Хиральная модель - Chiral model

В ядерная физика, то хиральная модель, представлен Феза Гюрси в 1960 г. феноменологический модель, описывающая эффективное взаимодействие мезоны в хиральный предел (где массы кварки стремятся к нулю), но вообще без упоминания кварков. Это нелинейная сигма-модель с главное однородное пространство из Группа Ли SU (N) как его целевой коллектор, куда N это количество кварков ароматы. В Риманова метрика целевого многообразия задается положительной константой, умноженной на Форма убийства действуя на Форма Маурера-Картана СУ (N).

внутренний глобальная симметрия этой модели - SU (N)_L × SU (N)_р, левая и правая копии соответственно; где левая копия действует как левое действие в целевом пространстве, а правая копия действует как правильное действие. Левая копия представляет вращения ароматов среди левых кварков, в то время как правая копия описывает вращения среди правых кварков, в то время как они, L и R, полностью независимы друг от друга. Осевые части этих симметрий равны самопроизвольно сломанный так что соответствующие скалярные поля являются необходимыми Бозоны Намбу-Голдстоуна.

Эта модель допускает топологические солитоны называется Скирмионы.

Отклонения от точной киральной симметрии рассматриваются в киральная теория возмущений.

Наброски оригинальной модели с двумя вкусами

Киральная модель Гюрси (1960; см. Также Гелл-Манна и Леви) теперь считается эффективной теорией QCD с двумя легкими кварками, ты, и d. Лагранжиан КХД приблизительно инвариантен относительно независимых глобальных флейворовых вращений левого и правого кварковых полей,

${\displaystyle {\begin{cases}q_{L}\mapsto q_{L}'=Lq_{L}=\exp {\left(-i{\boldsymbol {\theta }}_{L}\cdot {\tfrac {\boldsymbol {\tau }}{2}}\right)}q_{L}\\q_{R}\mapsto q_{R}'=Rq_{R}=\exp {\left(-i{\boldsymbol {\theta }}_{R}\cdot {\tfrac {\boldsymbol {\tau }}{2}}\right)}q_{R}\end{cases}}}$

куда τ обозначим матрицы Паули в пространстве ароматов и θ_L, θ_р - соответствующие углы поворота.

Соответствующая группа симметрии ${\displaystyle {\text{SU}}(2)_{L}\times {\text{SU}}(2)_{R}}$ это хиральная группа, контролируемая шестью консервативными токами

${\displaystyle L_{\mu }^{i}={\bar {q}}_{L}\gamma _{\mu }{\tfrac {\tau ^{i}}{2}}q_{L},\qquad R_{\mu }^{i}={\bar {q}}_{R}\gamma _{\mu }{\tfrac {\tau ^{i}}{2}}q_{R},}$

которые одинаково хорошо выражаются через векторные и аксиально-векторные токи

${\displaystyle V_{\mu }^{i}=L_{\mu }^{i}+R_{\mu }^{i},\qquad A_{\mu }^{i}=R_{\mu }^{i}-L_{\mu }^{i}.}$

Соответствующие сохраняющиеся заряды порождают алгебру киральной группы,

${\displaystyle \left[Q_{I}^{i},Q_{I}^{j}\right]=i\epsilon ^{ijk}Q_{I}^{k}\qquad \qquad \left[Q_{L}^{i},Q_{R}^{j}\right]=0,}$

с I = L, R, или, что то же самое,

${\displaystyle \left[Q_{V}^{i},Q_{V}^{j}\right]=i\epsilon ^{ijk}Q_{V}^{k},\qquad \left[Q_{A}^{i},Q_{A}^{j}\right]=i\epsilon ^{ijk}Q_{V}^{k},\qquad \left[Q_{V}^{i},Q_{A}^{j}\right]=i\epsilon ^{ijk}Q_{A}^{k}.}$

Применение этих коммутационных соотношений к адронным реакциям было преобладающим. текущая алгебра расчеты в начале семидесятых годов прошлого века.

На уровне адронов, псевдоскалярных мезонов, в рамках киральной модели, киральной ${\displaystyle {\text{SU}}(2)_{L}\times {\text{SU}}(2)_{R}}$ группа самопроизвольно сломанный вплоть до ${\displaystyle {\text{SU}}(2)_{V}}$, посредством КХД вакуум. То есть реализовано нелинейно, в Режим Намбу-Голдстоуна: The Q_V уничтожить вакуум, но Q_А не! Это хорошо визуализируется с помощью геометрического аргумента, основанного на том факте, что алгебра Ли ${\displaystyle {\text{SU}}(2)_{L}\times {\text{SU}}(2)_{R}}$ изоморфна SO (4). Непрерывная подгруппа, реализованная в линейном режиме Вигнера-Вейля, есть ${\displaystyle {\text{SO}}(3)\subset {\text{SO}}(4)}$ который локально изоморфен SU (2) (V: изоспин).

Чтобы построить нелинейная реализация СО (4) - представление, описывающее четырехмерные вращения вектора

${\displaystyle {\begin{pmatrix}{\boldsymbol {\pi }}\\\sigma \end{pmatrix}}\equiv {\begin{pmatrix}\pi _{1}\\\pi _{2}\\\pi _{3}\\\sigma \end{pmatrix}},}$

для бесконечно малого вращения, параметризованного шестью углами

${\displaystyle \left\{\theta _{i}^{V,A}\right\},\qquad i=1,2,3,}$

дан кем-то

${\displaystyle {\begin{pmatrix}{\boldsymbol {\pi }}\\\sigma \end{pmatrix}}{\stackrel {SO(4)}{\longrightarrow }}{\begin{pmatrix}{{\boldsymbol {\pi }}'}\\\sigma '\end{pmatrix}}=\left[\mathbf {1} _{4}+\sum _{i=1}^{3}\theta _{i}^{V}V_{i}+\sum _{i=1}^{3}\theta _{i}^{A}A_{i}\right]{\begin{pmatrix}{\boldsymbol {\pi }}\\\sigma \end{pmatrix}}}$

куда

${\displaystyle \sum _{i=1}^{3}\theta _{i}^{V}V_{i}={\begin{pmatrix}0&-\theta _{3}^{V}&\theta _{2}^{V}&0\\\theta _{3}^{V}&0&-\theta _{1}^{V}&0\\-\theta _{2}^{V}&\theta _{1}^{V}&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}\qquad \qquad \sum _{i=1}^{3}\theta _{i}^{A}A_{i}={\begin{pmatrix}0&0&0&\theta _{1}^{A}\\0&0&0&\theta _{2}^{A}\\0&0&0&\theta _{3}^{A}\\-\theta _{1}^{A}&-\theta _{2}^{A}&-\theta _{3}^{A}&0\end{pmatrix}}.}$

Четыре реальных количества (π, σ) определяют наименьший нетривиальный киральный мультиплет и представляют содержимое поля линейной сигма-модели.

Чтобы перейти от линейной реализации SO (4) к нелинейной, заметим, что на самом деле только три из четырех компонентов (π, σ) независимы относительно четырехмерных вращений. Эти три независимых компонента соответствуют координатам на гиперсфере. S³, куда π и σ подвержены ограничению

${\displaystyle {\boldsymbol {\pi }}^{2}+\sigma ^{2}=F^{2},}$

с F а (распад пиона ) постоянная размерной массы.

Используя это для устранения σ дает следующие свойства преобразования π при SO (4),

${\displaystyle {\begin{cases}\theta ^{V}:{\boldsymbol {\pi }}\mapsto {\boldsymbol {\pi }}'={\boldsymbol {\pi }}+{\boldsymbol {\theta }}^{V}\times {\boldsymbol {\pi }}\\\theta ^{A}:{\boldsymbol {\pi }}\mapsto {\boldsymbol {\pi }}'={\boldsymbol {\pi }}+{\boldsymbol {\theta }}^{A}{\sqrt {F^{2}-{\boldsymbol {\pi }}^{2}}}\end{cases}}\qquad {\boldsymbol {\theta }}^{V,A}\equiv \left\{\theta _{i}^{V,A}\right\},\qquad i=1,2,3.}$

Нелинейные члены (сдвигающие π) в правой части второго уравнения лежат в основе нелинейной реализации SO (4). Хиральная группа ${\displaystyle {\text{SU}}(2)_{L}\times {\text{SU}}(2)_{R}\simeq {\text{SO}}(4)}$ реализуется нелинейно на триплете пионов, которые, однако, по-прежнему линейно преобразуются под действием изоспина ${\displaystyle {\text{SU}}(2)_{V}\simeq {\text{SO}}(3)}$ вращения параметризованы через углы ${\displaystyle \{{\boldsymbol {\theta }}_{V}\}.}$ Напротив, ${\displaystyle \{{\boldsymbol {\theta }}_{A}\}}$ представляют собой нелинейные «сдвиги» (самопроизвольные обрывы).

Сквозь спинорная карта, эти четырехмерные вращения (π, σ) также может быть удобно записано с использованием матричной записи 2 × 2 путем введения унитарной матрицы

${\displaystyle U={\frac {1}{F}}\left(\sigma \mathbf {1} _{2}+i{\boldsymbol {\pi }}\cdot {\boldsymbol {\tau }}\right),}$

и требуя трансформационных свойств U при киральных вращениях быть

${\displaystyle U\longrightarrow U'=LUR^{\dagger },}$

куда ${\displaystyle \theta _{L}=\theta _{V}-\theta _{A},\theta _{R}=\theta _{V}+\theta _{A}.}$

Далее следует переход к нелинейной реализации:

${\displaystyle U={\frac {1}{F}}\left({\sqrt {F^{2}-{\boldsymbol {\pi }}^{2}}}\mathbf {1} _{2}+i{\boldsymbol {\pi }}\cdot {\boldsymbol {\tau }}\right),\qquad {\mathcal {L}}_{\pi }^{(2)}={\frac {F^{2}}{4}}\langle \partial _{\mu }U\partial ^{\mu }U^{\dagger }\rangle ,}$

куда ${\displaystyle \langle \ldots \rangle }$ обозначает след в пространстве ароматов. Это нелинейная сигма-модель.

Условия, включающие ${\displaystyle \textstyle \partial _{\mu }\partial ^{\mu }U}$ или же ${\displaystyle \textstyle \partial _{\mu }\partial ^{\mu }U^{\dagger }}$ не являются независимыми и могут быть приведены к этой форме путем частичной интеграции. Постоянная F²/ 4 выбирается таким образом, чтобы лагранжиан соответствовал обычному свободному члену для безмассовых скалярных полей, записанному в терминах пионов,

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\pi }^{(2)}={\frac {1}{2}}\partial _{\mu }{\boldsymbol {\pi }}\cdot \partial ^{\mu }{\boldsymbol {\pi }}+{\frac {1}{2F^{2}}}\left(\partial _{\mu }{\boldsymbol {\pi }}\cdot {\boldsymbol {\pi }}\right)^{2}+{\mathcal {O}}(\pi ^{6}).}$

Альтернативная параметризация

Альтернативная, эквивалентная (Gürsey, 1960) параметризация

${\displaystyle {\boldsymbol {\pi }}\mapsto {\boldsymbol {\pi }}~{\frac {\sin(|\pi /F|)}{|\pi /F|}},}$

дает более простое выражение для U,

${\displaystyle U=\mathbf {1} \cos |\pi /F|+i{\widehat {\pi }}\cdot {\boldsymbol {\tau }}\sin |\pi /F|=e^{i~{\boldsymbol {\tau }}\cdot {\boldsymbol {\pi }}/F}.}$

Обратите внимание на измененные параметры π преобразовать под

${\displaystyle LUR^{\dagger }=\exp(i{\boldsymbol {\theta }}_{A}\cdot {\boldsymbol {\tau }}/2-i{\boldsymbol {\theta }}_{V}\cdot {\boldsymbol {\tau }}/2)\exp(i{\boldsymbol {\pi }}\cdot {\boldsymbol {\tau }}/F)\exp(i{\boldsymbol {\theta }}_{A}\cdot {\boldsymbol {\tau }}/2+i{\boldsymbol {\theta }}_{V}\cdot {\boldsymbol {\tau }}/2)}$

Итак, тогда, явно идентично описанному выше при извращениях, V; и аналогично предыдущему, поскольку

${\displaystyle {\boldsymbol {\pi }}\longrightarrow {\boldsymbol {\pi }}+{\boldsymbol {\theta }}_{A}F+\cdots ={\boldsymbol {\pi }}+{\boldsymbol {\theta }}_{A}F(|\pi /F|\cot |\pi /F|)}$

при нарушенных симметриях, А, сдвиги. Это более простое выражение легко обобщается (Cronin, 1967) на N легкие кварки, поэтому ${\displaystyle \textstyle {\text{SU}}(N)_{L}\times {\text{SU}}(N)_{R}/{\text{SU}}(N)_{V}.}$

Смотрите также: Нарушение киральной симметрии и Нелинейная реализация

Рекомендации

• Гюрси, Ф. (1960). «О симметриях сильного и слабого взаимодействий». Il Nuovo Cimento. 16 (2): 230–240. Bibcode:1960NCim ... 16..230G. Дои:10.1007 / BF02860276.; (1961). «О структуре и соотношении токов слабого взаимодействия», Annals of Physics, 12 91-117. Дои:10.1016/0003-4916(61)90147-6.
• Coleman, S .; Wess, J .; Зумино, Б. (1969). «Строение феноменологических лагранжианов. I». Физический обзор. 177 (5): 2239. Bibcode:1969ПхРв..177.2239С. Дои:10.1103 / PhysRev.177.2239.; Callan, C .; Coleman, S .; Wess, J .; Зумино, Б. (1969). «Строение феноменологических лагранжианов. II». Физический обзор. 177 (5): 2247. Bibcode:1969ПхРв..177.2247С. Дои:10.1103 / PhysRev.177.2247.
• Георгий, Х. (1984, 2009). Слабые взаимодействия и современная теория частиц (Дуврские книги по физике) ISBN  0486469042 онлайн .
• Фрай, М. П. (2000). «Киральный предел двумерного фермионного детерминанта в общем магнитном поле». Журнал математической физики. 41 (4): 1691. arXiv:hep-th / 9911131. Bibcode:2000JMP .... 41.1691F. Дои:10.1063/1.533204.
• Gell-Mann, M .; Леви М. (1960), "Осевой векторный ток в бета-распаде", Il Nuovo Cimento, Итальянское физическое общество, 16: 705–726, Bibcode:1960NCim ... 16..705G, Дои:10.1007 / BF02859738, ISSN  1827-6121
• Кронин, Дж. (1967). «Феноменологическая модель сильного и слабого взаимодействий в киральном U (3) ⊗U (3)», Phys Rev 161(5): 1483. Дои:10.1103 / PhysRev.161.1483.