Многомерная супергравитация - Higher-dimensional supergravity

Многомерный супергравитация является суперсимметричным обобщением общая теория относительности в высших измерениях. Супергравитацию можно сформулировать в любом количестве измерений до одиннадцати. Эта статья посвящена супергравитации (СУГРА) более чем в четырех измерениях.

Супермультиплеты

Поля, связанные преобразованиями суперсимметрии, образуют супермультиплет; тот, который содержит гравитон, называется мультиплет супергравитации.

Название теории супергравитации обычно включает в себя количество измерений пространство-время что он населяет, а также количество ${displaystyle {mathcal {N}}}$ из гравитино что у него есть. Иногда также включается выбор супермультиплетов во имя теории. Например, ${displaystyle {mathcal {N}}=2}$, (9 + 1) -мерная супергравитация имеет 9 пространственных измерений, одно временное и 2 гравитино. Хотя полевой состав различных теорий супергравитации значительно различается, все теории супергравитации содержат по крайней мере одно гравитино, и все они содержат одно гравитон. Таким образом, каждая теория супергравитации содержит единственный супергравитационный супермультиплет. До сих пор неизвестно, можно ли построить теории с несколькими гравитонами, которые не эквивалентны множественным разделенным теориям с одним гравитоном в каждой.^{[нужна цитата ]}. В максимальная супергравитация Согласно теории (см. ниже), все поля связаны преобразованиями суперсимметрии, так что существует только один супермультиплет: супергравитационный мультиплет.

Измеренная супергравитация против супергравитации Янга – Миллса

Часто используется злоупотребление терминологией, когда «калибровочная супергравитация» относится к теории супергравитации, в которой поля в теории заряжены по отношению к векторным полям в теории. Однако, когда различие важно, следующая номенклатура является правильной. Если глобальный (т.е. жесткий) R-симметрия калибровано, гравитино заряжено относительно некоторых векторных полей, и теория называется измеренная супергравитация. Когда другие глобальные (жесткие) симметрии (например, если теория является нелинейная сигма-модель ) теории калиброваны так, что некоторые (не гравитино) поля заряжены относительно векторов, это известно как теория супергравитации Янга – Миллса – Эйнштейна. Конечно, можно представить себе «калибровочную теорию Янга – Миллса – Эйнштейна», используя комбинацию вышеупомянутых калибровок.

Подсчет гравитино

Гравитино - это фермионы, а это значит, что согласно теорема спиновой статистики у них должно быть нечетное количество спинорных индексов. На самом деле поле гравитино имеет один спинор и один вектор индекс, что означает, что гравитино трансформируется как тензорное произведение спинного мозга представление и векторное представление Группа Лоренца. Это Спинор Рариты – Швингера.

Хотя для каждой группы Лоренца существует только одно векторное представление, в целом существует несколько различных спинорных представлений. Технически это действительно представления двойная крышка группы Лоренца называется вращательная группа.

Каноническим примером спинорного представления является Спинор Дирака, который существует во всех измерениях пространства-времени. Однако спинорное представление Дирака не всегда неприводимо. При подсчете количества ${displaystyle {mathcal {N}}}$, всегда считается количество настоящий неприводимые представления. Спиноры со спинами менее 3/2, которые существуют в каждом количестве измерений, будут классифицированы в следующем подразделе.

Классификация спиноров

Доступные спинорные представления зависят от k; В максимальная компактная подгруппа из маленькая группа из Группа Лоренца что сохраняет импульс безмассового частица это Spin (d - 1) × Вращение (d − k - 1), где k равно числу d пространственных размеров минус количество d − k временных измерений. (Видеть спиральность (физика элементарных частиц) ) Например, в нашем мире это 3 - 1 = 2. Из-за мода 8 Периодичность Ботта из гомотопические группы группы Лоренца, на самом деле нам нужно только рассмотреть k по модулю 8.

Для любого значения k есть представление Дирака, которое всегда имеет реальную размерность ${displaystyle 2^{1+lfloor {frac {2d-k}{2}}floor }}$ куда ${displaystyle lfloor xfloor }$ - наибольшее целое число, меньшее или равное x. Когда ${displaystyle -2leq kleq 2{pmod {8}}}$ есть настоящий Майорана спинор представление, размерность которого вдвое меньше представления Дирака. Когда k есть даже Спинор Вейля представление, реальная размерность которого снова вдвое меньше спинора Дирака. Наконец, когда k делится на восемь, то есть когда k равен нулю по модулю восемь, существует Спинор Майорана – Вейля, чья реальная размерность составляет четверть спинора Дирака.

Иногда также считают симплектический спинор Майораны которые существуют, когда ${displaystyle 3leq kleq 5}$, половина которых имеет много компонентов в виде спиноров Дирака. Когда k= 4, они также могут быть Вейлевскими, что дает симплектические спиноры Майораны Вейля, которые имеют на четверть меньше компонентов, чем спиноры Дирака.

Выбор хиральности

Спиноры в п-размеры представления (В самом деле модули ) не только п-размерный Группа Лоренца, но также алгебры Ли, называемой п-размерный Алгебра Клиффорда. Наиболее часто используемая основа комплекса ${displaystyle 2^{lfloor nfloor }}$-мерное представление алгебры Клиффорда, действующее на спиноры Дирака, состоит из гамма-матрицы.

Когда п является даже произведением всех гамма-матриц, которое часто называют ${displaystyle Gamma _{5}}$ как это было впервые рассмотрено в деле п = 4, сам по себе не является членом алгебры Клиффорда. Однако, будучи продуктом элементов алгебры Клиффорда, он входит в универсальную оболочку алгебры и, таким образом, действует на спиноры Дирака.

В частности, спиноры Дирака можно разложить на собственные подпространства ${displaystyle Gamma _{5}}$ с собственными значениями, равными ${displaystyle pm (-1)^{-k/2}}$, куда k - это количество пространственных минус временных измерений в пространстве-времени. Каждый спинор в этих двух собственных подпространствах формирует проективные представления группы Лоренца, известной как Спиноры Вейля. Собственное значение при ${displaystyle Gamma _{5}}$ известен как хиральность спинора, который может быть левым или правым.

Частица, которая трансформируется как отдельный спинор Вейля, называется хиральной. В CPT теорема, что требуется в силу лоренц-инвариантности в Пространство Минковского, означает, что при одном направлении времени такие частицы имеют античастицы противоположной хиральности.

Напомним, что собственные значения ${displaystyle Gamma _{5}}$, собственными подпространствами которого являются две киральности, равны ${displaystyle pm (-1)^{-k/2}}$. В частности, когда k равно два по модулю четыре два собственных значения комплексно сопряжены, и поэтому две киральности представлений Вейля являются комплексно сопряженными представлениями.

Комплексное сопряжение в квантовых теориях соответствует обращению времени. Следовательно, из теоремы CPT следует, что когда число размерностей Минковского равно делится на четыре (так что k равно 2 по модулю 4) левого и правого наддувов одинаковое количество. С другой стороны, если размерность равна 2 по модулю 4, может быть разное количество левых и правых суперзарядов, и поэтому часто можно пометить теорию дублетом ${displaystyle {mathcal {N}}=({mathcal {N}}_{L},{mathcal {N}}_{R})}$ куда ${displaystyle {mathcal {N}}_{L}}$ и ${displaystyle {mathcal {N}}_{R}}$ - количество левых и правых наддувов соответственно.

Подсчет суперсимметрий

Все теории супергравитации инвариантны относительно преобразований в суперпуанкаре алгебра, хотя отдельные конфигурации, вообще говоря, не инвариантны относительно каждого преобразования в этой группе. Группа Супер-Пуанкаре порождается Суперпуанкаре алгебра, что является Супералгебра Ли. Супералгебра Ли - это ${displaystyle mathbf {Z} _{2}}$ градуированная алгебра, в которой элементы нулевой степени называются бозонными, а элементы первой степени - фермионными. Коммутатор, то есть антисимметричная скобка, удовлетворяющая условию Личность Якоби определяется между каждой парой генераторов фиксированной степени, за исключением пар фермионных генераторов, для которых вместо этого определяется симметричная скобка, называемая антикоммутатором.

Фермионные генераторы также называют наддув. Любая конфигурация, инвариантная относительно любого из наддувов, называется BPS, и часто теоремы о неперенормировке демонстрируют, что такие состояния особенно легко обрабатываются, поскольку на них не действуют многие квантовые поправки.

Суперзаряды превращаются в спиноры, и количество неприводимых спиноров этих фермионных генераторов равно количеству гравитино ${displaystyle {mathcal {N}}}$ определено выше. Часто ${displaystyle {mathcal {N}}}$ определяется как число фермионных генераторов, а не число гравитино, потому что это определение распространяется на суперсимметричные теории без гравитации.

Иногда удобно характеризовать теории не числом ${displaystyle {mathcal {N}}}$ неприводимых представлений гравитино или суперзарядов, но вместо этого Q их размеров. Это потому, что некоторые особенности теории совпадают. Q-зависимость в любом количестве измерений. Например, часто интересуют только теории, в которых все частицы имеют вращение меньше или равно двум. Это требует, чтобы Q не превышает 32, за исключением, возможно, особых случаев, когда суперсимметрия реализуется нетрадиционным, нелинейным образом с произведениями бозонных генераторов на антикоммутаторы фермионных генераторов.

Примеры

Максимальная супергравитация

Теории супергравитации, которые вызвали наибольший интерес, не содержат спинов выше двух. Это означает, в частности, что они не содержат полей, которые трансформируются как симметричные тензоры ранга выше двух при преобразованиях Лоренца. Последовательность взаимодействия теории поля высших спинов однако в настоящее время вызывает очень активный интерес.

Суперзаряды в каждой суперпуанкаре алгебры порождаются мультипликативным базисом м фундаментальные наддувы, а аддитивная основа наддувов (это определение наддувов немного шире, чем приведенное выше) дается произведением любого подмножества этих м фундаментальные наддувы. Количество подмножеств м элементов 2^м, таким образом, объем наддувов составляет 2^м-размерный.

Поля в суперсимметричной теории образуют представления суперпуанкаре алгебры. Можно показать, что когда м больше 5, нет представлений, которые содержат только поля спина, меньшие или равные двум. Таким образом, нас интересует случай, когда м меньше или равно 5, что означает, что максимальное количество суперзарядов равно 32. Теория супергравитации с ровно 32 суперсимметриями известна как максимальная супергравитация.

Выше мы видели, что количество суперзарядов в спиноре зависит от размерности и сигнатуры пространства-времени. В спинорах возникают перезаряды. Таким образом, указанное выше ограничение на количество перезарядов не может быть выполнено в пространстве-времени произвольной размерности. Ниже мы опишем некоторые случаи, в которых он выполняется.

12-мерная двумерная теория

Наивысшее измерение, в котором существуют спиноры только с 32 суперзарядами, равно 12. Если имеется 11 пространственных направлений и 1 направление по времени, тогда будут спиноры Вейля и Майорана, которые имеют размерность 64 и поэтому слишком велики. Однако некоторые авторы рассматривали нелинейные действия суперсимметрии, при которых поля более высоких спинов могут не возникать.

Если вместо этого рассматривать 10 пространственных направлений и второе временное измерение тогда существует спинор Майорана – Вейля, который, как и следовало ожидать, имеет всего 32 компонента. Для обзора теорий двойного времени одним из их основных сторонников, Ицхак Барс см. его газету Двукратная физика и Двукратная физика на arxiv.org. Он рассматривал 12-мерную супергравитацию в Супергравитация, двойственность p-браны и скрытые измерения пространства и времени.

Широко, но не повсеместно считалось, что теории двух времен могут иметь проблемы. Например, могут быть проблемы причинности (разрыв между причиной и следствием) и проблемы унитарности (отрицательная вероятность, призраки). Так же Гамильтониан подход к квантовой механике, возможно, придется изменить при наличии второго гамильтониана в другое время. Однако в физике двух времен было продемонстрировано, что такие потенциальные проблемы решаются с соответствующей калибровочной симметрией.

Две другие теории времени описывают поведение при низких энергиях, например Джумрун Вафа с F-теория который также сформулирован с помощью 12 измерений. Однако сама F-теория не является двукратной теорией. Можно понять два из 12 измерений F-теории как бухгалтерский прием; их не следует путать с другими 10 координатами пространства-времени. Эти два измерения как-то двойственны друг другу и не должны рассматриваться независимо.

11-мерная максимальная СУГРА

Эта максимальная супергравитация - классический предел М-теория. Классически у нас есть только одна 11-мерная теория супергравитации: 7-мерное гиперпространство + 4 общих измерения. Как и все максимальные супергравитеты, он содержит единственный супермультиплет, супергравитационный супермультиплет, содержащий гравитон, майорановское гравитино и 3-образное калибровочное поле, часто называемое C-полем.

Он содержит два п-брана растворы, 2-брана и 5-брана, которые электрически и магнитно заряжены, соответственно, по отношению к C-полю. Это означает, что заряды 2-бран и 5-бран являются нарушением тождеств Бианки для дуального C-поля и исходного C-поля соответственно. Супергравитационные 2-брана и 5-брана являются длинноволновые пределы (см. также исторический обзор выше) М2-брана и М5-брана в М-теории.

Теории 10d SUGRA

Тип IIA СУГРА: N = (1, 1)

Эта максимальная супергравитация - классический предел теория струн типа IIA. Полевой состав супергравитационного супермультиплета состоит из гравитона, майорановского гравитино, Поле Калба – Рамона, нечетномерная Рамон – Рамон калибровочные потенциалы, a дилатон и дилатино.

Тождества Бианки калибровочных потенциалов Рамона – Рамона ${displaystyle C_{2k-1}}$ могут быть нарушены добавлением источников ${displaystyle ho }$, которые называются D (8 - 2k) -браны

${displaystyle ddC_{2k-1}=ho .,,,}$

в демократическая формулировка супергравитации типа IIA существуют калибровочные потенциалы Рамона – Рамона для 0 <k <6, что приводит к D0-бранам (также называемым D-частицами), D2-бранам, D4-бранам, D6-бранам и, если один включает случай k = −1, D8-браны. Кроме того, существуют фундаментальные струны и их электромагнитные двойники, которые называются NS5-браны.

Хотя очевидно, что нет никаких калибровочных связей формы −1, соответствующая напряженность поля формы 0, грамм₀ может существовать. Эта напряженность поля называется Римская месса а когда он не равен нулю, теория супергравитации называется массивная супергравитация IIA или же Римлянам IIA супергравитация. Из приведенного выше тождества Бьянки мы видим, что D8-брана - это доменная стенка между зонами разного грамм₀, таким образом, в присутствии D8-браны по крайней мере часть пространства-времени будет описана римской теорией.

IIA SUGRA от 11d SUGRA

IIA SUGRA - это уменьшение размеров 11-мерной супергравитации на окружности. Это означает, что 11d супергравитация в пространстве-времени ${displaystyle M^{10} imes S^{1},}$ эквивалентна супергравитации IIA на 10-многообразии ${displaystyle M^{10},}$ где исключаются моды с массами, пропорциональными обратному радиусу круга S¹.

В частности, поле и содержание бран в супергравитации IIA могут быть получены с помощью этой процедуры уменьшения размеров. Поле ${displaystyle G_{0}}$ однако не возникает из-за уменьшения размерности, массивный IIA, как известно, не является редукцией размерности какой-либо многомерной теории. 1-форма Рамона – Рамона ${displaystyle C_{1},}$ это обычная 1-форма связности, возникающая из процедуры Калуцы – Клейна, она возникает из компонентов 11-мерной метрики, содержащих один индекс вдоль компактифицированной окружности. Калибровочный потенциал 3-формы IIA ${displaystyle C_{3},}$ представляет собой редукцию компонент калибровочного потенциала 11d 3-формы с индексами, не лежащими вдоль окружности, в то время как B-поле 2-формы Калба – Рамона IIA состоит из тех компонентов 11-мерной 3-формы с одним индексом вдоль круг. Высшие формы в IIA не являются независимыми степенями свободы, но получаются из низших форм с использованием двойственности Ходжа.

Точно так же браны IIA происходят от 11-мерных бран и геометрии. D0-брана IIA представляет собой импульсную моду Калуцы – Клейна вдоль компактифицированной окружности. Основная струна IIA представляет собой 11-мерную мембрану, которая охватывает уплотненный круг. IIA D2-брана представляет собой 11-мерную мембрану, которая не охватывает компактифицированный круг. D4-брана IIA - это 11-мерная 5-брана, охватывающая компактифицированный круг. IIA NS5-брана - это 11-мерная 5-брана, которая не охватывает компактифицированный круг. D6-брана IIA является монополем Калуцы – Клейна, т. Е. Топологическим дефектом компактного расслоения на окружность. Подъем IIA D8-браны до 11-мерного состояния неизвестен, поскольку одна сторона геометрии IIA как нетривиальная римская масса, а 11-мерный оригинал римской массы неизвестен.

Тип IIB СУГРА: N = (2, 0)

Эта максимальная супергравитация - классический предел теория струн типа IIB. Полевой состав супергравитационного супермультиплета состоит из гравитона, гравитино Вейля, Поле Калба – Рамона, четномерный Рамон – Рамон калибровочные потенциалы, a дилатон и дилатино.

Поля Рамона – Рамона происходят от нечетномерных D (2k + 1) -браны, содержащие суперсимметричные U(1) калибровочные теории. Как и в супергравитации IIA, фундаментальная струна является электрическим источником B-поля Калба – Рамона и NS5-брана магнитный источник. В отличие от теории IIA, NS5-брана содержит мировой объем U(1) суперсимметричная калибровочная теория с ${displaystyle {mathcal {N}}=(1,1)}$ суперсимметрия, хотя часть этой суперсимметрии может быть нарушена в зависимости от геометрии пространства-времени и других присутствующих бран.

Эта теория имеет SL (2,р) симметрия, известная как S-дуальность который меняет местами поле Калба – Рамона и RR 2-форму, а также смешивает дилатон и RR 0-форму аксион.

СУГРА типа I: N = (1, 0)

Это классические пределы теория струн типа I и два гетеротические теории струн. Есть сингл Спинор Майорана – Вейля наддувов, который в 10 размерах содержит 16 наддувов. Поскольку 16 меньше 32, максимальное количество наддувов типа I не является максимальной теорией супергравитации.

В частности, это означает, что существует более одной разновидности супермультиплета. На самом деле их два. Как обычно, существует супергравитационный супермультиплет. Это меньше, чем супермультиплет супергравитации в типе II, он содержит только гравитон, майорана – Вейля Gravitino, калибровочный потенциал 2-формы, дилатон и дилатино. Считается ли эта 2-форма Поле Калба – Рамона или же Рамон-Рамонское месторождение зависит от того, считается ли теория супергравитации классическим пределом гетеротическая теория струн или же теория струн типа I. Также есть вектор супермультиплет, который содержит калибровочный потенциал одной формы, называемый глюон а также Майорана – Вейля глюино.

В отличие от сверхтяжелостей типа IIA и IIB, для которых классическая теория уникальна, как классическая теория ${displaystyle {mathcal {N}}=1}$ супергравитация согласуется с одним супергравитационным супермультиплетом и любым количеством векторных мультиплетов. Она также согласована без супермультиплета супергравитации, но тогда она не будет содержать гравитона и, следовательно, не будет теорией супергравитации. Хотя можно добавить несколько супермультиплетов супергравитации, неизвестно, могут ли они последовательно взаимодействовать. Можно не только определять количество векторных супермультиплетов, если таковые имеются, но также есть некоторая свобода в определении их связей. Они должны описывать классический супер Янг – Миллс калибровочная теория, но выбор калибровочной группы произволен. Кроме того, в классической теории можно сделать выбор в пользу гравитационных связей.

Пока существует множество разновидностей классических ${displaystyle {mathcal {N}}=1}$ сверхтяжелости, не все эти разновидности являются классическими пределами квантовых теорий. Как правило, квантовые версии этих теорий страдают от различных аномалий, что можно увидеть уже на 1-петле в шестиугольник Диаграммы Фейнмана. В 1984 и 1985 гг. Майкл Грин и Джон Х. Шварц показали, что если включить точно 496 векторных супермультиплетов и выбрать определенные взаимодействия 2-формы и метрики, то гравитационные аномалии Отмена. Это называется Механизм нейтрализации аномалии Грина – Шварца..

Кроме того, для отмены аномалии необходимо отменить калибровочные аномалии. Это фиксирует алгебру калибровочной симметрии как ${displaystyle {mathfrak {so}}(32)}$, ${displaystyle {mathfrak {e}}_{8}oplus {mathfrak {e}}_{8}}$, ${displaystyle {mathfrak {e}}_{8}oplus 248{mathfrak {u}}(1)}$ или же ${displaystyle 496{mathfrak {u}}(1)}$. Однако только первые две алгебры Ли могут быть получены из теории суперструн.^{[нужна цитата ]}. Квантовые теории с как минимум 8 перезарядками имеют тенденцию пространства модулей вакуума. В компактификации из этих теорий, имеющих 16 перезарядов, существуют вырожденные вакуумы с разными значениями петель Вильсона. Такие петли Вильсона можно использовать для нарушения калибровочной симметрии на различные подгруппы. В частности, указанные выше калибровочные симметрии могут быть нарушены, чтобы получить не только калибровочную симметрию стандартной модели, но также группы симметрии, такие как SO (10) и SU (5), которые популярны в Теории GUT.

Теории 9d SUGRA

В 9-мерном пространстве Минковского единственным неприводимым спинорным представлением является Майорана спинор, состоящий из 16 компонентов. Таким образом, сверхзаряды населяют спиноры Майораны, которых не более двух.

Максимальная 9д СУГРА от 10д

В частности, если есть два майорановских спинора, то получается 9-мерная теория максимальной супергравитации. Напомним, что в 10 измерениях существовали две неэквивалентные теории максимальной супергравитации, IIA и IIB. В уменьшение размеров либо IIA, либо IIB на окружности представляет собой уникальную 9-мерную супергравитацию. Другими словами, IIA или IIB на произведении 9-мерного пространства M⁹ а круг эквивалентен 9-мерной теории на M⁹, с модами Калуцы – Клейна, если не брать предел, при котором окружность стягивается до нуля.

Т-дуальность

В более общем плане можно было бы рассмотреть 10-мерную теорию на нетривиальном связка кругов над M⁹. Уменьшение размерности по-прежнему приводит к 9-мерной теории на M⁹, но с 1-формой измерить потенциал равно связь расслоения кругов и 2-формы напряженность поля что равно Черн класс связки старого круга. Затем можно перенести эту теорию на другую 10-мерную теорию, и в этом случае обнаружится, что калибровочный потенциал 1-формы поднимается до Поле Калба – Рамона. Точно так же связь расслоения окружности во второй 10-мерной теории является интегралом поля Калба – Рамона исходной теории по компактифицированной окружности.

Это преобразование между двумя 10-мерными теориями известно как Т-дуальность. В то время как T-дуальность в супергравитации включает уменьшение размеров и, таким образом, теряет информацию, в полной квантовой теория струн дополнительная информация хранится в режимах намотки струны, и поэтому T-дуальность является двойственность между двумя 10-мерными теориями. Приведенная выше конструкция может быть использована для получения связи между связностью кругового расслоения и дуальным полем Калба – Рамона даже в полной квантовой теории.

N = 1 измеренная СУГРА

Основная статья: Измеренная супергравитация

Как и в случае с исходной 10-мерной теорией, 9-мерная супергравитация с N = 1 содержит один супергравитационный мультиплет и произвольное количество векторных мультиплетов. Эти векторные мультиплеты могут быть связаны, чтобы допускать произвольные калибровочные теории, хотя не все возможности имеют квантовое пополнение. В отличие от 10-мерной теории, как было описано в предыдущем разделе, супергравитационный мультиплет сам содержит вектор, поэтому всегда будет по крайней мере калибровочная симметрия U (1), даже в случае N = 2.

Математика

В Лагранжиан для супергравитации 11D, найденной грубой силой Креммером, Джулией и Шерк^[1] является:

${displaystyle {egin{array}{rcl}L&=&+{frac {1}{2kappa ^{2}}}eR-{frac {1}{2}}e{overline {psi }}_{M}Gamma ^{MNP}D_{N}[{frac {1}{2}}(omega -{overline {omega }})]psi _{P}&&+{frac {1}{48}}eF_{MNPQ}^{2}+{frac {{sqrt {2}}kappa }{384}}e({overline {psi }}_{M}Gamma ^{MNPQRS}psi _{S}&&+12{overline {psi }}^{N}Gamma ^{PQ}psi ^{R})(F+{overline {F}})_{NPQR}+{frac {{sqrt {2}}kappa }{3456}}varepsilon ^{M_{1}dots M_{11}}F_{M_{1}dots M_{4}}F_{M_{5}dots M_{8}}A_{M_{9}M_{10}M_{11}}end{array}}}$

который содержит три типа полей:

${displaystyle e_{M}^{A},psi _{M},A_{MNP}}$

Симметрия этой теории супергравитации задается супергруппой OSp (1 | 32), которая дает подгруппы O (1) для бозонной симметрии и Sp (32) для фермионной симметрии. Это потому что спиноры нужно 32 компонента в 11 измерениях. Супергравитация 11D может быть компактифицирована до четырех измерений, которые затем будут иметь симметрию OSp (8 | 4). (У нас по-прежнему 8 × 4 = 32, так что остается то же количество компонентов.) Спинорам нужно 4 компонента в 4 измерениях. Это дает O (8) для калибровочной группы, которая слишком мала, чтобы содержать Стандартная модель калибровочная группа U (1) × SU (2) × SU (3), которой потребуется не менее O (10).

Примечания и ссылки

1. Cremmer, E .; Юлия, Б .; Шерк, Дж. (1978). «Супергравитация в теории в 11 измерениях». Письма по физике B. Elsevier BV. 76 (4): 409–412. Дои:10.1016/0370-2693(78)90894-8. ISSN  0370-2693.