N = 4 суперсимметричная теория Янга – Миллса - N = 4 supersymmetric Yang–Mills theory

N = 4 суперсимметричных Янга – Миллса (SYM) теория математический и физическая модель создан для изучения частиц с помощью простой системы, похожей на теория струн, с конформная симметрия. Это упрощенный теория игрушек на основе Теория Янга – Миллса который не описывает реальный мир, но полезен, потому что он может служить полигоном для подходов к решению проблем в более сложных теориях.^[1] Он описывает вселенную, содержащую бозонные поля и фермионные поля которые связаны соотношением 4 суперсимметрии (это означает, что замена бозонного, фермионного и скалярного полей определенным образом оставляет предсказания теории неизменными). Это одна из простейших (потому что у нее нет свободных параметров, кроме калибровочной группы) и одна из немногих конечных квантовых теорий поля в 4 измерениях. Ее можно рассматривать как наиболее симметричную теорию поля, не использующую гравитацию.

Лагранжиан

В Лагранжиан для теории^[2]

${\displaystyle L=\operatorname {tr} \left\{-{\frac {1}{2g^{2}}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }+{\frac {\theta _{I}}{8\pi ^{2}}}F_{\mu \nu }{\bar {F}}^{\mu \nu }-i{\overline {\lambda }}^{a}{\overline {\sigma }}^{\mu }D_{\mu }\lambda _{a}-D_{\mu }X^{i}D^{\mu }X^{i}+gC_{i}^{ab}\lambda _{a}[X^{i},\lambda _{b}]+g{\overline {C}}_{iab}{\overline {\lambda }}^{a}[X^{i},{\overline {\lambda }}^{b}]+{\frac {g^{2}}{2}}[X^{i},X^{j}]^{2}\right\},}$

куда${\displaystyle F_{\mu \nu }^{k}=\partial _{\mu }A_{\nu }^{k}-\partial _{\nu }A_{\mu }^{k}+f^{klm}A_{\mu }^{l}A_{\nu }^{m}}$и индексы я,j = 1, ..., 6, а также а, б = 1, ..., 4. ${\displaystyle f}$ представляет собой структурные константы конкретной калибровочной группы. ${\displaystyle C_{i}^{ab}}$ представляет собой структурные константы R-симметрия группа SU (4), которая вращает 4 суперсимметрии. Как следствие теоремы о неперенормировке, эта суперсимметричная теория поля на самом деле суперконформная теория поля.

Десятимерный лагранжиан

Вышеупомянутый лагранжиан можно найти, начав с более простого десятимерного лагранжиана

${\displaystyle L=\operatorname {tr} \left\{{\frac {1}{g^{2}}}F_{IJ}F^{IJ}-i{\bar {\lambda }}\Gamma ^{I}D_{I}\lambda \right\},}$

где I и J теперь проходят от 0 до 9 и ${\displaystyle \Gamma ^{I}}$ - это гамма-матрицы 32 на 32 ${\displaystyle (32=2^{10/2})}$с последующим добавлением термина с ${\displaystyle \theta _{I}}$ который является топологический термин.

Компоненты ${\displaystyle A_{i}}$ калибровочного поля для я = От 4 до 9 становятся скалярами после удаления дополнительных измерений. Это также дает интерпретацию SO (6) R-симметрии как вращения в сверхкомпактных измерениях.

Компактификацией на Т⁶, все наддув сохраняются, давая N = 4 в 4-мерной теории.

А Теория струн типа IIB Интерпретация теории - это теория мирового объема стека D3-браны.

S-дуальность

Основная статья: S-дуальность

Основная статья: Двойственность Монтонена-Олива

Константы связи ${\displaystyle \theta _{I}}$ и ${\displaystyle g}$ естественно соединить вместе в форме:

${\displaystyle \tau ={\frac {\theta }{2\pi }}+{\frac {4\pi i}{g^{2}}}.}$

В теории есть симметрии, которые меняют ${\displaystyle \tau }$ целыми числами. В Гипотеза S-двойственности говорит, что есть также симметрия, которая отправляет:${\displaystyle \tau \mapsto {\frac {-1}{n_{G}\tau }}}$ а также переключение группы ${\displaystyle G}$ к его Двойная группа Ленглендса.

AdS / CFT корреспонденция

Основная статья: AdS / CFT корреспонденция

Эта теория важна также в контексте голографический принцип. Существует двойственность между Теория струн типа IIB в AdS₅ × S⁵ пространство (произведение 5-мерного пространства AdS на 5-мерное сфера ) и N = 4 супер Янга – Миллса на 4-мерной границе AdS₅. Однако эта конкретная реализация соответствия AdS / CFT не является реалистичной моделью гравитации, поскольку гравитация в нашей Вселенной четырехмерна. Несмотря на это, соответствие AdS / CFT является наиболее удачной реализацией голографического принципа, спекулятивной идеей о квантовая гравитация первоначально предложенный Жерар т Хофт, который расширял работы по термодинамике черных дыр, и был улучшен и продвинут в контексте теории струн Леонард Сасскинд.

Интегрируемость

Есть свидетельства того, что N = 4 суперсимметричная теория Янга – Миллса имеет интегрируемую структуру в плоской большой N предел.^[3] Как количество цветов (также обозначается N) стремится к бесконечности, амплитуды масштабируются как ${\displaystyle N^{2-2g}}$, так что только род 0 (плоский граф) вклад выживает. Плоская теория Янга – Миллса это теория с очень большим (бесконечным) количеством цветов.

А планарный предел - предел, в котором в амплитудах рассеяния доминируют Диаграммы Фейнмана которым можно придать структуру планарных графов.^[4]

Beisert et al. дайте обзорную статью, демонстрирующую, как в этой ситуации локальные операторы могут быть выражены через определенные состояния в "спиновых" цепочках, но на основе большего Супералгебры Ли вместо SU (2) для обычного спина. Они поддаются Бете анзац техники. Они также создают действие связанных Янгиан на амплитуды рассеяния.^[5]

Нима Аркани-Хамед и другие. также исследовали эту тему. С помощью твисторная теория, они находят описание ( амплитуэдр формализм) с точки зрения положительного Грассманиан.^[6]

Отношение к 11-мерной М-теории

N = 4 супер Янга – Миллса можно вывести из более простой 10-мерной теории, но все же супергравитация и М-теория существуют в 11 измерениях. Связь состоит в том, что если калибровочная группа U (N) SYM становится бесконечным при ${\displaystyle N\rightarrow \infty }$ она становится эквивалентом 11-мерной теории, известной как матричная теория.^{[нужна цитата ]}

Смотрите также

• 6D (2,0) суперконформная теория поля
• Расширенная суперсимметрия

Рекомендации

Цитаты

1. Мэтт фон Хиппель (21.05.2013). «Получение степени доктора философии, изучая заведомо ложную теорию». Ars Technica.
2. Люк Вассинк (2009). "N = 4 Теория Супер Янга – Миллса " (PDF). Архивировано из оригинал (PDF) на 2014-05-31. Получено 2013-05-22.
3. Мартин Аммон, Йоханна Эрдменгер, Калибровочная / гравитационная дуальность: основы и приложения, Cambridge University Press, 2015, стр. 240.
4. планарный предел в nLab
5. Бейсерт, Никлас (январь 2012 г.). «Обзор интегрируемости AdS / CFT: обзор». Письма по математической физике. 99: 425. arXiv:1012.4000. Bibcode:2012LMaPh..99..425K. Дои:10.1007 / s11005-011-0516-7.
6. Нима Аркани-Хамед; Bourjaily, Jacob L .; Фредди Качазо; Гончаров, Александр Б .; Александр Постников; Ярослав Трнка (2012). «Амплитуды рассеяния и положительный грассманиан». arXiv:1212.5605 [hep-th ].

Источники

• Капустин, Антон; Виттен, Эдвард (2007). «Электромагнитная двойственность и геометрическая программа Ленглендса». Коммуникации в теории чисел и физике. 1 (1): 1–236. arXiv:hep-th / 0604151. Bibcode:2007CNTP .... 1 .... 1K. Дои:10.4310 / cntp.2007.v1.n1.a1.