Тензор Ланцоша - Lanczos tensor

В Тензор Ланцоша или же Потенциал Ланцоша это тензор 3 ранга в общая теория относительности что порождает Тензор Вейля.^[1] Впервые он был представлен Корнелиус Ланцош в 1949 г.^[2] Теоретическая важность тензора Ланцоша состоит в том, что он служит калибровочное поле для гравитационное поле так же, как, по аналогии, электромагнитный четырехпотенциальный генерирует электромагнитное поле.^[3][4]

Определение

Тензор Ланцоша можно определить несколькими способами. Наиболее распространенное современное определение - это уравнения Вейля – Ланцоша, которые демонстрируют порождение тензора Вейля из тензора Ланцоша.^[4] Эти уравнения, представленные ниже, были даны Такено в 1964 году.^[1] Первоначально Ланцош ввел тензор как Множитель Лагранжа^[2][5] на условиях ограничений, изученных в вариационный подход к общей теории относительности.^[6] При любом определении тензор Ланцоша ЧАС проявляет следующие симметрии:

${\displaystyle H_{abc}+H_{bac}=0,\,}$

${\displaystyle H_{abc}+H_{bca}+H_{cab}=0.}$

Тензор Ланцоша всегда существует в четырех измерениях.^[7] но не распространяется на более высокие измерения.^[8] Это подчеркивает особенность четырех измерений.^[3] Обратите внимание, что полный Тензор Римана вообще не может быть получен из одних только производных потенциала Ланцоша.^[7][9] В Уравнения поля Эйнштейна должен предоставить Тензор Риччи для завершения компонентов Разложение Риччи.

В Curtright Field имеет динамику калибровочного преобразования, аналогичную тензору Ланцоша. Но поле Кертрайта существует в произвольных размерах> 4D.^[10]

Уравнения Вейля – Ланцоша

Уравнения Вейля – Ланцоша целиком выражают тензор Вейля как производные от тензора Ланцоша:^[11]

${\displaystyle C_{abcd}=H_{abc;d}+H_{cda;b}+H_{bad;c}+H_{dcb;a}+(H^{e}{}_{(ac);e}+H_{(a|e|}{}^{e}{}_{;c)})g_{bd}+(H^{e}{}_{(bd);e}+H_{(b|e|}{}^{e}{}_{;d)})g_{ac}-(H^{e}{}_{(ad);e}+H_{(a|e|}{}^{e}{}_{;d)})g_{bc}-(H^{e}{}_{(bc);e}+H_{(b|e|}{}^{e}{}_{;c)})g_{ad}-{\frac {2}{3}}H^{ef}{}_{f;e}(g_{ac}g_{bd}-g_{ad}g_{bc})}$

куда ${\displaystyle C_{abcd}}$ - тензор Вейля, точка с запятой обозначает ковариантная производная, а нижние скобки указывают симметризация. Хотя приведенные выше уравнения могут использоваться для определения тензора Ланцоша, они также показывают, что он не уникален, а скорее имеет свобода измерения под аффинная группа.^[12] Если ${\displaystyle \Phi ^{a}}$ произвольный векторное поле, то уравнения Вейля – Ланцоша инвариантны относительно калибровочного преобразования

${\displaystyle H'_{abc}=H_{abc}+\Phi _{[a}g_{b]c}}$

где нижние скобки указывают антисимметризация. Часто удобным выбором является алгебраическая калибровка Ланцоша, ${\displaystyle \Phi _{a}=-{\frac {2}{3}}H_{ab}{}^{b},}$ который устанавливает ${\displaystyle H'_{ab}{}^{b}=0.}$ Калибровка может быть дополнительно ограничена с помощью дифференциальной калибровки Ланцоша. ${\displaystyle H_{ab}{}^{c}{}_{;c}=0}$. Такой выбор калибровки приводит уравнения Вейля – Ланцоша к более простому виду

${\displaystyle C_{abcd}=H_{abc;d}+H_{cda;b}+H_{bad;c}+H_{dcb;a}+H^{e}{}_{ac;e}g_{bd}+H^{e}{}_{bd;e}g_{ac}-H^{e}{}_{ad;e}g_{bc}-H^{e}{}_{bc;e}g_{ad}.}$

Волновое уравнение

Тензор потенциала Ланцоша удовлетворяет волновому уравнению^[13]

${\displaystyle {\begin{aligned}\Box H_{abc}=&J_{abc}\\&{}-2{R_{c}}^{d}H_{abd}+{R_{a}}^{d}H_{bcd}+{R_{b}}^{d}H_{acd}\\&{}+\left(H_{dbe}g_{ac}-H_{dae}g_{bc}\right)R^{de}+{\frac {1}{2}}RH_{abc},\end{aligned}}}$

куда ${\displaystyle \Box }$ это оператор Даламбера и

${\displaystyle J_{abc}=R_{ca;b}-R_{cb;a}-{\frac {1}{6}}\left(g_{ca}R_{;b}-g_{cb}R_{;a}\right)}$

известен как Тензор хлопка. Поскольку тензор Коттона зависит только от ковариантные производные из Тензор Риччи, возможно, его можно интерпретировать как своего рода ток материи.^[14] Дополнительные члены самосвязи не имеют прямого электромагнитного эквивалента. Однако эти члены самосвязи не влияют на вакуумные решения, где тензор Риччи обращается в нуль, а кривизна полностью описывается тензором Вейля. Таким образом, в вакууме Уравнения поля Эйнштейна эквивалентны однородный волновое уравнение ${\displaystyle \Box H_{abc}=0,}$ в полной аналогии с вакуумным волновым уравнением ${\displaystyle \Box A_{a}=0}$ электромагнитного четырехпотенциала. Это показывает формальное сходство между гравитационные волны и электромагнитные волны, с тензором Ланцоша, хорошо подходящим для изучения гравитационных волн.^[15]

В приближении слабого поля, когда ${\displaystyle g_{ab}=\eta _{ab}+h_{ab}}$, удобный вид тензора Ланцоша в калибровке Ланцоша имеет вид^[14]

${\displaystyle 4H_{abc}\approx h_{ac,b}-h_{bc,a}-{\frac {1}{6}}(\eta _{ac}{h^{d}}_{d,b}-\eta _{bc}{h^{d}}_{d,a}).}$

Пример

Самый простой нетривиальный случай выражения тензора Ланцоша - это, конечно, Метрика Шварцшильда.^[4] Простейшее явное представление компонентов в натуральные единицы для тензора Ланцоша в этом случае

${\displaystyle H_{trt}={\frac {GM}{r^{2}}}}$

со всеми остальными компонентами, исчезающими с точностью до симметрии. Однако этой формы нет в системе координат Ланцоша. Неисчезающие члены тензора Ланцоша в калибровке Ланцоша:

${\displaystyle H_{trt}={\frac {2GM}{3r^{2}}}}$

${\displaystyle H_{r\theta \theta }={\frac {-GM}{3(1-2GM/r)}}}$

${\displaystyle H_{r\phi \phi }={\frac {-GM\sin ^{2}\theta }{3(1-2GM/r)}}}$

Кроме того, можно показать, даже в этом простом случае, что тензор Ланцоша в общем случае не может быть сведен к линейной комбинации спиновых коэффициентов Формализм Ньюмана – Пенроуза, что свидетельствует о фундаментальности тензора Ланцоша.^[11] Подобные расчеты использовались для построения произвольных Петров тип D решения.^[16]

Смотрите также

• Тензор Баха
• Исчисление Риччи
• Тензор Схоутена
• тетрадное действие Палатини
• Самодвойственное действие Палатини

Рекомендации

1. Хёитиро Такено, «О прядильщике Ланцоша», Тензор, 15 (1964) стр. 103–119.
2. Корнелиус Ланцош, "Множитель Лагранжа и римановы пространства", Ред. Мод. Phys., 21 (1949) стр. 497–502. Дои:10.1103 / RevModPhys.21.497
3. П. О’Доннелл и Х. Пай, "Краткий исторический обзор важных достижений в теории потенциала Ланцоша", EJTP, 7 (2010) стр. 327–350. www.ejtp.com/ статьи/ ejtpv7i24p327.pdf
4. М. Новелло и А. Л. Веллозу, «Связь между генеральными наблюдателями и потенциалом Ланцоша», Общая теория относительности и гравитации, 19 (1987) стр. 1251-1265. Дои:10.1007 / BF00759104
5. Корнелиус Ланцош, «Расщепление тензора Римана», Ред. Мод. Phys., 34 (1962) стр. 379–389. Дои:10.1103 / RevModPhys.34.379
6. Корнелиус Ланцош, "Замечательное свойство тензора Римана – Кристоффеля в четырех измерениях", Анналы математики, 39 (1938) стр. 842–850. www.jstor.org/стабильный/1968467
7. Ф. Бампи и Дж. Кавилья, "Тензорные потенциалы третьего порядка для тензоров Римана и Вейля", Общая теория относительности и гравитации, 15 (1983) стр. 375–386. Дои:10.1007 / BF00759166
8. С. Б. Эдгар, "Отсутствие потенциала Ланцоша для тензора Римана в высших измерениях", Общая теория относительности и гравитации, 26 (1994) стр. 329–332. Дои:10.1007 / BF02108015
9. Э. Масса и Э. Пагани, "Выводится ли тензор Римана из тензорного потенциала?", Общая теория относительности и гравитации, 16 (1984) стр. 805–816. Дои:10.1007 / BF00762934
10. Кертрайт, Томас (декабрь 1985). «Обобщенные калибровочные поля». Письма по физике B. 165 (4–6): 304–308. Bibcode:1985ФЛБ..165..304С. Дои:10.1016/0370-2693(85)91235-3.
11. П. О’Доннелл, "Решение уравнений Вейля – Ланцоша для пространства-времени Шварцшильда", Общая теория относительности и гравитации, 36 (2004) стр. 1415–1422. Дои:10.1023 / B: GERG.0000022577.11259.e0
12. К. С. Хэммон и Л. К. Норрис "Аффинная геометрия Ланцоша" ЧАС-тензорный формализм », Общая теория относительности и гравитации,25 (1993) стр. 55–80. Дои:10.1007 / BF00756929
13. П. Долан и К. В. Ким "Волновое уравнение для потенциала Ланцоша", Proc. R. Soc. Лондон. А, 447 (1994) стр. 557-575. Дои:10.1098 / rspa.1994.0155
14. Марк Д. Робертс, "Физическая интерпретация тензора Ланцоша". Nuovo Cim.B 110 (1996) 1165-1176. Дои:10.1007 / BF02724607 arXiv:gr-qc / 9904006
15. Х. Л. Лопес-Бонилья, Г. Овандо и Х. Х. Пенья, "Потенциал Ланцоша для плоских гравитационных волн". Основы письма по физике 12 (1999) 401-405. Дои:10.1023 / А: 1021656622094
16. Зафар Ахсан и Мохд Билал, "Решение уравнений Вейля-Ланцоша для произвольных пространств вакуума Петрова типа D". Int J Theor Phys 49 (2010) 2713-2722. Дои:10.1007 / s10773-010-0464-5

внешняя ссылка

• Питер О'Доннелл, Введение в 2-спиноры в общей теории относительности. Всемирный научный, 2003.