Массивная гравитация - Massive gravity

В теоретическая физика, массивная гравитация это теория сила тяжести что изменяет общая теория относительности наделив гравитон с ненулевым масса. В классической теории это означает, что гравитационные волны подчиняются массивному волновому уравнению и, следовательно, движутся со скоростью ниже скорость света.

Массивная гравитация имеет долгую и извилистую историю, восходящую к 1930-м годам, когда Вольфганг Паули и Маркус Фирц впервые разработал теорию массивного спин-2 поле распространяется по плоское пространство-время фон. Позже в 1970-х годах было осознано, что теории массивного гравитона страдают опасными патологиями, включая режим призрака и разрыв с ОТО в пределе, когда масса гравитона стремится к нулю. Хотя решения этих проблем существовали некоторое время в трех измерениях пространства-времени,^[1][2] они не были решены в четырех измерениях и выше до тех пор, пока работа Клаудиа де Рам, Григорий Габададзе и Эндрю Толли (модель dRGT) в 2010 году.

Одна из самых ранних теорий массивной гравитации была построена в 1965 г. Огиевецкий и Полубаринов (OP).^[3] Несмотря на то, что модель OP совпадает с моделями массивной гравитации без призраков, переоткрытыми в dRGT, модель OP была почти неизвестна среди современных физиков, работающих с массивной гравитацией, возможно потому, что стратегия, использованная в этой модели, сильно отличалась от общепринятой. в настоящий момент.^[4] Массивный двойной сила тяжести к модели OP^[5] может быть получен путем связывания дуального поля гравитона с ротором его собственного тензора энергии-импульса.^[6][7] Поскольку смешанная симметричная напряженность поля дуальной гравитации сравнима с полностью симметричным тензором внешней кривизны теории галилеонов, эффективный лагранжиан дуальной модели в 4-D может быть получен из Рекурсия Фаддеева – Леверье, которая аналогична теории Галилеона с точностью до членов, содержащих полиномы следа напряженности поля.^[8][9] Это также проявляется в двойственной формулировке теории Галилеона.^[10][11]

Тот факт, что общая теория относительности модифицируется на больших расстояниях в массивной гравитации, дает возможное объяснение ускоренного расширения Вселенной, которое не требует каких-либо темная энергия. Массивная гравитация и ее расширения, такие как биметрическая гравитация,^[12] может дать космологические решения, которые действительно показывают ускорение в позднем времени в соответствии с наблюдениями.^[13][14][15]

Наблюдения за гравитационные волны ограничили Комптоновская длина волны гравитона быть λ_грамм > 1.6×10¹⁶ м, что можно интерпретировать как ограничение на массу гравитона м_грамм < 7.7×10⁻²³ эВ /c².^[16] Самые последние наблюдения накладывают новые ограничения на λ_грамм > 1.66×10¹⁶ м за м_грамм < 7.45×10⁻²³ эВ /c² и λ_грамм > 1.83×10¹⁶ м за м_грамм < 6.76×10⁻²³ эВ /c².^[17]

Линеаризованная массивная гравитация

На линейном уровне можно построить теорию массивного вращение -2 поля ${\displaystyle h_{\mu \nu }}$ распространение на Пространство Минковского. Это можно рассматривать как продолжение линеаризованная гравитация следующим образом. Линеаризованная гравитация получается путем линеаризации общей теории относительности вокруг плоского пространства, ${\displaystyle g_{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }+M_{\mathrm {Pl} }^{-1}h_{\mu \nu }}$, куда ${\displaystyle M_{\mathrm {Pl} }=(8\pi G)^{-1/2}}$ это Планковская масса с ${\displaystyle G}$ в гравитационная постоянная. Это приводит к кинетическому члену в лагранжиане для ${\displaystyle h_{\mu \nu }}$ что согласуется с диффеоморфизм инвариантность, а также связь с веществом формы

${\displaystyle h^{\mu \nu }T_{\mu \nu }}$,

куда ${\displaystyle T_{\mu \nu }}$ это тензор энергии-импульса. Комбинация этого кинетического члена и взаимодействия материи есть не что иное, как Действие Эйнштейна – Гильберта линеаризованный о плоском пространстве.

Массивная гравитация получается добавлением непроизводных членов взаимодействия для ${\displaystyle h_{\mu \nu }}$. На линейном уровне (т. Е. Второго порядка по ${\displaystyle h_{\mu \nu }}$) возможны только два массовых члена:

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {int} }=ah^{\mu \nu }h_{\mu \nu }+b\left(\eta ^{\mu \nu }h_{\mu \nu }\right)^{2}.}$

Фирц и Паули^[18] в 1939 году показал, что при этом распространяются только ожидаемые пять поляризаций массивного гравитона (по сравнению с двумя в безмассовом случае), если коэффициенты выбраны так, чтобы ${\displaystyle a=-b}$. Любой другой выбор откроет шестую, призрачную степень свободы. Призрак - это режим с отрицательной кинетической энергией. Его Гамильтониан неограничен снизу и поэтому неустойчиво распадаться на частицы сколь угодно больших положительных и отрицательных энергий. В Массовый член Фирца – Паули,

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {FP} }=m^{2}\left(h^{\mu \nu }h_{\mu \nu }-\left(\eta ^{\mu \nu }h_{\mu \nu }\right)^{2}\right)}$

является единственной последовательной линейной теорией массивного поля спина 2.

Прерывистость ВДВЗ

В 1970-е годы Хендрик ван Дам и Мартинус Дж. Г. Велтман^[19] и, независимо, Валентин Иванович Захаров^[20] обнаружил своеобразное свойство массивной гравитации Фирца – Паули: ее предсказания не сводятся равномерно к предсказаниям общей теории относительности в пределе ${\displaystyle m\to 0}$. В частности, при малых масштабах (короче, чем Комптоновская длина волны массы гравитона), Закон тяготения Ньютона восстанавливается, отклонение света составляет всего три четверти результата Альберт Эйнштейн получено в общей теории относительности. Это известно как ВДВЗ разрыв.

Мы можем понять меньшее отклонение света следующим образом. Массивный гравитон Фирца – Паули из-за разорванной инвариантность к диффеоморфизму, распространяет три дополнительные степени свободы по сравнению с безмассовым гравитоном линеаризованной общей теории относительности. Эти три степени свободы упаковываются в векторное поле, которое не имеет отношения к нашим целям, и скалярное поле. Эта скалярная мода оказывает дополнительное притяжение в массивном случае по сравнению с безмассовым случаем. Следовательно, если кто-то хочет, чтобы измерения силы, действующей между нерелятивистскими массами, согласовывались, константа связи массивной теории должна быть меньше, чем константа безмассовой теории. Но изгиб света не видит скалярный сектор, потому что тензор энергии-импульса света не имеет следов. Следовательно, при условии, что две теории согласуются в силе между нерелятивистскими зондами, массивная теория предсказывала бы меньшее отклонение света, чем безмассовое.

Вайнштейн скрининг

Это утверждал Вайнштейн.^[21] два года спустя, когда разрыв vDVZ является артефактом линейной теории, и что предсказания общей теории относительности фактически восстанавливаются в малых масштабах, если принять во внимание нелинейные эффекты, то есть больше, чем квадратичные члены в ${\displaystyle h_{\mu \nu }}$. Эвристически говоря, в регионе, известном как Радиус Вайнштейна, флуктуации скалярной моды становятся нелинейными, а ее производные высшего порядка становятся больше, чем канонический кинетический член. Таким образом, каноническая нормализация скаляра вокруг этого фона приводит к сильно подавленному кинетическому члену, который гасит флуктуации скаляра в пределах радиуса Вайнштейна. Поскольку дополнительная сила, опосредованная скаляром, пропорциональна (минус) его градиенту, это приводит к гораздо меньшей дополнительной силе, чем мы рассчитали бы, просто используя линейную теорию Фирца – Паули.

Это явление, известное как Вайнштейн скрининг, присутствует не только в массивной гравитации, но и в связанных теориях модифицированной гравитации, таких как DGP и некоторые скалярно-тензорные теории, где это важно для сокрытия эффектов модифицированной гравитации в Солнечной системе. Это позволяет этим теориям соответствовать земные и солнечные системы испытания силы тяжести так же, как и общая теория относительности, сохраняя при этом большие отклонения на больших расстояниях. Таким образом, эти теории могут привести к космическому ускорению и наложить заметные отпечатки на крупномасштабная структура Вселенной не вступая в противоречие с другими, гораздо более строгими ограничениями из наблюдений ближе к дому.

Призрак Boulware-Deser

В ответ на Freund –Махешвари – Шенберг конечная сила тяжести модель,^[22] и примерно одновременно с открытием разрыва vDVZ и механизма Вайнштейна, Дэвид Боулваре и Стэнли Дезер в 1972 г. обнаружил, что общие нелинейные расширения теории Фирца – Паули вновь вводят опасный фантомный режим;^[23] настройка ${\displaystyle a=-b}$ что гарантировало отсутствие этой моды в квадратичном порядке, как они обнаружили, обычно нарушалось на кубическом и более высоких порядках, возвращая призрак в этих порядках. В результате это Boulware – Deser ghost будет присутствовать, например, вокруг сильно неоднородных фонов.

Это проблематично, потому что линеаризованная теория гравитации, такая как Фирц – Паули, хорошо определена сама по себе, но не может взаимодействовать с материей, поскольку связь ${\displaystyle h^{\mu \nu }T_{\mu \nu }}$ нарушает инвариантность диффеоморфизмов. Это необходимо исправить, добавляя новые термины в более высоких и более высоких порядках, до бесконечности. Для безмассового гравитона этот процесс сходится, и конечный результат хорошо известен: мы просто приходим к общей теории относительности. В этом смысл утверждения, что общая теория относительности является единственной теорией (с точностью до условий размерности, локальности и т. Д.) Безмассового поля со спином 2.

Для того чтобы массивная гравитация действительно описывала гравитацию, то есть массивное поле со спином 2, взаимодействующее с материей и тем самым опосредуя гравитационную силу, аналогичным образом должно быть получено нелинейное завершение. Призрак Boulware-Deser представляет собой серьезное препятствие для таких усилий. Подавляющее большинство теорий массивных и взаимодействующих полей со спином 2 будут страдать от этого призрака и, следовательно, будут нежизнеспособны. Фактически, до 2010 года считалось, что все Лоренц-инвариантные теории массивной гравитации обладали призраком Боулвэра – Дезера.^[24]

Массивная гравитация без призраков

В 2010 году был достигнут прорыв, когда де Рам, Габададзе и Толли построили, порядок за порядком, теорию массивной гравитации с коэффициентами, настроенными так, чтобы избежать призрака Боулвэра-Дезера, упаковав все призрачные (т.е. высшие производные) операторы в полные производные, которые не вносят вклад в уравнения движения .^[25][26] Полное отсутствие призрака Boulware-Deser для всех порядков и за пределами ограничения развязки было впоследствии доказано Фавад Хасан и Рэйчел Розен.^[27][28]

В действие для без призраков де Рам –Массивная гравитация Габададзе – Толлея (dRGT) дан кем-то^[29]

${\displaystyle S=\int d^{4}x{\sqrt {-g}}\left(-{\frac {M_{\mathrm {Pl} }^{2}}{2}}R+m^{2}M_{\mathrm {Pl} }^{2}\displaystyle \sum _{n=0}^{4}\alpha _{n}e_{n}(\mathbb {K} )+{\mathcal {L}}_{\mathrm {m} }(g,\Phi _{i})\right),}$

или, что то же самое,

${\displaystyle S=\int d^{4}x{\sqrt {-g}}\left(-{\frac {M_{\mathrm {Pl} }^{2}}{2}}R+m^{2}M_{\mathrm {Pl} }^{2}\displaystyle \sum _{n=0}^{4}\beta _{n}e_{n}(\mathbb {X} )+{\mathcal {L}}_{\mathrm {m} }(g,\Phi _{i})\right).}$

Ингредиенты требуют пояснений. Как и в стандартной общей теории относительности, существует Эйнштейн-Гильберт кинетический член, пропорциональный Скаляр Риччи ${\displaystyle R}$ и минимальная связь с лагранжианом материи ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {m} }}$, с ${\displaystyle \Phi _{i}}$ представляющие все материальные поля, такие как поля Стандартная модель. Новая часть представляет собой массовый термин или потенциал взаимодействия, тщательно разработанный, чтобы избежать призрака Боулвэра-Дезера, с силой взаимодействия ${\displaystyle m}$ что (если ненулевое ${\displaystyle \beta _{i}}$ находятся ${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$) тесно связан с массой гравитона.

Чт принцип калибровочной инвариантности дает избыточные выражения в любой теории поля, снабженной соответствующей калибровкой. Например, в массивный спин-1 Proca action, массивная часть лагранжиана ${\displaystyle {\frac {1}{2}}mA_{\mu }A^{\mu }}$ ломает ${\displaystyle U(1)}$ калибровочная инвариантность. Однако инвариантность восстанавливается путем введения преобразований:

${\displaystyle A_{\mu }\to A_{\mu }+\partial _{\mu }\pi }$. То же самое можно сделать для массивной гравитации, следуя эффективной теории поля Аркани-Хамеда, Георги и Шварца для массивной гравитации.^[30] Отсутствие разрыва vDVZ в этом подходе мотивировало развитие dRGT-пересуммирования теории массивной гравитации следующим образом.^[26]

Потенциал взаимодействия строится из элементарные симметричные полиномы ${\displaystyle e_{n}}$ собственных значений матриц ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {I} -{\sqrt {g^{-1}f}}}$ или же ${\displaystyle \mathbb {X} ={\sqrt {g^{-1}f}}}$, параметризованные безразмерными константами связи ${\displaystyle \alpha _{i}}$ или же ${\displaystyle \beta _{i}}$, соответственно. Здесь ${\displaystyle {\sqrt {g^{-1}f}}}$ это матричный квадратный корень матрицы ${\displaystyle g^{-1}f}$. Написано в индексной нотации, ${\displaystyle \mathbb {X} }$ определяется соотношением ${\displaystyle X^{\mu }{}_{\alpha }X^{\alpha }{}_{\nu }=g^{\mu \alpha }f_{\nu \alpha }.}$ Мы ввели справочная метрика ${\displaystyle f_{\mu \nu }}$ чтобы построить термин взаимодействия. Для этого есть простая причина: невозможно построить нетривиальный взаимодействующий (т. Е. Не производный) член из ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ один. Единственные возможности ${\displaystyle g^{\mu \alpha }g_{\alpha \nu }=\delta _{\nu }^{\mu }}$ и ${\displaystyle \operatorname {det} g}$, оба из которых приводят к космологическому постоянному члену, а не к добросовестный взаимодействие. Физически, ${\displaystyle f_{\mu \nu }}$ соответствует фоновая метрика вокруг которого колебания принимают форму Фирца – Паули. Это означает, что, например, нелинейное завершение теории Фирца – Паули вокруг пространства Минковского, приведенного выше, приведет к массивной гравитации dRGT с ${\displaystyle f_{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }}$, хотя доказательство отсутствия призрака Боулвэра – Дезера справедливо для общих ${\displaystyle f_{\mu \nu }}$.^[31]

Эталонная метрика преобразуется как метрический тензор при диффеоморфизме ${\displaystyle f_{\mu \nu }\to f'_{\mu \nu }(X(x))\equiv f_{\alpha \beta }\partial _{\mu }X^{\alpha }\partial _{\nu }X^{\beta }.}$ Следовательно ${\displaystyle [\mathbb {X} ^{2}]=X^{\mu }{}_{\alpha }X^{\alpha }{}_{\mu }=g^{\mu \alpha }f_{\mu \alpha }}$, и подобные члены с более высокими степенями преобразуются как скаляр при том же диффеоморфизме. Для изменения координат ${\displaystyle x_{\mu }\to x_{\mu }+\xi _{\mu }}$, мы расширяем ${\displaystyle X^{\mu }=x^{\mu }-\phi ^{\mu }}$ с ${\displaystyle f_{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }}$ такая, что возмущенная метрика принимает вид ${\displaystyle h_{\mu \nu }\to h'_{\mu \nu }=h_{\mu \nu }+\partial _{\mu }\phi _{\nu }+\partial _{\nu }\phi _{\mu }-\partial _{\mu }\phi ^{\alpha }\partial _{\nu }\phi _{\alpha }}$, а потенциалоподобный вектор преобразуется согласно Уловка Штюкельберга в качестве ${\displaystyle \phi _{\mu }\to \phi _{\mu }+\xi _{\mu }}$ такое, что поле Штюкельберга определяется как ${\displaystyle \phi ^{\mu }=\eta ^{\mu \nu }(A_{\nu }-\partial _{\nu }\pi )}$.^[32] Из диффеоморфизма можно определить другую матрицу Штюкельберга ${\displaystyle \mathbb {Y} _{~b}^{a}\equiv f_{bc}g^{\mu \nu }\partial _{\mu }X^{a}\partial _{\nu }X^{c}}$, куда ${\displaystyle \mathbb {Y} _{~b}^{a}}$ и ${\displaystyle \mathbb {X} _{~b}^{a}}$ имеют одинаковые собственные значения.^[33] Теперь рассмотрим следующие симметрии:

• ${\displaystyle \delta h_{\mu \nu }=\partial _{\mu }\xi _{\nu }+\partial _{\nu }\xi _{\mu }+{\frac {2}{M_{\text{Pl}}}}{\mathcal {L}}_{\xi }h_{\mu \nu }}$ ,
• ${\displaystyle \delta A_{\mu }=\partial _{\mu }\pi -m\xi _{\mu }+{\frac {2}{M_{\text{Pl}}}}\xi ^{\alpha }\partial _{\alpha }A_{\mu }}$ ,
• ${\displaystyle \delta \pi =-m\pi }$,

такая, что преобразованная возмущенная метрика принимает вид: ${\displaystyle h'_{\mu \nu }=h_{\mu \nu }+\partial _{\mu }A_{\nu }+\partial _{\nu }A_{\mu }-\partial _{\mu }A^{\alpha }\partial _{\nu }A_{\alpha }-\partial _{\mu }A^{\alpha }\partial _{\nu }\partial _{\alpha }\pi -\partial _{\mu }\partial _{\alpha }\pi \partial _{\nu }A^{\alpha }-2\partial _{\mu }\partial _{\nu }\pi -\partial _{\mu }\partial _{\alpha }\pi \ \partial _{\nu }\partial ^{\alpha }\pi .}$

Ковариантный вид этих преобразований получается следующим образом. Если режим спиральности-0 (или вращения-0) ${\displaystyle \pi }$ чистая калибровка нефизических мод Голдстоуна, с ${\displaystyle \Pi _{\mu \nu }=\nabla _{\mu }\nabla _{\nu }\pi }$,^[34] матрица ${\displaystyle {\displaystyle \mathbb {X} }}$ является тензорной функцией тензора коваритизации ${\displaystyle {\displaystyle H_{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }+2{\Pi }_{\mu \nu }-\eta ^{\alpha \beta }{\Pi }_{\mu \alpha }{\Pi }_{\beta \nu }}=\eta _{\mu \nu }+h_{\mu \nu }-\eta _{ab}\nabla _{\mu }\phi ^{a}\nabla _{\nu }\phi ^{b}}$ возмущения метрики ${\displaystyle {\displaystyle h_{\mu \nu }}}$ такой, что тензор ${\displaystyle H_{\mu \nu }}$ является Stueckelbergized на поле ${\displaystyle \phi ^{a}=A^{a}-\eta ^{a\mu }\nabla _{\mu }\pi }$.^[35] Преобразование режима спиральности-0 при преобразованиях Галилея ${\displaystyle \pi \to \pi +c+v_{\mu }x^{\mu }}$отсюда и название «Галилеоны».^[36] Матрица ${\displaystyle \mathbb {X} }$ является тензорной функцией тензора коваритизации ${\displaystyle H_{\mu \nu }\equiv g_{\mu \nu }-f'_{\mu \nu }}$ возмущения метрики ${\displaystyle h_{\mu \nu }}$ с компонентами даются ${\displaystyle {\displaystyle \mathbb {X} _{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }+2{\mathcal {K}}_{\mu \nu }-\eta ^{\alpha \beta }{\mathcal {K}}_{\mu \alpha }{\mathcal {K}}_{\beta \nu }}}$, куда ${\displaystyle {\displaystyle {\mathcal {K}}_{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }-\left({\sqrt {\mathbb {X} }}\right)_{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }-{\sqrt {\eta _{\mu \nu }-H_{\mu \nu }}}}}$ - внешняя кривизна.^[37]

Интересно, что тензор коваритизации был первоначально введен Махешвари в соло-авторском продолжении статьи спиральности- (${\displaystyle 2\oplus 0}$) Модель конечной гравитации Фрейнда – Махешвари – Шенберга.^[38] В работе Махешвари возмущение метрики подчиняется условию Гильберта-Лоренца ${\displaystyle m^{2}(\partial _{\nu }h_{\mu \nu }+q\partial _{\mu }h)=0}$ под вариацией ${\displaystyle \delta ^{*}h_{\mu \nu }=\delta h_{\mu \nu }+\delta h_{\mu \nu }^{spin}=\partial _{\mu }\xi _{\nu }+\partial _{\nu }\xi _{\mu }+p\eta _{\mu \nu }h+\delta h_{\mu \nu }^{spin}}$ что вводится в массивной гравитации Огиевецкого – Полубаринова, где ${\displaystyle p~{\text{and}}~q}$ подлежат определению.^[39] Нетрудно заметить сходство тензорных ${\displaystyle \mathbb {X} }$ в dRGT и тензор ${\displaystyle h_{(p)}^{\mu \nu }=(\eta ^{\mu \nu }-n\psi ^{\mu \nu })^{1/n}}$ в Махешвари работать один раз ${\displaystyle n=2}$ выбран. Также мандаты модели Огиевецкого – Полубаринова ${\displaystyle n=-1/p}$, что означает, что в 4D ${\displaystyle p=-1/n=-{\frac {1}{2}}}$, вариация ${\displaystyle \delta h_{\mu \nu }}$ конформно.

Массивные поля dRGT расщепляются на две спирали-2 ${\displaystyle h_{\mu \nu }}$, две спирали-1 ${\displaystyle A_{\mu }}$ и одна спиральность-0 ${\displaystyle \pi }$ степеней свободы, как и в теории масс Фирца-Паули. Однако коваритизация вместе с предел развязки, гарантируют, что симметрии этой массивной теории сведены к симметрии линеаризованной общей теории относительности плюс симметрии ${\displaystyle U(1)}$ массивная теория, а скаляр отделяется. Если ${\displaystyle v_{\mu }}$ выбрано бездивергентным, т.е. ${\displaystyle \Box \pi =0}$, предел развязки dRGT дает известную линеаризованную гравитацию.^[40] Чтобы увидеть, как это происходит, разверните термины, содержащие ${\displaystyle {\mathcal {K}}_{\mu \nu }}$ в действии во власти ${\displaystyle H_{\mu \nu }}$, куда ${\displaystyle H_{\mu \nu }}$ выражается в виде ${\displaystyle \phi ^{a}}$ поля вроде как ${\displaystyle h'_{\mu \nu }}$ выражается в виде ${\displaystyle A^{\mu }}$. Поля ${\displaystyle h_{\mu \nu }\ ,\ A_{\mu }\ ,\ \pi }$ заменяются на: ${\displaystyle {\tilde {h}}_{\mu \nu }=M_{\text{Pl}}h_{\mu \nu }\ ,\ {\tilde {A}}_{\mu }=M_{\text{Pl}}m\ A_{\mu }\ ,\ {\tilde {\pi }}=M_{\text{Pl}}m^{2}\pi \ ,\ {\hat {h}}_{\mu \nu }={\tilde {h}}_{\mu \nu }-\eta _{\mu \nu }{\tilde {\pi }}}$ . Тогда следует, что в предел развязки, т.е. когда оба ${\displaystyle M_{\text{Pl}}\to \infty \ ,m\to 0\ ,\ m^{2}M_{\text{Pl}}={\text{const.}}}$, лагранжиан массивной гравитации инвариантен относительно:

1. ${\displaystyle \delta h_{\mu \nu }=\partial _{\mu }\xi _{\nu }+\partial _{\nu }\xi _{\mu }}$ как в линеаризованной общей теории относительности,
2. ${\displaystyle \delta A_{\mu }=\partial _{\mu }\pi }$ как в электромагнитной теории Максвелла,
3. ${\displaystyle \delta \pi =0}$.

В принципе, эталонная метрика должна быть указана вручную, и поэтому не существует единой теории массивной гравитации dRGT, поскольку теория с плоской эталонной метрикой отличается от теории с эталонной метрикой. де Ситтер эталонная метрика и т. д. В качестве альтернативы можно подумать о ${\displaystyle f_{\mu \nu }}$ как константа теории, как и ${\displaystyle m}$ или же ${\displaystyle M_{\mathrm {Pl} }}$. Вместо того, чтобы указывать эталонную метрику с самого начала, можно позволить ей иметь собственную динамику. Если кинетический член для ${\displaystyle f_{\mu \nu }}$ также является Эйнштейном – Гильбертом, то теория остается свободной от привидений, и мы остаемся с теорией массивная бигравитация,^[12] (или же биметрическая теория относительности, BR), распространяющие две степени свободы безмассового гравитона в дополнение к пяти степеням свободы массивного.

На практике нет необходимости вычислять собственные значения ${\displaystyle \mathbb {X} }$ (или же ${\displaystyle \mathbb {K} }$), чтобы получить ${\displaystyle e_{n}}$. Их можно записать прямо в терминах ${\displaystyle \mathbb {X} }$ в качестве

${\displaystyle {\begin{aligned}e_{0}(\mathbb {X} )&=1,\\e_{1}(\mathbb {X} )&=[\mathbb {X} ],\\e_{2}(\mathbb {X} )&={\frac {1}{2}}\left([\mathbb {X} ]^{2}-[\mathbb {X} ^{2}]\right),\\e_{3}(\mathbb {X} )&={\frac {1}{6}}\left([\mathbb {X} ]^{3}-3[\mathbb {X} ][\mathbb {X} ^{2}]+2[\mathbb {X} ^{3}]\right),\\e_{4}(\mathbb {X} )&=\operatorname {det} \mathbb {X} ,\end{aligned}}}$

где скобки обозначают след, ${\displaystyle [\mathbb {X} ]\equiv X^{\mu }{}_{\mu }}$. Это особая антисимметричная комбинация терминов в каждом из ${\displaystyle e_{n}}$ который отвечает за нединамику призрака Boulware – Deser.

Выбор использования ${\displaystyle \mathbb {X} }$ или же ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {I} -\mathbb {X} }$, с ${\displaystyle \mathbb {I} }$ в единичная матрица, является соглашением, так как в обоих случаях безобидный массовый член представляет собой линейную комбинацию элементарных симметричных многочленов выбранной матрицы. Можно переходить от одного базиса к другому, и в этом случае коэффициенты удовлетворяют соотношению^[29]

${\displaystyle \beta _{n}=(4-n)!\displaystyle \sum _{i=n}^{4}{\frac {(-1)^{i+n}}{(4-i)!(i-n)!}}\alpha _{i}.}$

Коэффициенты имеют характеристический многочлен это в форме Определитель Фредгольма. Их также можно получить, используя Алгоритм Фаддеева – Леверье.

Массивная гравитация на языке вербейна

В четырехмерной ортонормированной тетрадной системе есть основания:

${\displaystyle {\begin{aligned}e_{~\mu }^{0}&=(-1,0,0,0),\\e_{\mu }^{I}&=(0,e_{i}^{I}),\end{aligned}}}$

где индекс ${\displaystyle i}$ для трехмерной пространственной составляющей ${\displaystyle \mu }$-неортормальные координаты, а индекс ${\displaystyle I}$ для трехмерных пространственных компонентов ${\displaystyle a}$-ортонормальные. Параллельный транспорт требует спин-соединение ${\displaystyle e^{0\nu }\nabla _{e^{0\nu }}e_{~\mu }^{I}=0}$. Следовательно внешняя кривизна, что соответствует ${\displaystyle {\mathcal {K}}_{\mu \nu }}$ в метрическом формализме становится

${\displaystyle K_{j}^{i}\equiv {\frac {1}{2}}\gamma ^{ik}\partial _{t}(\gamma _{kj})=e_{I}^{i}\partial _{t}(e_{j}^{I})}$ ,куда ${\displaystyle \gamma _{ij}}$ - пространственная метрика, как в Формализм ADM и формулировка начального значения.

Если тетрада конформно преобразуется как ${\displaystyle e_{i}^{I}\to {e'}_{i}^{I}\equiv a(t)~e_{i}^{I}}$ , внешняя кривизна становится ${\displaystyle {K'}_{j}^{i}={\frac {a}{\dot {a}}}K_{j}^{i}=\delta _{j}^{i}-{\frac {a}{\dot {a}}}e_{I}^{i}\partial _{t}(e_{j}^{I})}$ , откуда Уравнения Фридмана ${\displaystyle {\frac {a}{\dot {a}}}={\frac {a}{\partial _{t}a}}\sim {\frac {1}{\sqrt {\Lambda }}}}$, и ${\displaystyle m\sim 1/{\sqrt {\Lambda }}}$ (Несмотря на то, что является спорным^[41]), т.е. внешняя кривизна преобразуется как ${\displaystyle K_{j}^{i}\to mK_{j}^{i}=\delta _{j}^{i}-m~e_{I}^{i}{\dot {e}}_{j}^{I}}$. Это очень похоже на матрицу ${\displaystyle \mathbb {K} }$ или тензор ${\displaystyle {\mathcal {K}}_{j}^{i}}$.

DRGT был разработан на основе применения предыдущей техники к 5D. DGP модель после рассмотрения деконструкция более высокого измерения Калуца-Клейн теории гравитации,^[42] в котором дополнительное измерение (я) заменяется серией из N решетка такие сайты, что метрика более высокого измерения заменяется набором взаимодействующих метрик, которые зависят только от компонентов 4D.^[37]

Наличие матрицы квадратного корня несколько неудобно и указывает на альтернативную, более простую формулировку с точки зрения Vierbeins. Разделение показателей на вирбейны как

${\displaystyle {\begin{aligned}g_{\mu \nu }=\eta _{ab}e^{a}{}_{\mu }e^{b}{}_{\nu },\\f_{\mu \nu }=\eta _{ab}f^{a}{}_{\mu }f^{b}{}_{\nu },\end{aligned}}}$,

а затем определение одной формы

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {e} ^{a}&=e^{a}{}_{\mu }dx^{\mu },\\\mathbf {f} ^{a}&=f^{a}{}_{\mu }dx^{\mu },\\\mathbf {i} ^{a}&=\delta ^{a}{}_{\mu }dx^{\mu },\end{aligned}}}$

члены теории бигравитации Хассана-Розена без привидений могут быть записаны просто как (с точностью до числовых множителей)^[43]

${\displaystyle {\begin{aligned}e_{0}(\mathbb {X} )\propto \epsilon _{abcd}\mathbf {e} ^{a}\wedge \mathbf {e} ^{b}\wedge \mathbf {e} ^{c}\wedge \mathbf {e} ^{d}\\e_{1}(\mathbb {X} )\propto \epsilon _{abcd}\mathbf {e} ^{a}\wedge \mathbf {e} ^{b}\wedge \mathbf {e} ^{c}\wedge \mathbf {f} ^{d}\\e_{2}(\mathbb {X} )\propto \epsilon _{abcd}\mathbf {e} ^{a}\wedge \mathbf {e} ^{b}\wedge \mathbf {f} ^{c}\wedge \mathbf {f} ^{d}\\e_{3}(\mathbb {X} )\propto \epsilon _{abcd}\mathbf {e} ^{a}\wedge \mathbf {f} ^{b}\wedge \mathbf {f} ^{c}\wedge \mathbf {f} ^{d}\\e_{4}(\mathbb {X} )\propto \epsilon _{abcd}\mathbf {f} ^{a}\wedge \mathbf {f} ^{b}\wedge \mathbf {f} ^{c}\wedge \mathbf {f} ^{d}\\\end{aligned}}}$

Таким образом, с точки зрения вирбейнов, а не метрик, мы можем довольно четко увидеть физическое значение потенциальных терминов dRGT без привидений: они просто представляют собой все возможные комбинации клиновые изделия vierbeins двух показателей.

Обратите внимание, что массивная гравитация в формулировках метрики и Вербейна эквивалентна только в том случае, если условие симметрии

${\displaystyle (e^{-1})_{a}{}^{\mu }f_{b\nu }=(e^{-1})_{b}{}^{\mu }f_{a\nu }}$

доволен. Хотя это верно для большинства физических ситуаций, могут быть случаи, например, когда материя соединяется с обеими метриками или в мультиметрических теориях с циклами взаимодействия, в которых это не так. В этих случаях формулировки метрики и вирбейна представляют собой разные физические теории, хотя каждая из них распространяет здоровый массивный гравитон.

Новизна в dRGT массивной гравитации состоит в том, что это теория калибровочной инвариантности относительно обоих локальных преобразований Лоренца, начиная с допущения эталонной метрики ${\displaystyle f_{\mu \nu }}$ равна метрике Минковского ${\displaystyle \eta _{\mu \nu }}$, и инвариантность диффеоморфизма, от существования активного искривленного пространства-времени ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$. Это показано путем переписывания ранее обсуждавшегося формализма Штюкельберга на языке vierbein следующим образом.^[44]

4D версия уравнений поля Эйнштейна в 5D читается ${\displaystyle G_{\mu \nu }n^{\mu }n^{\nu }={\frac {1}{2}}(R-K^{\mu \nu }K_{\mu \nu }+(K_{~\mu }^{\mu })^{2})}$ , куда ${\displaystyle n^{\mu }}$ - вектор, нормальный к 4-мерному срезу. Используя определение массивной внешней кривизны ${\displaystyle mK_{j}^{i}=\delta _{j}^{i}-m~e_{I}^{i}{\dot {e}}_{j}^{I}}$, несложно увидеть, что члены, содержащие внешние кривизны, принимают функциональную форму${\displaystyle (f^{a}-e^{a})\wedge (f^{b}-e^{b})\wedge e^{c}\wedge e^{d}}$ в тетрадном действии.

Следовательно, с точностью до числовых коэффициентов полное действие dRGT в тензорной форме имеет вид

${\displaystyle S={\frac {M_{\text{Pl}}^{2}}{2}}\int dx^{4}{\sqrt {g}}{\Big (}R+2m^{2}[e_{2}({\mathcal {K}})+e_{3}({\mathcal {K}})+e_{4}({\mathcal {K}})]{\Big )}}$,

где функции ${\displaystyle e_{i}({\mathcal {K}})}$ принимать формы, аналогичные форме ${\displaystyle e_{i}(\mathbb {X} )}$. Тогда с точностью до некоторых числовых коэффициентов действие принимает интегральный вид

${\displaystyle S={\frac {M_{\text{Pl}}^{2}}{2}}\epsilon _{abcd}\int {\Big (}\mathbf {e} ^{a}\land \mathbf {e} ^{b}\land R^{cd}-m^{2}[\mathbf {e} ^{a}\land \mathbf {e} ^{b}\land \mathbf {e} ^{c}\land \mathbf {e} ^{d}+\mathbf {i} ^{a}\land \mathbf {e} ^{b}\land \mathbf {e} ^{c}\land \mathbf {e} ^{d}+\mathbf {i} ^{a}\land \mathbf {i} ^{b}\land \mathbf {e} ^{c}\land \mathbf {e} ^{d}+\mathbf {i} ^{a}\land \mathbf {i} ^{b}\land \mathbf {i} ^{c}\land \mathbf {e} ^{d}]{\Big )}}$,

где первый член - это Эйнштейн-Гильберт часть тетрадное действие Палатини и ${\displaystyle \epsilon _{abcd}}$ это Символ Леви-Чивита.

Поскольку предел развязки гарантирует, что ${\displaystyle \Box \pi =0}$ и ${\displaystyle A_{\mu }\to x_{\mu }}$ сравнивая ${\displaystyle X^{\mu }}$ к ${\displaystyle \phi ^{\mu }}$, можно думать о тензоре ${\displaystyle \partial _{\mu }\phi ^{a}=\delta _{~\mu }^{a}}$. Сравнивая это с определением 1-формы ${\displaystyle \mathbf {i} ^{a}}$, можно определить ковариантные компоненты поле кадра ${\displaystyle f_{~\mu }^{a}=\partial _{\mu }\phi ^{\nu }\delta _{~\nu }^{a}}$ , т.е. ${\displaystyle e_{~\mu }^{a}={\frac {\partial x^{\nu }}{\partial \phi ^{\mu }}}\Lambda _{~b}^{a}e_{~\nu }^{b}}$, чтобы заменить ${\displaystyle \mathbf {i} ^{a}}$ так что последние три члена взаимодействия в действии vierbein становятся

${\displaystyle S=-{\frac {M_{\text{Pl}}^{2}}{2}}m^{2}\epsilon _{abcd}\int {\Big [}\mathbf {f} ^{a}\land (\Lambda _{b'}^{b}\mathbf {e} ^{b'})\land (\Lambda _{c'}^{c}\mathbf {e} ^{c'})\land (\Lambda _{d'}^{d}\mathbf {e} ^{d'})+\mathbf {f} ^{a}\land \mathbf {f} ^{b}\land (\Lambda _{c'}^{c}\mathbf {e} ^{c'})\land (\Lambda _{d'}^{d}\mathbf {e} ^{d'})+\mathbf {f} ^{a}\land \mathbf {f} ^{b}\land \mathbf {f} ^{c}\land (\Lambda _{d'}^{d}\mathbf {e} ^{d'}){\Big ]}}$.

Это можно сделать, потому что можно свободно перемещать преобразования диффеоморфизма ${\displaystyle \partial _{\nu }\phi ^{\mu }}$ на эталонный вербейн с помощью преобразований Лоренца ${\displaystyle \Lambda _{~b}^{a}}$. Что еще более важно, преобразования диффеоморфизма помогают проявить динамику мод спиральности-0 и спиральности-1, следовательно, их легко измерить, когда теория сравнивается с ее версией с единственным ${\displaystyle U(1)}$ калибровочные преобразования при выключенных полях Штюкельберга.

Можно задаться вопросом, почему отбрасываются коэффициенты и как гарантировать, что они являются числовыми без явной зависимости полей. Фактически это допустимо, потому что вариация действия Вирбейна относительно локально преобразованных по Лоренцеву полей Штюкельберга дает этот хороший результат.^[44] Более того, мы можем явно решить для лоренц-инвариантных полей Штюкельберга, и, подставляя обратно в действие Вирбейна, мы можем показать полную эквивалентность тензорной форме массивной гравитации dRGT.^[45]

Космология

Если масса гравитона ${\displaystyle m}$ сопоставимо с Тариф Хаббла ${\displaystyle H_{0}}$, то на космологических расстояниях массовый член может вызывать отталкивающий гравитационный эффект, который приводит к космическому ускорению. Поскольку, грубо говоря, симметрия усиленного диффеоморфизма в пределе ${\displaystyle m=0}$ защищает малую массу гравитона от больших квантовых поправок, выбор ${\displaystyle m\sim H_{0}}$ на самом деле технически естественно.^[46] Таким образом, массивная гравитация может решить проблему космологическая постоянная проблема: почему квантовые поправки не вызывают ускорение Вселенной в очень ранние времена?

Однако оказывается, что плоские и закрытые Фридман – Лемэтр – Робертсон – Уокер космологических решений не существует в массивной гравитации dRGT с плоской эталонной метрикой.^[13] Открытые решения и решения с общими эталонными метриками страдают нестабильностью.^[47] Следовательно, жизнеспособные космологии могут быть найдены только в массивной гравитации, если отказаться от космологический принцип что Вселенная однородна в больших масштабах, или иначе обобщает dRGT. Например, космологические решения лучше ведут себя в тяжеловесность,^[14] теория, которая расширяет dRGT, давая ${\displaystyle f_{\mu \nu }}$ динамика. Хотя они также обладают нестабильностью,^[48][49] эти нестабильности могут найти решение в нелинейной динамике (с помощью механизма, подобного Вайнштейну) или в продвижении эры нестабильности к очень ранней Вселенной.^[15]

3D массивная гравитация

Частный случай существует в трех измерениях, когда безмассовый гравитон не распространяет никаких степеней свободы. Здесь можно сформулировать несколько теорий отсутствия привидений для массивного гравитона, распространяющего две степени свободы. В случае топологически массивная гравитация^[1] у одного есть действие

${\displaystyle S={\frac {M_{3}}{2}}\int d^{3}x{\sqrt {-g}}(R-2\Lambda )+{\frac {1}{4\mu }}\epsilon ^{\lambda \mu \nu }\Gamma _{\lambda \sigma }^{\rho }\left(\partial _{\mu }\Gamma _{\rho \nu }^{\sigma }+{\frac {2}{3}}\Gamma _{\mu \alpha }^{\sigma }\Gamma _{\nu \rho }^{\alpha }\right),}$

с ${\displaystyle M_{3}}$ трехмерная планковская масса. Это трехмерная общая теория относительности, дополненная Черн-Симонс -подобный термин, построенный из Символы Кристоффеля.

Совсем недавно теория, получившая название новая массивная гравитация была разработана,^[2] который описывается действием

${\displaystyle S=M_{3}\int d^{3}x{\sqrt {-g}}\left[\pm R+{\frac {1}{m^{2}}}\left(R_{\mu \nu }R^{\mu \nu }-{\frac {3}{8}}R^{2}\right)\right].}$

Отношение к гравитационным волнам

Открытие 2016 г. гравитационные волны^[50] и последующие наблюдения дали ограничения на максимальную массу гравитонов, если они вообще массивны. После GW170104 событие, гравитон Комптоновская длина волны был найден как минимум 1.6×10¹⁶ м, или около 1,6 световых лет, что соответствует массе гравитона не более 7.7×10⁻²³ эВ /c².^[16] Это соотношение между длиной волны и энергией рассчитывается по той же формуле ( Соотношение Планка – Эйнштейна ) что касается электромагнитный длина волны к энергия фотона. Тем не мение, фотоны, которые имеют только энергию и не имеют массы, принципиально отличаются от массивных гравитонов в этом отношении, поскольку комптоновская длина волны гравитона не равна длине гравитационной волны. Вместо этого нижняя граница длины волны Комптона гравитона составляет около 9×10⁹ раз больше, чем длина гравитационной волны для события GW170104, которая составила ~ 1700 км. Это связано с тем, что длина волны Комптона определяется массой покоя гравитона и является инвариантной скалярной величиной.

Смотрите также

• Ускоряющееся расширение Вселенной
• Альтернативы общей теории относительности - Предлагаемые теории гравитации
• Теория Хорндески
• Биметрическая гравитация - Предлагаемые теории гравитации
• Модель DGP
• Скалярно-тензорная теория - Теория в физике со скалярами и тензорами, описывающими силу или взаимодействие
• Двойной гравитон

дальнейшее чтение

Обзорные статьи

• де Рам, Клаудиа (2014), «Массивная гравитация», Живые обзоры в теории относительности, 17 (1): 7, arXiv:1401.4173, Bibcode:2014LRR .... 17 .... 7D, Дои:10.12942 / lrr-2014-7, ЧВК  5256007, PMID  28179850
• Хинтербихлер, Курт (2012), «Теоретические аспекты массивной гравитации», Обзоры современной физики, 84 (2): 671–710, arXiv:1105.3735, Bibcode:2012RvMP ... 84..671H, Дои:10.1103 / RevModPhys.84.671, S2CID  119279950

Рекомендации

1. Дезер, Стэнли; Jackiw, R .; Темплтон, С. (1982). «Топологически массивные калибровочные теории». Анналы физики. 140 (2): 372–411. Bibcode:1982АнФи.140..372Д. Дои:10.1016/0003-4916(82)90164-6.
2. Bergshoeff, Eric A .; Хом, Олаф; Таунсенд, Пол К. (2009). «Массивная гравитация в трех измерениях». Phys. Rev. Lett. 102 (20): 201301. arXiv:0901.1766. Bibcode:2009ПхРвЛ.102т1301Б. Дои:10.1103 / PhysRevLett.102.201301. PMID  19519014. S2CID  7800235.
3. Огиевецкий В.И. Полубаринов И.В. (ноябрь 1965 г.). «Взаимодействующее поле спина 2 и уравнения Эйнштейна». Анналы физики. 35 (2): 167–208. Bibcode:1965AnPhy..35..167O. Дои:10.1016/0003-4916(65)90077-1.
4. Мукохьяма, Синдзи; Волков, Михаил Сергеевич (22.10.2018). «Массивная гравитация Огиевецкого-Полубаринова и безобидный режим Бульвар-Дезер». Журнал космологии и физики астрономических частиц. 2018 (10): 037. arXiv:1808.04292. Bibcode:2018JCAP ... 10..037M. Дои:10.1088/1475-7516/2018/10/037. ISSN  1475-7516. S2CID  119329289.
5. Огиевецкий, В. I; Полубаринов, И. В (1965-11-01). «Взаимодействующее поле спина 2 и уравнения Эйнштейна». Анналы физики. 35 (2): 167–208. Bibcode:1965AnPhy..35..167O. Дои:10.1016/0003-4916(65)90077-1. ISSN  0003-4916.
6. Curtright, T. L .; Альшал, Х. (01.10.2019). «Повторное посещение Massive Dual Spin 2». Ядерная физика B. 948: 114777. arXiv:1907.11532. Bibcode:2019НуФБ.94814777С. Дои:10.1016 / j.nuclphysb.2019.114777. ISSN  0550-3213.
7. Alshal, H .; Кертрайт, Т. Л. (10 сентября 2019 г.).«Массивная двойная гравитация в N измерениях пространства-времени». Журнал физики высоких энергий. 2019 (9): 63. arXiv:1907.11537. Bibcode:2019JHEP ... 09..063A. Дои:10.1007 / JHEP09 (2019) 063. ISSN  1029-8479. S2CID  198953238.
8. Николис, Альберто; Раттацци, Риккардо; Тринчерини, Энрико (31 марта 2009 г.). «Галилеон как локальная модификация силы тяжести». Физический обзор D. 79 (6): 064036. arXiv:0811.2197. Bibcode:2009ПхРвД..79ф4036Н. Дои:10.1103 / PhysRevD.79.064036. S2CID  18168398.
9. Deffayet, C .; Esposito-Farèse, G .; Викман, А. (2009-04-03). «Ковариантный Галилеон». Физический обзор D. 79 (8): 084003. arXiv:0901.1314. Bibcode:2009ПхРвД..79х4003Д. Дои:10.1103 / PhysRevD.79.084003. S2CID  118855364.
10. Curtright, Thomas L .; Фэрли, Дэвид Б. (2012). «Галилеон Праймер». arXiv:1212.6972 [hep-th ].
11. де Рам, Клаудиа; Келтнер, Люк; Толли, Эндрю Дж. (21.07.2014). «Обобщенная двойственность Галилеона». Физический обзор D. 90 (2): 024050. arXiv:1403.3690. Bibcode:2014ПхРвД..90б4050Д. Дои:10.1103 / PhysRevD.90.024050. S2CID  118615285.
12. Hassan, S.F .; Розен, Рэйчел А. (2012). «Биметрическая гравитация от массивной гравитации без призраков». JHEP. 1202 (2): 126. arXiv:1109.3515. Bibcode:2012JHEP ... 02..126H. Дои:10.1007 / JHEP02 (2012) 126. S2CID  118427524.
13. D'Amico, G .; de Rham, C .; Дубовский, С .; Габададзе, Г .; Пирцхалава, Д .; Толли, А.Дж. (2011). «Массивные космологии». Phys. Rev. D84 (12): 124046. arXiv:1108.5231. Bibcode:2011ПхРвД..84л4046Д. Дои:10.1103 / PhysRevD.84.124046. S2CID  118571397.
14. Акрами, Яшар; Koivisto, Tomi S .; Сандстад, Марит (2013). «Ускоренное расширение от безразличной бигравитации: статистический анализ с улучшенной универсальностью». JHEP. 1303 (3): 099. arXiv:1209.0457. Bibcode:2013JHEP ... 03..099A. Дои:10.1007 / JHEP03 (2013) 099. S2CID  54533200.
15. Акрами, Яшар; Hassan, S.F .; Кённиг, Франк; Шмидт-Мэй, Ангнис; Соломон, Адам Р. (2015). «Биметрическая гравитация космологически жизнеспособна». Письма по физике B. 748: 37–44. arXiv:1503.07521. Bibcode:2015ФЛБ..748 ... 37А. Дои:10.1016 / j.physletb.2015.06.062. S2CID  118371127.
16. Б. П. Эбботт; и другие. (LIGO Scientific Collaboration и Дева Сотрудничество ) (1 июня 2017 г.). "GW170104: Наблюдение слияния двойной черной дыры массой 50 солнечных масс при красном смещении 0,2". Письма с физическими проверками. 118 (22): 221101. arXiv:1706.01812. Bibcode:2017ПхРвЛ.118в1101А. Дои:10.1103 / PhysRevLett.118.221101. PMID  28621973. S2CID  206291714.
17. Л. Бернус; и другие. (18 октября 2019 г.). «Ограничение массы гравитона с помощью планетарных эфемерид INPOP». Письма с физическими проверками. 123 (16): 161103. arXiv:1901.04307. Bibcode:2019ПхРвЛ.123п1103Б. Дои:10.1103 / PhysRevLett.123.161103. PMID  31702347. S2CID  119427663.
18. Фирц, Маркус; Паули, Вольфганг (1939). «О релятивистских волновых уравнениях для частиц произвольного спина в электромагнитном поле». Proc. Рой. Soc. Лондон. А. 173 (953): 211–232. Bibcode:1939RSPSA.173..211F. Дои:10.1098 / rspa.1939.0140.
19. ван Дам, Хендрик; Велтман, Мартинус Дж. Г. (1970). «Массивные и безмассовые Янга-Миллса и гравитационные поля». Nucl. Phys. B. 22 (2): 397–411. Bibcode:1970НуФБ..22..397В. Дои:10.1016/0550-3213(70)90416-5. HDL:1874/4816.
20. Захаров, Валентин И. (1970). «Линеаризованная теория гравитации и масса гравитона». ЖЭТФ Lett. 12: 312. Bibcode:1970JETPL..12..312Z.
21. Вайнштейн, А. (1972). «К проблеме отличной от нуля гравитационной массы». Phys. Lett. B. 39 (3): 393–394. Bibcode:1972ФЛБ ... 39..393В. Дои:10.1016/0370-2693(72)90147-5.
22. Фройнд, Питер Г. О .; Махешвари, Амар; Шенберг, Эдмонд (август 1969). «Конечная гравитация». Астрофизический журнал. 157: 857. Bibcode:1969ApJ ... 157..857F. Дои:10.1086/150118. ISSN  0004-637X.
23. Boulware, David G .; Дезер, Стэнли (1972). «Может ли гравитация иметь конечный диапазон?» (PDF). Phys. Ред. D. 6 (12): 3368–3382. Bibcode:1972ПхРвД ... 6.3368Б. Дои:10.1103 / PhysRevD.6.3368.
24. Креминелли, Паоло; Николис, Альберто; Папуччи, Микеле; Тринчерини, Энрико (2005). «Призраки в массивной гравитации». JHEP. 0509 (9): 003. arXiv:hep-th / 0505147. Bibcode:2005JHEP ... 09..003C. Дои:10.1088/1126-6708/2005/09/003. S2CID  5702596.
25. де Рам, Клаудиа; Габададзе, Григорий (2010). «Обобщение действия Фирца – Паули». Phys. Ред. D. 82 (4): 044020. arXiv:1007.0443. Bibcode:2010ПхРвД..82д4020Д. Дои:10.1103 / PhysRevD.82.044020. S2CID  119289878.
26. де Рам, Клаудиа; Габададзе Григорий; Толли, Эндрю Дж. (2011). «Возобновление массивной гравитации». Phys. Rev. Lett. 106 (23): 231101. arXiv:1011.1232. Bibcode:2011PhRvL.106w1101D. Дои:10.1103 / PhysRevLett.106.231101. PMID  21770493. S2CID  3564069.
27. Hassan, S.F .; Розен, Рэйчел А. (2012). «Решение проблемы призраков в нелинейной массивной гравитации». Phys. Rev. Lett. 108 (4): 041101. arXiv:1106.3344. Bibcode:2012PhRvL.108d1101H. Дои:10.1103 / PhysRevLett.108.041101. PMID  22400821. S2CID  17185069.
28. Hassan, S.F .; Розен, Рэйчел А. (2012). «Подтверждение вторичного ограничения и отсутствия призрака в массивной гравитации и биметрической гравитации». JHEP. 1204 (4): 123. arXiv:1111.2070. Bibcode:2012JHEP ... 04..123H. Дои:10.1007 / JHEP04 (2012) 123. S2CID  54517385.
29. Hassan, S.F .; Розен, Рэйчел А. (2011). «О нелинейных действиях при массивной гравитации». JHEP. 1107 (7): 009. arXiv:1103.6055. Bibcode:2011JHEP ... 07..009H. Дои:10.1007 / JHEP07 (2011) 009. S2CID  119240485.
30. Аркани-Хамед, Нима; Георгий, Ховард; Шварц, Мэтью Д. (июнь 2003 г.). «Эффективная теория поля для массивных гравитонов и гравитации в теории космоса». Анналы физики. 305 (2): 96–118. arXiv:hep-th / 0210184. Bibcode:2003АнФи.305 ... 96А. Дои:10.1016 / S0003-4916 (03) 00068-X. S2CID  1367086.
31. Hassan, S.F .; Розен, Рэйчел А .; Шмидт-Мэй, Ангнис (2012). «Массивная гравитация без привидений с общей эталонной метрикой». JHEP. 1202 (2): 026. arXiv:1109.3230. Bibcode:2012JHEP ... 02..026H. Дои:10.1007 / JHEP02 (2012) 026. S2CID  119254994.
32. де Рам, Клаудиа; Габададзе Григорий; Толли, Эндрю Дж. (Май 2012 г.). «Массивная гравитация без привидений на языке Штюкельберга». Письма по физике B. 711 (2): 190–195. arXiv:1107.3820. Bibcode:2012ФЛБ..711..190Д. Дои:10.1016 / j.physletb.2012.03.081. S2CID  119088565.
33. Альберте, Ласма; Хмельницкий, Андрей (сентябрь 2013 г.). «Уменьшение массивной гравитации с двумя полями Штюкельберга». Физический обзор D. 88 (6): 064053. arXiv:1303.4958. Bibcode:2013ПхРвД..88f4053A. Дои:10.1103 / PhysRevD.88.064053. ISSN  1550-7998. S2CID  118668426.
34. Hassan, S. F .; Розен, Рэйчел А. (июль 2011 г.). «О нелинейных воздействиях на массивную гравитацию». Журнал физики высоких энергий. 2011 (7): 9. arXiv:1103.6055. Bibcode:2011JHEP ... 07..009H. Дои:10.1007 / JHEP07 (2011) 009. ISSN  1029-8479. S2CID  119240485.
35. де Рам, Клаудиа; Габададзе Григорий; Толли, Эндрю Дж. (10.06.2011). «Возобновление массивной гравитации». Письма с физическими проверками. 106 (23): 231101. Bibcode:2011PhRvL.106w1101D. Дои:10.1103 / PhysRevLett.106.231101. ISSN  0031-9007. PMID  21770493.
36. Рэм, Клаудиа де; Толли, Эндрю Дж (14 мая 2010 г.). «DBI и Галилеон воссоединились». Журнал космологии и физики астрономических частиц. 2010 (5): 015. arXiv:1003.5917. Bibcode:2010JCAP ... 05..015D. Дои:10.1088/1475-7516/2010/05/015. ISSN  1475-7516. S2CID  118627727.
37. де Рам, Клаудия (декабрь 2014 г.). «Массивная гравитация». Живые обзоры в теории относительности. 17 (1): 7. arXiv:1401.4173. Bibcode:2014LRR .... 17 .... 7D. Дои:10.12942 / lrr-2014-7. ISSN  2367-3613. ЧВК  5256007. PMID  28179850.
38. Махешвари А. (март 1972 г.). "Теории поля Спин-2 и тождество тензорного поля". Il Nuovo Cimento A. 8 (2): 319–330. Bibcode:1972NCimA ... 8..319M. Дои:10.1007 / BF02732654. ISSN  0369-3546. S2CID  123767732.
39. Огиевецкий, В. I; Полубаринов, И. В (1965-11-01). «Взаимодействующее поле спина 2 и уравнения Эйнштейна». Анналы физики. 35 (2): 167–208. Bibcode:1965AnPhy..35..167O. Дои:10.1016/0003-4916(65)90077-1. ISSN  0003-4916.
40. Кояма, Казуя; Низ, Густаво; Тасинато, Джанмассимо (декабрь 2011 г.). «Самоускоряющаяся Вселенная с векторами в массивной гравитации». Журнал физики высоких энергий. 2011 (12): 65. arXiv:1110.2618. Bibcode:2011JHEP ... 12..065K. Дои:10.1007 / JHEP12 (2011) 065. ISSN  1029-8479. S2CID  118329368.
41. Питтс, Дж. Брайан (август 2019 г.). "Космологическая постоянная $ Lambda $ против массивных гравитонов: пример исключительности общей теории относительности против эгалитаризма физики элементарных частиц". arXiv:1906.02115 [Physics.hist-ph ].
42. Аркани-Хамед, Нима; Коэн, Эндрю Г .; Георгий, Ховард (май 2001 г.). «(Де) Построение размеров». Письма с физическими проверками. 86 (21): 4757–4761. arXiv:hep-th / 0104005. Bibcode:2001ПхРвЛ..86.4757А. Дои:10.1103 / PhysRevLett.86.4757. ISSN  0031-9007. PMID  11384341. S2CID  4540121.
43. Хинтербихлер, Курт; Розен, Рэйчел А. (2012). «Взаимодействующие поля Спина-2». JHEP. 1207 (7): 047. arXiv:1203.5783. Bibcode:2012JHEP ... 07..047H. Дои:10.1007 / JHEP07 (2012) 047. S2CID  119255545.
44. Ондо, Николас А .; Толли, Эндрю Дж. (Ноябрь 2013 г.). «Полный предел развязки массивной гравитации без призраков». Журнал физики высоких энергий. 2013 (11): 59. arXiv:1307.4769. Bibcode:2013JHEP ... 11..059O. Дои:10.1007 / JHEP11 (2013) 059. ISSN  1029-8479. S2CID  119101943.
45. Groot Nibbelink, S .; Peloso, M .; Секстон, М. (август 2007 г.). «Нелинейные свойства референсной массивной гравитации». Европейский физический журнал C. 51 (3): 741–752. arXiv:hep-th / 0610169. Bibcode:2007EPJC ... 51..741G. Дои:10.1140 / epjc / s10052-007-0311-х. ISSN  1434-6044. S2CID  14575306.
46. де Рам, Клаудиа; Гейзенберг, Лавиния; Рибейро, Ракель Х. (2013). «Квантовые поправки в массивной гравитации». Phys. Ред. D. 88 (8): 084058. arXiv:1307.7169. Bibcode:2013ПхРвД..88х4058Д. Дои:10.1103 / PhysRevD.88.084058. S2CID  118328264.
47. де Феличе, Антонио; Гюмрюкчуоглу, А. Эмир; Линь, Чуньшань; Мукохьяма, Синдзи (2013). «О космологии массивной гравитации». Учебный класс. Квантовая гравитация. 30 (18): 184004. arXiv:1304.0484. Bibcode:2013CQGra..30r4004D. Дои:10.1088/0264-9381/30/18/184004. S2CID  118669165.
48. Комелли, Денис; Крисостоми, Марко; Пило, Луиджи (2012). "Возмущения в космологии массивной гравитации". JHEP. 1206 (6): 085. arXiv:1202.1986. Bibcode:2012JHEP ... 06..085C. Дои:10.1007 / JHEP06 (2012) 085. S2CID  119205963.
49. Кённиг, Франк; Акрами, Яшар; Амендола, Лука; Мотта, Мариэль; Соломон, Адам Р. (2014). «Устойчивые и неустойчивые космологические модели в биметрической массивной гравитации». Phys. Ред. D. 90 (12): 124014. arXiv:1407.4331. Bibcode:2014ПхРвД..90л4014К. Дои:10.1103 / PhysRevD.90.124014. S2CID  86860987.
50. Б. П. Эбботт; и другие. (Научное сотрудничество LIGO и сотрудничество Девы) (2016). "Наблюдение гравитационных волн от двойного слияния черных дыр". Phys. Rev. Lett. 116 (6): 061102. arXiv:1602.03837. Bibcode:2016ПхРвЛ.116ф1102А. Дои:10.1103 / PhysRevLett.116.061102. PMID  26918975. S2CID  124959784.