Гипотеза SYZ - SYZ conjecture - Wikipedia

В Гипотеза SYZ это попытка понять зеркальная симметрия гипотеза, проблема теоретической физики и математики. Первоначальная гипотеза была предложена в статье Strominger, Яу, и Заслоу под названием «Зеркальная симметрия Т-двойственность ».^[1]

Вместе с гипотеза о гомологической зеркальной симметрии, это один из наиболее изученных инструментов, применяемых для математического понимания зеркальной симметрии. В то время как гомологическая зеркальная симметрия основана на гомологическая алгебра, гипотеза SYZ является геометрической реализацией зеркальной симметрии.

Формулировка

В теория струн, зеркальная симметрия связывает тип IIA и тип IIB теории. Он предсказывает, что эффективная теория поля типа IIA и типа IIB должна быть одинаковой, если две теории компактифицированы на зеркальных парных многообразиях.

Гипотеза SYZ использует этот факт для реализации зеркальной симметрии. Это начинается с рассмотрения BPS государства теорий типа IIA, компактифицированных на Икс, особенно 0-браны который имеет пространство модулей Икс. Известно, что все состояния BPS теорий типа IIB компактифицировались на Y находятся 3-браны. Следовательно, зеркальная симметрия отобразит 0-браны теорий типа IIA в подмножество 3-бран теорий типа IIB.

С учетом суперсимметричный условиях было показано, что эти 3-браны должны быть специальные лагранжевы подмногообразия.^[2][3] С другой стороны, Т-дуальность делает то же самое преобразование в этом случае, таким образом, «зеркальная симметрия есть T-дуальность».

Математическое утверждение

Первоначальное предложение гипотезы SYZ Строминджера, Яу и Заслоу не было точным математическим утверждением.^[1] Одна часть математического решения гипотезы SYZ состоит в том, чтобы в некотором смысле правильно сформулировать формулировку самой гипотезы. В математической литературе нет согласованного точного утверждения гипотезы, но есть общее утверждение, которое, как ожидается, будет близко к правильной формулировке гипотезы, представленной здесь.^[4][5] Это утверждение подчеркивает топологическую картину зеркальной симметрии, но не дает точной характеристики взаимосвязи между сложной и симплектической структурами зеркальных пар или ссылки на связанные Римановы метрики участвует.

Гипотеза SYZ: Каждое 6-мерное многообразие Калаби – Яу ${\displaystyle X}$ имеет зеркальное 6-мерное многообразие Калаби – Яу ${\displaystyle {\hat {X}}}$ такие, что есть непрерывные сюръекции ${\displaystyle f:X\to B}$, ${\displaystyle {\hat {f}}:{\hat {X}}\to B}$ компактному топологическому многообразию ${\displaystyle B}$ размерности 3, такой что

1. Существует плотное открытое подмножество ${\displaystyle B_{\text{reg}}\subset B}$ на которых карты ${\displaystyle f,{\hat {f}}}$ находятся расслоения неособым специальный лагранжиан 3-торы. Кроме того, для каждой точки ${\displaystyle b\in B_{\text{reg}}}$, слои тора ${\displaystyle f^{-1}(b)}$ и ${\displaystyle {\hat {f}}^{-1}(b)}$ должны быть в некотором смысле двойственны друг другу, аналогично двойственность абелевых многообразий.
2. Для каждого ${\displaystyle b\in B\backslash B_{\text{reg}}}$, волокна ${\displaystyle f^{-1}(b)}$ и ${\displaystyle {\hat {f}}^{-1}(b)}$ должны быть сингулярными 3-мерными специальными лагранжевыми подмногообразиями ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle {\hat {X}}}$ соответственно.

Схема специального лагранжевого расслоения на тор. Волокна ${\displaystyle f:X\to B}$ над пунктами в ${\displaystyle B_{\text{reg}}}$ являются 3-торами, а над особым множеством ${\displaystyle B\backslash B_{\text{reg}}}$ слой может быть, возможно, особенным специальным лагранжевым подмногообразием ${\displaystyle L}$.

Ситуация, в которой ${\displaystyle B_{\text{reg}}=B}$ так, чтобы не было особого локуса, называется полу-плоский предел гипотезы SYZ, и часто используется как модельная ситуация для описания расслоений тора. Можно показать, что гипотеза SYZ верна в некоторых простых случаях полуплоских пределов, например, заданных формулой Абелевы разновидности и K3 поверхности которые расслоены эллиптические кривые.

Ожидается, что правильная формулировка гипотезы SYZ будет несколько отличаться от приведенного выше утверждения. Например, возможное поведение особого множества ${\displaystyle B\backslash B_{\text{reg}}}$ не совсем понятен, и этот набор может быть довольно большим по сравнению с ${\displaystyle B}$. Зеркальная симметрия также часто выражается в терминах вырождающихся семейств многообразий Калаби – Яу, а не в терминах одного Калаби – Яу, и можно было бы ожидать, что гипотеза SYZ будет переформулирована более точно на этом языке.^[4]

Рекомендации

1. Строминджер, Эндрю; Яу, Шинг-Тунг; Заслоу, Эрик (1996), "Зеркальная симметрия Т-двойственность », Ядерная физика B, 479 (1–2): 243–259, arXiv:hep-th / 9606040, Bibcode:1996НуФБ.479..243С, Дои:10.1016/0550-3213(96)00434-8.
2. Беккер, Катрин; Беккер, Мелани; Строминджер, Эндрю (1995), "Fivebranes, мембраны и непертурбативная теория струн", Ядерная физика B, 456 (1–2): 130–152, arXiv:hep-th / 9507158, Bibcode:1995НуФБ.456..130Б, Дои:10.1016/0550-3213(95)00487-1.
3. Харви, Риз; Лоусон, Х. Блейн младший (1982), "Калиброванные геометрии", Acta Mathematica, 148 (1): 47–157, Дои:10.1007 / BF02392726.
4. Гросс, М., Хайбрехтс, Д. и Джойс, Д., 2012. Многообразия Калаби-Яу и связанные с ними геометрии: лекции в летней школе в Нордфьордейде, Норвегия, июнь 2001 г. Springer Science & Business Media.
5. Гросс, М., 2012. Зеркальная симметрия и гипотеза Строминджера-Яу-Заслоу. Текущие достижения в математике, 2012 (1), стр.133-191.