Уравнения Янга – Миллса - Yang–Mills equations

В этой статье уравнения Янга – Миллса рассматриваются с математической точки зрения. С точки зрения физики см. Теория Янга – Миллса

В физика и математика, и особенно дифференциальная геометрия и калибровочная теория, то Уравнения Янга – Миллса являются системой уравнения в частных производных для связь на векторный набор или же основной пакет. Уравнения Янга – Миллса возникают в физике как Уравнения Эйлера – Лагранжа. из Функционал действия Янга – Миллса. Однако уравнения Янга – Миллса независимо друг от друга нашли значительное применение в математике.

Решения уравнений Янга – Миллса называются Связи Янга – Миллса или же инстантоны. В пространство модулей инстантонов использовали Саймон Дональдсон чтобы доказать Теорема Дональдсона.

Мотивация

Физика

В своей фундаментальной статье по теме калибровочных теорий Роберт Миллс и Чен Ян развил по существу независимо от математической литературы теорию главных связок и связей, чтобы объяснить концепцию калибровочная симметрия и калибровочная инвариантность применительно к физическим теориям.^[1] Калибровочные теории, открытые Янгом и Миллсом, теперь называются Теории Янга – Миллса, обобщил классическую работу Джеймс Максвелл на Уравнения Максвелла, которые были сформулированы на языке ${\displaystyle \operatorname {U} (1)}$ калибровочная теория Вольфганг Паули и другие.^[2] Новизна работы Янга и Миллса заключалась в определении калибровочных теорий для произвольного выбора Группа Ли ${\displaystyle G}$, называется структурная группа (или в физике группа датчиков, видеть Калибровочная группа (математика) Больше подробностей). Эта группа могла быть неабелевой, в отличие от случая ${\displaystyle G=\operatorname {U} (1)}$ соответствующих электромагнетизму, и подходящей основой для обсуждения таких объектов является теория основные связки.

Существенные моменты работы Янга и Миллса заключаются в следующем. Предполагается, что фундаментальное описание физической модели происходит через использование поля, и выводит, что под преобразование локальной калибровки (изменение локальной тривиализации главного расслоения), эти физические поля должны преобразовываться точно так же, как связь ${\displaystyle A}$ (в физике калибровочное поле) на главном расслоении преобразуется. В измерить напряженность поля это кривизна ${\displaystyle F_{A}}$ связи, а энергия калибровочного поля задается (с точностью до константы) функционалом действия Янга – Миллса

${\displaystyle \operatorname {YM} (A)=\int _{X}\|F_{A}\|^{2}\,d\mathrm {vol} _{g}.}$

В принцип наименьшего действия диктует, что правильный уравнения движения для этой физической теории должно быть дано Уравнения Эйлера – Лагранжа. этого функционала, которые являются уравнениями Янга – Миллса, полученными ниже:

${\displaystyle d_{A}\star F_{A}=0.}$

Математика

Помимо физических истоков теории, уравнения Янга – Миллса представляют важный геометрический интерес. В общем случае нет естественного выбора связности на векторном расслоении или главном расслоении. В частном случае, когда этот комплект является касательный пучок к Риманово многообразие, есть такой естественный выбор, Леви-Чивита связь, но в целом существует бесконечномерное пространство возможных выборов. Связность Янга – Миллса дает некоторый вид естественного выбора связности для общего расслоения, как мы сейчас опишем.

Связь определяется своими локальными формами ${\displaystyle A_{\alpha }\in \Omega ^{1}(U_{\alpha },\operatorname {ad} (P))}$ для банальной открытой обложки ${\displaystyle \{U_{\alpha }\}}$ для связки ${\displaystyle P\to X}$. Первой попыткой выбора канонической связи может быть требование, чтобы эти формы исчезли. Однако это невозможно, если тривиализация не является плоской в ​​том смысле, что функции перехода ${\displaystyle g_{\alpha \beta }:U_{\alpha }\cap U_{\beta }\to G}$ - постоянные функции. Не все комплекты плоские, поэтому в целом это невозможно. Вместо этого можно спросить, что формы локального подключения ${\displaystyle A_{\alpha }}$ сами по себе постоянны. На главном расслоении правильнее сформулировать это условие так: кривизна ${\displaystyle F_{A}=dA+{\frac {1}{2}}[A,A]}$ исчезает. Однако по Теория Черна – Вейля если кривизна ${\displaystyle F_{A}}$ исчезает (то есть ${\displaystyle A}$ это плоское соединение), то основное основное расслоение должно иметь тривиальное Классы Черна, который является топологическое препятствие к существованию плоских соединений: не каждая основная связка может иметь плоское соединение.

Лучшее, на что можно надеяться, - это спросить, что вместо исчезающей кривизны пучок имеет кривизну как можно меньше. Описанный выше функционал действия Янга – Миллса - это в точности (квадрат) ${\displaystyle L^{2}}$-норма кривизны, и ее уравнения Эйлера – Лагранжа описывают критические точки этого функционала, либо абсолютные минимумы, либо локальные минимумы. Другими словами, связи Янга – Миллса - это именно те соединения, которые минимизируют их кривизну. В этом смысле они являются естественным выбором связности на главном или векторном расслоении над многообразием с математической точки зрения.

Определение

Позволять ${\displaystyle X}$ быть компактный, ориентированный, Риманово многообразие. Уравнения Янга – Миллса можно сформулировать для связности на векторном расслоении или главном ${\displaystyle G}$- связать ${\displaystyle X}$, для компактного Группа Ли ${\displaystyle G}$. Здесь представлена ​​последняя конвенция. Позволять ${\displaystyle P}$ обозначить принципала ${\displaystyle G}$- связать ${\displaystyle X}$. Затем связь на ${\displaystyle P}$ может быть определено Алгебразначная дифференциальная форма Ли ${\displaystyle A}$ на общем пространстве главного расслоения. Это соединение имеет форма кривизны ${\displaystyle F_{A}}$, который является двойная форма на ${\displaystyle X}$ со значениями в сопряженный пучок ${\displaystyle \operatorname {ad} (P)}$ из ${\displaystyle P}$. Связано с подключением ${\displaystyle A}$ является внешняя ковариантная производная ${\displaystyle d_{A}}$, определенная на присоединенном расслоении. Кроме того, поскольку ${\displaystyle G}$ компактен, ассоциированный с ним компактная алгебра Ли допускает инвариант внутренний продукт под присоединенное представительство.

С ${\displaystyle X}$ является римановым, на котангенсный пучок, и в сочетании с инвариантным внутренним произведением на ${\displaystyle \operatorname {ad} (P)}$ в комплекте есть внутренний продукт ${\displaystyle \operatorname {ad} (P)\otimes \Lambda ^{2}T^{*}X}$ из ${\displaystyle \operatorname {ad} (P)}$-значные двухбланки на ${\displaystyle X}$. С ${\displaystyle X}$ ориентирована, есть ${\displaystyle L^{2}}$-внутренний товар по разделам этого набора. А именно,

${\displaystyle \langle s,t\rangle _{L^{2}}=\int _{X}\langle s,t\rangle \,dvol_{g}}$

где внутри интеграла используется пакетный внутренний продукт, и ${\displaystyle dvol_{g}}$ это Риманова форма объема из ${\displaystyle X}$. Используя это ${\displaystyle L^{2}}$-внутренний продукт, формальный сопряженный оператор из ${\displaystyle d_{A}}$ определяется

${\displaystyle \langle d_{A}s,t\rangle _{L^{2}}=\langle s,d_{A}^{*}t\rangle _{L^{2}}}$.

Явно это дается ${\displaystyle d_{A}^{*}=\pm \star d_{A}\star }$ куда ${\displaystyle \star }$ это Звездный оператор Ходжа действуя на двух формах.

Если исходить из приведенной выше схемы, уравнения Янга – Миллса представляют собой систему (в общем нелинейных) дифференциальных уравнений в частных производных, задаваемых формулой

${\displaystyle d_{A}^{*}F_{A}=0.}$[3]

(1)

Поскольку звезда Ходжа является изоморфизмом, по явной формуле для ${\displaystyle d_{A}^{*}}$ уравнения Янга – Миллса эквивалентно записываются

${\displaystyle d_{A}\star F_{A}=0.}$

(2)

Связь, удовлетворяющая (1) или же (2) называется Связь Янга – Миллса.

Каждое соединение автоматически удовлетворяет Бьянки идентичность ${\displaystyle d_{A}F_{A}=0}$, поэтому связи Янга – Миллса можно рассматривать как нелинейный аналог гармонические дифференциальные формы, которые удовлетворяют

${\displaystyle d\omega =d^{*}\omega =0}$.

В этом смысле поиск связей Янга – Миллса можно сравнить с Теория Ходжа, который ищет гармоничного представителя в когомологии де Рама класс дифференциальной формы. Аналогия состоит в том, что связность Янга – Миллса подобна гармоническому представителю во множестве всех возможных связностей на главном расслоении.

Вывод

Уравнения Янга – Миллса - это уравнения Эйлера – Лагранжа Функционал Янга – Миллса, определяется

${\displaystyle \operatorname {YM} (A)=\int _{X}\|F_{A}\|^{2}\,d\mathrm {vol} _{g}.}$

(3)

Чтобы вывести уравнения из функционала, напомним, что пространство ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ всех подключений на ${\displaystyle P}$ является аффинное пространство моделируется в векторном пространстве ${\displaystyle \Omega ^{1}(P;{\mathfrak {g}})}$. Учитывая небольшую деформацию ${\displaystyle A+ta}$ связи ${\displaystyle A}$ в этом аффинном пространстве кривизны связаны соотношением

${\displaystyle F_{A+ta}=F_{A}+td_{A}a+t^{2}a\wedge a.}$

Чтобы определить критические точки из (3), вычислить

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\left(\operatorname {YM} (A+ta)\right)_{t=0}&={\frac {d}{dt}}\left(\int _{X}\langle F_{A}+t\,d_{A}a+t^{2}a\wedge a,F_{A}+t\,d_{A}a+t^{2}a\wedge a\rangle \,d\mathrm {vol} _{g}\right)_{t=0}\\&={\frac {d}{dt}}\left(\int _{X}\|F_{A}\|^{2}+2t\langle F_{A},d_{A}a\rangle +2t^{2}\langle F_{A},a\wedge a\rangle +t^{4}\|a\wedge a\|^{2}\,d\mathrm {vol} _{g}\right)_{t=0}\\&=2\int _{X}\langle d_{A}^{*}F_{A},a\rangle \,d\mathrm {vol} _{g}.\end{aligned}}}$

Связь ${\displaystyle A}$ является критической точкой функционала Янга – Миллса тогда и только тогда, когда она обращается в нуль для каждого ${\displaystyle a}$, и это происходит именно тогда, когда (1) доволен.

Пространство модулей связностей Янга – Миллса.

Уравнения Янга – Миллса: калибровочный инвариант. Математически калибровочное преобразование является автоморфизм ${\displaystyle g}$ основного пакета ${\displaystyle P}$, а поскольку внутренний продукт на ${\displaystyle \operatorname {ad} (P)}$ инвариантен, функционал Янга – Миллса удовлетворяет

${\displaystyle \operatorname {YM} (g\cdot A)=\int _{X}\|gF_{A}g^{-1}\|^{2}\,dvol_{g}=\int _{X}\|F_{A}\|^{2}\,d\mathrm {vol} _{g}=\operatorname {YM} (A)}$

и так, если ${\displaystyle A}$ удовлетворяет (1), как и ${\displaystyle g\cdot A}$.

Существует пространство модулей связностей Янга – Миллса по модулю калибровочных преобразований. Обозначим через ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ в группа датчиков автоморфизмов ${\displaystyle P}$. Набор ${\displaystyle {\mathcal {B}}={\mathcal {A}}/{\mathcal {G}}}$ классифицирует все связи по модулю калибровочных преобразований, а пространство модулей ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ связностей Янга – Миллса является подмножеством. В общем ни ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ или же ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ является Хаусдорф или гладкое многообразие. Однако, ограничиваясь неприводимыми связями, то есть связями ${\displaystyle A}$ чей голономия группа представлена ​​всеми ${\displaystyle G}$, получаются хаусдорфовы пространства. Пространство неприводимых связностей обозначается ${\displaystyle {\mathcal {A}}^{*}}$, поэтому пространства модулей обозначаются ${\displaystyle {\mathcal {B}}^{*}}$ и ${\displaystyle {\mathcal {M}}^{*}}$.

Пространства модулей связностей Янга – Миллса интенсивно изучаются в конкретных обстоятельствах. Майкл Атья и Рауль Ботт изучили уравнения Янга – Миллса для расслоений над компактными Римановы поверхности.^[4] Там пространство модулей получает альтернативное описание как пространство модулей голоморфных векторных расслоений. Это Теорема Нарасимхана – Сешадри, который был доказан в этой форме, связывая связности Янга – Миллса с голоморфными векторными расслоениями Дональдсоном.^[5] В этой постановке пространство модулей имеет структуру компактного Кэлерово многообразие. Модули связности Янга – Миллса наиболее изучены, когда размерность базового многообразия ${\displaystyle X}$ четыре.^[3][6] Здесь уравнения Янга – Миллса допускают упрощение от УЧП второго порядка до УЧП первого порядка, т.е. уравнения антиавтодуальности.

Уравнения антиавтодуальности

Когда размер базового коллектора ${\displaystyle X}$ четыре, совпадение происходит. Звездный оператор Ходжа принимает дифференциал ${\displaystyle p}$-формы дифференцировать ${\displaystyle (n-p)}$-формы, где ${\displaystyle \dim X=n}$. Таким образом, в размерности четыре звездный оператор Ходжа отображает две формы в две формы,

${\displaystyle \star :\Omega ^{2}(X)\to \Omega ^{2}(X)}$.

Звездный оператор Ходжа возводится в квадрат в этом случае, и поэтому собственные значения ${\displaystyle 1}$ и ${\displaystyle -1}$. В частности, есть разложение

${\displaystyle \Omega ^{2}(X)=\Omega _{+}(X)\oplus \Omega _{-}(X)}$

в положительные и отрицательные собственные подпространства ${\displaystyle \star }$, то самодвойственный и анти-самодвойственный двухформный. Если подключение ${\displaystyle A}$ по принципу ${\displaystyle G}$-расслоение над четырехмерным многообразием ${\displaystyle X}$ удовлетворяет либо ${\displaystyle F_{A}={\star F_{A}}}$ или же ${\displaystyle F_{A}=-{\star F_{A}}}$, то по (2) связность является связностью Янга – Миллса. Эти соединения называются либо самодвойственные соединения или же анти-самодвойственные соединения, а уравнения уравнения самодуальности (СД) и уравнения антиавтодуальности (ASD).^[3] Пространства самодвойственных и антисамодуальных связностей обозначаются через ${\displaystyle {\mathcal {A}}^{+}}$ и ${\displaystyle {\mathcal {A}}^{-}}$, и аналогично для ${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\pm }}$ и ${\displaystyle {\mathcal {M}}^{\pm }}$.

Пространство модулей ASD-связностей, или инстантонов, наиболее интенсивно изучалось Дональдсоном в случае, когда ${\displaystyle G=\operatorname {SU} (2)}$ и ${\displaystyle X}$ является односвязный.^[7][8][9] В этой обстановке главный ${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$-бандл классифицируется вторым Черн класс, ${\displaystyle c_{2}(P)\in H^{4}(X,\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} }$.^{[Примечание 1]} При различном выборе главного расслоения получаются пространства модулей с интересными свойствами. Эти пространства хаусдорфовы, даже если допускают приводимые связи, и в общем случае гладкие. Дональдсон показал, что гладкая часть ориентируема. Посредством Теорема Атьи – Зингера об индексе, можно вычислить, что размерность ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{k}^{-}}$, пространство модулей соединений ASD при ${\displaystyle c_{2}(P)=k}$, быть

${\displaystyle \dim {\mathcal {M}}_{k}^{-}=8k-3(1-b_{1}(X)+b_{+}(X))}$

куда ${\displaystyle b_{1}(X)}$ это первый Бетти число из ${\displaystyle X}$, и ${\displaystyle b_{+}(X)}$ - размерность положительно определенного подпространства в ${\displaystyle H_{2}(X,\mathbb {R} )}$ с уважением к форма пересечения на ${\displaystyle X}$.^[3] Например, когда ${\displaystyle X=S^{4}}$ и ${\displaystyle k=1}$, форма пересечения тривиальна, а пространство модулей имеет размерность ${\displaystyle \dim {\mathcal {M}}_{1}^{-}(S^{4})=8-3=5}$. Это согласуется с существованием BPST инстантон, который является уникальным инстантоном ASD на ${\displaystyle S^{4}}$ до 5-параметрического семейства, определяющего его центр в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ и его масштаб. Такие инстантоны на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ может быть продолжен через бесконечно удаленную точку с помощью теоремы Уленбека об устранимой особенности.

Приложения

Теорема Дональдсона

Основная статья: Теорема Дональдсона

Пространство модулей уравнений Янга – Миллса было использовано Дональдсоном для доказательства теоремы Дональдсона о форме пересечения односвязных четырехмерных многообразий. Используя аналитические результаты работы Клиффорд Таубс и Карен Уленбек, Дональдсон смог показать, что при определенных обстоятельствах (когда форма пересечения определенный ) пространство модулей инстантонов ASD на гладком компактном ориентированном односвязном четырехмерном многообразии ${\displaystyle X}$ дает кобордизм между копией самого многообразия и несвязным объединением копий комплексная проективная плоскость ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{2}}$.^{[7][10][11][12]} Форма пересечения является кобордизмом, инвариантным с точностью до изоморфизма, показывая, что любое такое гладкое многообразие имеет диагонализуемую форму пересечения.

Пространство модулей инстантонов ASD можно использовать для определения дополнительных инвариантов четырехмерных многообразий. Дональдсон определил рациональные числа, ассоциированные с четырехмерным многообразием, возникающим из спаривания классов когомологий на пространстве модулей.^[9] Впоследствии эта работа была превзойдена Инварианты Зайберга – Виттена..

Редукция размерности и другие пространства модулей

В процессе уменьшения размеров уравнения Янга – Миллса можно использовать для вывода других важных уравнений в дифференциальной геометрии и калибровочной теории. Уменьшение размеров представляет собой процесс принятия уравнений Янга – Миллса над четырехмерным многообразием, обычно ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$, и налагая инвариантность решений относительно группы симметрий. Например:

• Требуя, чтобы уравнения антиавтодуальности были инвариантными относительно сдвигов в одном направлении ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$, получаем Уравнения Богомольного которые описывают магнитные монополи на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$.
• Требуя, чтобы уравнения самодуальности были инвариантными относительно сдвига в двух направлениях, получаем Уравнения Хитчина впервые исследован Хитчин. Эти уравнения естественным образом приводят к изучению Связки Хиггса и Система Хитчина.
• Требуя, чтобы уравнения антиавтодуальности были инвариантными по трем направлениям, получаем Уравнения Нама на антракте.

Существует двойственность между решениями размерно редуцированных уравнений ASD на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ и ${\displaystyle \mathbb {R} }$ называется преобразованием Нама, после Вернер Нахм, который первым описал, как построить монополи из данных уравнения Нама.^[13] Хитчин показал обратное, а Дональдсон доказал, что решения уравнений Нама в дальнейшем могут быть связаны с пространствами модулей рациональные карты от сложная проективная линия себе.^[14][15]

Теоретически наблюдаемая двойственность этих решений верна для произвольных двойственных групп симметрий четырехмерного многообразия. Действительно, существует аналогичная двойственность между инстантонами, инвариантными относительно двойственных решеток внутри ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$, инстантоны на двойственных четырехмерных торах и Конструкция ADHM можно рассматривать как двойственность между инстантонами на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ и двойные алгебраические данные по одной точке.^[3]

Теория Черна – Саймонса

Основная статья: Теория Черна – Саймонса

Пространство модулей уравнений Янга – Миллса над компактной римановой поверхностью ${\displaystyle \Sigma }$ можно рассматривать как конфигурационное пространство из Теория Черна – Саймонса на цилиндре ${\displaystyle \Sigma \times [0,1]}$. В этом случае пространство модулей допускает геометрическое квантование, открытый независимо Найджел Хитчин и Аксельрод – Делла Пьетра–Виттен.^[16][17]

Смотрите также

• Подключение (векторный набор)
• Подключение (основной комплект)
• Теория Дональдсона
• Эрмитовы уравнения Янга – Миллса
• Деформированные эрмитовы уравнения Янга – Миллса.
• Уравнения Янга – Миллса – Хиггса

Примечания

1. Доказательство этого факта см. В сообщении https://mathoverflow.net/a/265399.

Рекомендации

1. Ян, К. and Mills, R.L., 1954. Сохранение изотопического спина и изотопической калибровочной инвариантности. Физический обзор, 96 (1), с.191.
2. Паули, В., 1941. Релятивистские теории поля элементарных частиц. Обзоры современной физики, 13 (3), с.203.
3. Дональдсон, С. К., Дональдсон, С. К., и Кронхеймер, П. Б. (1990). Геометрия четырехмерных многообразий. Издательство Оксфордского университета.
4. Атья М. Ф. и Ботт Р. (1983). Уравнения Янга – Миллса над римановыми поверхностями. Философские труды Лондонского королевского общества. Серия A, Математические и физические науки, 308 (1505), 523–615.
5. Дональдсон, С. К. (1983). Новое доказательство теоремы Нарасимхана и Сешадри. Журнал дифференциальной геометрии, 18 (2), 269–277.
6. Фридман Р. и Морган Дж. У. (1998). Калибровочная теория и топология четырехмерных многообразий (т. 4). Американское математическое общество.
7. Дональдсон, С. К. (1983). Приложение калибровочной теории к четырехмерной топологии. Журнал дифференциальной геометрии, 18 (2), 279–315.
8. Дональдсон, С. К. (1986). Связности, когомологии и формы пересечений 4-многообразий. Журнал дифференциальной геометрии, 24 (3), 275–341.
9. Дональдсон, С. К. (1990). Полиномиальные инварианты для гладких четырехмерных многообразий.Топология, 29 (3), 257–315.
10. Таубес, К. Х. (1982). Самодвойственные связности Янга – Миллса на несамодуальных 4-многообразиях. Журнал дифференциальной геометрии, 17 (1), 139–170.
11. Уленбек, К. К. (1982). Связности с L p границами кривизны. Сообщения по математической физике, 83 (1), 31–42.
12. Уленбек, К. К. (1982). Устранимые особенности в полях Янга – Миллса. Сообщения по математической физике, 83 (1), 11–29.
13. Нахм, В. (1983). Все самодуальные мультимонополи для произвольных калибровочных групп. В «Структурные элементы в физике элементарных частиц и статистической механике» (стр. 301–310). Спрингер, Бостон, Массачусетс.
14. Хитчин, Н. Дж. (1983). О строительстве монополей. Сообщения по математической физике, 89 (2), 145–190.
15. Дональдсон, С. К. (1984). Уравнения Нама и классификация монополей. Сообщения по математической физике, 96 (3), 387–408.
16. Хитчин, Н. Дж. (1990). Плоские связи и геометрическое квантование. Сообщения по математической физике, 131 (2), 347–380.
17. Аксельрод, С., Делла Пьетра, С., и Виттен, Э. (1991). Геометрическое квантование калибровочной теории Черна Саймонса. Представления, 34, 39.