Шестимерное пространство - Six-dimensional space - Wikipedia

Шестимерное пространство - это любое пространство, имеющее шесть измерений, шесть степеней свободы и требующее шести фрагментов данных или координат для определения местоположения в этом пространстве. Их бесконечно много, но наибольший интерес представляют более простые модели, моделирующие некоторые аспекты окружающей среды. Особый интерес представляет шестимерный Евклидово пространство, в котором построены 6-многогранники и 5-сфера. Шестимерный эллиптическое пространство и гиперболические пространства также изучаются, с постоянной положительной и отрицательной кривизной.

Формально шестимерное евклидово пространство ℝ⁶, генерируется с учетом всех настоящий 6-кортежи как 6-векторов в этом пространстве. Таким образом, он обладает свойствами всех евклидовых пространств, поэтому он линейен, имеет метрика и полный набор векторных операций. В частности скалярное произведение между двумя 6-векторами легко определяется и может использоваться для вычисления метрики. 6 × 6 матрицы может использоваться для описания преобразований, таких как вращения которые сохраняют исходную точку.

В общем, любое пространство, которое можно описан на местном уровне с шестью координаты, не обязательно евклидовы, является шестимерным. Одним из примеров является поверхность 6-сферы S⁶. Это набор всех точек в семимерное пространство (Евклидово) ℝ⁷ которые являются фиксированным расстоянием от начала координат. Это ограничение уменьшает количество координат, необходимых для описания точки на 6-сфере, на одну, поэтому она имеет шесть измерений. Такой неевклидов Пространства гораздо более распространены, чем евклидовы пространства, и в шести измерениях имеют гораздо больше приложений.

Геометрия

6-многогранник

Основная статья: 6-многогранник

А многогранник в шести измерениях называется 6-многогранником. Наиболее изученными являются правильные многогранники, из которых только три в шести измерениях: the 6-симплекс, 6-куб, и 6-ортоплекс. Более широкая семья - это равномерные 6-многогранники, построенные из областей фундаментальной симметрии отражения, каждая область определяется Группа Коксетера. Каждый равномерный многогранник определяется окольцованным Диаграмма Кокстера-Дынкина. В 6-полукуб - единственный многогранник из семейства D6, а 2₂₁ и 1₂₂ многогранники из семейства E6.

Равномерные многогранники в шести измерениях
(Отображается в виде ортогональных проекций в каждом Самолет Кокстера симметрии)

А6	B6		D6	E6
6-симплекс {3,3,3,3,3}	6-куб {4,3,3,3,3}	6-ортоплекс {3,3,3,3,4}	6-полукуб = {3,3^3,1} = h {4,3,3,3,3}	221 = {3,3,3^2,1}	122 = {3,3^2,2}

5-сфера

Пятимерная сфера или шестимерная гиперсфера - это пятимерная поверхность, равноудаленная от точки. Имеет символ S⁵, и уравнение для 5-сферы, радиус р, центр начала координат

${\displaystyle S^{5}=\left\{x\in \mathbb {R} ^{6}:\|x\|=r\right\}.}$

Объем шестимерного пространства, ограниченного этой 5-сферой, равен

${\displaystyle V_{6}={\frac {\pi ^{3}r^{6}}{6}}}$

что составляет 5,16771 × р⁶, или 0,0807 наименьшего 6-куб который содержит 5-сферу.

6-сфера

Шестимерная сфера или семимерная гиперсфера - это шестимерная поверхность, равноудаленная от точки. Имеет символ S⁶, и уравнение для 6-сферы, радиус р, центр начала координат

${\displaystyle S^{6}=\left\{x\in \mathbb {R} ^{7}:\|x\|=r\right\}.}$

Объем пространства, ограниченного этой 6-сферой, равен

${\displaystyle V_{7}={\frac {16\pi ^{3}r^{7}}{105}}}$

что составляет 4,72477 × р⁷, или 0,0369 наименьшего 7-куб который содержит 6-сферу.

Приложения

Трансформации в трех измерениях

В трехмерном пространстве a жесткая трансформация имеет шесть степеней свободы, три переводы по трем осям координат и по трем от группа вращения SO (3). Часто эти преобразования обрабатываются отдельно, поскольку они имеют очень разные геометрические структуры, но есть способы справиться с ними, которые рассматривают их как единый шестимерный объект.

Теория винта

Основная статья: Теория винта

В теории винта угловатый и линейный скорости объединяются в один шестимерный объект, называемый крутить. Подобный объект под названием гаечный ключ сочетает силы и крутящие моменты в шести измерениях. Их можно рассматривать как шестимерные векторы, которые линейно трансформируются при изменении системы отсчета. Сдвиги и повороты не могут быть выполнены таким образом, они связаны с поворотом возведение в степень.

Фазовое пространство

Основная статья: Фазовое пространство

Фазовый портрет Генератор Ван дер Поля

Фазовое пространство - это пространство, состоящее из позиции и импульс частицы, которые могут быть построены вместе в фазовая диаграмма чтобы выделить взаимосвязь между количествами. Обычная частица, движущаяся в трех измерениях, имеет фазовое пространство с шестью измерениями, которых слишком много для построения графика, но их можно проанализировать математически.^[1]

Вращения в четырех измерениях

Основная статья: Вращения в 4-мерном евклидовом пространстве

Группа вращения в четырех измерениях SO (4) имеет шесть степеней свободы. Это можно увидеть, рассмотрев матрицу 4 × 4, которая представляет вращение: поскольку это ортогональная матрица матрица определяется с точностью до смены знака, например, шесть элементов над главной диагональю. Но эта группа не является линейной, и у нее более сложная структура, чем у других известных приложений.

Другой способ взглянуть на эту группу - кватернион умножение. Каждое вращение в четырех измерениях может быть достигнуто умножением на пара единичных кватернионов, один до и один после вектора. Эти кватернионы уникальны, вплоть до смены знака для них обоих, и при таком использовании генерируют все вращения, поэтому продукт их групп, S³ × S³, это двойная крышка SO (4), который должен иметь шесть измерений.

Хотя пространство, в котором мы живем, считается трехмерным, у четырехмерного пространства есть практические приложения. Кватернионы, один из способов описания вращения в трех измерениях, состоят из четырехмерного пространства. Вращения между кватернионами, например, для интерполяции, происходят в четырех измерениях. Пространство-время, который имеет три пространственных измерения и одно временное измерение также четырехмерное, хотя и с другой структурой, чем Евклидово пространство.

Электромагнетизм

В электромагнетизм, то электромагнитное поле обычно считается состоящим из двух вещей: электрическое поле и магнитное поле. Они оба трехмерны векторные поля, связанные друг с другом Уравнения Максвелла. Второй подход - объединить их в один объект, шестимерный электромагнитный тензор, а тензор или же бивектор ценностное представление электромагнитного поля. С помощью этого уравнения Максвелла можно сжать из четырех уравнений в одно особенно компактное уравнение:

${\displaystyle \partial \mathbf {F} =\mathbf {J} \,}$

куда F - бивекторная форма электромагнитного тензора, J это четырехканальный и ∂ подходит дифференциальный оператор.^[2]

Теория струн

Многообразие Калаби-Яу (3D проекция )

В физике теория струн это попытка описать общая теория относительности и квантовая механика с единой математической моделью. Хотя это попытка смоделировать нашу Вселенную, она происходит в пространстве с большим количеством измерений, чем четыре пространства-времени, с которыми мы знакомы. В частности, ряд теорий струн имеет место в десятимерном пространстве, добавляя шесть дополнительных измерений. Эти дополнительные измерения требуются теорией, но, поскольку их нельзя наблюдать, считается, что они совсем другие. уплотненный сформировать шестимерное пространство с особая геометрия слишком мал, чтобы быть заметным.

С 1997 года появилась другая теория струн, работающая в шести измерениях. Маленькие теории струн представляют собой негравитационные теории струн в пяти и шести измерениях, возникающие при рассмотрении пределов десятимерной теории струн.^[3]

Теоретические основы

Бивекторы в четырех измерениях

Ряд упомянутых выше приложений можно связать друг с другом алгебраически, рассматривая реальную шестимерную бивекторы в четырех измерениях. Их можно записать Λ²ℝ⁴ для множества бивекторов в евклидовом пространстве или Λ²ℝ^3,1 для набора бивекторов в пространстве-времени. Координаты Плюккера - бивекторы в ℝ⁴ в то время как электромагнитный тензор, рассмотренный в предыдущем разделе, является бивектором в^3,1. Бивекторы могут использоваться для создания вращения в любом ℝ⁴ или ℝ^3,1 сквозь экспоненциальная карта (например, применяя экспоненциальное отображение всех бивекторов в Λ²ℝ⁴ генерирует все вращения в ℝ⁴). Они также могут быть связаны с общими преобразованиями в трех измерениях через однородные координаты, которые можно рассматривать как модифицированные вращения в in⁴.

Бивекторы возникают из суммы всех возможных клиновые изделия между парами 4-векторов. Поэтому у них есть C4
2  = 6 компонентов, и в большинстве случаев может быть записано как

${\displaystyle \mathbf {B} =B_{12}\mathbf {e} _{12}+B_{13}\mathbf {e} _{13}+B_{14}\mathbf {e} _{14}+B_{23}\mathbf {e} _{23}+B_{24}\mathbf {e} _{24}+B_{34}\mathbf {e} _{34}}$

Это первые бивекторы, которые не могут быть все порождены произведением пар векторов. Те, кто могут простые бивекторы и вращение, которое они производят, простые вращения. Другие вращения в четырех измерениях двойной и изоклинический вращения и соответствуют непростым бивекторам, которые не могут быть созданы одним клиновым продуктом.^[4]

6-векторов

6-векторы - это просто векторы шестимерного евклидова пространства. Как и другие подобные векторы, они линейный, можно складывать, вычитать и масштабировать, как и в других измерениях. Вместо букв алфавита в более высоких измерениях обычно используются суффиксы для обозначения размеров, поэтому можно записать общий шестимерный вектор а = (а₁, а₂, а₃, а₄, а₅, а₆). Написано вот так шесть базисные векторы находятся (1, 0, 0, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0, 0), (0, 0, 1, 0, 0, 0), (0, 0, 0, 1, 0, 0), (0, 0, 0, 0, 1, 0) и (0, 0, 0, 0, 0, 1).

Из векторных операторов перекрестное произведение нельзя использовать в шести измерениях; вместо этого клин двух 6-векторов приводит к бивектор с 15 размерами. В скалярное произведение двух векторов

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}+a_{4}b_{4}+a_{5}b_{5}+a_{6}b_{6}.}$

Его можно использовать, чтобы найти угол между двумя векторами и норма,

${\displaystyle \left|\mathbf {a} \right\vert ={\sqrt {\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} }}={\sqrt {{a_{1}}^{2}+{a_{2}}^{2}+{a_{3}}^{2}+{a_{4}}^{2}+{a_{5}}^{2}+{a_{6}}^{2}}}.}$

Это можно использовать, например, для расчета диагонали 6-куб; с одним углом в начале координат, краями, выровненными по осям и длиной стороны 1, противоположный угол может быть на (1, 1, 1, 1, 1, 1), норма которого

${\displaystyle {\sqrt {1+1+1+1+1+1}}={\sqrt {6}}=2.4495,}$

которая является длиной вектора и, следовательно, диагонали 6-куба.

Бивекторы Гиббса

В 1901 г. J.W. Гиббс опубликовал работу о векторах, включающую шестимерную величину, которую он назвал бивектор. Он состоял из двух трехмерных векторов в одном объекте, который он использовал для описания эллипсов в трех измерениях. Он вышел из употребления, поскольку были разработаны другие методы, и теперь название бивектор более тесно связано с геометрической алгеброй.^[5]

Сноски

1. Артур Безье (1969). Перспективы современной физики. Макгроу-Хилл.
2. Лаунесто (2001), стр. 109–110.
3. Ахарони (2000)
4. Лаунесто (2001), стр. 86-89.
5. Джозия Уиллард Гиббс, Эдвин Бидвелл Уилсон (1901). Векторный анализ: учебное пособие для студентов-математиков и физиков.. Издательство Йельского университета. п. 481 ff.

Рекомендации

• Лунесто, Пертти (2001). Алгебры Клиффорда и спиноры. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-00551-7.

• Ахарони, Офер (2000). "Краткий обзор" маленьких теорий струн"". Квантовая гравитация. 17 (5). arXiv:hep-th / 9911147. Bibcode:2000CQGra..17..929A. Дои:10.1088/0264-9381/17/5/302.