило композиции будет выполняться тогда и только тогда, когда мы включим граничный член GHY.^[6]

В следующем разделе показано, как этот подход к квантовой гравитации с использованием интеграла по путям приводит к концепции температуры черной дыры и внутренней квантово-механической энтропии.

Вычисление энтропии черной дыры с использованием евклидова полуклассического подхода

Основная статья: Евклидова квантовая гравитация

Применение в петлевой квантовой гравитации

Основная статья: Петлевая квантовая гравитация

Амплитуды переходов и главная функция Гамильтона

В квантовой теории объект, соответствующий Основная функция Гамильтона это амплитуда перехода. Рассмотрим гравитацию, заданную в компактной области пространства-времени с топологией четырехмерного шара. Граница этой области представляет собой трехмерное пространство с топологией трех сфер, которое мы называем ${\displaystyle \Sigma }$. В чистой гравитации без космологической постоянной, поскольку скаляр Риччи обращается в нуль на решениях уравнений Эйнштейна, объемное действие исчезает и главная функция Гамильтона полностью задается в терминах граничного члена,

${\displaystyle S[q]=\int _{\Sigma }K^{ab}[q]q_{ab}{\sqrt {q}}\;d^{3}\sigma }$

куда ${\displaystyle K^{ab}}$ - внешняя кривизна границы, ${\displaystyle q_{ab}}$ - трехметрика, индуцированная на границе, а ${\displaystyle \sigma }$ - координаты на границе.

Функционал ${\displaystyle S[q]}$ является весьма нетривиальным для вычисления функционалом; это потому, что внешняя кривизна ${\displaystyle K^{ab}[q]}$ определяется объемным решением, выделенным внутренней геометрией границы. В качестве таких ${\displaystyle K^{ab}[q]}$ не является локальным. Зная общую зависимость ${\displaystyle K^{ab}}$ из ${\displaystyle q_{ab}}$ эквивалентно знанию общего решения уравнений Эйнштейна.

Амплитуды рассеяния, не зависящие от фона

Петлевая квантовая гравитация сформулирован на независимом от фона языке. Никакое пространство-время не предполагается априори, а скорее построено на самих состояниях теории - однако амплитуды рассеяния выводятся из ${\displaystyle n}$-точечные функции (Корреляционная функция (квантовая теория поля) ) и они, сформулированные в традиционной квантовой теории поля, являются функциями точек фонового пространства-времени. Связь между формализмом, не зависящим от фона, и традиционным формализмом квантовой теории поля в данном пространстве-времени далеко не очевидна, и далеко не очевидно, как восстановить низкоэнергетические величины из полной независимой от фона теории. Хотелось бы вывести ${\displaystyle n}$-точечные функции теории из формализма, не зависящего от фона, чтобы сравнить их со стандартным пертурбативным разложением квантовой общей теории относительности и, следовательно, проверить, что петлевая квантовая гравитация дает правильный предел низких энергий.

Предложена стратегия решения этой проблемы;^[7] идея состоит в том, чтобы изучить граничную амплитуду или амплитуду перехода компактной области пространства-времени, а именно интеграл по путям в конечной области пространства-времени, рассматриваемый как функцию граничного значения поля.^[8][9] В традиционной квантовой теории поля эта граничная амплитуда хорошо определена.^[10][11] и кодирует физическую информацию теории; это происходит и в квантовой гравитации, но полностью независимым от фона образом.^[12] Общековариантное определение ${\displaystyle n}$-точечные функции могут быть основаны на идее, что расстояние между физическими точками - аргументы ${\displaystyle n}$-точечная функция определяется состоянием гравитационного поля на границе рассматриваемой области пространства-времени.

Ключевое наблюдение состоит в том, что в гравитации граничные данные включают гравитационное поле, следовательно, геометрию границы и, следовательно, все соответствующие относительные расстояния и временные интервалы. Другими словами, граничная формулировка очень элегантно реализует в квантовом контексте полное отождествление геометрии пространства-времени и динамических полей.

Примечания

1. «Гравитационные воздействия второго и четвертого порядков на многообразиях с границами». ResearchGate. Получено 2017-05-08.
2. Барт, Н. Х (1985-07-01). «Гравитационное действие четвертого порядка для многообразий с границами». Классическая и квантовая гравитация. IOP Publishing. 2 (4): 497–513. Дои:10.1088/0264-9381/2/4/015. ISSN  0264-9381.
3. Гуарнизо, Алехандро; Кастанеда, Леонардо; Техейро, Хуан М. (2010). «Граничный член в метрической f (R) гравитации: уравнения поля в метрическом формализме». Общая теория относительности и гравитации. 42 (11): 2713–2728. arXiv:1002.0617. Bibcode:2010GReGr..42.2713G. Дои:10.1007 / s10714-010-1012-6.
4. Деруэль, Натали; Сасаки, Мисао; Сендуда, Юити; Ямаути, Дайсуке (2009). «Гамильтонова формулировка f (римановых) теорий гравитации». Успехи теоретической физики. 123: 169–185. arXiv:0908.0679. Bibcode:2010PThPh.123..169D. Дои:10.1143 / PTP.123.169.
5. Теймури, Али; Талаганис, Спиридон; Эдхольм, Джеймс; Мазумдар, Анупам (2016). «Обобщенные граничные условия для высших производных теорий гравитации». Журнал физики высоких энергий. 2016 (8). arXiv:1606.01911. Bibcode:2016JHEP ... 08..144T. Дои:10.1007 / JHEP08 (2016) 144.
6. Например, см. Книгу Стивена Хокинга «Хокинг о большом взрыве и черных дырах», глава 15.
7. Модесто, Леонардо; Ровелли, Карло (1 ноября 2005 г.). «Рассеяние частиц в петлевой квантовой гравитации». Письма с физическими проверками. Американское физическое общество (APS). 95 (19): 191301. arXiv:gr-qc / 0502036. Дои:10.1103 / Physrevlett.95.191301. ISSN  0031-9007.
8. Окль, Роберт (2003). «Общая граничная формулировка для квантовой механики и квантовой гравитации». Письма по физике B. Elsevier BV. 575 (3–4): 318–324. Дои:10.1016 / j.physletb.2003.08.043. ISSN  0370-2693.
9. Окль, Роберт (2003-11-03). «Кот Шредингера и часы: уроки квантовой гравитации». Классическая и квантовая гравитация. IOP Publishing. 20 (24): 5371–5380. arXiv:gr-qc / 0306007. Дои:10.1088/0264-9381/20/24/009. ISSN  0264-9381.
10. Конради, Флориан; Ровелли, Карло (30 сентября 2004 г.). «Обобщенное уравнение Шредингера в евклидовой теории поля». Международный журнал современной физики A. World Scientific Pub Co Pte Lt. 19 (24): 4037–4068. arXiv:hep-th / 0310246. Дои:10.1142 / s0217751x04019445. ISSN  0217-751X.
11. Допличер, Луиза (24 сентября 2004). «Обобщенное уравнение Томонага-Швингера из формулы Адамара». Физический обзор D. Американское физическое общество (APS). 70 (6): 064037. arXiv:gr-qc / 0405006. Дои:10.1103 / Physrevd.70.064037. ISSN  1550-7998.
12. Конради, Флориан; Допличер, Луиза; Окль, Роберт; Ровелли, Карло; Теста, Массимо (18 марта 2004 г.). «Вакуум Минковского в независимой от фона квантовой гравитации». Физический обзор D. Американское физическое общество (APS). 69 (6): 064019. arXiv:gr-qc / 0307118. Дои:10.1103 / Physrevd.69.064019. ISSN  1550-7998.

Рекомендации

• Йорк, Дж. У. (1972). «Роль конформной трех геометрии в динамике гравитации». Письма с физическими проверками. 28 (16): 1082. Bibcode:1972ПхРвЛ..28.1082Г. Дои:10.1103 / PhysRevLett.28.1082.
• Гиббонс, Дж. У.; Хокинг, С.В. (1977). «Интегралы действия и статистические суммы в квантовой гравитации». Физический обзор D. 15 (10): 2752. Bibcode:1977ПхРвД..15.2752Г. Дои:10.1103 / PhysRevD.15.2752.
• Хокинг, ЮВ; Горовиц, Гэри Т. (1996-06-01). «Гравитационный гамильтониан, действие, энтропия и поверхностные термины». Классическая и квантовая гравитация. IOP Publishing. 13 (6): 1487–1498. arXiv:gr-qc / 9501014. Дои:10.1088/0264-9381/13/6/017. ISSN  0264-9381.
• Браун, Дж. Дэвид; Йорк, Джеймс У. (1993-02-15). «Микроканонический функциональный интеграл для гравитационного поля». Физический обзор D. Американское физическое общество (APS). 47 (4): 1420–1431. arXiv:gr-qc / 9209014. Дои:10.1103 / Physrevd.47.1420. ISSN  0556-2821.