Теория Бранса – Дике - Brans–Dicke theory

В теоретическая физика, то Теория гравитации Бранса – Дике. (иногда называют Теория Джордана – Бранса – Дике.) является теоретической основой для объяснения гравитация. Это конкурент Эйнштейн теория общая теория относительности. Это пример скалярно-тензорная теория, гравитационная теория, в которой гравитационное взаимодействие опосредовано скалярное поле так же хорошо как тензорное поле общей теории относительности. В гравитационная постоянная грамм не считается постоянным, но вместо этого 1 /грамм заменяется на скалярное поле ${\displaystyle \phi }$ которые могут меняться от места к месту и со временем.

Теория была разработана в 1961 г. Роберт Х. Дике и Карл Х. Бранс^[1] опираясь, среди прочего, на более ранние работы 1959 г. Паскуаль Джордан. В настоящее время считается, что как теория Бранса – Дикке, так и общая теория относительности согласуются с наблюдениями. Теория Бранса – Дике представляет меньшинство в физике.

Сравнение с общей теорией относительности

И теория Бранса – Дикке, и общая теория относительности являются примерами класса релятивистский классические теории поля из гравитация, называется метрические теории. В этих теориях пространство-время оснащен метрический тензор, ${\displaystyle g_{ab}}$, а гравитационное поле представлено (полностью или частично) Тензор кривизны Римана ${\displaystyle R_{abcd}}$, который определяется метрическим тензором.

Все метрические теории удовлетворяют Принцип эквивалентности Эйнштейна, который на современном геометрическом языке утверждает, что в очень небольшой области (слишком маленькой, чтобы показать измеримые кривизна эффекты), все законы физики, известные в специальная теория относительности действительны в местные рамки Лоренца. Это, в свою очередь, означает, что все метрические теории демонстрируют гравитационное красное смещение эффект.

Как и в общей теории относительности, источником гравитационного поля считается тензор энергии-импульса или же тензор материи. Однако способ, которым непосредственное присутствие массы-энергии в некоторой области влияет на гравитационное поле в этой области, отличается от общей теории относительности. То же самое и с тем, как кривизна пространства-времени влияет на движение материи. В теории Бранса – Дике, помимо метрики, есть тензорное поле второго ранга, Существует скалярное поле, ${\displaystyle \phi }$, который имеет физический эффект изменения эффективная гравитационная постоянная с места на место. (Эта функция на самом деле была ключевой Desideratum Дике и Бранса; см. цитируемую ниже статью Бранса, в которой обрисовываются истоки теории.)

Полевые уравнения теории Бранса – Дике содержат параметр, ${\displaystyle \omega }$, называется Константа связи Бранса – Дикке. Это правда безразмерный постоянный которую нужно выбрать раз и навсегда. Однако его можно выбрать в соответствии с наблюдениями. Такие параметры часто называют настраиваемые параметры. Кроме того, текущее окружающее значение эффективной гравитационной постоянной должно быть выбрано как граничное условие. Общая теория относительности не содержит никаких безразмерных параметров, поэтому ее проще фальсифицировать (показать, является ли она ложной), чем теория Бранса – Дике. Теории с настраиваемыми параметрами иногда не одобряются по принципу, что из двух теорий, которые обе согласуются с наблюдением, более скупой предпочтительнее. С другой стороны, кажется, что они являются необходимой чертой некоторых теорий, таких как слабый угол смешивания из Стандартная модель.

Теория Бранса – Дике «менее строгая», чем общая теория относительности, в другом смысле: она допускает больше решений. В частности, точные вакуумные решения Уравнение поля Эйнштейна общей теории относительности, дополненной тривиальным скалярным полем ${\displaystyle \phi =1}$, становятся точными вакуумными решениями в теории Бранса – Дике, но некоторые пространства-времени, которые нет вакуумные решения уравнения поля Эйнштейна становятся, при соответствующем выборе скалярного поля, вакуумными решениями теории Бранса – Дике. Точно так же важный класс пространств-времени, метрики pp-wave, также точны нулевые решения для пыли общей теории относительности и теории Бранса – Дикке, но и здесь теория Бранса – Дике допускает дополнительные волновые решения имея геометрию, несовместимую с общей теорией относительности.

Как и общая теория относительности, теория Бранса – Дике предсказывает отклонение света и прецессия из перигелия планет, вращающихся вокруг Солнца. Однако точные формулы, определяющие эти эффекты, согласно теории Бранса – Дике, зависят от значения константы связи ${\displaystyle \omega }$. Это означает, что можно установить наблюдаемую нижнюю границу возможного значения ${\displaystyle \omega }$ из наблюдений Солнечной системы и других гравитационных систем. Значение ${\displaystyle \omega }$ в соответствии с экспериментом повысилась со временем. В 1973 г. ${\displaystyle \omega >5}$ соответствовало известным данным. К 1981 г. ${\displaystyle \omega >30}$ соответствовало известным данным. В 2003 году доказательства - полученные из Кассини – Гюйгенс эксперимент - показывает, что значение ${\displaystyle \omega }$ должно превышать 40 000.

Также часто учат^[2] что общая теория относительности получается из теории Бранса – Дике в пределе ${\displaystyle \omega \rightarrow \infty }$. Но Фараони^[3] утверждает, что это выходит из строя, когда исчезает след импульса энергии-напряжения, т.е. ${\displaystyle T_{\mu }^{\mu }=0}$ . Примером чего является Кампанелли -Lousto раствор червоточины.^[4] Некоторые утверждали^{[ВОЗ? ]} что только общая теория относительности удовлетворяет сильные принцип эквивалентности.

Уравнения поля

Полевые уравнения теории Бранса – Дике имеют вид

${\displaystyle \Box \phi ={\frac {8\pi }{3+2\omega }}T}$

${\displaystyle G_{ab}={\frac {8\pi }{\phi }}T_{ab}+{\frac {\omega }{\phi ^{2}}}(\partial _{a}\phi \partial _{b}\phi -{\frac {1}{2}}g_{ab}\partial _{c}\phi \partial ^{c}\phi )+{\frac {1}{\phi }}(\nabla _{a}\nabla _{b}\phi -g_{ab}\Box \phi )}$,

куда

${\displaystyle \omega }$ - безразмерная константа связи Дикке;

${\displaystyle g_{ab}}$ это метрический тензор;

${\displaystyle G_{ab}=R_{ab}-{\tfrac {1}{2}}Rg_{ab}}$ это Тензор Эйнштейна, разновидность средней кривизны;

${\displaystyle R_{ab}={R^{m}}_{amb}}$ это Тензор Риччи, типа след тензора кривизны;

${\displaystyle R={R^{m}}_{m}}$ это Скаляр Риччи, след тензора Риччи;

${\displaystyle T_{ab}}$ это тензор энергии-импульса;

${\displaystyle T=T_{a}^{a}}$ - след тензора энергии-импульса;

${\displaystyle \phi }$ - скалярное поле; и

${\displaystyle \Box }$ это Оператор Лапласа – Бельтрами или ковариантный волновой оператор, ${\displaystyle \Box \phi =\phi _{\;\;;a}^{;a}}$.

Первое уравнение говорит о том, что след тензора энергии-импульса действует как источник скалярного поля ${\displaystyle \phi }$. Поскольку электромагнитные поля вносят только бесследный член тензора энергии-импульса, это означает, что в области пространства-времени, содержащей только электромагнитное поле (плюс гравитационное поле), правая часть обращается в нуль, и ${\displaystyle \phi }$ подчиняется (искривленное пространство-время) волновое уравнение. Следовательно, изменения в ${\displaystyle \phi }$ распространяться через электровакуум регионы; в этом смысле мы говорим, что ${\displaystyle \phi }$ это дальнобойное поле.

Второе уравнение описывает, как тензор энергии-импульса и скалярное поле ${\displaystyle \phi }$ вместе влияют на кривизну пространства-времени. Левая сторона, Тензор Эйнштейна, можно рассматривать как своего рода среднюю кривизну. Чистая математика считает, что в любой метрической теории тензор Римана всегда можно записать как сумму Кривизна Вейля (или же тензор конформной кривизны) плюс кусок, построенный из тензора Эйнштейна.

Для сравнения, уравнение поля общей теории относительности просто

${\displaystyle G_{ab}=8\pi GT_{ab}.}$

Это означает, что в общей теории относительности кривизна Эйнштейна в некотором событии полностью определяется тензором энергии-импульса в этом событии; другая часть, кривизна Вейля, является частью гравитационного поля, которое может распространяться как гравитационная волна через область вакуума. Но в теории Бранса-Дике тензор Эйнштейна частично определяется непосредственным наличием массы-энергии и импульса, а частично - дальнодействующим скалярным полем. ${\displaystyle \phi \,}$.

В уравнения вакуумного поля обеих теорий получаются при обращении в нуль тензора энергии-импульса. Это моделирует ситуации, в которых отсутствуют негравитационные поля.

Принцип действия

Следующее Лагранжиан содержит полное описание теории Бранса – Дике:

${\displaystyle S={\frac {1}{16\pi }}\int d^{4}x{\sqrt {-g}}\;\left(\phi R-{\frac {\omega }{\phi }}\partial _{a}\phi \partial ^{a}\phi \right)+\int d^{4}x{\sqrt {-g}}\;{\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }}$ ^[5]

куда ${\displaystyle g}$ - определитель метрики, ${\displaystyle {\sqrt {-g}}\,d^{4}x}$ четырехмерный объемная форма, и ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }}$ это срок вопроса или же вещество лагранжиан.

Термин материи включает в себя вклад обычного вещества (например, газообразного вещества), а также электромагнитных полей. В вакуумной области материальный член тождественно равен нулю; оставшийся срок - это гравитационный член. Чтобы получить уравнения вакуумного поля, мы должны варьировать гравитационный член в лагранжиане относительно метрики ${\displaystyle g_{ab}}$; это дает второе уравнение поля выше. Когда мы меняем по скалярному полю ${\displaystyle \phi }$, получаем первое уравнение поля.

Обратите внимание, что, в отличие от уравнений поля общей теории относительности, ${\displaystyle \delta R_{ab}/\delta g_{cd}}$ член не обращается в нуль, так как результат не является полной производной. Можно показать, что

${\displaystyle {\frac {\delta (\phi R)}{\delta g^{ab}}}=\phi R_{ab}+g_{ab}g^{cd}\phi _{;c;d}-\phi _{;a;b}}$

Чтобы доказать этот результат, используйте

${\displaystyle \delta (\phi R)=R\delta \phi +\phi R_{mn}\delta g^{mn}+\phi \nabla _{s}(g^{mn}\delta \Gamma _{nm}^{s}-g^{ms}\delta \Gamma _{rm}^{r})}$

Оценивая ${\displaystyle \delta \Gamma }$s в нормальных координатах Римана, 6 отдельных членов исчезают. 6 дополнительных терминов объединяются при использовании Теорема Стокса обеспечить желаемое ${\displaystyle (g_{ab}g^{cd}\phi _{;c;d}-\phi _{;a;b})\delta g^{ab}}$.

Для сравнения, лагранжиан, определяющий общую теорию относительности, имеет вид

${\displaystyle S=\int d^{4}x{\sqrt {-g}}\;\left({\frac {R}{16\pi G}}+{\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }\right)}$

Варьируя гравитационный член относительно ${\displaystyle g_{ab}}$ дает вакуумное уравнение поля Эйнштейна.

В обеих теориях полные уравнения поля могут быть получены вариациями полного лагранжиана.

Смотрите также

• Классические теории гравитации
• Дилатон
• Общая теория относительности
• Принцип маха

Примечания

1. Brans, C.H .; Дике, Р. Х. (1 ноября 1961 г.). «Принцип Маха и релятивистская теория гравитации». Физический обзор. 124 (3): 925–935. Bibcode:1961ПхРв..124..925Б. Дои:10.1103 / PhysRev.124.925.
2. Вайнберг, Стивен (1971). Гравитация и космология: принципы и приложения общей теории относительности. Вайли. п.160. ISBN  0471925675.
3. Фарони, Валерио (1999). «Иллюзии общей теории относительности в гравитации Бранса-Дике». Phys. Rev. D59: 084021. arXiv:gr-qc / 9902083. Bibcode:1999ПхРвД..59х4021Ф. Дои:10.1103 / PhysRevD.59.084021.
4. М. Кампанелли, C.O. Lousto, Int. J. Mod. Phys. Д 02, 451 (1993) https://doi.org/10.1142/S0218271893000325
5. Георгиос Кофинас, Минас Цукалас: О действии полных теорий Бранса-Дике, в arXiv: 1512.04786 [gr-qc], 28 ноября 2016 г., DOI: 10.1140 / epjc / s10052-016-4505-у, уравнение (2.9) на стр. 2. Некоторые авторы используют

   ${\displaystyle S_{M}=\int d^{4}x{\sqrt {-g}}\;{\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }}$

   что касается срока, см. Теория Бранса-Дике: определение (Немецкий).

Рекомендации

• Бергманн, Питер Г. (май 1968 г.). «Комментарии к скалярно-тензорной теории». Int. J. Theor. Phys. 1 (1): 25–36. Bibcode:1968IJTP .... 1 ... 25B. Дои:10.1007 / BF00668828. ISSN  0020-7748.
• Ваггонер, Роберт В. (июнь 1970 г.). «Скалярно-тензорная теория и гравитационные волны». Phys. Ред. D. Американское физическое общество. 1 (12): 3209–3216. Bibcode:1970PhRvD ... 1,3209 Вт. Дои:10.1103 / PhysRevD.1.3209.
• Миснер, Чарльз В.; Торн, Кип С.; Уилер, Джон Арчибальд (1973). Гравитация. Сан-Франциско: В. Х. Фриман. ISBN  0-7167-0344-0. Видеть Вставка 39.1.
• Уилл, Клиффорд М. (1986). «Глава 8: Взлет и падение теории Бранса-Дике». Был ли Эйнштейн прав ?: Проверка общей теории относительности. Нью-Йорк: Базовые книги. ISBN  0-19-282203-9.
• Фараони, Валерио (2004). Космология в скалярно-тензорной гравитации. Дордрехт, Нидерланды: Kluwer Academic. ISBN  1-4020-1988-2.

внешняя ссылка

• Статья в Scholarpedia по теме к Карл Х. Бранс
• Бранс, Карл Х. "Корни скалярно-тензорной теории: приблизительная история". arXiv:gr-qc / 0506063.