Сигма модель - Sigma model

В физика, а сигма модель это теория поля который описывает поле как точечную частицу, движущуюся по фиксированному многообразию. В качестве этого многообразия можно взять любое Риманово многообразие, хотя чаще всего считается Группа Ли или симметричное пространство. Модель может квантоваться, а может и не быть. Примером неквантованной версии является Модель Skyrme; его нельзя квантовать из-за нелинейностей степени больше 4. В общем, сигма-модели допускают (классические) топологический солитон решения, например, Скирмион для модели Skyrme. Когда сигма-поле связано с калибровочным полем, результирующая модель описывается следующим образом: Теория Гинзбурга – Ландау. Эта статья в первую очередь посвящена классическая теория поля сигма-модели; соответствующая квантованная теория представлена ​​в статье «нелинейная сигма-модель ".

Обзор

Сигма-модель была представлена Гелл-Манн и Леви (1960, раздел 5); название σ-модель исходит из поля в их модели, соответствующего бесспиновому мезону, называемому σ, а скалярный мезон представленный ранее Джулиан Швингер.^[1] Модель послужила доминирующим прототипом спонтанное нарушение симметрии от O (4) до O (3): сломанные три осевых образующих являются простейшим проявлением нарушение киральной симметрии, сохранившийся непрерывный O (3), представляющий изоспин.

В обычных физика элементарных частиц настройки, поле обычно считается СОЛНЦЕ), или векторное подпространство частного ${\displaystyle (SU(N)_{L}\times SU(N)_{R})/SU(N)}$ произведения левого и правого киральных полей. В конденсированное вещество теории, поле считается НА). Для группа ротации O (3) сигма-модель описывает изотропный ферромагнетик; в более общем плане модель O (N) появляется в квантовый эффект холла, сверхтекучий Гелий-3 и спиновые цепочки.

В супергравитация моделей поле принимается симметричное пространство. Поскольку симметрические пространства определяются в терминах их инволюция, их касательное пространство естественным образом распадается на подпространства четности и нечетности. Это разделение помогает продвинуть уменьшение размеров из Калуца ​​– Кляйн теории.

В самом простом виде сигма-модель может рассматриваться как чисто кинетическая энергия точечной частицы; как поле, это просто Энергия Дирихле в евклидовом пространстве.

В двух пространственных измерениях модель O (3) выглядит так: полностью интегрируемый.

Определение

В Плотность лагранжиана сигма-модели можно записать множеством разных способов, каждый из которых подходит для конкретного типа приложения. В простейшем и наиболее общем определении лагранжиан записывается как метрический след обратного преобразования метрического тензора на Риманово многообразие. За ${\displaystyle \phi :M\to \Phi }$ а поле через пространство-время ${\displaystyle M}$, это можно записать как

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}g_{ij}(\phi )\;\partial ^{\mu }\phi _{i}\partial _{\mu }\phi _{j}}$

где ${\displaystyle g_{ij}(\phi )}$ это метрический тензор на поле ${\displaystyle \phi \in \Phi }$, а ${\displaystyle \partial _{\mu }}$ производные по базовому пространственно-временное многообразие.

Это выражение можно немного распечатать. Пространство поля ${\displaystyle \Phi }$ можно выбрать любой Риманово многообразие. Исторически это «сигма» сигма-модели; исторически соответствующий символ ${\displaystyle \sigma }$ здесь избегается, чтобы предотвратить конфликты со многими другими распространенными способами использования ${\displaystyle \sigma }$ в геометрии. Римановы многообразия всегда имеют метрический тензор ${\displaystyle g}$. Учитывая атлас карт на ${\displaystyle \Phi }$, пространство поля всегда может быть локально упрощенный, в данном ${\displaystyle U\subset \Phi }$ в атласе можно написать карту ${\displaystyle U\to \mathbb {R} ^{n}}$ предоставление явных локальных координат ${\displaystyle \phi =(\phi ^{1},\cdots ,\phi ^{n})}$ на том патче. Метрический тензор на этом участке представляет собой матрицу, имеющую компоненты ${\displaystyle g_{ij}(\phi ).}$

Базовое многообразие ${\displaystyle M}$ должен быть дифференцируемое многообразие; по соглашению это либо Пространство Минковского в физика элементарных частиц приложения, плоские двухмерные Евклидово пространство за конденсированное вещество приложения, или Риманова поверхность, то мировой лист в теория струн. В ${\displaystyle \partial _{\mu }\phi =\partial \phi /\partial x^{\mu }}$ просто старый ковариантная производная на базовом пространственно-временном многообразии ${\displaystyle M.}$ Когда ${\displaystyle M}$ плоский, ${\displaystyle \partial _{\mu }\phi =\nabla \phi }$ просто обычный градиент скалярной функции (как ${\displaystyle \phi }$ является скалярным полем, с точки зрения ${\displaystyle M}$ сам.) Точнее говоря, ${\displaystyle \partial _{\mu }\phi }$ это раздел из связка струй из ${\displaystyle M\times \Phi }$.

Пример: O (N) нелинейная сигма-модель

Принимая ${\displaystyle g_{ij}=\delta _{ij}}$ то Дельта Кронекера, т.е. скалярное произведение в евклидовом пространстве, получаем ${\displaystyle O(n)}$ нелинейная сигма-модель. То есть написать ${\displaystyle \phi ={\hat {u}}}$ быть единичным вектором в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$, так что ${\displaystyle {\hat {u}}\cdot {\hat {u}}=1}$, с ${\displaystyle \cdot }$ обычное евклидово скалярное произведение. потом ${\displaystyle {\hat {u}}\in S^{n}}$ то ${\displaystyle n}$-сфера, то изометрии из которых группа ротации ${\displaystyle O(n)}$. Тогда лагранжиан можно записать как

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\nabla _{\mu }{\hat {u}}\cdot \nabla _{\mu }{\hat {u}}}$

За ${\displaystyle n=3}$, это континуальный предел изотропный ферромагнетик на решетке, т.е. классическая модель Гейзенберга. За ${\displaystyle n=2}$, это континуальный предел классическая модель XY. См. Также n-векторная модель и Модель Поттса для обзоров решетчатая модель эквиваленты. Континуальный предел берется записью

${\displaystyle \delta _{h}[{\hat {u}}](i,j)={\frac {{\hat {u}}_{i}-{\hat {u}}_{j}}{h}}}$

как конечная разница на соседних участках решетки ${\displaystyle i,j.}$ потом ${\displaystyle \delta _{h}[{\hat {u}}]\to \partial _{\mu }{\hat {u}}}$ в пределе ${\displaystyle h\to 0}$, и ${\displaystyle {\hat {u}}_{i}\cdot {\hat {u}}_{j}\to \partial _{\mu }{\hat {u}}\cdot \partial _{\mu }{\hat {u}}}$ после отбрасывания постоянных членов ${\displaystyle {\hat {u}}_{i}\cdot {\hat {u}}_{i}=1}$ («объемная намагниченность»).

В геометрической записи

Сигма-модель также может быть записана в более полных геометрических обозначениях, как пучок волокон с волокнами ${\displaystyle \Phi }$ через дифференцируемое многообразие ${\displaystyle M}$. Учитывая раздел ${\displaystyle \phi :M\to \Phi }$, зафиксируйте точку ${\displaystyle x\in M.}$ В продвигать в ${\displaystyle x}$ это карта касательных расслоений

${\displaystyle \mathrm {d} _{x}\phi :T_{x}M\to T_{\phi (x)}\Phi \quad }$ принимая ${\displaystyle \quad \partial _{\mu }\mapsto {\frac {\partial \phi ^{i}}{\partial x^{\mu }}}\partial _{i}}$

куда ${\displaystyle \partial _{\mu }=\partial /\partial x^{\mu }}$ считается ортонормированным базис векторного пространства на ${\displaystyle TM}$ и ${\displaystyle \partial _{i}=\partial /\partial q^{i}}$ базис векторного пространства на ${\displaystyle T\Phi }$. В ${\displaystyle \mathrm {d} \phi }$ это дифференциальная форма. Сигма-модель действие тогда просто обычный внутренний продукт на векторных k-формы

${\displaystyle {\mathcal {S}}={\frac {1}{2}}\int _{M}\mathrm {d} \phi \wedge {*\mathrm {d} \phi }}$

где ${\displaystyle \wedge }$ это клин, а ${\displaystyle *}$ это Ходжа звезда. Это внутренний продукт двумя разными способами. В первом случае, учитывая любой две дифференцируемые формы ${\displaystyle \alpha ,\beta }$ в ${\displaystyle M}$, двойственный по Ходжу определяет инвариантное скалярное произведение на пространстве дифференциальных форм, обычно записываемое как

${\displaystyle \langle \!\langle \alpha ,\beta \rangle \!\rangle \ =\ \int _{M}\alpha \wedge {*\beta }}$

Вышеупомянутое является внутренним продуктом в пространстве интегрируемых с квадратом форм, обычно принимаемых за Соболевское пространство ${\displaystyle L^{2}.}$ Таким образом можно написать

${\displaystyle {\mathcal {S}}={\frac {1}{2}}\langle \!\langle \mathrm {d} \phi ,\mathrm {d} \phi \rangle \!\rangle }$

Это делает очевидным и очевидным, что сигма-модель - это всего лишь кинетическая энергия точечной частицы. С точки зрения многообразия ${\displaystyle M}$, поле ${\displaystyle \phi }$ является скаляром, и поэтому ${\displaystyle \mathrm {d} \phi }$ можно признать просто обычным градиент скалярной функции. Звезда Ходжа - это просто причудливое устройство для отслеживания объемная форма при интеграции в искривленном пространстве-времени. В случае, если ${\displaystyle M}$ плоский, его можно полностью игнорировать, поэтому действие

${\displaystyle {\mathcal {S}}={\frac {1}{2}}\int _{M}\Vert \nabla \phi \Vert ^{2}d^{m}x}$

какой Энергия Дирихле из ${\displaystyle \phi }$. Классические экстремумы действия (решения Уравнения Лагранжа ) - это те конфигурации поля, которые минимизируют энергию Дирихле ${\displaystyle \phi }$. Другой способ преобразовать это выражение в более легко узнаваемую форму - это заметить, что для скалярной функции ${\displaystyle f:M\to \mathbb {R} }$ надо ${\displaystyle \mathrm {d} *f=0}$ и поэтому можно также написать

${\displaystyle {\mathcal {S}}={\frac {1}{2}}\langle \!\langle \phi ,\Delta \phi \rangle \!\rangle }$

куда ${\displaystyle \Delta }$ это Оператор Лапласа – Бельтрами, т.е. обычный Лапласиан когда ${\displaystyle M}$ плоский.

Что там есть еще один, второй внутренний продукт в игре просто требует не забывать, что ${\displaystyle \mathrm {d} \phi }$ вектор с точки зрения ${\displaystyle \Phi }$ сам. То есть, учитывая любой два вектора ${\displaystyle v,w\in T\Phi }$, риманова метрика ${\displaystyle g_{ij}}$ определяет внутренний продукт

${\displaystyle \langle v,w\rangle =g_{ij}v^{i}w^{j}}$

С ${\displaystyle \mathrm {d} \phi }$ векторнозначен ${\displaystyle \mathrm {d} \phi =(\mathrm {d} \phi ^{1},\cdots ,\mathrm {d} \phi ^{n})}$ на локальных картах туда же попадает и внутренний продукт. Более подробно,

${\displaystyle {\mathcal {S}}={\frac {1}{2}}\int _{M}g_{ij}(\phi )\;\mathrm {d} \phi ^{i}\wedge {*\mathrm {d} \phi ^{j}}}$

Напряжение между этими двумя внутренними продуктами можно сделать еще более явным, отметив, что

${\displaystyle B_{\mu \nu }(\phi )=g_{ij}\partial _{\mu }\phi ^{i}\partial _{\nu }\phi ^{j}}$

это билинейная форма; это откат метрики Римана ${\displaystyle g_{ij}}$. Человек ${\displaystyle \partial _{\mu }\phi ^{i}}$ можно принять как Vielbeins. Тогда плотность лагранжиана сигма-модели равна

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}g^{\mu \nu }B_{\mu \nu }}$

за ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ метрика на ${\displaystyle M.}$ Учитывая это склейку, ${\displaystyle \mathrm {d} \phi }$ можно интерпретировать как форма припоя; более подробно это изложено ниже.

Мотивы и основные интерпретации

По поводу классической (неквантованной) сигма-модели можно сделать несколько интерпретационных и основополагающих замечаний. Во-первых, классическую сигма-модель можно интерпретировать как модель невзаимодействующей квантовой механики. Второй касается интерпретации энергии.

Интерпретация как квантовая механика

Это непосредственно следует из выражения

${\displaystyle {\mathcal {S}}={\frac {1}{2}}\langle \!\langle \phi ,\Delta \phi \rangle \!\rangle }$

приведено выше. Принимая ${\displaystyle \Phi =\mathbb {C} }$, функция ${\displaystyle \phi :M\to \mathbb {C} }$ можно интерпретировать как волновая функция, а это лапласиан - кинетическая энергия этой волновой функции. В ${\displaystyle \langle \!\langle \cdot ,\cdot \rangle \!\rangle }$ это просто некая геометрическая машина, напоминающая интегрироваться во все пространство. Соответствующие квантово-механические обозначения: ${\displaystyle \phi =|\psi \rangle .}$ В плоском пространстве лапласиан условно записывается как ${\displaystyle \Delta =\nabla ^{2}}$. Собирая все эти части вместе, действие сигма-модели эквивалентно

${\displaystyle {\mathcal {S}}={\frac {1}{2}}\int _{M}\langle \psi |\nabla ^{2}|\psi \rangle dx^{m}={\frac {1}{2}}\int _{M}\psi ^{\dagger }(x)\nabla ^{2}\psi (x)dx^{m}}$

которая представляет собой просто общую кинетическую энергию волновой функции ${\displaystyle \psi (x)}$, с точностью до фактора ${\displaystyle \hbar /m}$. В заключение, классическая сигма-модель на ${\displaystyle \mathbb {C} }$ можно интерпретировать как квантовую механику свободной невзаимодействующей квантовой частицы. Очевидно, добавив срок ${\displaystyle V(\phi )}$ к лагранжиану приводит к квантовой механике волновой функции в потенциале. Принимая ${\displaystyle \Phi =\mathbb {C} ^{n}}$ недостаточно, чтобы описать ${\displaystyle n}$-частичная система, в которой ${\displaystyle n}$ частицы требуют ${\displaystyle n}$ различные координаты, которые не предусмотрены базовым многообразием. Это можно решить, взяв ${\displaystyle n}$ копии базового коллектора.

Форма припоя

Хорошо известно, что геодезический структура риманова многообразия описывается Уравнения Гамильтона – Якоби.^[2] В виде эскиза конструкция выглядит следующим образом. Обе ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle \Phi }$ римановы многообразия; ниже написано для ${\displaystyle \Phi }$, то же самое можно сделать и для ${\displaystyle M}$. В котангенсный пучок ${\displaystyle T^{*}\Phi }$, снабжен чем то карты координат, всегда может быть локально упрощенный, т.е.

${\displaystyle \left.T^{*}\Phi \right|_{U}\cong U\times \mathbb {R} ^{n}}$

Принадлежности для тривиализации канонические координаты ${\displaystyle (q^{1},\cdots ,q^{n},p_{1},\cdots ,p_{n})}$ на котангенсном пучке. Учитывая метрический тензор ${\displaystyle g_{ij}}$ на ${\displaystyle \Phi }$, определим гамильтонову функцию

${\displaystyle H(q,p)={\frac {1}{2}}g^{ij}(q)p_{i}p_{j}}$

где, как всегда, следует отметить, что в этом определении используется обратная величина: ${\displaystyle g^{ij}g_{jk}=\delta _{k}^{i}.}$ Известно, что геодезический поток на ${\displaystyle \Phi }$ дается Уравнения Гамильтона – Якоби

${\displaystyle {\dot {q}}^{i}={\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}\quad }$ и ${\displaystyle \quad {\dot {p}}_{i}=-{\frac {\partial H}{\partial q^{i}}}}$

Геодезический поток - это Гамильтонов поток; решения вышеупомянутого - геодезические многообразия. Отметим, кстати, что ${\displaystyle dH/dt=0}$ по геодезическим; параметр времени ${\displaystyle t}$ - расстояние по геодезической.

Сигма-модель принимает импульсы в двух многообразиях ${\displaystyle T^{*}\Phi }$ и ${\displaystyle T^{*}M}$ и спаяет их вместе, в этом ${\displaystyle \mathrm {d} \phi }$ это форма припоя. В этом смысле интерпретация сигма-модели как функционала энергии неудивительна; на самом деле это склейка два энергетические функционалы. Внимание: точное определение формы припоя требует, чтобы она была изоморфизмом; это может произойти только если ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle \Phi }$ имеют такое же реальное измерение. Кроме того, обычное определение формы припоя принимает ${\displaystyle \Phi }$ быть группой Ли. Оба условия выполняются в различных приложениях.

Результаты по разным пространствам

Космос ${\displaystyle \Phi }$ часто воспринимается как Группа Ли, обычно СОЛНЦЕ), в обычных моделях физики элементарных частиц, НА) в теориях конденсированного состояния или как симметричное пространство в супергравитация модели. Поскольку симметрические пространства определяются в терминах их инволюция, их касательное пространство (т.е. место, где ${\displaystyle \mathrm {d} \phi }$ живет) естественным образом распадается на подпространства с четной и нечетной четностью. Это разделение помогает продвинуть уменьшение размеров из Калуца ​​– Кляйн теории.

О группах Ли

Для особого случая ${\displaystyle \Phi }$ быть Группа Ли, то ${\displaystyle g_{ij}}$ это метрический тензор на группе Ли, формально называемой тензором Картана или Форма убийства. Тогда лагранжиан можно записать как откат формы Киллинга. Обратите внимание, что форму Киллинга можно записать как след по двум матрицам из соответствующих Алгебра Ли; таким образом, лагранжиан также можно записать в форме, содержащей след. С небольшими переделками это можно также записать как откат Форма Маурера-Картана.

О симметричных пространствах

Распространенный вариант сигма-модели - представить ее на симметричное пространство. Типичным примером является хиральная модель, который принимает продукт

${\displaystyle G=SU(N)\times SU(N)}$

«левого» и «правого» киральных полей, а затем строит сигма-модель на «диагонали»

${\displaystyle \Phi ={\frac {SU(N)\times SU(N)}{SU(N)}}}$

Такое фактор-пространство является симметричным пространством, поэтому в общем случае можно взять ${\displaystyle \Phi =G/H}$ куда ${\displaystyle H\subset G}$ - максимальная подгруппа в ${\displaystyle G}$ инвариантный относительно Инволюция Картана. Лагранжиан по-прежнему записывается точно так же, как указано выше, либо в терминах обратного преобразования метрики на ${\displaystyle G}$ к метрике на ${\displaystyle G/H}$ или как откат формы Маурера-Картана.

Обозначение трассировки

В физике наиболее распространенное и стандартное утверждение сигма-модели начинается с определения

${\displaystyle L_{\mu }=\pi _{\mathfrak {m}}\circ \left(g^{-1}\partial _{\mu }g\right)}$

Здесь ${\displaystyle g^{-1}\partial _{\mu }g}$ это откат Форма Маурера-Картана, за ${\displaystyle g\in G}$, на многообразие пространства-времени. В ${\displaystyle \pi _{\mathfrak {m}}}$ является проекцией на нечетную часть инволюции Картана. То есть, учитывая алгебру Ли ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ из ${\displaystyle G}$, инволюция разбивает пространство на нечетные и четные компоненты четности ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {m}}\oplus {\mathfrak {h}}}$ соответствующие двум собственным состояниям инволюции. Тогда лагранжиан сигма-модели может быть записан как

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\mathrm {tr} \left(L_{\mu }L^{\mu }\right)}$

Это сразу узнается как первый срок Модель Skyrme.

Метрическая форма

Эквивалентная метрическая форма этого - написать групповой элемент ${\displaystyle g\in G}$ как геодезический ${\displaystyle g=\exp(\theta ^{i}T_{i})}$ элемента ${\displaystyle \theta ^{i}T_{i}\in {\mathfrak {g}}}$ алгебры Ли ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. В ${\displaystyle [T_{i},T_{j}]={f_{ij}}^{k}T_{k}}$ являются базисными элементами алгебры Ли; то ${\displaystyle {f_{ij}}^{k}}$ являются структурные константы из ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$.

Подключив это непосредственно к вышесказанному и применив бесконечно малую форму Формула Бейкера – Кэмпбелла – Хаусдорфа быстро приводит к эквивалентному выражению

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}g_{ij}(\phi )\;\mathrm {d} \phi _{i}\wedge {*\mathrm {d} \phi _{j}}={\frac {1}{2}}\;{W_{i}}^{m}{W^{n}}_{j}\;\;\mathrm {d} \phi _{i}\wedge {*\mathrm {d} \phi _{j}}\;\;\mathrm {tr} (T_{m}T_{n})}$

куда ${\displaystyle \mathrm {tr} (T_{m}T_{n})}$ теперь очевидно (пропорционально) форме Киллинга, а ${\displaystyle {W_{i}}^{m}}$ являются Vielbeins которые выражают "изогнутую" метрику ${\displaystyle g_{ij}}$ в терминах "плоской" метрики ${\displaystyle \mathrm {tr} (T_{m}T_{n})}$. Статья о Формула Бейкера – Кэмпбелла – Хаусдорфа предоставляет явное выражение для vielbeins. Их можно записать как

${\displaystyle W=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}M^{n}}{(n+1)!}}=(I-e^{-M})M^{-1}}$

куда ${\displaystyle M}$ матрица, матричные элементы которой равны ${\displaystyle {M_{j}}^{k}=\theta ^{i}{f_{ij}}^{k}}$.

Для сигма-модели на симметричном пространстве, в отличие от группы Ли, ${\displaystyle T_{i}}$ ограничены охватом подпространства ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ вместо всего ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {m}}\oplus {\mathfrak {h}}}$. Коммутатор Ли на ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ буду нет быть внутри ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$; действительно, есть ${\displaystyle [{\mathfrak {m}},{\mathfrak {m}}]\subset {\mathfrak {h}}}$ а значит, проекция еще нужна.

Расширения

Модель может быть расширена множеством способов. Помимо вышеупомянутого Модель Skyrme, который вводит четвертичные члены, модель может быть дополнена кручение срок, чтобы дать Модель Весса – Зумино – Виттена..

Другая возможность часто встречается в супергравитация модели. Здесь можно заметить, что форма Маурера-Картана ${\displaystyle g^{-1}dg}$ выглядит как «чистая калибровка». В построенной выше конструкции для симметричных пространств можно также рассмотреть другую проекцию

${\displaystyle A_{\mu }=\pi _{\mathfrak {h}}\circ \left(g^{-1}\partial _{\mu }g\right)}$

где, как и прежде, симметричное пространство соответствовало расщепленному ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {m}}\oplus {\mathfrak {h}}}$. Этот дополнительный термин можно интерпретировать как связь на пучке волокон ${\displaystyle M\times H}$ (трансформируется как калибровочное поле). Это то, что "осталось" от подключения на ${\displaystyle G}$. Его можно наделить собственной динамикой, написав

${\displaystyle {\mathcal {L}}=g_{ij}F^{i}\wedge *F^{j}}$

с ${\displaystyle F^{i}=dA^{i}}$. Обратите внимание, что дифференциал здесь просто «d», а не ковариантная производная; это нет тензор энергии-импульса Янга-Миллса. Этот член сам по себе не является калибровочно-инвариантным; его нужно брать вместе с той частью соединения, которая встраивается в ${\displaystyle L_{\mu }}$, так что вместе взятые ${\displaystyle L_{\mu }}$, теперь со связностью как частью этого, вместе с этим членом, образует полный калибровочно-инвариантный лагранжиан (который действительно содержит члены Янга-Миллса при раскрытии).

Рекомендации

1. Джулиан С. Швингер, "Теория фундаментальных взаимодействий", Анна. Phys. 2(407), 1957.
2. Юрген Йост (1991) Риманова геометрия и геометрический анализ, Springer

• Gell-Mann, M .; Леви М. (1960), "Осевой векторный ток в бета-распаде", Il Nuovo Cimento, 16: 705–726, Bibcode:1960NCim ... 16..705G, Дои:10.1007 / BF02859738

• Кетов, Сергей (2009). «Нелинейная сигма-модель». Scholarpedia. 4 (1): 8508. Bibcode:2009SchpJ ... 4.8508K. Дои:10.4249 / scholarpedia.8508.