Обозначение абстрактного индекса - Abstract index notation

Не путать с обозначение тензорного индекса.

Обозначение абстрактного индекса математическое обозначение для тензоры и спиноры который использует индексы для обозначения их типов, а не их компонентов на определенной основе. Индексы - это просто заполнители, не связанные с какой-либо базой и, в частности, не числовые. Таким образом, его не следует путать с Исчисление Риччи. Обозначения были введены Роджер Пенроуз как способ использовать формальные аспекты Соглашение о суммировании Эйнштейна чтобы компенсировать сложность описания схватки и ковариантное дифференцирование в современных абстрактных тензорных обозначениях, сохраняя при этом явное ковариация используемых выражений.

Позволять ${\displaystyle V}$ быть векторное пространство, и ${\displaystyle V^{*}}$ это двойной. Рассмотрим, например, порядок-2 ковариантный тензор ${\displaystyle h\in V^{*}\otimes V^{*}}$. потом ${\displaystyle h}$ можно отождествить с билинейная форма на ${\displaystyle V}$. Другими словами, это функция двух аргументов в ${\displaystyle V}$ которые можно представить в виде пары слоты:

${\displaystyle h=h(-,-).}$

Обозначение абстрактного индекса - это просто маркировка слотов латинскими буквами, которые не имеют значения, кроме их обозначения как метки слотов (т.е. они нечисловые):

${\displaystyle h=h_{ab}.}$

А тензорное сжатие (или трасса) между двумя тензорами представлена ​​повторением индексной метки, где одна метка контравариантна ( верхний индекс соответствующий коэффициенту ${\displaystyle V}$) и одна метка ковариантна (a нижний индекс соответствующий коэффициенту ${\displaystyle V^{*}}$). Так, например,

${\displaystyle {t_{ab}}^{b}}$

это след тензора ${\displaystyle t={t_{ab}}^{c}}$ за последние два слота. Такой способ представления тензорных сжатий повторяющимися индексами формально аналогичен Соглашение о суммировании Эйнштейна. Однако, поскольку индексы не являются числовыми, это не подразумевает суммирования: скорее, это соответствует абстрактной операции трассировки, не зависящей от базиса (или естественное соединение ) между тензорными множителями типа ${\displaystyle V}$ и типа ${\displaystyle V^{*}}$.

Абстрактные индексы и тензорные пространства

Общий однородный тензор - это элемент тензорное произведение копий ${\displaystyle V}$ и ${\displaystyle V^{*}}$, Такие как

${\displaystyle V\otimes V^{*}\otimes V^{*}\otimes V\otimes V^{*}.}$

Обозначьте каждый множитель в этом тензорном произведении латинской буквой в верхнем положении для каждого контраварианта. ${\displaystyle V}$ фактор, и в пониженном положении для каждого коварианта ${\displaystyle V^{*}}$ позиция. Таким образом, напишите продукт как

${\displaystyle V^{a}V_{b}V_{c}V^{d}V_{e}}$

или просто

${\displaystyle {{{V^{a}}_{bc}}^{d}}_{e}.}$

Последние два выражения обозначают тот же объект, что и первое. Тензоры этого типа обозначаются аналогичными обозначениями, например:

${\displaystyle {{{h^{a}}_{bc}}^{d}}_{e}\in {{{V^{a}}_{bc}}^{d}}_{e}=V\otimes V^{*}\otimes V^{*}\otimes V\otimes V^{*}.}$

Сокращение

Смотрите также: Тензорное сжатие

В общем, всякий раз, когда один контравариантный и один ковариантный факторы встречаются в тензорном произведении пространств, существует связанный сокращение (или же след) карта. Например,

${\displaystyle \mathrm {Tr} _{12}:V\otimes V^{*}\otimes V^{*}\otimes V\otimes V^{*}\to V^{*}\otimes V\otimes V^{*}}$

- след на первых двух пространствах тензорного произведения.

${\displaystyle \mathrm {Tr} _{15}:V\otimes V^{*}\otimes V^{*}\otimes V\otimes V^{*}\to V^{*}\otimes V^{*}\otimes V}$

это след на первом и последнем пробелах.

Эти операции трассировки обозначаются на тензорах повторением индекса. Таким образом, первая карта трассировки дается формулой

${\displaystyle \mathrm {Tr} _{12}:{{{h^{a}}_{bc}}^{d}}_{e}\mapsto {{{h^{a}}_{ac}}^{d}}_{e}}$

а второй

${\displaystyle \mathrm {Tr} _{15}:{{{h^{a}}_{bc}}^{d}}_{e}\mapsto {{{h^{a}}_{bc}}^{d}}_{a}.}$

Плетение

Любому тензорному произведению в единственном векторном пространстве соответствуют карты плетения. Например, карта плетения

${\displaystyle \tau _{(12)}:V\otimes V\rightarrow V\otimes V}$

меняет местами два тензорных фактора (так что его действие на простые тензоры дается ${\displaystyle \tau _{(12)}(v\otimes w)=w\otimes v}$). В целом карты плетения находятся во взаимно однозначном соответствии с элементами симметричная группа, действуя путем перестановки тензорных множителей. Здесь мы используем ${\displaystyle \tau _{\sigma }}$ для обозначения карта плетения связанный с перестановкой ${\displaystyle \sigma }$ (представлен как произведение непересекающихся циклические перестановки ).

Карты плетения важны в дифференциальная геометрия, например, чтобы выразить Бьянки идентичность. Здесь пусть ${\displaystyle R}$ обозначим тензор Римана, рассматриваемый как тензор в ${\displaystyle V^{*}\otimes V^{*}\otimes V^{*}\otimes V}$. Тогда первое тождество Бьянки утверждает, что

${\displaystyle R+\tau _{(123)}R+\tau _{(132)}R=0.}$

Обозначение абстрактного индекса обрабатывает плетение следующим образом. На конкретном тензорном произведении фиксируется порядок абстрактных индексов (обычно это лексикографический порядок ). Затем коса представлена ​​в обозначениях путем перестановки меток индексов. Так, например, с тензором Римана

${\displaystyle R={R_{abc}}^{d}\in {V_{abc}}^{d}=V^{*}\otimes V^{*}\otimes V^{*}\otimes V,}$

идентичность Бьянки становится

${\displaystyle {R_{abc}}^{d}+{R_{cab}}^{d}+{R_{bca}}^{d}=0.}$

Антисимметризация и симметризация

Общий тензор может быть антисимметричным или симметризованным, и существуют соответствующие обозначения.

Продемонстрируем обозначения на примере. Антисимметризуем тензор типа (0,3) ${\displaystyle \omega _{abc}}$, куда ${\displaystyle \Sigma _{3}}$ - симметрическая группа на трех элементах.

${\displaystyle \omega _{[abc]}:={\frac {1}{3!}}\sum _{\sigma \in \Sigma _{3}}(-1)^{{\text{sgn}}(\sigma )}\omega _{\sigma (a)\sigma (b)\sigma (c)}}$

Точно так же мы можем симметризовать:

${\displaystyle \omega _{(abc)}:={\frac {1}{3!}}\sum _{\sigma \in \Sigma _{3}}\omega _{\sigma (a)\sigma (b)\sigma (c)}}$

Смотрите также

• Графическое обозначение Пенроуза
• Обозначения Эйнштейна
• Обозначение индекса
• Тензор
• Антисимметричный тензор
• Повышение и понижение показателей
• Ковариация и контравариантность векторов

Рекомендации

• Роджер Пенроуз, Дорога к реальности: полное руководство по законам Вселенной, 2004, есть глава, объясняющая это.
• Роджер Пенроуз и Вольфганг Риндлер, Спиноры и пространство-время, том I, двухспиновое исчисление и релятивистские поля.