Геодезические Шварцшильда - Schwarzschild geodesics

В общая теория относительности, Геодезические Шварцшильда описывают движение частиц бесконечно малой массы в гравитационное поле центральной неподвижной массы ${\textstyle M}$. Геодезические Шварцшильда сыграли решающую роль в Проверка теории Эйнштейна общая теория относительности. Например, они обеспечивают точные предсказания аномальной прецессии планет Солнечной системы и отклонения света под действием силы тяжести.

Геодезические Шварцшильда относятся только к движению частиц бесконечно малой массы. ${\textstyle m}$, т.е. частицы, которые сами по себе не вносят вклад в гравитационное поле. Однако они обладают высокой точностью при условии, что ${\textstyle m}$ во много раз меньше центральной массы ${\textstyle M}$, например, для планет, вращающихся вокруг своего Солнца. Геодезические Шварцшильда также являются хорошим приближением к относительному движению двух тел произвольной массы при условии, что масса Шварцшильда ${\textstyle M}$ устанавливается равным сумме двух отдельных масс ${\textstyle m_{1}}$ и ${\textstyle m_{2}}$. Это важно для прогнозирования движения двойные звезды в общей теории относительности.

Исторический контекст

Метрика Шварцшильда названа в честь своего первооткрывателя. Карл Шварцшильд, который нашел решение в 1915 году, всего через месяц после публикации общей теории относительности Эйнштейна. Это было первое точное решение уравнений поля Эйнштейна, отличное от тривиального. решение квартиры.

Метрика Шварцшильда

Смотрите также: Метрика Шварцшильда и Получение решения Шварцшильда

Точное решение Уравнения поля Эйнштейна это Метрика Шварцшильда, что соответствует внешнему гравитационному полю незаряженного, невращающегося сферически-симметричного тела массы ${\textstyle M}$. Решение Шварцшильда можно записать как^[1]

${\displaystyle c^{2}{d\tau }^{2}=\left(1-{\frac {r_{\rm {s}}}{r}}\right)c^{2}dt^{2}-{\frac {dr^{2}}{1-{\frac {r_{\rm {s}}}{r}}}}-r^{2}d\theta ^{2}-r^{2}\sin ^{2}\theta \,d\varphi ^{2}}$

куда

${\displaystyle \tau }$ - собственное время (время, измеренное часами, движущимися вместе с частицей) в секундах,

${\displaystyle c}$ это скорость света в метрах в секунду,

${\displaystyle t}$ - координата времени (время, измеренное стационарными часами на бесконечности) в секундах,

${\displaystyle r}$ - радиальная координата (длина окружности с центром в звезде, деленная на ${\displaystyle 2\pi }$) в метрах,

${\displaystyle \theta }$ это холодность (угол от севера) в радианах,

${\displaystyle \varphi }$ это долгота в радианах и

${\displaystyle r_{s}}$ это Радиус Шварцшильда массивного тела (в метрах), что связано с его массой ${\textstyle M}$ к

${\displaystyle r_{\rm {s}}={\frac {2GM}{c^{2}}},}$

куда ${\textstyle G}$ это гравитационная постоянная. Классическая ньютоновская теория гравитации восстанавливается в пределе как отношение ${\textstyle {\frac {r_{s}}{r}}}$ уходит в ноль. В этом пределе показатель возвращается к значению, определенному специальная теория относительности.

На практике это соотношение почти всегда крайне мало. Например, радиус Шварцшильда ${\textstyle r_{s}}$ Земли составляет примерно 9 мм (³⁄₈ дюйм); на поверхности Земли поправки к ньютоновской гравитации составляют лишь одну часть на миллиард. Радиус Солнца по Шварцшильду намного больше, примерно 2953 метра, но на его поверхности соотношение ${\textstyle {\frac {r_{s}}{r}}}$ составляет примерно 4 части на миллион. А белый Гном Звезда намного плотнее, но даже здесь соотношение на ее поверхности составляет примерно 250 частей на миллион. Отношение становится большим только вблизи сверхплотных объектов, таких как нейтронные звезды (где соотношение составляет примерно 50%) и черные дыры.

Орбиты пробных частиц

Сравнение орбиты пробной частицы в ньютоновском (слева) и шварцшильдовском (справа) пространстве-времени; Обратите внимание апсидальная прецессия справа.

Мы можем упростить задачу, используя симметрию, чтобы исключить из рассмотрения одну переменную. Поскольку метрика Шварцшильда симметрична относительно ${\textstyle \theta ={\frac {\pi }{2}}}$, любая геодезическая, которая начинает движение в этой плоскости, будет оставаться в этой плоскости неопределенно долго (плоскость полностью геодезический ). Поэтому мы ориентируем систему координат так, чтобы орбита частицы лежала в этой плоскости, и фиксируем ${\textstyle \theta }$ координировать, чтобы быть ${\textstyle {\frac {\pi }{2}}}$ так что метрика (этой плоскости) упрощается до

${\displaystyle c^{2}d\tau ^{2}=\left(1-{\frac {r_{\rm {s}}}{r}}\right)c^{2}dt^{2}-{\frac {dr^{2}}{1-{\frac {r_{\rm {s}}}{r}}}}-r^{2}d\varphi ^{2}.}$

Два постоянные движения (значения, которые не меняются с течением времени ${\displaystyle \tau }$) могут быть идентифицированы (ср. приведенный вывод ниже ). Один - это полная энергия ${\textstyle E}$:

${\displaystyle \left(1-{\frac {r_{\rm {s}}}{r}}\right){\frac {dt}{d\tau }}={\frac {E}{mc^{2}}}.}$

а другой - удельный угловой момент:

${\displaystyle h={\frac {L}{\mu }}=r^{2}{\frac {d\varphi }{d\tau }},}$

где L - полный угловой момент двух тел, а ${\textstyle \mu }$ это уменьшенная масса. Когда ${\textstyle M\gg m}$приведенная масса примерно равна ${\textstyle m}$. Иногда предполагается, что ${\textstyle m=\mu }$. В случае с планетой Меркурий это упрощение приводит к ошибке, более чем в два раза превышающей релятивистский эффект. Обсуждая геодезические, ${\textstyle m}$ можно считать фиктивным, и важны константы ${\textstyle {\frac {E}{m}}}$ и ${\textstyle h}$. Чтобы охватить все возможные геодезические, нам необходимо рассмотреть случаи, когда ${\textstyle {\frac {E}{m}}}$ бесконечно (задавая траектории фотоны ) или воображаемый (за тахионный геодезические). Для фотонного случая нам также необходимо указать число, соответствующее отношению двух констант, а именно ${\textstyle {\frac {mh}{E}}}$, которое может быть нулем или ненулевым действительным числом.

Подставляя эти константы в определение метрики Шварцшильда

${\displaystyle c^{2}=\left(1-{\frac {r_{\rm {s}}}{r}}\right)c^{2}\left({\frac {dt}{d\tau }}\right)^{2}-{\frac {1}{1-{\frac {r_{\rm {s}}}{r}}}}\left({\frac {dr}{d\tau }}\right)^{2}-r^{2}\left({\frac {d\varphi }{d\tau }}\right)^{2},}$

дает уравнение движения для радиуса как функции собственного времени ${\textstyle \tau }$:

${\displaystyle \left({\frac {dr}{d\tau }}\right)^{2}={\frac {E^{2}}{m^{2}c^{2}}}-\left(1-{\frac {r_{\rm {s}}}{r}}\right)\left(c^{2}+{\frac {h^{2}}{r^{2}}}\right).}$

Формальным решением этого является

${\displaystyle \tau =\int {\frac {dr}{\pm {\sqrt {{\frac {E^{2}}{m^{2}c^{2}}}-\left(1-{\frac {r_{\rm {s}}}{r}}\right)\left(c^{2}+{\frac {h^{2}}{r^{2}}}\right)}}}}.}$

Обратите внимание, что квадратный корень для тахионических геодезических будет мнимым.

Используя отношение выше между ${\textstyle {\frac {dt}{d\tau }}}$ и ${\textstyle E}$, мы также можем написать

${\displaystyle t=\int {\frac {dr}{\pm c\left(1-{\frac {r_{\rm {s}}}{r}}\right){\sqrt {1-\left(1-{\frac {r_{\rm {s}}}{r}}\right)\left(c^{2}+{\frac {h^{2}}{r^{2}}}\right){\frac {m^{2}c^{2}}{E^{2}}}}}}}.}$

С асимптотически подынтегральное выражение обратно пропорционально ${\textstyle r-r_{\rm {s}}}$, это показывает, что в ${\textstyle r,\theta ,\varphi ,t}$ система отсчета, если ${\textstyle r}$ подходы ${\textstyle r_{s}}$ он делает это экспоненциально, даже не достигнув этого. Однако в зависимости от ${\textstyle \tau }$, ${\textstyle r}$ действительно достигает ${\textstyle r_{s}}$.

Вышеупомянутые решения действительны, пока подынтегральное выражение конечно, но полное решение может включать две или бесконечное количество частей, каждая из которых описывается интегралом, но с чередующимися знаками для квадратного корня.

Когда ${\textstyle E=mc^{2}}$ и ${\textstyle h=0}$, мы можем решить для ${\textstyle t}$ и ${\textstyle \tau }$ явно:

${\displaystyle {\begin{aligned}t&={\text{constant}}\pm {\frac {r_{\rm {s}}}{c}}\left({\frac {2}{3}}\left({\frac {r}{r_{\rm {s}}}}\right)^{\frac {3}{2}}+2{\sqrt {\frac {r}{r_{\rm {s}}}}}+\ln {\frac {\left|{\sqrt {\frac {r}{r_{\rm {s}}}}}-1\right|}{{\sqrt {\frac {r}{r_{\rm {s}}}}}+1}}\right)\\\tau &={\text{constant}}\pm {\frac {2}{3}}{\frac {r_{\rm {s}}}{c}}\left({\frac {r}{r_{\rm {s}}}}\right)^{\frac {3}{2}}\end{aligned}}}$

а для фотонных геодезических (${\textstyle m=0}$) с нулевым угловым моментом

${\displaystyle {\begin{aligned}t&={\text{constant}}\pm {\frac {1}{c}}\left(r+r_{\rm {s}}\ln \left|{\frac {r}{r_{\rm {s}}}}-1\right|\right)\\\tau &={\text{constant}}.\end{aligned}}}$

(Хотя собственное время в фотонном случае тривиально, можно определить аффинный параметр ${\textstyle \lambda }$, и тогда решение геодезического уравнения есть ${\textstyle r=c_{1}\lambda +c_{2}}$.)

Другой разрешимый случай - это случай, когда ${\textstyle E=0}$ и ${\textstyle t}$ и ${\textstyle \varphi }$ постоянны. В том, где ${\textstyle r<r_{s}}$ это дает в нужное время

${\displaystyle \tau ={\text{constant}}\pm {\frac {r_{\rm {s}}}{c}}\left(\arcsin {\sqrt {\frac {r}{r_{\rm {s}}}}}-{\sqrt {{\frac {r}{r_{\rm {s}}}}\left(1-{\frac {r}{r_{\rm {s}}}}\right)}}\right).}$

Это близко к решениям с ${\textstyle {\frac {E^{2}}{m^{2}}}}$ маленький и позитивный. Вне ${\textstyle r_{s}}$ то ${\textstyle E=0}$ решение тахионно, а «собственное время» подобно пространству:

${\displaystyle \tau ={\text{constant}}\pm i{\frac {r_{\rm {s}}}{c}}\left(\ln \left({\sqrt {\frac {r}{r_{\rm {s}}}}}+{\sqrt {{\frac {r}{r_{\rm {s}}}}-1}}\right)+{\sqrt {{\frac {r}{r_{\rm {s}}}}\left({\frac {r}{r_{\rm {s}}}}-1\right)}}\right).}$

Это близко к другим тахионным решениям с ${\textstyle {\frac {E^{2}}{m^{2}}}}$ маленький и отрицательный. Постоянная ${\textstyle t}$ тахионная геодезическая снаружи ${\textstyle r_{s}}$ не продолжается константой ${\textstyle t}$ геодезический внутри ${\textstyle r_{s}}$, а скорее продолжается в "параллельную внешнюю область" (см. Координаты Крускала – Секереса ). Другие тахионические решения могут войти в черную дыру и повторно выйти в параллельную внешнюю область. Постоянная т решение внутри горизонта событий (${\textstyle r_{s}}$) продолжается константой т решение в белая дыра.

Когда угловой момент не равен нулю, мы можем заменить зависимость от собственного времени зависимостью от угла ${\textstyle \varphi }$ используя определение ${\textstyle h}$

${\displaystyle \left({\frac {dr}{d\varphi }}\right)^{2}=\left({\frac {dr}{d\tau }}\right)^{2}\left({\frac {d\tau }{d\varphi }}\right)^{2}=\left({\frac {dr}{d\tau }}\right)^{2}\left({\frac {r^{2}}{h}}\right)^{2},}$

что дает уравнение для орбиты

${\displaystyle \left({\frac {dr}{d\varphi }}\right)^{2}={\frac {r^{4}}{b^{2}}}-\left(1-{\frac {r_{\rm {s}}}{r}}\right)\left({\frac {r^{4}}{a^{2}}}+r^{2}\right)}$

где для краткости две шкалы длины, ${\textstyle a}$ и ${\textstyle b}$, были определены

${\displaystyle {\begin{aligned}a&={\frac {h}{c}},\\b&={\frac {cL}{E}}={\frac {hmc}{E}}.\end{aligned}}}$

Обратите внимание, что в тахионном случае ${\textstyle a}$ будет воображаемым и ${\textstyle b}$ реальный или бесконечный.

То же уравнение можно вывести с помощью Лагранжев подход^[2] или Уравнение Гамильтона – Якоби^[3] (увидеть ниже ). Решение уравнения орбиты:

${\displaystyle \varphi =\int {\frac {dr}{\pm r^{2}{\sqrt {{\frac {1}{b^{2}}}-\left(1-{\frac {r_{\rm {s}}}{r}}\right)\left({\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{r^{2}}}\right)}}}}.}$

Это может быть выражено через Эллиптическая функция Вейерштрасса ${\textstyle \wp }$.^[4]

Локальная и запаздывающая скорости

В отличие от классической механики, в координатах Шварцшильда ${\textstyle {\frac {{\rm {d}}r}{{\rm {d}}\tau }}}$ и ${\textstyle r\ {\frac {{\rm {d}}\varphi }{{\rm {d}}\tau }}}$ не радиальные ${\textstyle v_{\parallel }}$ и поперечный ${\textstyle v_{\perp }}$ компоненты местного скорость ${\textstyle v}$ (относительно неподвижного наблюдателя), вместо этого они дают компоненты для быстрота которые связаны с ${\textstyle v}$ к

${\displaystyle {\frac {{\rm {d}}r}{{\rm {d}}\tau }}=v_{\parallel }{\sqrt {1-{\frac {r_{\rm {s}}}{r}}}}\ \gamma }$

для радиального и

${\displaystyle {\frac {{\rm {d}}\varphi }{{\rm {d}}\tau }}={\frac {v_{\perp }}{r}}\ \gamma }$

для поперечной составляющей движения с ${\textstyle v^{2}=v_{\parallel }^{2}+v_{\perp }^{2}}$. Координатор вдали от места происшествия наблюдает за шапиро-задержанный скорость ${\textstyle {\hat {v}}}$, которое задается соотношением

${\displaystyle {\hat {v}}_{\perp }=v_{\perp }{\sqrt {1-{\frac {r_{\rm {s}}}{r}}}}}$ и ${\displaystyle {\hat {v}}_{\parallel }=v_{\parallel }\left(1-{\frac {r_{\rm {s}}}{r}}\right)}$.

Коэффициент замедления времени между бухгалтером и движущейся тестовой частицей также можно представить в виде

${\displaystyle {\frac {{\rm {d}}\tau }{{\rm {d}}t}}={\frac {\sqrt {1-{\frac {r_{\rm {s}}}{r}}}}{\gamma }}}$

где числитель - гравитационный, а знаменатель - кинематическая составляющая замедления времени. Для частицы, падающей с бесконечности, левый множитель равен правому множителю, поскольку скорость падения ${\textstyle v}$ соответствует космической скорости ${\textstyle c{\sqrt {\frac {r_{\rm {s}}}{r}}}}$ в этом случае.

Две постоянные угловой момент ${\textstyle L}$ и общая энергия ${\textstyle E}$ пробной частицы с массой ${\textstyle m}$ с точки зрения ${\textstyle v}$

${\displaystyle L=m\ v_{\perp }\ r\ \gamma }$

и

${\displaystyle E=mc^{2}\ {\sqrt {1-{\frac {r_{\rm {s}}}{r}}}}\ \gamma }$

куда

${\displaystyle E=E_{\rm {rest}}+E_{\rm {kin}}+E_{\rm {pot}}}$

и

${\displaystyle E_{\rm {rest}}=mc^{2}\ ,\ \ E_{\rm {kin}}=(\gamma -1)mc^{2}\ ,\ \ E_{\rm {pot}}=\left({\sqrt {1-{\frac {r_{\rm {s}}}{r}}}}-1\right)\ \gamma \ mc^{2}}$

Для массивных тестовых частиц ${\textstyle \gamma }$ это Фактор Лоренца ${\textstyle \gamma =1/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$ и ${\textstyle \tau }$ - собственное время, а для безмассовых частиц, таких как фотоны ${\textstyle \gamma }$ установлен на ${\textstyle 1}$ и ${\textstyle \tau }$ играет роль аффинного параметра. Если частица безмассовая ${\textstyle E_{\rm {rest}}}$ заменяется на ${\textstyle E_{\rm {kin}}}$ и ${\textstyle mc^{2}}$ с ${\textstyle hf}$, куда ${\textstyle h}$ это Постоянная Планка и ${\textstyle f}$ частота, наблюдаемая на месте.

Точное решение с использованием эллиптических функций

Основное уравнение орбиты решить проще^{[примечание 1]} если он выражается через обратный радиус ${\textstyle u={\frac {1}{r}}}$

${\displaystyle \left({\frac {du}{d\varphi }}\right)^{2}={\frac {1}{b^{2}}}-\left(1-ur_{\rm {s}}\right)\left({\frac {1}{a^{2}}}+u^{2}\right)}$

Правая часть этого уравнения представляет собой кубический многочлен, который имеет три корни, обозначенный здесь как ты₁, ты₂, и ты₃

${\displaystyle \left({\frac {du}{d\varphi }}\right)^{2}=r_{\rm {s}}\left(u-u_{1}\right)\left(u-u_{2}\right)\left(u-u_{3}\right)}$

Сумма трех корней равна коэффициенту ты² срок

${\displaystyle u_{1}+u_{2}+u_{3}={\frac {1}{r_{\rm {s}}}}}$

Кубический многочлен с действительными коэффициентами может иметь либо три действительных корня, либо один действительный корень и два комплексно сопряженный корни. Если все три корня действительные числа, корни помечены так, чтобы ты₁ < ты₂ < ты₃. Если вместо этого существует только один реальный корень, то он обозначается как ты₃; комплексно сопряженные корни помечены ты₁ и ты₂. С помощью Правило знаков Декарта, может быть не более одного отрицательного корня; ты₁ отрицательно тогда и только тогда, когда б < а. Как обсуждается ниже, корни полезны при определении типов возможных орбит.

Учитывая такое обозначение корней, решение фундаментального уравнения орбиты имеет вид

${\displaystyle u=u_{1}+\left(u_{2}-u_{1}\right)\,\mathrm {sn} ^{2}\left({\frac {1}{2}}\varphi {\sqrt {r_{\rm {s}}\left(u_{3}-u_{1}\right)}}+\delta \right)}$

где sn представляет синусовая амплитудная функция (один из Эллиптические функции Якоби ), а δ - постоянная интегрирования, отражающая начальное положение. В эллиптический модуль k этой эллиптической функции задается формулой

${\displaystyle k={\sqrt {\frac {u_{2}-u_{1}}{u_{3}-u_{1}}}}}$

Ньютоновский предел

Чтобы восстановить ньютоновское решение для планетных орбит, в качестве предела принимается радиус Шварцшильда р_s уходит в ноль. В этом случае третий корень ты₃ становится примерно ${\textstyle {\frac {1}{r_{\text{s}}}}}$, и намного больше, чем ты₁ или ты₂. Следовательно, модуль k стремится к нулю; в этом пределе sn становится тригонометрическая функция синуса

${\displaystyle u=u_{1}+\left(u_{2}-u_{1}\right)\,\sin ^{2}\left({\frac {1}{2}}\varphi +\delta \right)}$

В соответствии с решениями Ньютона для планетарных движений, эта формула описывает фокусную конику эксцентриситета. е

${\displaystyle e={\frac {u_{2}-u_{1}}{u_{2}+u_{1}}}}$

Если ты₁ положительное действительное число, то орбита эллипс куда ты₁ и ты₂ представляют собой расстояние наиболее удаленного и наиболее близкого сближения соответственно. Если ты₁ равно нулю или отрицательному действительному числу, орбита парабола или гипербола, соответственно. В этих двух последних случаях ты₂ представляет собой расстояние наибольшего сближения; так как орбита уходит в бесконечность (ты = 0) дальнего приближения нет.

Корни и обзор возможных орбит

Корень представляет собой точку орбиты, где производная обращается в нуль, т. Е. Где ${\textstyle {\frac {du}{d\phi }}=0}$. В такой поворотный момент ты достигает максимума, минимума или точки перегиба, в зависимости от значения второй производной, которая задается формулой

${\displaystyle {\frac {d^{2}u}{d\varphi ^{2}}}={\frac {r_{\rm {s}}}{2}}\left[\left(u-u_{2}\right)\left(u-u_{3}\right)+\left(u-u_{1}\right)\left(u-u_{3}\right)+\left(u-u_{1}\right)\left(u-u_{2}\right)\right]}$

Если все три корня являются различными действительными числами, вторая производная будет положительной, отрицательной и положительной в точке ты₁,ты₂, и ты₃, соответственно. Отсюда следует, что график ты от φ может колебаться между ты₁ и ты₂, или он может уйти от ты₃ к бесконечности (что соответствует р идет к нулю). Если ты₁ отрицательно, фактически произойдет только часть «колебания». Это соответствует частице, исходящей из бесконечности, приближающейся к центральной массе, а затем снова удаляющейся к бесконечности, подобно гиперболической траектории в классическом решении.

Если частица обладает достаточным количеством энергии для своего углового момента, ты₂ и ты₃ сольется. В этом случае есть три решения. Орбита может закручиваться в ${\textstyle r={\frac {1}{u_{2}}}={\frac {1}{u_{3}}}}$, приближаясь к этому радиусу как (асимптотически) убывающая экспонента по φ, τ или т. Или можно иметь круговую орбиту с этим радиусом. Или можно иметь орбиту, которая движется по спирали от этого радиуса к центральной точке. Рассматриваемый радиус называется внутренним радиусом и находится между ${\textstyle {\frac {3}{2}}}$ и 3 раза р_s. Круговая орбита также возникает, когда ты₂ равно ты₁, и это называется внешним радиусом. Эти различные типы орбит обсуждаются ниже.

Если частица попадает в центральную массу с достаточной энергией и достаточно низким угловым моментом, то только ты₁ будет реально. Это соответствует падению частицы в черную дыру. Орбита закручивается по спирали с конечным изменением φ.

Прецессия орбит

Функция sn и ее квадрат sn² иметь периоды 4K и 2Kсоответственно, где K определяется уравнением^{[заметка 2]}

${\displaystyle K=\int _{0}^{1}{\frac {dy}{\sqrt {\left(1-y^{2}\right)\left(1-k^{2}y^{2}\right)}}}}$

Следовательно, изменение φ за одно колебание ты (или, что то же самое, одно колебание р) равно^[5]

${\displaystyle \Delta \varphi ={\frac {4K}{\sqrt {r_{\text{s}}\left(u_{3}-u_{1}\right)}}}}$

В классическом пределе ты₃ подходы ${\textstyle {\frac {1}{r_{\text{s}}}}}$ и намного больше, чем ты₁ или ты₂. Следовательно, k² примерно

${\displaystyle k^{2}={\frac {u_{2}-u_{1}}{u_{3}-u_{1}}}\approx r_{\text{s}}\left(u_{2}-u_{1}\right)\ll 1}$

По тем же причинам знаменатель Δφ приблизительно равен

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {r_{\text{s}}\left(u_{3}-u_{1}\right)}}}={\frac {1}{\sqrt {1-r_{\text{s}}\left(2u_{1}+u_{2}\right)}}}\approx 1+{\frac {1}{2}}r_{\text{s}}\left(2u_{1}+u_{2}\right)}$

Поскольку модуль k близка к нулю, период K может быть расширен в степени k; до самого низкого порядка это разложение дает

${\displaystyle K\approx \int _{0}^{1}{\frac {dy}{\sqrt {1-y^{2}}}}\left(1+{\frac {1}{2}}k^{2}y^{2}\right)={\frac {\pi }{2}}\left(1+{\frac {k^{2}}{4}}\right)}$

Подставляя эти приближения в формулу для Δφ, получаем формулу для углового продвижения на радиальное колебание

${\displaystyle \delta \varphi =\Delta \varphi -2\pi \approx {\frac {3}{2}}\pi r_{\text{s}}\left(u_{1}+u_{2}\right)}$

Для эллиптической орбиты ты₁ и ты₂ представляют собой инверсии наибольшего и наименьшего расстояний соответственно. Их можно выразить в терминах эллипса большая полуось А и это орбитальный эксцентриситет е,

${\displaystyle {\begin{aligned}r_{\text{max}}&={\frac {1}{u_{1}}}=A(1+e)\\r_{\text{min}}&={\frac {1}{u_{2}}}=A(1-e)\end{aligned}}}$

давая

${\displaystyle u_{1}+u_{2}={\frac {2}{A\left(1-e^{2}\right)}}}$

Подставляя определение р_s дает окончательное уравнение

${\displaystyle \delta \varphi \approx {\frac {6\pi GM}{c^{2}A\left(1-e^{2}\right)}}}$

Искривление света силой тяжести

Смотрите также: Гравитационная линза и Задержка Шапиро

Отклонение света (излучаемого из места, показанного синим) возле компактного тела (показано серым)

В пределе, поскольку масса частицы м стремится к нулю (или, что то же самое, если свет направлен прямо к центральной массе, поскольку шкала длины а уходит в бесконечность), уравнение для орбиты принимает вид

${\displaystyle \varphi =\int {\frac {dr}{r^{2}{\sqrt {{\frac {1}{b^{2}}}-\left(1-{\frac {r_{\rm {s}}}{r}}\right){\frac {1}{r^{2}}}}}}}}$

Расширение полномочий ${\textstyle {\frac {r_{\text{s}}}{r}}}$, старший член в этой формуле дает приблизительное угловое отклонение δφ для безмассовой частицы, приходящей из бесконечности и уходящей обратно в бесконечность:

${\displaystyle \delta \varphi \approx {\frac {2r_{\rm {s}}}{b}}={\frac {4GM}{c^{2}b}}.}$

Здесь, б - прицельный параметр, несколько превышающий расстояние максимального сближения, р₃:^[6]

${\displaystyle b=r_{3}{\sqrt {\frac {r_{3}}{r_{3}-r_{\rm {s}}}}}}$

Хотя эта формула является приблизительной, она точна для большинства измерений гравитационное линзирование, из-за малости отношения ${\textstyle {\frac {r_{\text{s}}}{r}}}$. Для света, скользящего по поверхности солнца, приблизительное угловое отклонение составляет примерно 1,75угловые секунды, примерно одна миллионная часть круга.

Отношение к ньютоновской физике

Эффективная радиальная потенциальная энергия

Полученное выше уравнение движения частицы

${\displaystyle \left({\frac {dr}{d\tau }}\right)^{2}={\frac {E^{2}}{m^{2}c^{2}}}-c^{2}+{\frac {r_{\rm {s}}c^{2}}{r}}-{\frac {L^{2}}{m\mu r^{2}}}+{\frac {r_{\rm {s}}L^{2}}{m\mu r^{3}}}}$

можно переписать, используя определение Радиус Шварцшильда р_s так как

${\displaystyle {\frac {1}{2}}m\left({\frac {dr}{d\tau }}\right)^{2}=\left[{\frac {E^{2}}{2mc^{2}}}-{\frac {1}{2}}mc^{2}\right]+{\frac {GMm}{r}}-{\frac {L^{2}}{2\mu r^{2}}}+{\frac {G(M+m)L^{2}}{c^{2}\mu r^{3}}},}$

что эквивалентно движению частицы в одномерном эффективном потенциале

${\displaystyle V(r)=-{\frac {GMm}{r}}+{\frac {L^{2}}{2\mu r^{2}}}-{\frac {G(M+m)L^{2}}{c^{2}\mu r^{3}}}}$

Первые два члена представляют собой хорошо известные классические энергии: первый - это притягивающая ньютоновская гравитационная потенциальная энергия, а второй - отталкивающая энергия. «центробежная» потенциальная энергия; однако третий член - привлекательная энергия, уникальная для общая теория относительности. Как показано ниже и в другом месте, эта обратная кубическая энергия заставляет эллиптические орбиты постепенно прецессировать на угол δφ за оборот

${\displaystyle \delta \varphi \approx {\frac {6\pi G(M+m)}{c^{2}A\left(1-e^{2}\right)}}}$

куда А - большая полуось и е это эксцентриситет.

Третий член привлекателен и доминирует на малых р значения, дающие критический внутренний радиус р_{внутренний} при котором частица неумолимо втягивается внутрь, чтобы р = 0; этот внутренний радиус является функцией момента количества движения частицы на единицу массы или, что то же самое, а масштаб длины, определенный выше.

Круговые орбиты и их устойчивость

Эффективный радиальный потенциал для различных угловых моментов. На малых радиусах энергия резко падает, заставляя частицу неумолимо тянуться внутрь, чтобы р = 0. Однако, когда нормированный угловой момент ${\textstyle {\frac {a}{r_{\text{s}}}}={\frac {L}{mcr_{\text{s}}}}}$ равен квадратному корню из трех, метастабильная круговая орбита возможна на радиусе, выделенном зеленым кружком. При более высоких угловых моментах наблюдается значительный центробежный барьер (оранжевая кривая) и нестабильный внутренний радиус, выделенный красным.

Эффективный потенциал V можно переписать в терминах длины ${\textstyle a={\frac {h}{c}}}$.

${\displaystyle V(r)={\frac {\mu c^{2}}{2}}\left[-{\frac {r_{\rm {s}}}{r}}+{\frac {a^{2}}{r^{2}}}-{\frac {r_{\rm {s}}a^{2}}{r^{3}}}\right]}$

Круговые орбиты возможны, когда эффективная сила равна нулю.

${\displaystyle F=-{\frac {dV}{dr}}=-{\frac {\mu c^{2}}{2r^{4}}}\left[r_{\rm {s}}r^{2}-2a^{2}r+3r_{\rm {s}}a^{2}\right]=0}$

т.е. когда две силы притяжения - ньютоновская гравитация (первый член) и притяжение, уникальное для общей теории относительности (третий член) - точно уравновешиваются отталкивающей центробежной силой (второй член). Есть два радиуса, на которых может происходить эта балансировка, обозначенные здесь как р_{внутренний} и р_{внешний}

${\displaystyle {\begin{aligned}r_{\text{outer}}&={\frac {a^{2}}{r_{\rm {s}}}}\left(1+{\sqrt {1-{\frac {3r_{\rm {s}}^{2}}{a^{2}}}}}\right)\\[3pt]r_{\text{inner}}&={\frac {a^{2}}{r_{\rm {s}}}}\left(1-{\sqrt {1-{\frac {3r_{\rm {s}}^{2}}{a^{2}}}}}\right)={\frac {3a^{2}}{r_{\text{outer}}}}\end{aligned}}}$

которые получены с использованием квадратичная формула. Внутренний радиус р_{внутренний} неустойчиво, потому что третья сила притяжения усиливается намного быстрее, чем две другие силы, когда р становится маленьким; если частица слегка скользит внутрь от р_{внутренний} (где все три силы уравновешены), третья сила доминирует над двумя другими и неумолимо тянет частицу внутрь, чтобы р = 0. Однако на внешнем радиусе круговые орбиты устойчивы; третий член менее важен, и система ведет себя больше как нерелятивистская Проблема Кеплера.

Когда а намного больше, чем р_s (классический случай) эти формулы становятся приближенно

${\displaystyle {\begin{aligned}r_{\text{outer}}&\approx {\frac {2a^{2}}{r_{\rm {s}}}}\\[3pt]r_{\text{inner}}&\approx {\frac {3}{2}}r_{\rm {s}}\end{aligned}}}$

График зависимости стабильного и нестабильного радиусов от нормированного углового момента. ${\textstyle {\frac {a}{r_{\text{s}}}}={\frac {L}{mcr_{\text{s}}}}}$ синим и красным цветом соответственно. Эти кривые встречаются на уникальной круговой орбите (зеленый кружок), когда нормированный угловой момент равен квадратному корню из трех. Для сравнения, классический радиус, предсказанный из центростремительное ускорение и закон всемирного тяготения Ньютона изображен черным цветом.

Подставляя определения а и р_s в р_{внешний} дает классическую формулу для частицы массы м вращаясь вокруг тела массы M.

${\displaystyle r_{\mathrm {outer} }^{3}={\frac {G(M+m)}{\omega _{\varphi }^{2}}}}$

куда ω_φ - орбитальная угловая скорость частицы. Эта формула получается в нерелятивистской механике путем задания центробежная сила равна ньютоновской гравитационной силе:

${\displaystyle {\frac {GMm}{r^{2}}}=\mu \omega _{\varphi }^{2}r}$

Где ${\textstyle \mu }$ это уменьшенная масса.

В наших обозначениях классическая орбитальная угловая скорость равна

${\displaystyle \omega _{\varphi }^{2}\approx {\frac {GM}{r_{\mathrm {outer} }^{3}}}=\left({\frac {r_{\rm {s}}c^{2}}{2r_{\mathrm {outer} }^{3}}}\right)=\left({\frac {r_{\rm {s}}c^{2}}{2}}\right)\left({\frac {r_{\rm {s}}^{3}}{8a^{6}}}\right)={\frac {c^{2}r_{\rm {s}}^{4}}{16a^{6}}}}$

С другой стороны, когда а² подходы 3р_s² сверху два радиуса сходятся к одному значению

${\displaystyle r_{\mathrm {outer} }\approx r_{\mathrm {inner} }\approx 3r_{\rm {s}}}$

В квадратичные решения выше убедитесь, что р_{внешний} всегда больше 3р_s, в то время как р_{внутренний} лежит между³⁄₂ р_s и 3р_s. Круговые орбиты меньше³⁄₂ р_s невозможны. Для безмассовых частиц а уходит в бесконечность, подразумевая, что существует круговая орбита для фотонов в р_{внутренний} = ​³⁄₂ р_s. Сфера этого радиуса иногда называется фотонная сфера.

Прецессия эллиптических орбит

В нерелятивистском Проблема Кеплера, частица следует той же идеальной эллипс (красная орбита) вечно. Общая теория относительности вводит третью силу, которая притягивает частицу немного сильнее, чем гравитация Ньютона, особенно на малых радиусах. Эта третья сила заставляет эллиптическую орбиту частицы изменять прецессия (голубая орбита) в направлении его вращения; этот эффект был измерен в Меркурий, Венера и Земля. Желтая точка внутри орбит представляет собой центр притяжения, такой как солнце.

Скорость орбитальной прецессии может быть получена с использованием этого радиального эффективного потенциала V. Небольшое радиальное отклонение от круговой орбиты радиуса р_{внешний} будет стабильно колебаться с угловой частотой

${\displaystyle \omega _{r}^{2}={\frac {1}{m}}\left[{\frac {d^{2}V}{dr^{2}}}\right]_{r=r_{\mathrm {outer} }}}$

что равно

${\displaystyle \omega _{r}^{2}=\left({\frac {c^{2}r_{\rm {s}}}{2r_{\mathrm {outer} }^{4}}}\right)\left(r_{\mathrm {outer} }-r_{\mathrm {inner} }\right)=\omega _{\varphi }^{2}{\sqrt {1-{\frac {3r_{\rm {s}}^{2}}{a^{2}}}}}}$

Извлекаем квадратный корень из обеих частей и выполняем Серия Тейлор выходы расширения

${\displaystyle \omega _{r}=\omega _{\varphi }\left[1-{\frac {3r_{\rm {s}}^{2}}{4a^{2}}}+{\mathcal {O}}\left({\frac {r_{\rm {s}}^{4}}{a^{4}}}\right)\right]}$

Умножение на период Т одного оборота дает прецессию орбиты за оборот

${\displaystyle \delta \varphi =T\left(\omega _{\varphi }-\omega _{r}\right)\approx 2\pi \left({\frac {3r_{\rm {s}}^{2}}{4a^{2}}}\right)={\frac {3\pi m^{2}c^{2}}{2L^{2}}}r_{\rm {s}}^{2}}$

где мы использовали ω_φТ = 2п и определение масштаба а. Подставляя определение Радиус Шварцшильда р_s дает

${\displaystyle \delta \varphi \approx {\frac {3\pi m^{2}c^{2}}{2L^{2}}}\left({\frac {4G^{2}M^{2}}{c^{4}}}\right)={\frac {6\pi G^{2}M^{2}m^{2}}{c^{2}L^{2}}}}$

Это можно упростить, используя полуось эллиптической орбиты. А и эксцентриситет е связанные с формула

${\displaystyle {\frac {h^{2}}{G(M+m)}}=A\left(1-e^{2}\right)}$

дать угол прецессии

${\displaystyle \delta \varphi \approx {\frac {6\pi G(M+m)}{c^{2}A\left(1-e^{2}\right)}}}$

Математические выводы уравнения орбиты

Символы Кристоффеля

Не исчезающий Символы Кристоффеля для метрики Шварцшильда:^[7]

${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma _{rt}^{t}=-\Gamma _{rr}^{r}&={\frac {r_{\rm {s}}}{2r(r-r_{\rm {s}})}}\\[3pt]\Gamma _{tt}^{r}&={\frac {r_{\rm {s}}(r-r_{\rm {s}})}{2r^{3}}}\\[3pt]\Gamma _{\phi \phi }^{r}&=(r_{\rm {s}}-r)\sin ^{2}(\theta )\\[3pt]\Gamma _{\theta \theta }^{r}&=r_{\rm {s}}-r\\[3pt]\Gamma _{r\theta }^{\theta }=\Gamma _{r\phi }^{\phi }&={\frac {1}{r}}\\[3pt]\Gamma _{\phi \phi }^{\theta }&=-\sin(\theta )\cos(\theta )\\[3pt]\Gamma _{\theta \phi }^{\phi }&=\cot(\theta )\end{aligned}}}$

Геодезическое уравнение

Согласно общей теории относительности Эйнштейна, частицы пренебрежимо малой массы движутся по геодезические в пространстве-времени. В плоском пространстве-времени, вдали от источника гравитации, эти геодезические соответствуют прямым линиям; однако они могут отклоняться от прямых линий, когда пространство-время искривлено. Уравнение геодезических линий имеет вид^[8]

${\displaystyle {\frac {d^{2}x^{\lambda }}{dq^{2}}}+\Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }{\frac {dx^{\mu }}{dq}}{\frac {dx^{\nu }}{dq}}=0}$

где Γ представляет собой Символ Кристоффеля и переменная ${\textstyle q}$ параметризует путь частицы через пространство-время, так называемый мировая линия. Символ Кристоффеля зависит только от метрический тензор ${\textstyle g_{\mu \nu }}$или, скорее, от того, как он меняется с положением. Переменная ${\textstyle q}$ является постоянным кратным подходящее время ${\textstyle \tau }$ для времениподобных орбит (по которым движутся массивные частицы) и обычно принимается равной ей. Для светоподобных (или нулевых) орбит (по которым движутся безмассовые частицы, такие как фотон ) собственное время равно нулю и, строго говоря, не может использоваться в качестве переменной ${\textstyle q}$. Тем не менее светоподобные орбиты могут быть получены как ультрарелятивистский предел времениподобных орбит, то есть предел как масса частицы м стремится к нулю при сохранении общей суммы энергия фиксированный.

Следовательно, чтобы найти движение частицы, наиболее простым способом является решение уравнения геодезических, подход, принятый Эйнштейном.^[9] и другие.^[10] Метрику Шварцшильда можно записать как

${\displaystyle c^{2}d\tau ^{2}=w(r)c^{2}dt^{2}-v(r)dr^{2}-r^{2}d\theta ^{2}-r^{2}\sin ^{2}\theta d\phi ^{2}\,}$

где две функции ${\textstyle w(r)=1-{\frac {r_{s}}{r}}}$и его ответная ${\textstyle v(r)={\frac {1}{w(r)}}}$определены для краткости. Из этой метрики символы Кристоффеля ${\textstyle \Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }}$могут быть вычислены, и результаты подставлены в уравнения геодезических

${\displaystyle {\begin{aligned}0&={\frac {d^{2}\theta }{dq^{2}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {d\theta }{dq}}{\frac {dr}{dq}}-\sin \theta \cos \theta \left({\frac {d\phi }{dq}}\right)^{2}\\[3pt]0&={\frac {d^{2}\phi }{dq^{2}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {d\phi }{dq}}{\frac {dr}{dq}}+2\cot \theta {\frac {d\phi }{dq}}{\frac {d\theta }{dq}}\\[3pt]0&={\frac {d^{2}t}{dq^{2}}}+{\frac {1}{w}}{\frac {dw}{dr}}{\frac {dt}{dq}}{\frac {dr}{dq}}\\[3pt]0&={\frac {d^{2}r}{dq^{2}}}+{\frac {1}{2v}}{\frac {dv}{dr}}\left({\frac {dr}{dq}}\right)^{2}-{\frac {r}{v}}\left({\frac {d\theta }{dq}}\right)^{2}-{\frac {r\sin ^{2}\theta }{v}}\left({\frac {d\phi }{dq}}\right)^{2}+{\frac {c^{2}}{2v}}{\frac {dw}{dr}}\left({\frac {dt}{dq}}\right)^{2}\end{aligned}}}$

Можно проверить, что ${\textstyle \theta ={\frac {\pi }{2}}}$является допустимым решением путем подстановки в первое из этих четырех уравнений. По симметрии орбита должна быть плоской, и мы можем расположить систему координат так, чтобы экваториальная плоскость была плоскостью орбиты. Этот ${\textstyle \theta }$ решение упрощает второе и четвертое уравнения.

Чтобы решить второе и третье уравнения, достаточно разделить их на ${\textstyle {\frac {d\phi }{dq}}}$ и ${\textstyle {\frac {dt}{dq}}}$, соответственно.

${\displaystyle {\begin{aligned}0&={\frac {d}{dq}}\left[\ln {\frac {d\phi }{dq}}+\ln r^{2}\right]\\[3pt]0&={\frac {d}{dq}}\left[\ln {\frac {dt}{dq}}+\ln w\right],\end{aligned}}}$

что дает две постоянные движения.

Лагранжев подход

Поскольку пробные частицы следуют геодезическим в фиксированной метрике, орбиты этих частиц могут быть определены с использованием вариационного исчисления, также называемого лагранжевым подходом.^[11] Геодезические в пространство-время определяются как кривые, для которых небольшие локальные изменения их координат (при фиксированных конечных точках событий) не вызывают значительного изменения их общей длины s. Это можно выразить математически с помощью вариационное исчисление

${\displaystyle 0=\delta s=\delta \int ds=\delta \int {\sqrt {g_{\mu \nu }{\frac {dx^{\mu }}{d\tau }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}}}d\tau =\delta \int {\sqrt {2T}}d\tau }$

куда τ это подходящее время, s = cτ длина дуги в пространство-время и Т определяется как

${\displaystyle 2T=c^{2}=\left({\frac {ds}{d\tau }}\right)^{2}=g_{\mu \nu }{\frac {dx^{\mu }}{d\tau }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}=\left(1-{\frac {r_{\rm {s}}}{r}}\right)c^{2}\left({\frac {dt}{d\tau }}\right)^{2}-{\frac {1}{1-{\frac {r_{\rm {s}}}{r}}}}\left({\frac {dr}{d\tau }}\right)^{2}-r^{2}\left({\frac {d\varphi }{d\tau }}\right)^{2}}$

по аналогии с кинетическая энергия. Если производная по собственному времени обозначена точкой для краткости

${\displaystyle {\dot {x}}^{\mu }={\frac {dx^{\mu }}{d\tau }}}$

Т можно записать как

${\displaystyle 2T=c^{2}=\left(1-{\frac {r_{\rm {s}}}{r}}\right)c^{2}\left({\dot {t}}\right)^{2}-{\frac {1}{1-{\frac {r_{\rm {s}}}{r}}}}\left({\dot {r}}\right)^{2}-r^{2}\left({\dot {\varphi }}\right)^{2}}$

Постоянные факторы (например, c или квадратный корень из двух) не влияют на ответ на вариационную задачу; поэтому, взяв вариацию внутрь интеграла, получим Принцип Гамильтона

${\displaystyle 0=\delta \int {\sqrt {2T}}d\tau =\int {\frac {\delta T}{\sqrt {2T}}}d\tau ={\frac {1}{c}}\delta \int Td\tau .}$

Решение вариационной задачи дается формулой Уравнения Лагранжа

${\displaystyle {\frac {d}{d\tau }}\left({\frac {\partial T}{\partial {\dot {x}}^{\sigma }}}\right)={\frac {\partial T}{\partial x^{\sigma }}}.}$

Применительно к т и φэти уравнения показывают два постоянные движения

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{d\tau }}\left[r^{2}{\frac {d\varphi }{d\tau }}\right]&=0,\\{\frac {d}{d\tau }}\left[\left(1-{\frac {r_{\rm {s}}}{r}}\right){\frac {dt}{d\tau }}\right]&=0,\end{aligned}}}$

который может быть выражен двумя постоянными масштабами длины, ${\textstyle a}$ и ${\textstyle b}$

${\displaystyle {\begin{aligned}r^{2}{\frac {d\varphi }{d\tau }}&=ac,\\\left(1-{\frac {r_{\rm {s}}}{r}}\right){\frac {dt}{d\tau }}&={\frac {a}{b}}.\end{aligned}}}$

Как показано над, подстановка этих уравнений в определение Метрика Шварцшильда дает уравнение для орбиты.

Гамильтонов подход

Лагранжево решение может быть преобразовано в эквивалентную гамильтонову форму.^[12] В этом случае гамильтониан ${\displaystyle H}$ дан кем-то

${\displaystyle 2H=c^{2}={\frac {p_{t}^{2}}{c^{2}\left(1-{\frac {r_{\rm {s}}}{r}}\right)}}-\left(1-{\frac {r_{\rm {s}}}{r}}\right)p_{r}^{2}-{\frac {p_{\theta }^{2}}{r^{2}}}-{\frac {p_{\varphi }^{2}}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}}$

Еще раз, орбита может быть ограничена ${\textstyle \theta ={\frac {\pi }{2}}}$по симметрии. С ${\textstyle t}$ и ${\textstyle \varphi }$ не входят в гамильтониан, их сопряженные импульсы постоянны; они могут быть выражены в терминах скорости света ${\textstyle c}$ и две шкалы постоянной длины ${\textstyle a}$ и ${\textstyle b}$

${\displaystyle {\begin{aligned}p_{\varphi }&=-ac\\p_{\theta }&=0\\p_{t}&={\frac {ac^{2}}{b}}\end{aligned}}}$

Производные по собственному времени имеют вид

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dr}{d\tau }}&={\frac {\partial H}{\partial p_{r}}}=-\left(1-{\frac {r_{\rm {s}}}{r}}\right)p_{r}\\{\frac {d\varphi }{d\tau }}&={\frac {\partial H}{\partial p_{\varphi }}}={\frac {-p_{\varphi }}{r^{2}}}={\frac {ac}{r^{2}}}\\{\frac {dt}{d\tau }}&={\frac {\partial H}{\partial p_{t}}}={\frac {p_{t}}{c^{2}\left(1-{\frac {r_{\rm {s}}}{r}}\right)}}={\frac {a}{b\left(1-{\frac {r_{\rm {s}}}{r}}\right)}}\end{aligned}}}$

Разделив первое уравнение на второе, получаем уравнение орбиты

${\displaystyle {\frac {dr}{d\varphi }}=-{\frac {r^{2}}{ac}}\left(1-{\frac {r_{\rm {s}}}{r}}\right)p_{r}}$

Радиальный импульс п_р можно выразить через р используя постоянство гамильтониана ${\textstyle H={\frac {c^{2}}{2}}}$; это дает фундаментальное уравнение орбиты

${\displaystyle \left({\frac {dr}{d\varphi }}\right)^{2}={\frac {r^{4}}{b^{2}}}-\left(1-{\frac {r_{\rm {s}}}{r}}\right)\left({\frac {r^{4}}{a^{2}}}+r^{2}\right)}$

Подход Гамильтона – Якоби

Искривление волн в гравитационном поле. Из-за силы тяжести время внизу течет медленнее, чем вверху, в результате чего волновые фронты (показанные черным) постепенно изгибаются вниз. Зеленая стрелка показывает направление видимого «гравитационного притяжения».

Орбитальное уравнение может быть получено из Уравнение Гамильтона – Якоби.^[13] Преимущество этого подхода состоит в том, что он приравнивает движение частицы к распространению волны и аккуратно приводит к выводу отклонения света под действием силы тяжести в общая теория относительности, через Принцип Ферма. Основная идея состоит в том, что из-за гравитационного замедления времени части волнового фронта, более близкие к гравитирующей массе, движутся медленнее, чем более удаленные, таким образом изменяя направление распространения волнового фронта.

Используя общую ковариацию, Уравнение Гамильтона – Якоби для одиночной частицы единичной массы можно выразить в произвольных координатах как

${\displaystyle g^{\mu \nu }{\frac {\partial S}{\partial x^{\mu }}}{\frac {\partial S}{\partial x^{\nu }}}=c^{2}.}$

Это эквивалентно гамильтоновой формулировке выше, в которой частные производные действия заменяют обобщенные импульсы. С использованием Метрика Шварцшильда грамм^μν, это уравнение принимает вид

${\displaystyle {\frac {1}{c^{2}\left(1-{\frac {r_{\rm {s}}}{r}}\right)}}\left({\frac {\partial S}{\partial t}}\right)^{2}-\left(1-{\frac {r_{\rm {s}}}{r}}\right)\left({\frac {\partial S}{\partial r}}\right)^{2}-{\frac {1}{r^{2}}}\left({\frac {\partial S}{\partial \varphi }}\right)^{2}=c^{2}}$

где мы снова ориентируем сферическую систему координат с плоскостью орбиты. Время т и азимутальный угол φ являются циклическими координатами, так что решение главной функции Гамильтона S можно написать

${\displaystyle S=-p_{t}t+p_{\varphi }\varphi +S_{r}(r)\,}$

куда п_т и п_φ - постоянные обобщенные импульсы. В Уравнение Гамильтона – Якоби дает интегральное решение для радиальной части S_р(р)

${\displaystyle S_{r}(r)=\int ^{r}{\frac {dr}{1-{\frac {r_{\rm {s}}}{r}}}}{\sqrt {{\frac {p_{t}^{2}}{c^{2}}}-\left(1-{\frac {r_{\rm {s}}}{r}}\right)\left(c^{2}+{\frac {p_{\varphi }^{2}}{r^{2}}}\right)}}.}$

Взяв производную от главной функции Гамильтона S относительно сохраняющегося импульса п_φ дает

${\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial p_{\varphi }}}=\varphi +{\frac {\partial S_{r}}{\partial p_{\varphi }}}=\mathrm {constant} }$

что равно

${\displaystyle \varphi -\int ^{r}{\frac {p_{\varphi }dr}{r^{2}{\sqrt {{\frac {p_{t}^{2}}{c^{2}}}-\left(1-{\frac {r_{\rm {s}}}{r}}\right)\left(c^{2}+{\frac {p_{\varphi }^{2}}{r^{2}}}\right)}}}}=\mathrm {constant} }$

Взяв бесконечно малую вариацию φ и р дает фундаментальное орбитальное уравнение

${\displaystyle \left({\frac {dr}{d\varphi }}\right)^{2}={\frac {r^{4}}{b^{2}}}-\left(1-{\frac {r_{\rm {s}}}{r}}\right)\left({\frac {r^{4}}{a^{2}}}+r^{2}\right).}$

где сохраняющиеся масштабы длины а и б определяются сохраняющимися импульсами уравнениями

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial S}{\partial \varphi }}=p_{\varphi }&=-ac\\{\frac {\partial S}{\partial t}}=p_{t}&={\frac {ac^{2}}{b}}\end{aligned}}}$

Принцип Гамильтона

В действие интеграл для частицы, на которую действует только сила тяжести, равен

${\displaystyle S=\int {-mc^{2}d\tau }=-mc\int {c{\frac {d\tau }{dq}}dq}=-mc\int {{\sqrt {-g_{\mu \nu }{\frac {dx^{\mu }}{dq}}{\frac {dx^{\nu }}{dq}}}}dq}}$

куда ${\textstyle \tau }$ это подходящее время и ${\textstyle q}$ - любая гладкая параметризация мировой линии частицы. Если применить вариационное исчисление к этому снова получаем уравнения геодезической. Чтобы упростить вычисления, сначала берется изменение квадрата подынтегрального выражения. Для метрики и координат этого случая и в предположении, что частица движется в экваториальной плоскости ${\textstyle \theta ={\frac {\pi }{2}}}$, этот квадрат

${\displaystyle \left(c{\frac {d\tau }{dq}}\right)^{2}=-g_{\mu \nu }{\frac {dx^{\mu }}{dq}}{\frac {dx^{\nu }}{dq}}=\left(1-{\frac {r_{\rm {s}}}{r}}\right)c^{2}\left({\frac {dt}{dq}}\right)^{2}-{\frac {1}{1-{\frac {r_{\rm {s}}}{r}}}}\left({\frac {dr}{dq}}\right)^{2}-r^{2}\left({\frac {d\varphi }{dq}}\right)^{2}\,.}$

Взятие вариации этого дает

${\displaystyle \delta \left(c{\frac {d\tau }{dq}}\right)^{2}=2c^{2}{\frac {d\tau }{dq}}\delta {\frac {d\tau }{dq}}=\delta \left[\left(1-{\frac {r_{\rm {s}}}{r}}\right)c^{2}\left({\frac {dt}{dq}}\right)^{2}-{\frac {1}{1-{\frac {r_{\rm {s}}}{r}}}}\left({\frac {dr}{dq}}\right)^{2}-r^{2}\left({\frac {d\varphi }{dq}}\right)^{2}\right]\,.}$

Движение по долготе

Зависит от долготы ${\textstyle \varphi }$ только чтобы получить

${\displaystyle 2c^{2}{\frac {d\tau }{dq}}\delta {\frac {d\tau }{dq}}=-2r^{2}{\frac {d\varphi }{dq}}\delta {\frac {d\varphi }{dq}}\,.}$

Поделить на ${\textstyle 2c{\frac {d\tau }{dq}}}$ чтобы получить вариацию самого подынтегрального выражения

${\displaystyle c\,\delta {\frac {d\tau }{dq}}=-{\frac {r^{2}}{c}}{\frac {d\varphi }{d\tau }}\delta {\frac {d\varphi }{dq}}=-{\frac {r^{2}}{c}}{\frac {d\varphi }{d\tau }}{\frac {d\delta \varphi }{dq}}\,.}$

Таким образом

${\displaystyle 0=\delta \int {c{\frac {d\tau }{dq}}dq}=\int {c\delta {\frac {d\tau }{dq}}dq}=\int {-{\frac {r^{2}}{c}}{\frac {d\varphi }{d\tau }}{\frac {d\delta \varphi }{dq}}dq}\,.}$

Интеграция по частям дает

${\displaystyle 0=-{\frac {r^{2}}{c}}{\frac {d\varphi }{d\tau }}\delta \varphi -\int {{\frac {d}{dq}}\left[-{\frac {r^{2}}{c}}{\frac {d\varphi }{d\tau }}\right]\delta \varphi dq}\,.}$

Предполагается, что изменение долготы в конечных точках равно нулю, поэтому первый член исчезает. Интеграл можно сделать отличным от нуля извращенным выбором ${\textstyle \delta \varphi }$ если другой коэффициент внутри не равен нулю везде. Итак, уравнение движения

${\displaystyle {\frac {d}{dq}}\left[-{\frac {r^{2}}{c}}{\frac {d\varphi }{d\tau }}\right]=0\,.}$

Движение во времени

Зависит от времени ${\textstyle t}$ только чтобы получить

${\displaystyle 2c^{2}{\frac {d\tau }{dq}}\delta {\frac {d\tau }{dq}}=2\left(1-{\frac {r_{\rm {s}}}{r}}\right)c^{2}{\frac {dt}{dq}}\delta {\frac {dt}{dq}}\,.}$

Поделить на ${\textstyle 2c{\frac {d\tau }{dq}}}$ чтобы получить вариацию самого подынтегрального выражения

${\displaystyle c\delta {\frac {d\tau }{dq}}=c\left(1-{\frac {r_{\rm {s}}}{r}}\right){\frac {dt}{d\tau }}\delta {\frac {dt}{dq}}=c\left(1-{\frac {r_{\rm {s}}}{r}}\right){\frac {dt}{d\tau }}{\frac {d\delta t}{dq}}\,.}$

Таким образом

${\displaystyle 0=\delta \int {c{\frac {d\tau }{dq}}dq}=\int {c\left(1-{\frac {r_{\rm {s}}}{r}}\right){\frac {dt}{d\tau }}{\frac {d\delta t}{dq}}dq}\,.}$

Интеграция по частям дает

${\displaystyle 0=c\left(1-{\frac {r_{\rm {s}}}{r}}\right){\frac {dt}{d\tau }}\delta t-\int {{\frac {d}{dq}}\left[c\left(1-{\frac {r_{\rm {s}}}{r}}\right){\frac {dt}{d\tau }}\right]\delta tdq}\,.}$

Итак, уравнение движения

${\displaystyle {\frac {d}{dq}}\left[c\left(1-{\frac {r_{\rm {s}}}{r}}\right){\frac {dt}{d\tau }}\right]=0\,.}$

Сохраненные импульсы

Интегрируем эти уравнения движения, чтобы определить постоянные интегрирования, получая

${\displaystyle {\begin{aligned}L=p_{\phi }&=mr^{2}{\frac {d\varphi }{d\tau }}\,,\\E=-p_{t}&=mc^{2}\left(1-{\frac {r_{\rm {s}}}{r}}\right){\frac {dt}{d\tau }}\,.\end{aligned}}}$

Эти два уравнения для постоянных движения ${\textstyle L}$ (угловой момент) и ${\textstyle E}$ (энергия) могут быть объединены в одно уравнение, которое справедливо даже для фотоны и другие безмассовые частицы, для которых подходящее время по геодезической равна нулю.

${\displaystyle {\frac {d\varphi }{dt}}=\left(1-{\frac {r_{\rm {s}}}{r}}\right){\frac {L\,c^{2}}{E\,r^{2}}}\,.}$

Радиальное движение

Подстановка

${\displaystyle {\frac {d\varphi }{d\tau }}={\frac {L}{m\,r^{2}}}\,}$

и

${\displaystyle {\frac {dt}{d\tau }}={\frac {E}{\left(1-{\frac {r_{\rm {s}}}{r}}\right)m\,c^{2}}}\,}$

в метрическое уравнение (и используя ${\textstyle \theta ={\frac {\pi }{2}}}$) дает

${\displaystyle c^{2}={\frac {1}{1-{\frac {r_{\rm {s}}}{r}}}}\,{\frac {E^{2}}{m^{2}c^{2}}}-{\frac {1}{1-{\frac {r_{\rm {s}}}{r}}}}\left({\frac {dr}{d\tau }}\right)^{2}-{\frac {1}{r^{2}}}\,{\frac {L^{2}}{m^{2}}}\,,}$

из которого можно вывести

${\displaystyle {\left({\frac {dr}{d\tau }}\right)}^{2}={\frac {E^{2}}{m^{2}c^{2}}}-\left(1-{\frac {r_{\rm {s}}}{r}}\right)\left(c^{2}+{\frac {L^{2}}{m^{2}r^{2}}}\right)\,,}$

что является уравнением движения для ${\textstyle r}$. Зависимость ${\textstyle r}$ на ${\textstyle \varphi }$ можно найти, разделив это на

${\displaystyle {\left({\frac {d\varphi }{d\tau }}\right)}^{2}={\frac {L^{2}}{m^{2}r^{4}}}}$

получить

${\displaystyle {\left({\frac {dr}{d\varphi }}\right)}^{2}={\frac {E^{2}r^{4}}{L^{2}c^{2}}}-\left(1-{\frac {r_{\rm {s}}}{r}}\right)\left({\frac {m^{2}c^{2}r^{4}}{L^{2}}}+r^{2}\right)\,}$

что верно даже для частиц без массы. Если масштабы длины определены

${\displaystyle a={\frac {L}{m\,c}}}$

и

${\displaystyle b={\frac {L\,c}{E}}\,,}$

тогда зависимость ${\textstyle r}$ на ${\textstyle \varphi }$ упрощается до

${\displaystyle {\left({\frac {dr}{d\varphi }}\right)}^{2}={\frac {r^{4}}{b^{2}}}-\left(1-{\frac {r_{\rm {s}}}{r}}\right)\left({\frac {r^{4}}{a^{2}}}+r^{2}\right)\,.}$

Смотрите также

• Проблема Кеплера
• Классическая проблема центральной силы
• Задача двух тел в общей теории относительности
• Поля кадра в общей теории относительности

Примечания

1. Эта замена ты за р также является обычным явлением в классических задачах центральной силы, поскольку также упрощает решение этих уравнений. Для получения дополнительной информации см. Статью о классическая проблема центральной силы.
2. В математической литературе K известен как полный эллиптический интеграл первого рода; для получения дополнительной информации см. статью о эллиптические интегралы.

Рекомендации

1. Ландау, Лифшиц, стр. 299–301.
2. Уиттакер 1937.
3. Ландау и Лифшиц (1975), стр. 306–309.
4. Гиббонс и Виска, "Применение эллиптических функций Вейерштрасса к нулевой геодезической системе Шварцшильда", https://arxiv.org/abs/1110.6508
5. Synge, стр. 294–295.
6. arXiv.org: gr-qc / 9907034v1.
7. Шон Кэрролл: Конспект лекций по общей теории относительности, Глава 7, Ур. 7,33
8. Вайнберг, стр. 122.
9. Эйнштейн, стр. 95–96.
10. Вайнберг, стр. 185–188; Wald, стр. 138–139.
11. Synge, стр. 290–292; Адлер, Базин и Шиффер, стр. 179–182; Whittaker, стр. 390–393; Паули, стр. 167.
12. Ланцош, стр. 331–338.
13. Ландау, Лифшиц, стр. 306–307; Миснер, Торн и Уиллер, стр. 636–679.

Библиография

• Шварцшильд, К. (1916). Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einstein'schen Theorie. Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften 1, 189–196.
  • сканирование оригинальной бумаги
  • текст оригинальной статьи в Wikisource
  • перевод Antoci и Loinger
  • комментарий к статье, дающий более простой вывод
• Шварцшильд, К. (1916). Über das Gravitationsfeld einer Kugel aus inkompressibler Flüssigkeit. Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften 1, 424-?.
• Фламм, Л. (1916). "Beiträge zur Einstein'schen Gravitationstheorie". Physikalische Zeitschrift. 17: 448–?.
• Адлер, Р; Базин М; Шиффер М (1965). Введение в общую теорию относительности. Нью-Йорк: Книжная компания Макгроу-Хилл. стр.177 –193. ISBN  978-0-07-000420-7.
• Эйнштейн, А (1956). Смысл теории относительности (5-е изд.). Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. стр.92 –97. ISBN  978-0-691-02352-6.
• Хагихара, Y (1931). «Теория релятивистских траекторий в гравитационном поле Шварцшильда». Японский журнал астрономии и геофизики. 8: 67–176. ISSN  0368-346X.
• Ланцош, К (1986). Вариационные принципы механики (4-е изд.). Нью-Йорк: Dover Publications. С. 330–338. ISBN  978-0-486-65067-8.
• Ландау, ЛД; Лифшиц Е.М. (1975). Классическая теория поля. Курс теоретической физики. Vol. 2 (переработанное 4-е английское изд.). Нью-Йорк: Pergamon Press. С. 299–309. ISBN  978-0-08-018176-9.
• Миснер, CW; Торн, К. & Уиллер, JA (1973). Гравитация. Сан-Франциско: В. Х. Фриман. стр. Глава 25 (стр. 636–687), §33.5 (стр. 897–901) и §40.5 (стр. 1110–1116). ISBN  978-0-7167-0344-0. (Видеть Гравитация (книга).)
• Пайс, А. (1982). Тонкость - это Господь: наука и жизнь Альберта Эйнштейна. Издательство Оксфордского университета. стр.253–256. ISBN  0-19-520438-7.
• Паули, В (1958). Теория относительности. Перевод Г. Филда. Нью-Йорк: Dover Publications. стр.40 –41, 166–169. ISBN  978-0-486-64152-2.
• Риндлер, Вт (1977). Основная теория относительности: специальная, общая и космологическая (перераб. 2-е изд.). Нью-Йорк: Springer Verlag. стр.143 –149. ISBN  978-0-387-10090-6.
• Розевир, Н. Т (1982). Перигелий Меркурия, от Леверье до Эйнштейна. Оксфорд: Издательство университета. ISBN  0-19-858174-2.

• Synge, JL (1960). Относительность: общая теория. Амстердам: Издательство Северной Голландии. стр.289 –298. ISBN  978-0-7204-0066-3.
• Вальд, РМ (1984). Общая теория относительности. Чикаго: Издательство Чикагского университета. стр.136 –146. ISBN  978-0-226-87032-8.
• Уолтер, С. (2007). «Разрушение четырех векторов: четырехмерное движение в гравитации, 1905–1910». В Ренн, Дж. (Ред.). Генезис общей теории относительности. 3. Берлин: Springer. С. 193–252.

• Вайнберг, С (1972). Гравитация и космология. Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья. стр.185–201. ISBN  978-0-471-92567-5.
• Whittaker, ET (1937). Трактат об аналитической динамике частиц и твердых тел с введением в проблему трех тел (4-е изд.). Нью-Йорк: Dover Publications. стр.389 –393. ISBN  978-1-114-28944-4.

внешняя ссылка

• Выдержка из Размышления о теории относительности пользователя Кевин Браун.