F (R) гравитация - F(R) gravity

ж(р) это тип модифицированная гравитация теория, которая обобщает Эйнштейна общая теория относительности. ж(р) гравитация на самом деле представляет собой семейство теорий, каждая из которых определяется отдельной функцией, ж, из Скаляр Риччи, р. В простейшем случае функция просто равна скаляру; это общая теория относительности. Вследствие введения произвольной функции может появиться свобода объяснения ускоренное расширение и формирование структуры Вселенной без добавления неизвестных форм темная энергия или же темная материя. Некоторые функциональные формы могут быть основаны на исправлениях, связанных с квантовая теория гравитации. ж(р) гравитация была впервые предложена в 1970 г. Ганс Адольф Бухдаль^[1] (несмотря на то что ϕ был использован, а не ж для имени произвольной функции). Это стало активной областью исследований после работы Старобинский на космическая инфляция.^[2] Из этой теории можно получить широкий спектр явлений, принимая различные функции; однако многие функциональные формы теперь можно исключить на основании наблюдений или из-за патологических теоретических проблем.

Вступление

В ж(р) гравитации пытаются обобщить Лагранжиан из Действие Эйнштейна – Гильберта:

${displaystyle S[g]=int {1 over 2kappa }R{sqrt {-g}},mathrm {d} ^{4}x}$

к

${displaystyle S[g]=int {1 over 2kappa }f(R){sqrt {-g}},mathrm {d} ^{4}x}$

куда ${displaystyle kappa ={ frac {8pi G}{c^{4}}},g=det g_{mu u }}$ является определителем метрический тензор, и ${displaystyle f(R)}$ некоторая функция Скаляр Риччи.

Метрическая ж(р) сила тяжести

Вывод уравнений поля

В метрической системе ж(р) гравитации, можно прийти к уравнениям поля, варьируя по метрике и не рассматривая связь независимо. Для полноты картины кратко упомянем основные этапы вариации действия. Основные шаги такие же, как и в случае изменения Действие Эйнштейна – Гильберта (подробнее см. в статье), но есть и некоторые важные отличия.

Вариация определителя, как всегда:

${displaystyle delta {sqrt {-g}}=-{frac {1}{2}}{sqrt {-g}}g_{mu u }delta g^{mu u }}$

В Скаляр Риччи определяется как

${displaystyle R=g^{mu u }R_{mu u }.}$

Следовательно, его вариация относительно обратной метрики ${displaystyle g^{mu u }}$ дан кем-то

${displaystyle {egin{aligned}delta R&=R_{mu u }delta g^{mu u }+g^{mu u }delta R_{mu u }&=R_{mu u }delta g^{mu u }+g^{mu u }left(abla _{ho }delta Gamma _{u mu }^{ho }-abla _{u }delta Gamma _{ho mu }^{ho }ight)end{aligned}}}$

Для второго шага см. Статью о Действие Эйнштейна – Гильберта. С ${displaystyle delta Gamma _{mu u }^{lambda }}$- разность двух связей, она должна преобразовываться как тензор. Следовательно, его можно записать как

${displaystyle delta Gamma _{mu u }^{lambda }={frac {1}{2}}g^{lambda a}left(abla _{mu }delta g_{au }+abla _{u }delta g_{amu }-abla _{a}delta g_{mu u }ight).}$

Подставляя в уравнение выше:

${displaystyle delta R=R_{mu u }delta g^{mu u }+g_{mu u }Box delta g^{mu u }-abla _{mu }abla _{u }delta g^{mu u }}$

куда ${displaystyle abla _{mu }}$это ковариантная производная и ${displaystyle square =g^{mu u }abla _{mu }abla _{u }}$ это Оператор Даламбера.

Обозначение ${displaystyle F(R)={frac {df}{dR}}}$, вариант действия гласит:

${displaystyle {egin{aligned}delta S[g]&=int {frac {1}{2kappa }}left(delta f(R){sqrt {-g}}+f(R)delta {sqrt {-g}}ight),mathrm {d} ^{4}x&=int {frac {1}{2kappa }}left(F(R)delta R{sqrt {-g}}-{frac {1}{2}}{sqrt {-g}}g_{mu u }delta g^{mu u }f(R)ight),mathrm {d} ^{4}x&=int {frac {1}{2kappa }}{sqrt {-g}}left(F(R)(R_{mu u }delta g^{mu u }+g_{mu u }Box delta g^{mu u }-abla _{mu }abla _{u }delta g^{mu u })-{frac {1}{2}}g_{mu u }delta g^{mu u }f(R)ight),mathrm {d} ^{4}xend{aligned}}}$

Выполняя интегрирование по частям по второму и третьему слагаемым (без учета граничных вкладов), получаем:

${displaystyle delta S[g]=int {frac {1}{2kappa }}{sqrt {-g}}delta g^{mu u }left(F(R)R_{mu u }-{frac {1}{2}}g_{mu u }f(R)+[g_{mu u }Box -abla _{mu }abla _{u }]F(R)ight),mathrm {d} ^{4}x.}$

Требуя, чтобы действие оставалось инвариантным относительно вариаций метрики, ${displaystyle {frac {delta S}{delta g^{mu u }}}=0}$, получаем уравнения поля:

${displaystyle F(R)R_{mu u }-{frac {1}{2}}f(R)g_{mu u }+left[g_{mu u }Box -abla _{mu }abla _{u }ight]F(R)=kappa T_{mu u },}$

куда ${displaystyle T_{mu u }}$это тензор энергии-импульса определяется как

${displaystyle T_{mu u }=-{frac {2}{sqrt {-g}}}{frac {delta ({sqrt {-g}}{mathcal {L}}_{mathrm {m} })}{delta g^{mu u }}},}$

куда ${displaystyle {mathcal {L}}_{m}}$- это лагранжиан материи.

Обобщенные уравнения Фридмана

Предполагая Метрика Робертсона – Уокера с масштабным коэффициентом ${displaystyle a(t)}$ мы можем найти обобщенный Уравнения Фридмана быть (в единицах, где ${displaystyle kappa =1}$):

${displaystyle 3FH^{2}=ho _{m {m}}+ho _{m {rad}}+{frac {1}{2}}(FR-f)-3H{dot {F}}}$

${displaystyle -2F{dot {H}}=ho _{m {m}}+{frac {4}{3}}ho _{m {rad}}+{ddot {F}}-H{dot {F}},}$

куда

${displaystyle H={frac {dot {a}}{a}},}$

точка - производная по космическому времени т, а условия ρ_м и ρ_рад представляют соответственно плотности вещества и излучения; они удовлетворяют уравнениям неразрывности:

${displaystyle {dot {ho }}_{m {m}}+3Hho _{m {m}}=0;}$

${displaystyle {dot {ho }}_{m {rad}}+4Hho _{m {rad}}=0.}$

Модифицированная постоянная Ньютона

Интересной особенностью этих теорий является тот факт, что гравитационная постоянная зависит от времени и масштаба.^[3] Чтобы в этом убедиться, добавьте к метрике небольшое скалярное возмущение (в Ньютоновская калибровка ):

${displaystyle mathrm {d} s^{2}=-(1+2Phi )mathrm {d} t^{2}+alpha ^{2}(1-2Psi )delta _{ij}mathrm {d} x^{i}mathrm {d} x^{j}}$

куда Φ и Ψ являются ньютоновскими потенциалами и используют уравнения поля первого порядка. После долгих вычислений можно определить Уравнение Пуассона в пространстве Фурье и приписать дополнительные члены, которые появляются справа, к эффективной гравитационной постоянной грамм_эфф. Таким образом, мы получаем гравитационный потенциал (действителен на субгоризонтных масштабах k² ≫ а²ЧАС²):

${displaystyle Phi =-4pi G_{mathrm {eff} }{frac {a^{2}}{k^{2}}}delta ho _{mathrm {m} }}$

куда δρ_м возмущение плотности вещества, k - масштаб Фурье и грамм_эфф является:

${displaystyle G_{mathrm {eff} }={frac {1}{8pi F}}{frac {1+4{frac {k^{2}}{a^{2}R}}m}{1+3{frac {k^{2}}{a^{2}R}}m}},}$

с

${displaystyle mequiv {frac {RF_{,R}}{F}}.}$

Массивные гравитационные волны

Этот класс теорий после линеаризации демонстрирует три поляризационных режима для гравитационные волны, из которых два соответствуют безмассовым гравитон (спиральности ± 2), а третье (скалярное) исходит из того факта, что с учетом конформного преобразования теория четвертого порядка ж(р) становится общая теория относительности плюс скалярное поле. Чтобы увидеть это, определите

${displaystyle Phi o f'(R)quad { extrm {and}}quad {frac {dV}{dPhi }} o {frac {2f(R)-Rf'(R)}{3}},}$

и используйте приведенные выше уравнения поля, чтобы получить

${displaystyle Box Phi ={frac {mathrm {d} V}{mathrm {d} Phi }}}$

Работая с первым порядком теории возмущений:

${displaystyle g_{mu u }=eta _{mu u }+h_{mu u }}$

${displaystyle Phi =Phi _{0}+delta Phi }$

и после некоторой утомительной алгебры можно найти возмущение метрики, которое соответствует гравитационным волнам. Конкретная частотная составляющая для волны, распространяющейся в z-направление, может быть записано как

${displaystyle h_{mu u }(t,z;omega )=A^{+}(omega )exp(-iomega (t-z))e_{mu u }^{+}+A^{ imes }(omega )exp(-iomega (t-z))e_{mu u }^{ imes }+h_{f}(v_{mathrm {g} }t-z;omega )eta _{mu u }}$

куда

${displaystyle h_{f}equiv {frac {delta Phi }{Phi _{0}}},}$

и v_грамм(ω) = dω/ дk это групповая скорость из волновой пакет час_ж с центром на волновом векторе k. Первые два члена соответствуют обычным поперечные поляризации из общей теории относительности, а третья соответствует новой массивной поляризационной моде ж(р) теории. Поперечные моды распространяются на скорость света, но скалярная мода движется со скоростью v_грамм <1 (в единицах, где c = 1) этот режим является дисперсионным.

Эквивалентный формализм

При определенных дополнительных условиях^[4] мы можем упростить анализ ж(р) теории, вводя вспомогательное поле Φ. Предполагая ${displaystyle f''(R)eq 0}$ для всех р, позволять V(Φ) быть Превращение Лежандра из ж(р) так что ${displaystyle Phi =f'(R)}$ и ${displaystyle R=V'(Phi )}$. Тогда получается действие О'Хэнлона (1972):

${displaystyle S=int d^{4}x{sqrt {-g}}left[{frac {1}{2kappa }}left(Phi R-V(Phi )ight)+{mathcal {L}}_{ ext{m}}ight].}$

У нас есть уравнения Эйлера – Лагранжа

${displaystyle V'(Phi )=R}$

${displaystyle Phi left(R_{mu u }-{frac {1}{2}}g_{mu u }Right)+left(g_{mu u }Box -abla _{mu }abla _{u }ight)Phi +{frac {1}{2}}g_{mu u }V(Phi )=kappa T_{mu u }}$

Устранение Φ, получаем точно такие же уравнения, как и раньше. Однако уравнения имеют только второй порядок по производным, а не четвертый.

В настоящее время мы работаем с Рамка Jordan. Выполнив конформное масштабирование

${displaystyle { ilde {g}}_{mu u }=Phi g_{mu u },}$

мы превращаемся в Рамка Эйнштейна:

${displaystyle R=Phi left[{ ilde {R}}+{frac {3{ ilde {Box }}Phi }{Phi }}-{frac {9}{2}}left({frac {{ ilde {abla }}Phi }{Phi }}ight)^{2}ight]}$

${displaystyle S=int d^{4}x{sqrt {-{ ilde {g}}}}{frac {1}{2kappa }}left[{ ilde {R}}-{frac {3}{2}}left({frac {{ ilde {abla }}Phi }{Phi }}ight)^{2}-{frac {V(Phi )}{Phi ^{2}}}ight]}$

после интеграции по частям.

Определение ${displaystyle { ilde {Phi }}={sqrt {3}}ln {Phi }}$, и подставив

${displaystyle S=int mathrm {d} ^{4}x{sqrt {-{ ilde {g}}}}{frac {1}{2kappa }}left[{ ilde {R}}-{frac {1}{2}}left({ ilde {abla }}{ ilde {Phi }}ight)^{2}-{ ilde {V}}({ ilde {Phi }})ight]}$

${displaystyle { ilde {V}}({ ilde {Phi }})=e^{-{frac {2}{sqrt {3}}}{ ilde {Phi }}}Vleft(e^{{ ilde {Phi }}/{sqrt {3}}}ight).}$

Это общая теория относительности в сочетании с реальным скалярным полем: использование ж(р) теории для описания ускоряющейся Вселенной практически эквивалентны использованию квинтэссенция. (По крайней мере, эквивалентно оговорке о том, что мы еще не указали связи материи, поэтому (например) ж(р) гравитация, в которой материя минимально связана с метрикой (то есть в системе Жордана), эквивалентна теории квинтэссенции, в которой скалярное поле передает пятую силу с силой гравитации.)

Палатини ж(р) сила тяжести

В Палатини ж(р) гравитации рассматривается метрика и связь независимо и варьирует действие по отношению к каждому из них в отдельности. Предполагается, что лагранжиан материи не зависит от связи. Было показано, что эти теории эквивалентны Теория Бранса – Дике с ω = −​³⁄₂.^[5][6] Однако из-за структуры теории Палатини ж(р) теории кажутся противоречащими Стандартной модели,^[5][7] может нарушить эксперименты в Солнечной системе,^[6] и, кажется, создают нежелательные особенности.^[8]

Метрически-аффинный ж(р) сила тяжести

В метрически-аффинный ж(р) гравитации, можно обобщить вещи еще дальше, рассматривая как метрику, так и связь независимо, и предполагая, что лагранжиан материи также зависит от связи.

Наблюдательные тесты

Поскольку существует множество потенциальных форм ж(р) гравитация, трудно найти общие тесты. Кроме того, поскольку в некоторых случаях отклонения от общей теории относительности могут быть сколь угодно малыми, невозможно окончательно исключить некоторые модификации. Некоторый прогресс может быть достигнут, не принимая конкретную форму функции ж(р) к Тейлор расширяется

${displaystyle f(R)=a_{0}+a_{1}R+a_{2}R^{2}+cdots }$

Первый член похож на космологическая постоянная и должен быть маленьким. Следующий коэффициент а₁ можно установить в единицу, как в общей теории относительности. Для метрической ж(р) гравитация (в отличие от Палатини или метрически-аффинной ж(р) гравитация) квадратичный член лучше всего ограничивается пятая сила измерения, так как это приводит к Юкава поправка к гравитационному потенциалу. Лучшие текущие границы |а₂| < 4×10⁻⁹ м² или эквивалентно |а₂| < 2.3×10²² ГэВ⁻².^[9][10]

В параметризованный постньютоновский формализм разработан, чтобы иметь возможность ограничивать общие модифицированные теории гравитации. Тем не мение, ж(р) гравитация имеет многие из тех же значений, что и общая теория относительности, и поэтому ее нельзя отличить с помощью этих тестов.^[11] В частности, отклонение света не изменилось, поэтому ж(р) гравитация, как и общая теория относительности, полностью согласуется с оценками из Кассини отслеживание.^[9]

Старобинская гравитация

Основная статья: Старобинская инфляция

Старобинская гравитация имеет следующий вид

${displaystyle f(R)=R+{frac {R^{2}}{6M^{2}}}}$

куда ${displaystyle M}$ имеет габариты массы.^[12]

Тензорное обобщение

ж(р) гравитация, представленная в предыдущих разделах, является скалярной модификацией общей теории относительности. В более общем плане мы можем иметь

${displaystyle int mathrm {d} ^{D}x{sqrt {-g}},f(R,R^{mu u }R_{mu u },R^{mu u ho sigma }R_{mu u ho sigma })}$

сопряжение с инвариантами Тензор Риччи и Тензор Вейля. Особые случаи ж(р) сила тяжести, конформная гравитация, Гаусс-Бонне гравитация и Гравитация Лавлока. Обратите внимание, что при любой нетривиальной тензорной зависимости мы обычно имеем дополнительные массивные степени свободы со спином 2 в дополнение к безмассовому гравитону и массивному скаляру. Исключение составляет гравитация Гаусса – Бонне, где члены четвертого порядка для компонентов со спином 2 сокращаются.

Смотрите также

• Расширенные теории гравитации
• Гаусс-Бонне гравитация
• Гравитация Лавлока

Рекомендации

1. Бухдаль, Х.А. (1970). «Нелинейные лагранжианы и космологическая теория». Ежемесячные уведомления Королевского астрономического общества. 150: 1–8. Bibcode:1970МНРАС.150 .... 1Б. Дои:10.1093 / mnras / 150.1.1.
2. Старобинский, А.А. (1980). «Новый тип изотропных космологических моделей без сингулярности». Письма по физике B. 91: 99–102. Bibcode:1980ФЛБ ... 91 ... 99С. Дои:10.1016 / 0370-2693 (80) 90670-Х.
3. Цудзикава, Синдзи (2007). «Возмущения плотности материи и эффективная гравитационная постоянная в модифицированных гравитационных моделях темной энергии». Физический обзор D. 76. arXiv:0705.1032. Bibcode:2007ПхРвД..76б3514Т. Дои:10.1103 / PhysRevD.76.023514.
4. Де Феличе, Антонио; Цудзикава, Синдзи (2010). «Теории f (R)». Живые обзоры в теории относительности. 13. arXiv:1002.4928. Bibcode:2010LRR .... 13 .... 3D. Дои:10.12942 / lrr-2010-3.
5. Фланаган, Э. Э. (2004). «Свобода конформной рамки в теориях гравитации». Классическая и квантовая гравитация. 21 (15): 3817. arXiv:gr-qc / 0403063. Bibcode:2004CQGra..21.3817F. Дои:10.1088 / 0264-9381 / 21/15 / N02.
6. Олмо, Дж. Дж. (2005). "Гравитационный лагранжиан согласно экспериментам Солнечной системы". Письма с физическими проверками. 95 (26): 261102. arXiv:gr-qc / 0505101. Bibcode:2005PhRvL..95z1102O. Дои:10.1103 / PhysRevLett.95.261102. PMID  16486333.
7. Иглесиас, А .; Kaloper, N .; Padilla, A .; Парк, М. (2007). «Как (не) использовать формулировку Палатини скалярно-тензорной гравитации». Физический обзор D. 76 (10): 104001. arXiv:0708.1163. Bibcode:2007PhRvD..76j4001I. Дои:10.1103 / PhysRevD.76.104001.
8. Barausse, E .; Sotiriou, T. P .; Миллер, Дж. К. (2008). "Запретная теорема для политропических сфер в Палатини. ж(р) сила тяжести". Классическая и квантовая гравитация. 25 (6): 062001. arXiv:gr-qc / 0703132. Bibcode:2008CQGra..25f2001B. Дои:10.1088/0264-9381/25/6/062001.
9. Berry, C. P. L .; Гейр, Дж. Р. (2011). "Линеаризованный ж(р) гравитация: Гравитационное излучение и испытания Солнечной системы ». Физический обзор D. 83 (10): 104022. arXiv:1104.0819. Bibcode:2011PhRvD..83j4022B. Дои:10.1103 / PhysRevD.83.104022.
10. Чембранос, Дж. А. Р. (2009). "Темная материя из R² Сила тяжести". Письма с физическими проверками. 102 (14): 141301. arXiv:0809.1653. Bibcode:2009ПхРвЛ.102н1301С. Дои:10.1103 / PhysRevLett.102.141301. PMID  19392422.
11. Клифтон, Т. (2008). «Параметризованный постньютоновский предел теорий гравитации четвертого порядка». Физический обзор D. 77 (2): 024041. arXiv:0801.0983. Bibcode:2008ПхРвД..77б4041С. Дои:10.1103 / PhysRevD.77.024041.
12. Старобинский, А.А. (1980). «Новый тип изотропных космологических моделей без сингулярности». Письма по физике B. 91: 99–102. Bibcode:1980ФЛБ ... 91 ... 99С. Дои:10.1016 / 0370-2693 (80) 90670-Х.

дальнейшее чтение

• См. Главу 29 в учебнике "Частицы и квантовые поля" автора Кляйнерт, Х. (2016), World Scientific (Сингапур, 2016 г.) (также доступны онлайн )
• Sotiriou, T. P .; Фараони, В. (2010). "f (R) теории гравитации". Обзоры современной физики. 82: 451–497. arXiv:0805.1726. Bibcode:2010РвМП ... 82..451С. Дои:10.1103 / RevModPhys.82.451.
• Сотириу, Т. П. (2009). «6 + 1 урок по гравитации f (R)». Journal of Physics: Серия конференций. 189 (9): 012039. arXiv:0810.5594. Bibcode:2009JPhCS.189a2039S. Дои:10.1088/1742-6596/189/1/012039.
• Capozziello, S .; Де Лаурентис, М. (2011). «Расширенные теории гравитации». Отчеты по физике. 509 (4–5): 167–321. arXiv:1108.6266. Bibcode:2011ФР ... 509..167С. Дои:10.1016 / j.physrep.2011.09.003.

внешняя ссылка

• ж(р) гравитация на arxiv.org
• Расширенные теории гравитации