Квантовые финансы - Quantum finance

Квантовые финансы - это междисциплинарная область исследований, в которой используются теории и методы, разработанные квантовыми физиками и экономистами для решения финансовых проблем. Это филиал эконофизика.

Справочная информация о ценообразовании на инструменты

Теория финансов во многом основана на ценообразовании финансовых инструментов, таких как фондовый опцион ценообразование. Многие проблемы, с которыми сталкивается финансовое сообщество, не имеют известного аналитического решения. В результате численные методы и компьютерное моделирование для решения этих проблем получили распространение. Эта область исследований известна как вычислительные финансы. Многие вычислительные финансовые проблемы имеют высокую степень вычислительной сложности и медленно сходятся к решению на классических компьютерах. В частности, когда дело доходит до ценообразования опционов, возникает дополнительная сложность, связанная с необходимостью реагировать на быстро меняющиеся рынки. Например, чтобы воспользоваться опционами на акции с неточной оценкой, расчет должен завершиться до следующего изменения на почти постоянно меняющемся фондовом рынке. В результате финансовое сообщество всегда ищет способы преодолеть возникающие проблемы с производительностью, возникающие при ценообразовании. Это привело к исследованиям, в которых к финансам применяются альтернативные вычислительные методы.

Справочная информация о квантовых финансах

Одна из этих альтернатив - квантовые вычисления. Так же, как физические модели превратились из классических в квантовые, произошли и вычисления. Было доказано, что квантовые компьютеры превосходят классические компьютеры, когда дело доходит до моделирования квантовой механики.[1] а также для нескольких других алгоритмов, таких как Алгоритм Шора для факторизации и Алгоритм Гровера для квантового поиска, что делает их привлекательной областью для исследований при решении финансовых задач.

Квантовая непрерывная модель

Большинство исследований ценообразования квантовых опционов обычно фокусируется на квантовании классических Уравнение Блэка – Шоулза – Мертона с точки зрения непрерывных уравнений, таких как Уравнение Шредингера. Haven опирается на работы Чена и других,[2] но рассматривает рынок с точки зрения Уравнение Шредингера.[3] Ключевой посыл в работе Хейвена заключается в том, что уравнение Блэка – Шоулза – Мертона на самом деле является частным случаем уравнения Шредингера, в котором предполагается, что рынки эффективны. Уравнение на основе Шредингера, которое выводит Хейвен, имеет параметр ħ (не путать с комплексным сопряжением h), который представляет величину арбитража, которая присутствует на рынке в результате различных источников, включая бесконечно быстрые изменения цен, не бесконечно быстрое распространение информации и неравное благосостояние трейдеров. Хейвен утверждает, что, правильно установив это значение, можно получить более точную цену опциона, потому что в действительности рынки не являются действительно эффективными.

Это одна из причин, почему модель ценообразования квантовых опционов может быть более точной, чем классическая. Бааки опубликовал множество статей по квантовым финансам и даже написал книгу, в которой многие из них собраны вместе.[4][5] Ядром исследований Бааки и других исследователей, таких как Матач, являются интегралы по путям Фейнмана.[6]

Бааки применяет интегралы по путям к нескольким экзотические варианты и представляет аналитические результаты, сравнивая свои результаты с результатами уравнения Блэка-Шоулза-Мертона, показывая, что они очень похожи. Piotrowski et al. воспользуйтесь другим подходом, изменив предположение Блэка – Шоулза – Мертона относительно поведения акций, лежащих в основе опциона.[7] Вместо того, чтобы предполагать, что это следует Винер – Башелье процесс,[8] они предполагают, что это следует Процесс Орнштейна – Уленбека.[9] С учетом этого нового предположения они выводят модель квантового финансирования, а также формулу европейского опциона колл.

Другие модели, такие как Халл – Уайт и Кокс – Ингерсолл – Росс, успешно использовали тот же подход в классических условиях с производными процентной ставки.[10][11] Хренников опирается на работы Хейвена и других и поддерживает идею о том, что предположение о рыночной эффективности, сделанное уравнением Блэка – Шоулза – Мертона, может быть неуместным.[12] Чтобы поддержать эту идею, Хренников опирается на структуру контекстных вероятностей, используя агентов как способ преодоления критики применения квантовой теории к финансам. Аккарди и Букас снова квантуют уравнение Блэка – Шоулза – Мертона, но в этом случае они также считают, что лежащий в основе фонд имеет как броуновский, так и пуассоновский процессы.[13]

Квантовая биномиальная модель

Чен опубликовал статью в 2001 году,[2] где он представляет квантовую биномиальную модель ценообразования или сокращенно квантовую биномиальную модель. Образно говоря, квантово-биномиальная модель ценообразования Чена (далее именуемая квантовой биномиальной моделью) является по отношению к существующим квантовым финансовым моделям тем же самым, что и модель Кокса – Росса – Рубинштейна. классическая биномиальная модель ценообразования опционов была к модели Блэка – Шоулза – Мертона: дискретная и более простая версия того же результата. Эти упрощения упрощают не только анализ соответствующих теорий, но и их реализацию на компьютере.

Многоступенчатая квантовая биномиальная модель

В многоэтапной модели квантовая формула ценообразования выглядит так:

что эквивалентно Коксу – Россу – Рубинштейну биномиальная модель ценообразования опционов формула следующим образом:

Это показывает, что если предположить, что поведение акций соответствует классической статистике Максвелла – Больцмана, квантовая биномиальная модель действительно коллапсирует до классической биномиальной модели.

Квантовая волатильность по Мейеру выглядит следующим образом:[14]

Предположение Бозе – Эйнштейна

Статистику Максвелла – Больцмана можно заменить квантовой статистикой Бозе – Эйнштейна, что приведет к следующей формуле цены опциона:

Уравнение Бозе – Эйнштейна дает цены опционов, которые при определенных обстоятельствах будут отличаться от тех, которые рассчитываются по формуле ценообразования опционов Кокса – Росса – Рубинштейна. Это связано с тем, что акция рассматривается как квантовая бозонная частица, а не как классическая частица.

Квантовый алгоритм ценообразования производных финансовых инструментов

Ребентрост показал в 2018 году, что существует алгоритм для квантовых компьютеров, позволяющий оценивать производные финансовые инструменты с преимуществом квадратного корня по сравнению с классическими методами.[15] Это событие знаменует переход от использования квантовой механики для понимания финансовых вычислений к использованию квантовых систем - квантовых компьютеров для выполнения этих вычислений.

Рекомендации

  1. ^ Б. Богосян (1998). «Моделирование квантовой механики на квантовом компьютере». Physica D Нелинейные явления. 120 (1–2): 30–42. arXiv:Quant-ph / 9701019. Bibcode:1998PhyD..120 ... 30B. Дои:10.1016 / S0167-2789 (98) 00042-6. S2CID  6052092.
  2. ^ а б Цзэцянь Чен (2004). «Квантовая теория для биномиальной модели в теории финансов». Журнал системной науки и сложности. arXiv:Quant-ph / 0112156. Bibcode:2001quant.ph.12156C.
  3. ^ Хейвен, Эммануэль (2002). «Обсуждение внедрения модели ценообразования опционов Блэка – Шоулза в квантовую физику». Physica A: Статистическая механика и ее приложения. 304 (3–4): 507–524. Bibcode:2002PhyA..304..507H. Дои:10.1016 / S0378-4371 (01) 00568-4.
  4. ^ Baaquie, Belal E .; Кориано, Клаудио; Срикант, Маракани (2002). «Квантовая механика, интегралы по путям и ценообразование: уменьшение сложности финансов». Нелинейная физика. Нелинейная физика - теория и эксперимент II. п. 8191. arXiv:cond-mat / 0208191. Bibcode:2003npte.conf..333B. Дои:10.1142/9789812704467_0046. ISBN  978-981-238-270-2. S2CID  14095958.
  5. ^ Бааки, Белал (2004). Квантовые финансы: интегралы по траекториям и гамильтонианы для опционов и процентных ставок. Издательство Кембриджского университета. п. 332. ISBN  978-0-521-84045-3.
  6. ^ Матач, Эндрю (2002). «Оценка опционов в зависимости от пути, метод частичного усреднения с интегралом по пути». Журнал вычислительных финансов. arXiv:cond-mat / 0005319. Bibcode:2000секунд .. 5319M. Цитировать журнал требует | журнал = (помощь)
  7. ^ Пиотровски, Эдвард У .; Шредер, Малгожата; Замбжицкая, Анна (2006). «Квантовое расширение европейского ценообразования опционов на основе процесса Орнштейна Уленбека». Physica A. 368 (1): 176–182. arXiv:Quant-ph / 0510121. Bibcode:2006ФиА..368..176П. Дои:10.1016 / j.physa.2005.12.021. S2CID  14209173.
  8. ^ Халл, Джон (2006). Опционы, фьючерсы и другие производные инструменты. Река Аппер Сэдл, штат Нью-Джерси: Пирсон / Прентис Холл. ISBN  978-0-13-149908-9.
  9. ^ Uhlenbeck, G.E .; Орнштейн, Л. С. (1930). «К теории броуновского движения». Phys. Rev. 36 (5): 823–841. Bibcode:1930ПхРв ... 36..823У. Дои:10.1103 / PhysRev.36.823.
  10. ^ «Ценообразование опционов на максимальные и минимальные процентные ставки с использованием модели Халла – Уайта». Передовые стратегии управления финансовыми рисками. 1990 г. Цитировать журнал требует | журнал = (помощь)
  11. ^ «Теория временной структуры процентных ставок». Физика А. 1985. Цитировать журнал требует | журнал = (помощь)
  12. ^ Хренников, Андрей (2007). «Классическая и квантовая случайность и финансовый рынок». arXiv:0704.2865 [q-fin.ST ].
  13. ^ Аккарди, Луиджи; Букас, Андреас (2007). «Квантовое уравнение Блэка-Шоулза». arXiv:0706.1300 [q-fin.PR ].
  14. ^ Кейт Мейер (2009). Расширение и моделирование модели ценообразования квантовых биномиальных опционов. Университет Манитобы.
  15. ^ Ребентрост, Патрик; Гупт, Браеш; Бромли, Томас Р. (30 апреля 2018 г.). «Квантовые вычислительные финансы: ценообразование по методу Монте-Карло на производные финансовые инструменты». Физический обзор A. 98 (2): 022321. arXiv:1805.00109. Bibcode:2018PhRvA..98b2321R. Дои:10.1103 / PhysRevA.98.022321. S2CID  73628234.

внешняя ссылка