Семимерное пространство - Seven-dimensional space

В математика, последовательность п действительные числа можно понимать как место расположения в п-размерный Космос. Когда п = 7, множество всех таких локаций называется 7-мерное пространство. Часто такое пространство изучают как векторное пространство, без понятия расстояния. Семимерный Евклидово пространство семимерное пространство, снабженное Евклидова метрика, который определяется скалярное произведение.^{[оспаривается ]}

В более общем смысле, термин может относиться к семимерному векторному пространству над любым поле, например, семимерный сложный векторное пространство, которое имеет 14 реальных измерений. Это также может относиться к семимерному многообразие например, 7-сфера, или множество других геометрических конструкций.

Семимерные пространства обладают рядом особых свойств, многие из которых связаны с октонионы. Особенно отличительным свойством является то, что перекрестное произведение можно определить только в трех или семи измерениях. Это связано с Теорема Гурвица, что запрещает существование алгебраических структур, подобных кватернионы и октонионы в размерах, отличных от 2, 4 и 8. Первые экзотические сферы когда-либо обнаруженные были семимерными.

Геометрия

7-многогранник

Основная статья: Равномерный 7-многогранник

А многогранник в семи измерениях называется 7-многогранником. Наиболее изученными являются правильные многогранники, из которых только три в семи измерениях: the 7-симплекс, 7-куб, и 7-ортоплекс. Более широкая семья - это равномерные 7-многогранники, построенные из областей фундаментальной симметрии отражения, каждая область определяется Группа Коксетера. Каждый равномерный многогранник определяется окольцованным Диаграмма Кокстера-Дынкина. В 7-полукруглый - единственный многогранник из D₇ семья и 3₂₁, 2₃₁, и 1₃₂ многогранники из E₇ семья.

Правильные и однородные многогранники в семи измерениях
(Отображается в виде ортогональных проекций в каждом Самолет Кокстера симметрии)

А6	B7		D7	E7
7-симплекс {3,3,3,3,3,3}	7-куб {4,3,3,3,3,3}	7-ортоплекс {3,3,3,3,3,4}	7-полукруглый = h {4,3,3,3,3,3} = {3,3^4,1}	321 {3,3,3,3^2,1}	231 {3,3,3^3,1}	132 {3,3^3,2}

6-сфера

В 6-сфера или гиперсфера в семимерном евклидовом пространстве - это шестимерная поверхность, равноудаленная от точки, например Происхождение. Имеет символ S⁶, с формальным определением для 6-сферы радиуса р из

${\displaystyle S^{6}=\left\{x\in \mathbb {R} ^{7}:\|x\|=r\right\}.}$

Объем пространства, ограниченного этой 6-сферой, равен

${\displaystyle V_{7}\,={\frac {16\pi ^{3}}{105}}\,r^{7}}$

что составляет 4,72477 × р⁷, или 0,0369 от 7-куб содержащий 6-сферу

Приложения

Перекрестный продукт

Основная статья: Семимерное перекрестное произведение

Перекрестное произведение, то есть вектор со значениями, билинейный, антикоммутативный и ортогональный произведение двух векторов определяется в семи измерениях. Наряду с более привычным перекрестное произведение в трех измерениях это единственный такой продукт, кроме тривиальных.

Экзотические сферы

Основная статья: Экзотическая сфера

В 1956 г. Джон Милнор построил экзотическая сфера в 7-мерном пространстве и показал, что на 7-сфере существует не менее 7 дифференцируемых структур. В 1963 году он показал, что точное количество таких сооружений - 28.

Смотрите также

• Евклидова геометрия
• Список тем по геометрии
• Список правильных многогранников

Рекомендации

• H.S.M. Кокстер: Правильные многогранники. Дувр, 1973 г.
• J.W. Милнор: О многообразиях, гомеоморфных 7-сфере. Анналы математики 64, 1956 г.

внешняя ссылка

• «Евклидова геометрия», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]