Тензоры в криволинейных координатах - Tensors in curvilinear coordinates

Для более широкого освещения этой темы см. Криволинейные координаты.

Криволинейные координаты можно сформулировать в тензорное исчисление, с важными приложениями в физика и инженерное дело, в частности, для описания переноса физических величин и деформации вещества в механика жидкости и механика сплошной среды.

Векторная и тензорная алгебра в трехмерных криволинейных координатах

Обратите внимание Соглашение о суммировании Эйнштейна суммирования по повторным показателям используется ниже.

Элементарная векторная и тензорная алгебра в криволинейных координатах используется в некоторых старых научных публикациях в механика и физика и может быть незаменим для понимания работ начала и середины 1900-х годов, например текста Грина и Зерны.^[1] В этом разделе приведены некоторые полезные соотношения из алгебры векторов и тензоров второго порядка в криволинейных координатах. Обозначения и содержание в основном взяты из Огдена,^[2] Нагди,^[3] Симмондс,^[4] Грин и Зерна,^[1] Басар и Вайхерт,^[5] и Ciarlet.^[6]

Координатные преобразования

Рассмотрим две системы координат с координатными переменными ${\displaystyle (Z^{1},Z^{2},Z^{3})}$ и ${\displaystyle (Z^{\acute {1}},Z^{\acute {2}},Z^{\acute {3}})}$, который мы кратко представим как ${\displaystyle Z^{i}}$ и ${\displaystyle Z^{\acute {i}}}$ соответственно и всегда предполагаем, что наш индекс ${\displaystyle i}$ проходит от 1 до 3. Мы будем предполагать, что эти системы координат вложены в трехмерное евклидово пространство. Координаты ${\displaystyle Z^{i}}$ и ${\displaystyle Z^{\acute {i}}}$ могут быть использованы для объяснения друг друга, потому что, перемещаясь по линии координат в одной системе координат, мы можем использовать другую для описания нашего положения. Таким образом Координаты ${\displaystyle Z^{i}}$ и ${\displaystyle Z^{\acute {i}}}$ являются функциями друг друга

${\displaystyle Z^{i}=f^{i}(Z^{\acute {1}},Z^{\acute {2}},Z^{\acute {3}})}$ за ${\displaystyle i=1,2,3}$

который можно записать как

${\displaystyle Z^{i}=Z^{i}(Z^{\acute {1}},Z^{\acute {2}},Z^{\acute {3}})=Z^{i}(Z^{\acute {i}})}$ за ${\displaystyle {\acute {i}},i=1,2,3}$

Эти три уравнения вместе также называются преобразованием координат из ${\displaystyle Z^{\acute {i}}}$ к ${\displaystyle Z^{i}}$Обозначим это преобразование через ${\displaystyle T}$. Поэтому мы представим преобразование из системы координат с координатными переменными ${\displaystyle Z^{\acute {i}}}$ в систему координат с координатами ${\displaystyle Z^{i}}$ в качестве:

${\displaystyle Z=T({\acute {z}})}$

Аналогично мы можем представить ${\displaystyle Z^{\acute {i}}}$ как функция ${\displaystyle Z^{i}}$ следующее:

${\displaystyle Z^{\acute {i}}=g^{\acute {i}}(Z^{1},Z^{2},Z^{3})}$ за ${\displaystyle {\acute {i}}=1,2,3}$

аналогично мы можем записать свободные уравнения более компактно как

${\displaystyle Z^{\acute {i}}=Z^{\acute {i}}(Z^{1},Z^{2},Z^{3})=Z^{\acute {i}}(Z^{i})}$ за ${\displaystyle {\acute {i}},i=1,2,3}$

Эти три уравнения вместе также называются преобразованием координат из ${\displaystyle Z^{i}}$ к ${\displaystyle Z^{\acute {i}}}$. Обозначим это преобразование через ${\displaystyle S}$. Представим преобразование из системы координат с координатными переменными ${\displaystyle Z^{i}}$ в систему координат с координатами ${\displaystyle Z^{\acute {i}}}$ в качестве:

${\displaystyle {\acute {z}}=S(z)}$

Если преобразование ${\displaystyle T}$ биективно, то мы называем образ преобразования, а именно ${\displaystyle Z^{i}}$, набор допустимые координаты для ${\displaystyle Z^{\acute {i}}}$. Если ${\displaystyle T}$ линейна система координат ${\displaystyle Z^{i}}$ будет называться аффинная система координат ,иначе ${\displaystyle Z^{i}}$ называется криволинейная система координат

Якобиан

Как мы теперь видим, координаты ${\displaystyle Z^{i}}$ и ${\displaystyle Z^{\acute {i}}}$ являются функциями друг друга, мы можем взять производную координатной переменной ${\displaystyle Z^{i}}$ по координатной переменной ${\displaystyle Z^{\acute {i}}}$

учитывать

${\displaystyle \partial {Z^{i}} \over \partial {Z^{\acute {i}}}}$${\displaystyle {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}}$${\displaystyle J_{\acute {i}}^{i}}$ за ${\displaystyle {\acute {i}},i=1,2,3}$эти производные можно расположить в виде матрицы, например ${\displaystyle J}$,в котором ${\displaystyle J_{\acute {i}}^{i}}$ это элемент в ${\displaystyle i^{th}}$ряд и ${\displaystyle {\acute {i}}^{th}}$столбец

${\displaystyle J}$${\displaystyle =}$${\displaystyle {\begin{pmatrix}J_{\acute {1}}^{1}&J_{\acute {2}}^{1}&J_{\acute {3}}^{1}\\J_{\acute {1}}^{2}&J_{\acute {2}}^{2}&J_{\acute {3}}^{2}\\J_{\acute {1}}^{3}&J_{\acute {2}}^{3}&J_{\acute {3}}^{3}\end{pmatrix}}}$${\displaystyle =}$${\displaystyle {\begin{pmatrix}{\partial {Z^{1}} \over \partial {Z^{\acute {1}}}}&{\partial {Z^{1}} \over \partial {Z^{\acute {2}}}}&{\partial {Z^{1}} \over \partial {Z^{\acute {3}}}}\\{\partial {Z^{2}} \over \partial {Z^{\acute {1}}}}&{\partial {Z^{2}} \over \partial {Z^{\acute {2}}}}&{\partial {Z^{2}} \over \partial {Z^{\acute {3}}}}\\{\partial {Z^{3}} \over \partial {Z^{\acute {1}}}}&{\partial {Z^{3}} \over \partial {Z^{\acute {2}}}}&{\partial {Z^{3}} \over \partial {Z^{\acute {3}}}}\end{pmatrix}}}$

Полученная матрица называется матрицей Якоби.

Векторы в криволинейных координатах

Позволять (б₁, б₂, б₃) - произвольный базис трехмерного евклидова пространства. В общем случае базисные векторы ни единичные векторы, ни взаимно ортогональные. Однако они должны быть линейно независимыми. Тогда вектор v можно выразить как^{[4](стр. 27)}

${\displaystyle \mathbf {v} =v^{k}\,\mathbf {b} _{k}}$

Компоненты v^k являются контравариантный компоненты вектора v.

В взаимная основа (б¹, б², б³) определяется соотношением ^{[4](стр. 28–29)}

${\displaystyle \mathbf {b} ^{i}\cdot \mathbf {b} _{j}=\delta _{j}^{i}}$

куда δ^я _j это Дельта Кронекера.

Вектор v также может быть выражено через взаимную основу:

${\displaystyle \mathbf {v} =v_{k}~\mathbf {b} ^{k}}$

Компоненты v_k являются ковариантный компоненты вектора ${\displaystyle \mathbf {v} }$.

Тензоры второго порядка в криволинейных координатах

Тензор второго порядка можно выразить как

${\displaystyle {\boldsymbol {S}}=S^{ij}~\mathbf {b} _{i}\otimes \mathbf {b} _{j}=S_{~j}^{i}~\mathbf {b} _{i}\otimes \mathbf {b} ^{j}=S_{i}^{~j}~\mathbf {b} ^{i}\otimes \mathbf {b} _{j}=S_{ij}~\mathbf {b} ^{i}\otimes \mathbf {b} ^{j}}$

Компоненты S^ij называются контравариантный составные части, S^я _j то смешанный правоковариантный составные части, S_я ^j то смешанный левоковариантный компоненты и S_ij то ковариантный компоненты тензора второго порядка.

Метрический тензор и отношения между компонентами

Количество грамм_ij, грамм^ij определены как^{[4](стр39)}

${\displaystyle g_{ij}=\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{j}=g_{ji}~;~~g^{ij}=\mathbf {b} ^{i}\cdot \mathbf {b} ^{j}=g^{ji}}$

Из приведенных выше уравнений имеем

${\displaystyle v^{i}=g^{ik}~v_{k}~;~~v_{i}=g_{ik}~v^{k}~;~~\mathbf {b} ^{i}=g^{ij}~\mathbf {b} _{j}~;~~\mathbf {b} _{i}=g_{ij}~\mathbf {b} ^{j}}$

Компоненты вектора связаны соотношением^{[4](стр. 30–32)}

${\displaystyle \mathbf {v} \cdot \mathbf {b} ^{i}=v^{k}~\mathbf {b} _{k}\cdot \mathbf {b} ^{i}=v^{k}~\delta _{k}^{i}=v^{i}}$

${\displaystyle \mathbf {v} \cdot \mathbf {b} _{i}=v_{k}~\mathbf {b} ^{k}\cdot \mathbf {b} _{i}=v_{k}~\delta _{i}^{k}=v_{i}}$

Также,

${\displaystyle \mathbf {v} \cdot \mathbf {b} _{i}=v^{k}~\mathbf {b} _{k}\cdot \mathbf {b} _{i}=g_{ki}~v^{k}}$

${\displaystyle \mathbf {v} \cdot \mathbf {b} ^{i}=v_{k}~\mathbf {b} ^{k}\cdot \mathbf {b} ^{i}=g^{ki}~v_{k}}$

Компоненты тензора второго порядка связаны соотношением

${\displaystyle S^{ij}=g^{ik}~S_{k}^{~j}=g^{jk}~S_{~k}^{i}=g^{ik}~g^{jl}~S_{kl}}$

Переменный тензор

В ортонормированном правостороннем базисе третий порядок переменный тензор определяется как

${\displaystyle {\boldsymbol {\mathcal {E}}}=\varepsilon _{ijk}~\mathbf {e} ^{i}\otimes \mathbf {e} ^{j}\otimes \mathbf {e} ^{k}}$

В общем криволинейном базисе тот же тензор можно выразить как

${\displaystyle {\boldsymbol {\mathcal {E}}}={\mathcal {E}}_{ijk}~\mathbf {b} ^{i}\otimes \mathbf {b} ^{j}\otimes \mathbf {b} ^{k}={\mathcal {E}}^{ijk}~\mathbf {b} _{i}\otimes \mathbf {b} _{j}\otimes \mathbf {b} _{k}}$

Можно показать, что

${\displaystyle {\mathcal {E}}_{ijk}=\left[\mathbf {b} _{i},\mathbf {b} _{j},\mathbf {b} _{k}\right]=(\mathbf {b} _{i}\times \mathbf {b} _{j})\cdot \mathbf {b} _{k}~;~~{\mathcal {E}}^{ijk}=\left[\mathbf {b} ^{i},\mathbf {b} ^{j},\mathbf {b} ^{k}\right]}$

Сейчас же,

${\displaystyle \mathbf {b} _{i}\times \mathbf {b} _{j}=J~\varepsilon _{ijp}~\mathbf {b} ^{p}={\sqrt {g}}~\varepsilon _{ijp}~\mathbf {b} ^{p}}$

Следовательно,

${\displaystyle {\mathcal {E}}_{ijk}=J~\varepsilon _{ijk}={\sqrt {g}}~\varepsilon _{ijk}}$

Аналогичным образом можно показать, что

${\displaystyle {\mathcal {E}}^{ijk}={\cfrac {1}{J}}~\varepsilon ^{ijk}={\cfrac {1}{\sqrt {g}}}~\varepsilon ^{ijk}}$

Векторные операции

Карта идентичности

Карта идентичности я определяется ${\displaystyle \mathbf {I} \cdot \mathbf {v} =\mathbf {v} }$ можно показать как:^{[4](стр39)}

${\displaystyle \mathbf {I} =g^{ij}\mathbf {b} _{i}\otimes \mathbf {b} _{j}=g_{ij}\mathbf {b} ^{i}\otimes \mathbf {b} ^{j}=\mathbf {b} _{i}\otimes \mathbf {b} ^{i}=\mathbf {b} ^{i}\otimes \mathbf {b} _{i}}$

Скалярное (точечное) произведение

Скалярное произведение двух векторов в криволинейных координатах равно^{[4](стр. 32)}

${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \mathbf {v} =u^{i}v_{i}=u_{i}v^{i}=g_{ij}u^{i}v^{j}=g^{ij}u_{i}v_{j}}$

Векторное (кросс) произведение

В перекрестное произведение двух векторов определяется выражением:^{[4](стр. 32–34)}

${\displaystyle \mathbf {u} \times \mathbf {v} =\varepsilon _{ijk}u_{j}v_{k}\mathbf {e} _{i}}$

где ε_ijk это символ перестановки и е_я - декартов базисный вектор. В криволинейных координатах эквивалентное выражение:

${\displaystyle \mathbf {u} \times \mathbf {v} =[(\mathbf {b} _{m}\times \mathbf {b} _{n})\cdot \mathbf {b} _{s}]u^{m}v^{n}\mathbf {b} ^{s}={\mathcal {E}}_{smn}u^{m}v^{n}\mathbf {b} ^{s}}$

куда ${\displaystyle {\mathcal {E}}_{ijk}}$ это переменный тензор третьего порядка. В перекрестное произведение двух векторов определяется выражением:

${\displaystyle \mathbf {u} \times \mathbf {v} =\varepsilon _{ijk}{\hat {u}}_{j}{\hat {v}}_{k}\mathbf {e} _{i}}$

где ε_ijk это символ перестановки и ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$ - декартов базисный вектор. Следовательно,

${\displaystyle \mathbf {e} _{p}\times \mathbf {e} _{q}=\varepsilon _{ipq}\mathbf {e} _{i}}$

и

${\displaystyle \mathbf {b} _{m}\times \mathbf {b} _{n}={\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial q^{m}}}\times {\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial q^{n}}}={\frac {\partial (x_{p}\mathbf {e} _{p})}{\partial q^{m}}}\times {\frac {\partial (x_{q}\mathbf {e} _{q})}{\partial q^{n}}}={\frac {\partial x_{p}}{\partial q^{m}}}{\frac {\partial x_{q}}{\partial q^{n}}}\mathbf {e} _{p}\times \mathbf {e} _{q}=\varepsilon _{ipq}{\frac {\partial x_{p}}{\partial q^{m}}}{\frac {\partial x_{q}}{\partial q^{n}}}\mathbf {e} _{i}.}$

Следовательно,

${\displaystyle (\mathbf {b} _{m}\times \mathbf {b} _{n})\cdot \mathbf {b} _{s}=\varepsilon _{ipq}{\frac {\partial x_{p}}{\partial q^{m}}}{\frac {\partial x_{q}}{\partial q^{n}}}{\frac {\partial x_{i}}{\partial q^{s}}}}$

Вернемся к векторному произведению и воспользуемся соотношениями:

${\displaystyle {\hat {u}}_{j}={\frac {\partial x_{j}}{\partial q^{m}}}u^{m},\quad {\hat {v}}_{k}={\frac {\partial x_{k}}{\partial q^{n}}}v^{n},\quad \mathbf {e} _{i}={\frac {\partial x_{i}}{\partial q^{s}}}\mathbf {b} ^{s},}$

дает нам:

${\displaystyle \mathbf {u} \times \mathbf {v} =\varepsilon _{ijk}{\hat {u}}_{j}{\hat {v}}_{k}\mathbf {e} _{i}=\varepsilon _{ijk}{\frac {\partial x_{j}}{\partial q^{m}}}{\frac {\partial x_{k}}{\partial q^{n}}}{\frac {\partial x_{i}}{\partial q^{s}}}u^{m}v^{n}\mathbf {b} ^{s}=[(\mathbf {b} _{m}\times \mathbf {b} _{n})\cdot \mathbf {b} _{s}]u^{m}v^{n}\mathbf {b} ^{s}={\mathcal {E}}_{smn}u^{m}v^{n}\mathbf {b} ^{s}}$

Тензорные операции

Карта идентичности

Карта идентичности ${\displaystyle {\mathsf {I}}}$ определяется ${\displaystyle {\mathsf {I}}\cdot \mathbf {v} =\mathbf {v} }$ можно показать как^{[4](стр39)}

${\displaystyle {\mathsf {I}}=g^{ij}\mathbf {b} _{i}\otimes \mathbf {b} _{j}=g_{ij}\mathbf {b} ^{i}\otimes \mathbf {b} ^{j}=\mathbf {b} _{i}\otimes \mathbf {b} ^{i}=\mathbf {b} ^{i}\otimes \mathbf {b} _{i}}$

Действие тензора второго порядка на вектор

Действие ${\displaystyle \mathbf {v} ={\boldsymbol {S}}\cdot \mathbf {u} }$ можно выразить в криволинейных координатах как

${\displaystyle v^{i}\mathbf {b} _{i}=S^{ij}u_{j}\mathbf {b} _{i}=S_{j}^{i}u^{j}\mathbf {b} _{i};\qquad v_{i}\mathbf {b} ^{i}=S_{ij}u^{i}\mathbf {b} ^{i}=S_{i}^{j}u_{j}\mathbf {b} ^{i}}$

Внутренний продукт двух тензоров второго порядка

Внутреннее произведение двух тензоров второго порядка ${\displaystyle {\boldsymbol {U}}={\boldsymbol {S}}\cdot {\boldsymbol {T}}}$ можно выразить в криволинейных координатах как

${\displaystyle U_{ij}\mathbf {b} ^{i}\otimes \mathbf {b} ^{j}=S_{ik}T_{.j}^{k}\mathbf {b} ^{i}\otimes \mathbf {b} ^{j}=S_{i}^{.k}T_{kj}\mathbf {b} ^{i}\otimes \mathbf {b} ^{j}}$

В качестве альтернативы,

${\displaystyle {\boldsymbol {U}}=S^{ij}T_{.n}^{m}g_{jm}\mathbf {b} _{i}\otimes \mathbf {b} ^{n}=S_{.m}^{i}T_{.n}^{m}\mathbf {b} _{i}\otimes \mathbf {b} ^{n}=S^{ij}T_{jn}\mathbf {b} _{i}\otimes \mathbf {b} ^{n}}$

Детерминант тензора второго порядка

Если ${\displaystyle {\boldsymbol {S}}}$ - тензор второго порядка, то определитель определяется соотношением

${\displaystyle \left[{\boldsymbol {S}}\cdot \mathbf {u} ,{\boldsymbol {S}}\cdot \mathbf {v} ,{\boldsymbol {S}}\cdot \mathbf {w} \right]=\det {\boldsymbol {S}}\left[\mathbf {u} ,\mathbf {v} ,\mathbf {w} \right]}$

куда ${\displaystyle \mathbf {u} ,\mathbf {v} ,\mathbf {w} }$ - произвольные векторы и

${\displaystyle \left[\mathbf {u} ,\mathbf {v} ,\mathbf {w} \right]:=\mathbf {u} \cdot (\mathbf {v} \times \mathbf {w} ).}$

Связь между криволинейными и декартовыми базисными векторами

Позволять (е₁, е₂, е₃) - обычные декартовы базисные векторы для интересующего нас евклидова пространства, и пусть

${\displaystyle \mathbf {b} _{i}={\boldsymbol {F}}\cdot \mathbf {e} _{i}}$

куда F_я - тензор преобразования второго порядка, отображающий е_я к б_я. Потом,

${\displaystyle \mathbf {b} _{i}\otimes \mathbf {e} _{i}=({\boldsymbol {F}}\cdot \mathbf {e} _{i})\otimes \mathbf {e} _{i}={\boldsymbol {F}}\cdot (\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{i})={\boldsymbol {F}}~.}$

Из этого соотношения можно показать, что

${\displaystyle \mathbf {b} ^{i}={\boldsymbol {F}}^{-{\rm {T}}}\cdot \mathbf {e} ^{i}~;~~g^{ij}=[{\boldsymbol {F}}^{-{\rm {1}}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{-{\rm {T}}}]_{ij}~;~~g_{ij}=[g^{ij}]^{-1}=[{\boldsymbol {F}}^{\rm {T}}\cdot {\boldsymbol {F}}]_{ij}}$

Позволять ${\displaystyle J:=\det {\boldsymbol {F}}}$ - якобиан преобразования. Тогда из определения определителя

${\displaystyle \left[\mathbf {b} _{1},\mathbf {b} _{2},\mathbf {b} _{3}\right]=\det {\boldsymbol {F}}\left[\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}\right]~.}$

С

${\displaystyle \left[\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}\right]=1}$

у нас есть

${\displaystyle J=\det {\boldsymbol {F}}=\left[\mathbf {b} _{1},\mathbf {b} _{2},\mathbf {b} _{3}\right]=\mathbf {b} _{1}\cdot (\mathbf {b} _{2}\times \mathbf {b} _{3})}$

Используя указанные выше соотношения, можно получить ряд интересных результатов.

Сначала рассмотрим

${\displaystyle g:=\det[g_{ij}]}$

потом

${\displaystyle g=\det[{\boldsymbol {F}}^{\rm {T}}]\cdot \det[{\boldsymbol {F}}]=J\cdot J=J^{2}}$

Аналогичным образом можно показать, что

${\displaystyle \det[g^{ij}]={\cfrac {1}{J^{2}}}}$

Следовательно, используя тот факт, что ${\displaystyle [g^{ij}]=[g_{ij}]^{-1}}$,

${\displaystyle {\cfrac {\partial g}{\partial g_{ij}}}=2~J~{\cfrac {\partial J}{\partial g_{ij}}}=g~g^{ij}}$

Еще одно интересное соотношение выводится ниже. Напомним, что

${\displaystyle \mathbf {b} ^{i}\cdot \mathbf {b} _{j}=\delta _{j}^{i}\quad \Rightarrow \quad \mathbf {b} ^{1}\cdot \mathbf {b} _{1}=1,~\mathbf {b} ^{1}\cdot \mathbf {b} _{2}=\mathbf {b} ^{1}\cdot \mathbf {b} _{3}=0\quad \Rightarrow \quad \mathbf {b} ^{1}=A~(\mathbf {b} _{2}\times \mathbf {b} _{3})}$

куда А является пока неопределенной константой. потом

${\displaystyle \mathbf {b} ^{1}\cdot \mathbf {b} _{1}=A~\mathbf {b} _{1}\cdot (\mathbf {b} _{2}\times \mathbf {b} _{3})=AJ=1\quad \Rightarrow \quad A={\cfrac {1}{J}}}$

Это наблюдение приводит к соотношениям

${\displaystyle \mathbf {b} ^{1}={\cfrac {1}{J}}(\mathbf {b} _{2}\times \mathbf {b} _{3})~;~~\mathbf {b} ^{2}={\cfrac {1}{J}}(\mathbf {b} _{3}\times \mathbf {b} _{1})~;~~\mathbf {b} ^{3}={\cfrac {1}{J}}(\mathbf {b} _{1}\times \mathbf {b} _{2})}$

В индексной записи

${\displaystyle \varepsilon _{ijk}~\mathbf {b} ^{k}={\cfrac {1}{J}}(\mathbf {b} _{i}\times \mathbf {b} _{j})={\cfrac {1}{\sqrt {g}}}(\mathbf {b} _{i}\times \mathbf {b} _{j})}$

куда ${\displaystyle \varepsilon _{ijk}}$ это обычный символ перестановки.

Мы не нашли явного выражения для тензора преобразований F поскольку более полезна альтернативная форма отображения между криволинейным и декартовым основаниями. Предполагая достаточную степень гладкости отображения (и немного злоупотребления обозначениями), мы имеем

${\displaystyle \mathbf {b} _{i}={\cfrac {\partial \mathbf {x} }{\partial q^{i}}}={\cfrac {\partial \mathbf {x} }{\partial x_{j}}}~{\cfrac {\partial x_{j}}{\partial q^{i}}}=\mathbf {e} _{j}~{\cfrac {\partial x_{j}}{\partial q^{i}}}}$

По аналогии,

${\displaystyle \mathbf {e} _{i}=\mathbf {b} _{j}~{\cfrac {\partial q^{j}}{\partial x_{i}}}}$

Из этих результатов мы имеем

${\displaystyle \mathbf {e} ^{k}\cdot \mathbf {b} _{i}={\frac {\partial x_{k}}{\partial q^{i}}}\quad \Rightarrow \quad {\frac {\partial x_{k}}{\partial q^{i}}}~\mathbf {b} ^{i}=\mathbf {e} ^{k}\cdot (\mathbf {b} _{i}\otimes \mathbf {b} ^{i})=\mathbf {e} ^{k}}$

и

${\displaystyle \mathbf {b} ^{k}={\frac {\partial q^{k}}{\partial x_{i}}}~\mathbf {e} ^{i}}$

Векторное и тензорное исчисление в трехмерных криволинейных координатах

Обратите внимание Соглашение о суммировании Эйнштейна суммирования по повторным показателям используется ниже.

Симмондс,^[4] в его книге о тензорный анализ, цитаты Альберт Эйнштейн говоря^[7]

Магия этой теории вряд ли перестанет привлекать к себе любого, кто действительно ее понял; он представляет собой подлинный триумф метода абсолютного дифференциального исчисления, основанного Гауссом, Риманом, Риччи и Леви-Чивита.

Векторное и тензорное исчисление в общих криволинейных координатах используется в тензорном анализе на четырехмерных криволинейных системах. коллекторы в общая теория относительности,^[8] в механика изогнутых снаряды,^[6] при изучении инвариантность свойства Уравнения Максвелла который был интересен метаматериалы^[9][10] и во многих других областях.

В этом разделе приведены некоторые полезные соотношения в исчислении векторов и тензоров второго порядка в криволинейных координатах. Обозначения и содержание в основном взяты из Огдена,^[2] Симмондс,^[4] Грин и Зерна,^[1] Басар и Вайхерт,^[5] и Ciarlet.^[6]

Основные определения

Пусть положение точки в пространстве характеризуется тремя координатными переменными ${\displaystyle (q^{1},q^{2},q^{3})}$.

В координатная кривая q¹ представляет собой кривую, на которой q², q³ постоянны. Позволять Икс быть вектор положения точки относительно некоторого начала. Тогда, предполагая, что такое отображение и обратное ему отображение существуют и непрерывны, мы можем написать ^[2](p55)

${\displaystyle \mathbf {x} ={\boldsymbol {\varphi }}(q^{1},q^{2},q^{3})~;~~q^{i}=\psi ^{i}(\mathbf {x} )=[{\boldsymbol {\varphi }}^{-1}(\mathbf {x} )]^{i}}$

Поля ψ^я(Икс) называются криволинейные координатные функции из криволинейная система координат ψ(Икс) = φ⁻¹(Икс).

В q^я координатные кривые определяются однопараметрическим семейством функций:

${\displaystyle \mathbf {x} _{i}(\alpha )={\boldsymbol {\varphi }}(\alpha ,q^{j},q^{k})~,~~i\neq j\neq k}$

с q^j, q^k фиксированный.

Касательный вектор к координатным кривым

В касательный вектор к кривой Икс_я в момент Икс_я(α) (или координатной кривой q_я в момент Икс) является

${\displaystyle {\cfrac {\rm {{d}\mathbf {x} _{i}}}{\rm {{d}\alpha }}}\equiv {\cfrac {\partial \mathbf {x} }{\partial q^{i}}}}$

Градиент

Скалярное поле

Позволять ж(Икс) - скалярное поле в пространстве. потом

${\displaystyle f(\mathbf {x} )=f[{\boldsymbol {\varphi }}(q^{1},q^{2},q^{3})]=f_{\varphi }(q^{1},q^{2},q^{3})}$

Градиент поля ж определяется

${\displaystyle [{\boldsymbol {\nabla }}f(\mathbf {x} )]\cdot \mathbf {c} ={\cfrac {\rm {d}}{\rm {{d}\alpha }}}f(\mathbf {x} +\alpha \mathbf {c} ){\biggr |}_{\alpha =0}}$

куда c - произвольный постоянный вектор. Если мы определим компоненты c^я из c такие, что

${\displaystyle q^{i}+\alpha ~c^{i}=\psi ^{i}(\mathbf {x} +\alpha ~\mathbf {c} )}$

тогда

${\displaystyle [{\boldsymbol {\nabla }}f(\mathbf {x} )]\cdot \mathbf {c} ={\cfrac {\rm {d}}{\rm {{d}\alpha }}}f_{\varphi }(q^{1}+\alpha ~c^{1},q^{2}+\alpha ~c^{2},q^{3}+\alpha ~c^{3}){\biggr |}_{\alpha =0}={\cfrac {\partial f_{\varphi }}{\partial q^{i}}}~c^{i}={\cfrac {\partial f}{\partial q^{i}}}~c^{i}}$

Если мы установим ${\displaystyle f(\mathbf {x} )=\psi ^{i}(\mathbf {x} )}$, то поскольку ${\displaystyle q^{i}=\psi ^{i}(\mathbf {x} )}$, у нас есть

${\displaystyle [{\boldsymbol {\nabla }}\psi ^{i}(\mathbf {x} )]\cdot \mathbf {c} ={\cfrac {\partial \psi ^{i}}{\partial q^{j}}}~c^{j}=c^{i}}$

который обеспечивает средства извлечения контравариантной компоненты вектора c.

Если б_я ковариантный (или естественный) базис в точке, и если б^я является контравариантным (или взаимным) базисом в этой точке, то

${\displaystyle [{\boldsymbol {\nabla }}f(\mathbf {x} )]\cdot \mathbf {c} ={\cfrac {\partial f}{\partial q^{i}}}~c^{i}=\left({\cfrac {\partial f}{\partial q^{i}}}~\mathbf {b} ^{i}\right)\left(c^{i}~\mathbf {b} _{i}\right)\quad \Rightarrow \quad {\boldsymbol {\nabla }}f(\mathbf {x} )={\cfrac {\partial f}{\partial q^{i}}}~\mathbf {b} ^{i}}$

Краткое обоснование этого выбора основы дано в следующем разделе.

Векторное поле

Аналогичный процесс можно использовать для получения градиента векторного поля. ж(Икс). Градиент определяется выражением

${\displaystyle [{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {f} (\mathbf {x} )]\cdot \mathbf {c} ={\cfrac {\partial \mathbf {f} }{\partial q^{i}}}~c^{i}}$

Если мы рассмотрим градиент векторного поля положения р(Икс) = Икс, то можно показать, что

${\displaystyle \mathbf {c} ={\cfrac {\partial \mathbf {x} }{\partial q^{i}}}~c^{i}=\mathbf {b} _{i}(\mathbf {x} )~c^{i}~;~~\mathbf {b} _{i}(\mathbf {x} ):={\cfrac {\partial \mathbf {x} }{\partial q^{i}}}}$

Векторное поле б_я касается q^я координатной кривой и образует натуральная основа в каждой точке кривой. Эта основа, как обсуждалось в начале этой статьи, также называется ковариантный криволинейное основание. Мы также можем определить взаимная основа, или же контравариантный криволинейное основание, б^я. Все алгебраические соотношения между базисными векторами, как обсуждалось в разделе о тензорной алгебре, применяются к естественному базису и его обратной величине в каждой точке. Икс.

С c произвольно, мы можем написать

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {f} (\mathbf {x} )={\cfrac {\partial \mathbf {f} }{\partial q^{i}}}\otimes \mathbf {b} ^{i}}$

Обратите внимание, что контрвариантный базисный вектор б^я перпендикулярна поверхности постоянной ψ^я и дается

${\displaystyle \mathbf {b} ^{i}={\boldsymbol {\nabla }}\psi ^{i}}$

Символы Кристоффеля первого рода

В Символы Кристоффеля первого рода определяются как

${\displaystyle \mathbf {b} _{i,j}={\frac {\partial \mathbf {b} _{i}}{\partial q^{j}}}:=\Gamma _{ijk}~\mathbf {b} ^{k}\quad \Rightarrow \quad \mathbf {b} _{i,j}\cdot \mathbf {b} _{l}=\Gamma _{ijl}}$

Чтобы выразить Γ_ijk с точки зрения грамм_ij мы отмечаем, что

${\displaystyle {\begin{aligned}g_{ij,k}&=(\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{j})_{,k}=\mathbf {b} _{i,k}\cdot \mathbf {b} _{j}+\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{j,k}=\Gamma _{ikj}+\Gamma _{jki}\\g_{ik,j}&=(\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{k})_{,j}=\mathbf {b} _{i,j}\cdot \mathbf {b} _{k}+\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{k,j}=\Gamma _{ijk}+\Gamma _{kji}\\g_{jk,i}&=(\mathbf {b} _{j}\cdot \mathbf {b} _{k})_{,i}=\mathbf {b} _{j,i}\cdot \mathbf {b} _{k}+\mathbf {b} _{j}\cdot \mathbf {b} _{k,i}=\Gamma _{jik}+\Gamma _{kij}\end{aligned}}}$

С б_{я, j} = б_{j, я} имеем Γ_ijk = Γ_Джик. Использование их для перестановки приведенных выше соотношений дает

${\displaystyle \Gamma _{ijk}={\frac {1}{2}}(g_{ik,j}+g_{jk,i}-g_{ij,k})={\frac {1}{2}}[(\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{k})_{,j}+(\mathbf {b} _{j}\cdot \mathbf {b} _{k})_{,i}-(\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{j})_{,k}]}$

Символы Кристоффеля второго рода

В Символы Кристоффеля второго рода определяются как

${\displaystyle \Gamma _{ij}^{k}=\Gamma _{ji}^{k}}$

в котором

${\displaystyle {\cfrac {\partial \mathbf {b} _{i}}{\partial q^{j}}}=\Gamma _{ij}^{k}~\mathbf {b} _{k}}$

Отсюда следует, что

${\displaystyle \Gamma _{ij}^{k}={\cfrac {\partial \mathbf {b} _{i}}{\partial q^{j}}}\cdot \mathbf {b} ^{k}=-\mathbf {b} _{i}\cdot {\cfrac {\partial \mathbf {b} ^{k}}{\partial q^{j}}}}$

Следующие далее отношения

${\displaystyle {\cfrac {\partial \mathbf {b} ^{i}}{\partial q^{j}}}=-\Gamma _{jk}^{i}~\mathbf {b} ^{k}~;~~{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {b} _{i}=\Gamma _{ij}^{k}~\mathbf {b} _{k}\otimes \mathbf {b} ^{j}~;~~{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {b} ^{i}=-\Gamma _{jk}^{i}~\mathbf {b} ^{k}\otimes \mathbf {b} ^{j}}$

Еще одно особенно полезное соотношение, показывающее, что символ Кристоффеля зависит только от метрического тензора и его производных, - это

${\displaystyle \Gamma _{ij}^{k}={\frac {g^{km}}{2}}\left({\frac {\partial g_{mi}}{\partial q^{j}}}+{\frac {\partial g_{mj}}{\partial q^{i}}}-{\frac {\partial g_{ij}}{\partial q^{m}}}\right)}$

Явное выражение градиента векторного поля

Следующие выражения для градиента векторного поля в криволинейных координатах весьма полезны.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {v} &=\left[{\cfrac {\partial v^{i}}{\partial q^{k}}}+\Gamma _{lk}^{i}~v^{l}\right]~\mathbf {b} _{i}\otimes \mathbf {b} ^{k}\\[8pt]&=\left[{\cfrac {\partial v_{i}}{\partial q^{k}}}-\Gamma _{ki}^{l}~v_{l}\right]~\mathbf {b} ^{i}\otimes \mathbf {b} ^{k}\end{aligned}}}$

Представление физического векторного поля

Векторное поле v можно представить как

${\displaystyle \mathbf {v} =v_{i}~\mathbf {b} ^{i}={\hat {v}}_{i}~{\hat {\mathbf {b} }}^{i}}$

куда ${\displaystyle v_{i}}$ - ковариантные компоненты поля, ${\displaystyle {\hat {v}}_{i}}$ - физические компоненты, и (нет суммирование )

${\displaystyle {\hat {\mathbf {b} }}^{i}={\cfrac {\mathbf {b} ^{i}}{\sqrt {g^{ii}}}}}$

- нормированный контравариантный базисный вектор.

Тензорное поле второго порядка

Градиент тензорного поля второго порядка можно аналогично выразить как

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}{\boldsymbol {S}}={\cfrac {\partial {\boldsymbol {S}}}{\partial q^{i}}}\otimes \mathbf {b} ^{i}}$

Явные выражения для градиента

Если рассматривать выражение для тензора в терминах контравариантного базиса, то

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}{\boldsymbol {S}}={\cfrac {\partial }{\partial q^{k}}}[S_{ij}~\mathbf {b} ^{i}\otimes \mathbf {b} ^{j}]\otimes \mathbf {b} ^{k}=\left[{\cfrac {\partial S_{ij}}{\partial q^{k}}}-\Gamma _{ki}^{l}~S_{lj}-\Gamma _{kj}^{l}~S_{il}\right]~\mathbf {b} ^{i}\otimes \mathbf {b} ^{j}\otimes \mathbf {b} ^{k}}$

Мы также можем написать

${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\nabla }}{\boldsymbol {S}}&=\left[{\cfrac {\partial S^{ij}}{\partial q^{k}}}+\Gamma _{kl}^{i}~S^{lj}+\Gamma _{kl}^{j}~S^{il}\right]~\mathbf {b} _{i}\otimes \mathbf {b} _{j}\otimes \mathbf {b} ^{k}\\[8pt]&=\left[{\cfrac {\partial S_{~j}^{i}}{\partial q^{k}}}+\Gamma _{kl}^{i}~S_{~j}^{l}-\Gamma _{kj}^{l}~S_{~l}^{i}\right]~\mathbf {b} _{i}\otimes \mathbf {b} ^{j}\otimes \mathbf {b} ^{k}\\[8pt]&=\left[{\cfrac {\partial S_{i}^{~j}}{\partial q^{k}}}-\Gamma _{ik}^{l}~S_{l}^{~j}+\Gamma _{kl}^{j}~S_{i}^{~l}\right]~\mathbf {b} ^{i}\otimes \mathbf {b} _{j}\otimes \mathbf {b} ^{k}\end{aligned}}}$

Представление физического тензорного поля второго порядка

Физические компоненты тензорного поля второго порядка могут быть получены с использованием нормированного контравариантного базиса, т. Е.

${\displaystyle {\boldsymbol {S}}=S_{ij}~\mathbf {b} ^{i}\otimes \mathbf {b} ^{j}={\hat {S}}_{ij}~{\hat {\mathbf {b} }}^{i}\otimes {\hat {\mathbf {b} }}^{j}}$

где штрихованные базисные векторы нормализованы. Это означает, что (опять же без суммирования)

${\displaystyle {\hat {S}}_{ij}=S_{ij}~{\sqrt {g^{ii}~g^{jj}}}}$

Расхождение

Векторное поле

В расхождение векторного поля (${\displaystyle \mathbf {v} }$)определяется как

${\displaystyle \operatorname {div} ~\mathbf {v} ={\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} ={\text{tr}}({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {v} )}$

В компонентах относительно криволинейного базиса

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} ={\cfrac {\partial v^{i}}{\partial q^{i}}}+\Gamma _{\ell i}^{i}~v^{\ell }=\left[{\cfrac {\partial v_{i}}{\partial q^{j}}}-\Gamma _{ji}^{\ell }~v_{\ell }\right]~g^{ij}}$

Часто используется альтернативное уравнение для расходимости векторного поля. Чтобы вывести это соотношение, напомним, что

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} ={\frac {\partial v^{i}}{\partial q^{i}}}+\Gamma _{\ell i}^{i}~v^{\ell }}$

Сейчас же,

${\displaystyle \Gamma _{\ell i}^{i}=\Gamma _{i\ell }^{i}={\cfrac {g^{mi}}{2}}\left[{\frac {\partial g_{im}}{\partial q^{\ell }}}+{\frac {\partial g_{\ell m}}{\partial q^{i}}}-{\frac {\partial g_{il}}{\partial q^{m}}}\right]}$

Отметив, что из-за симметрии ${\displaystyle {\boldsymbol {g}}}$,

${\displaystyle g^{mi}~{\frac {\partial g_{\ell m}}{\partial q^{i}}}=g^{mi}~{\frac {\partial g_{i\ell }}{\partial q^{m}}}}$

у нас есть

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} ={\frac {\partial v^{i}}{\partial q^{i}}}+{\cfrac {g^{mi}}{2}}~{\frac {\partial g_{im}}{\partial q^{\ell }}}~v^{\ell }}$

Напомним, что если [грамм_ij] - матрица, компоненты которой равны грамм_ij, то матрица, обратная матрице ${\displaystyle [g_{ij}]^{-1}=[g^{ij}]}$. Матрица, обратная матрице, равна

${\displaystyle [g^{ij}]=[g_{ij}]^{-1}={\cfrac {A^{ij}}{g}}~;~~g:=\det([g_{ij}])=\det {\boldsymbol {g}}}$

куда А^ij являются Матрица кофакторов компонентов грамм_ij. Из матричной алгебры имеем

${\displaystyle g=\det([g_{ij}])=\sum _{i}g_{ij}~A^{ij}\quad \Rightarrow \quad {\frac {\partial g}{\partial g_{ij}}}=A^{ij}}$

Следовательно,

${\displaystyle [g^{ij}]={\cfrac {1}{g}}~{\frac {\partial g}{\partial g_{ij}}}}$

Подставляя это соотношение в выражение для расходимости, получаем

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} ={\frac {\partial v^{i}}{\partial q^{i}}}+{\cfrac {1}{2g}}~{\frac {\partial g}{\partial g_{mi}}}~{\frac {\partial g_{im}}{\partial q^{\ell }}}~v^{\ell }={\frac {\partial v^{i}}{\partial q^{i}}}+{\cfrac {1}{2g}}~{\frac {\partial g}{\partial q^{\ell }}}~v^{\ell }}$

Небольшая манипуляция приводит к более компактной форме

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} ={\cfrac {1}{\sqrt {g}}}~{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}(v^{i}~{\sqrt {g}})}$

Тензорное поле второго порядка

В расхождение тензорного поля второго порядка определяется с помощью

${\displaystyle ({\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {S}})\cdot \mathbf {a} ={\boldsymbol {\nabla }}\cdot ({\boldsymbol {S}}\cdot \mathbf {a} )}$

куда а - произвольный постоянный вектор.^[11]В криволинейных координатах

${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {S}}&=\left[{\cfrac {\partial S_{ij}}{\partial q^{k}}}-\Gamma _{ki}^{l}~S_{lj}-\Gamma _{kj}^{l}~S_{il}\right]~g^{ik}~\mathbf {b} ^{j}\\[8pt]&=\left[{\cfrac {\partial S^{ij}}{\partial q^{i}}}+\Gamma _{il}^{i}~S^{lj}+\Gamma _{il}^{j}~S^{il}\right]~\mathbf {b} _{j}\\[8pt]&=\left[{\cfrac {\partial S_{~j}^{i}}{\partial q^{i}}}+\Gamma _{il}^{i}~S_{~j}^{l}-\Gamma _{ij}^{l}~S_{~l}^{i}\right]~\mathbf {b} ^{j}\\[8pt]&=\left[{\cfrac {\partial S_{i}^{~j}}{\partial q^{k}}}-\Gamma _{ik}^{l}~S_{l}^{~j}+\Gamma _{kl}^{j}~S_{i}^{~l}\right]~g^{ik}~\mathbf {b} _{j}\end{aligned}}}$

Лапласиан

Скалярное поле

Лапласиан скалярного поля φ (Икс) определяется как

${\displaystyle \nabla ^{2}\varphi :={\boldsymbol {\nabla }}\cdot ({\boldsymbol {\nabla }}\varphi )}$

Использование альтернативного выражения для дивергенции векторного поля дает нам

${\displaystyle \nabla ^{2}\varphi ={\cfrac {1}{\sqrt {g}}}~{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}([{\boldsymbol {\nabla }}\varphi ]^{i}~{\sqrt {g}})}$

Сейчас же

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\varphi ={\frac {\partial \varphi }{\partial q^{l}}}~\mathbf {b} ^{l}=g^{li}~{\frac {\partial \varphi }{\partial q^{l}}}~\mathbf {b} _{i}\quad \Rightarrow \quad [{\boldsymbol {\nabla }}\varphi ]^{i}=g^{li}~{\frac {\partial \varphi }{\partial q^{l}}}}$

Следовательно,

${\displaystyle \nabla ^{2}\varphi ={\cfrac {1}{\sqrt {g}}}~{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}\left(g^{li}~{\frac {\partial \varphi }{\partial q^{l}}}~{\sqrt {g}}\right)}$

Ротор векторного поля

Ротор векторного поля v в ковариантных криволинейных координатах можно записать как

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {v} ={\mathcal {E}}^{rst}v_{s|r}~\mathbf {b} _{t}}$

куда

${\displaystyle v_{s|r}=v_{s,r}-\Gamma _{sr}^{i}~v_{i}}$

Ортогональные криволинейные координаты

Предположим, для целей этого раздела, что криволинейная система координат ортогональный, т.е.

${\displaystyle \mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{j}={\begin{cases}g_{ii}&{\text{if }}i=j\\0&{\text{if }}i\neq j,\end{cases}}}$

или эквивалентно,

${\displaystyle \mathbf {b} ^{i}\cdot \mathbf {b} ^{j}={\begin{cases}g^{ii}&{\text{if }}i=j\\0&{\text{if }}i\neq j,\end{cases}}}$

куда ${\displaystyle g^{ii}=g_{ii}^{-1}}$. Как прежде, ${\displaystyle \mathbf {b} _{i},\mathbf {b} _{j}}$ ковариантные базисные векторы и б^я, б^j являются контравариантными базисными векторами. Также пусть (е¹, е², е³) быть фоном, фиксированным, Декартово основание. Список ортогональных криволинейных координат приведен ниже.

Метрический тензор в ортогональных криволинейных координатах

Основная статья: Метрический тензор

Позволять р(Икс) быть вектор положения по делу Икс относительно начала системы координат. Обозначения можно упростить, отметив, что Икс = р(Икс). В каждой точке мы можем построить небольшой линейный элемент dИкс. Квадрат длины линейного элемента - это скалярное произведение dИкс • dИкс и называется метрика из Космос. Напомним, что рассматриваемое пространство предполагается Евклидово когда мы говорим о криволинейных координатах. Выразим вектор положения через фиксированный декартов базис фона, т.е.

${\displaystyle \mathbf {x} =\sum _{i=1}^{3}x_{i}~\mathbf {e} _{i}}$

С использованием Правило цепи, тогда мы можем выразить dИкс в трехмерных ортогональных криволинейных координатах (q¹, q², q³) в качестве

${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {x} =\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}\left({\cfrac {\partial x_{i}}{\partial q^{j}}}~\mathbf {e} _{i}\right)\mathrm {d} q^{j}}$

Следовательно, метрика имеет вид

${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {x} \cdot \mathrm {d} \mathbf {x} =\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}\sum _{k=1}^{3}{\cfrac {\partial x_{i}}{\partial q^{j}}}~{\cfrac {\partial x_{i}}{\partial q^{k}}}~\mathrm {d} q^{j}~\mathrm {d} q^{k}}$

Симметричная величина

${\displaystyle g_{ij}(q^{i},q^{j})=\sum _{k=1}^{3}{\cfrac {\partial x_{k}}{\partial q^{i}}}~{\cfrac {\partial x_{k}}{\partial q^{j}}}=\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{j}}$

называется фундаментальный (или метрический) тензор из Евклидово пространство в криволинейных координатах.

Отметим также, что

${\displaystyle g_{ij}={\cfrac {\partial \mathbf {x} }{\partial q^{i}}}\cdot {\cfrac {\partial \mathbf {x} }{\partial q^{j}}}=\left(\sum _{k}h_{ki}~\mathbf {e} _{k}\right)\cdot \left(\sum _{m}h_{mj}~\mathbf {e} _{m}\right)=\sum _{k}h_{ki}~h_{kj}}$

куда час_ij - коэффициенты Ламе.

Если мы определим масштабные коэффициенты, час_я, с помощью

${\displaystyle \mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{i}=g_{ii}=\sum _{k}h_{ki}^{2}=:h_{i}^{2}\quad \Rightarrow \quad \left|{\cfrac {\partial \mathbf {x} }{\partial q^{i}}}\right|=\left|\mathbf {b} _{i}\right|={\sqrt {g_{ii}}}=h_{i}}$

мы получаем связь между фундаментальным тензором и коэффициентами Ламе.

Пример: полярные координаты

Если рассматривать полярные координаты для р², Обратите внимание, что

${\displaystyle (x,y)=(r\cos \theta ,r\sin \theta )}$

(r, θ) - криволинейные координаты, а определитель якобиана преобразования (р, θ) → (р cos θ, р sin θ) является р.

В ортогональный базисные векторы б_р = (cos θ, sin θ), б_θ = (−р грех θ, р cos θ). Нормализованные базисные векторы: е_р = (cos θ, sin θ), е_θ = (−sin θ, cos θ), а масштабные коэффициенты равны час_р = 1 и час_θ= р. Основной тензор грамм₁₁ =1, грамм₂₂ =р², грамм₁₂ = грамм₂₁ =0.

Линейные и поверхностные интегралы

Если мы хотим использовать криволинейные координаты для векторное исчисление При расчете линейных, поверхностных и объемных интегралов необходимо внести поправки. Для простоты мы снова ограничим обсуждение тремя измерениями и ортогональными криволинейными координатами. Однако те же аргументы применимы к ${\displaystyle n}$-мерные задачи, хотя есть некоторые дополнительные члены в выражениях, когда система координат не ортогональна.

Линейные интегралы

Обычно при расчете линейные интегралы мы заинтересованы в вычислении

${\displaystyle \int _{C}f\,ds=\int _{a}^{b}f(\mathbf {x} (t))\left|{\partial \mathbf {x} \over \partial t}\right|\;dt}$

куда Икс(т) параметризует C в декартовых координатах. В криволинейных координатах член

${\displaystyle \left|{\partial \mathbf {x} \over \partial t}\right|=\left|\sum _{i=1}^{3}{\partial \mathbf {x} \over \partial q^{i}}{\partial q^{i} \over \partial t}\right|}$

посредством Правило цепи. А из определения коэффициентов Ламе

${\displaystyle {\partial \mathbf {x} \over \partial q^{i}}=\sum _{k}h_{ki}~\mathbf {e} _{k}}$

и поэтому

${\displaystyle {\begin{aligned}\left|{\partial \mathbf {x} \over \partial t}\right|&=\left|\sum _{k}\left(\sum _{i}h_{ki}~{\cfrac {\partial q^{i}}{\partial t}}\right)\mathbf {e} _{k}\right|\\[8pt]&={\sqrt {\sum _{i}\sum _{j}\sum _{k}h_{ki}~h_{kj}{\cfrac {\partial q^{i}}{\partial t}}{\cfrac {\partial q^{j}}{\partial t}}}}={\sqrt {\sum _{i}\sum _{j}g_{ij}~{\cfrac {\partial q^{i}}{\partial t}}{\cfrac {\partial q^{j}}{\partial t}}}}\end{aligned}}}$

Теперь, поскольку ${\displaystyle g_{ij}=0}$ когда ${\displaystyle i\neq j}$, у нас есть

${\displaystyle \left|{\partial \mathbf {x} \over \partial t}\right|={\sqrt {\sum _{i}g_{ii}~\left({\cfrac {\partial q^{i}}{\partial t}}\right)^{2}}}={\sqrt {\sum _{i}h_{i}^{2}~\left({\cfrac {\partial q^{i}}{\partial t}}\right)^{2}}}}$

и мы можем продолжать нормально.

Поверхностные интегралы

Аналогичным образом, если мы заинтересованы в поверхностный интеграл, соответствующий расчет с параметризацией поверхности в декартовых координатах:

${\displaystyle \int _{S}f\,dS=\iint _{T}f(\mathbf {x} (s,t))\left|{\partial \mathbf {x} \over \partial s}\times {\partial \mathbf {x} \over \partial t}\right|\,ds\,dt}$

Опять же, в криволинейных координатах имеем

${\displaystyle \left|{\partial \mathbf {x} \over \partial s}\times {\partial \mathbf {x} \over \partial t}\right|=\left|\left(\sum _{i}{\partial \mathbf {x} \over \partial q^{i}}{\partial q^{i} \over \partial s}\right)\times \left(\sum _{j}{\partial \mathbf {x} \over \partial q^{j}}{\partial q^{j} \over \partial t}\right)\right|}$

и мы снова используем определение криволинейных координат, чтобы получить

${\displaystyle {\partial \mathbf {x} \over \partial q^{i}}{\partial q^{i} \over \partial s}=\sum _{k}\left(\sum _{i=1}^{3}h_{ki}~{\partial q^{i} \over \partial s}\right)\mathbf {e} _{k}~;~~{\partial \mathbf {x} \over \partial q^{j}}{\partial q^{j} \over \partial t}=\sum _{m}\left(\sum _{j=1}^{3}h_{mj}~{\partial q^{j} \over \partial t}\right)\mathbf {e} _{m}}$

Следовательно,

${\displaystyle {\begin{aligned}\left|{\partial \mathbf {x} \over \partial s}\times {\partial \mathbf {x} \over \partial t}\right|&=\left|\sum _{k}\sum _{m}\left(\sum _{i=1}^{3}h_{ki}~{\partial q^{i} \over \partial s}\right)\left(\sum _{j=1}^{3}h_{mj}~{\partial q^{j} \over \partial t}\right)\mathbf {e} _{k}\times \mathbf {e} _{m}\right|\\[8pt]&=\left|\sum _{p}\sum _{k}\sum _{m}{\mathcal {E}}_{kmp}\left(\sum _{i=1}^{3}h_{ki}~{\partial q^{i} \over \partial s}\right)\left(\sum _{j=1}^{3}h_{mj}~{\partial q^{j} \over \partial t}\right)\mathbf {e} _{p}\right|\end{aligned}}}$

куда ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ это символ перестановки.

В детерминантной форме векторное произведение по криволинейным координатам будет:

${\displaystyle {\begin{vmatrix}\mathbf {e} _{1}&\mathbf {e} _{2}&\mathbf {e} _{3}\\&&\\\sum _{i}h_{1i}{\partial q^{i} \over \partial s}&\sum _{i}h_{2i}{\partial q^{i} \over \partial s}&\sum _{i}h_{3i}{\partial q^{i} \over \partial s}\\&&\\\sum _{j}h_{1j}{\partial q^{j} \over \partial t}&\sum _{j}h_{2j}{\partial q^{j} \over \partial t}&\sum _{j}h_{3j}{\partial q^{j} \over \partial t}\end{vmatrix}}}$

Град, curl, div, лапласиан

В ортогональный криволинейные координаты трех измерений, где

${\displaystyle \mathbf {b} ^{i}=\sum _{k}g^{ik}~\mathbf {b} _{k}~;~~g^{ii}={\cfrac {1}{g_{ii}}}={\cfrac {1}{h_{i}^{2}}}}$

можно выразить градиент из скаляр или же векторное поле в качестве

${\displaystyle \nabla \varphi =\sum _{i}{\partial \varphi \over \partial q^{i}}~\mathbf {b} ^{i}=\sum _{i}\sum _{j}{\partial \varphi \over \partial q^{i}}~g^{ij}~\mathbf {b} _{j}=\sum _{i}{\cfrac {1}{h_{i}^{2}}}~{\partial f \over \partial q^{i}}~\mathbf {b} _{i}~;~~\nabla \mathbf {v} =\sum _{i}{\cfrac {1}{h_{i}^{2}}}~{\partial \mathbf {v} \over \partial q^{i}}\otimes \mathbf {b} _{i}}$

Для ортогонального базиса

${\displaystyle g=g_{11}~g_{22}~g_{33}=h_{1}^{2}~h_{2}^{2}~h_{3}^{2}\quad \Rightarrow \quad {\sqrt {g}}=h_{1}h_{2}h_{3}}$

В расхождение векторного поля можно записать как

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} ={\cfrac {1}{h_{1}h_{2}h_{3}}}~{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}(h_{1}h_{2}h_{3}~v^{i})}$

Также,

${\displaystyle v^{i}=g^{ik}~v_{k}\quad \Rightarrow v^{1}=g^{11}~v_{1}={\cfrac {v_{1}}{h_{1}^{2}}}~;~~v^{2}=g^{22}~v_{2}={\cfrac {v_{2}}{h_{2}^{2}}}~;~~v^{3}=g^{33}~v_{3}={\cfrac {v_{3}}{h_{3}^{2}}}}$

Следовательно,

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} ={\cfrac {1}{h_{1}h_{2}h_{3}}}~\sum _{i}{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}\left({\cfrac {h_{1}h_{2}h_{3}}{h_{i}^{2}}}~v_{i}\right)}$

Мы можем получить выражение для Лапласиан аналогичным образом, отмечая, что

${\displaystyle g^{li}~{\frac {\partial \varphi }{\partial q^{l}}}=\left\{g^{11}~{\frac {\partial \varphi }{\partial q^{1}}},g^{22}~{\frac {\partial \varphi }{\partial q^{2}}},g^{33}~{\frac {\partial \varphi }{\partial q^{3}}}\right\}=\left\{{\cfrac {1}{h_{1}^{2}}}~{\frac {\partial \varphi }{\partial q^{1}}},{\cfrac {1}{h_{2}^{2}}}~{\frac {\partial \varphi }{\partial q^{2}}},{\cfrac {1}{h_{3}^{2}}}~{\frac {\partial \varphi }{\partial q^{3}}}\right\}}$

Тогда у нас есть

${\displaystyle \nabla ^{2}\varphi ={\cfrac {1}{h_{1}h_{2}h_{3}}}~\sum _{i}{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}\left({\cfrac {h_{1}h_{2}h_{3}}{h_{i}^{2}}}~{\frac {\partial \varphi }{\partial q^{i}}}\right)}$

Выражения для градиента, дивергенции и лапласиана можно напрямую расширить до п-размеры.

В завиток из векторное поле дан кем-то

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {v} ={\frac {1}{h_{1}h_{2}h_{3}}}\sum _{i=1}^{n}\mathbf {e} _{i}\sum _{jk}\varepsilon _{ijk}h_{i}{\frac {\partial (h_{k}v_{k})}{\partial q^{j}}}}$

где ε_ijk это Символ Леви-Чивита.

Пример: цилиндрические полярные координаты

За цилиндрические координаты у нас есть

${\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3})=\mathbf {x} ={\boldsymbol {\varphi }}(q^{1},q^{2},q^{3})={\boldsymbol {\varphi }}(r,\theta ,z)=\{r\cos \theta ,r\sin \theta ,z\}}$

и

${\displaystyle \{\psi ^{1}(\mathbf {x} ),\psi ^{2}(\mathbf {x} ),\psi ^{3}(\mathbf {x} )\}=(q^{1},q^{2},q^{3})\equiv (r,\theta ,z)=\{{\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}},\tan ^{-1}(x_{2}/x_{1}),x_{3}\}}$

куда

${\displaystyle 0<r<\infty ~,~~0<\theta <2\pi ~,~~-\infty <z<\infty }$

Тогда ковариантный и контравариантный базисные векторы равны

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {b} _{1}&=\mathbf {e} _{r}=\mathbf {b} ^{1}\\\mathbf {b} _{2}&=r~\mathbf {e} _{\theta }=r^{2}~\mathbf {b} ^{2}\\\mathbf {b} _{3}&=\mathbf {e} _{z}=\mathbf {b} ^{3}\end{aligned}}}$

куда ${\displaystyle \mathbf {e} _{r},\mathbf {e} _{\theta },\mathbf {e} _{z}}$ являются единичными векторами в ${\displaystyle r,\theta ,z}$ направления.

Отметим, что компоненты метрического тензора таковы, что

${\displaystyle g^{ij}=g_{ij}=0(i\neq j)~;~~{\sqrt {g^{11}}}=1,~{\sqrt {g^{22}}}={\cfrac {1}{r}},~{\sqrt {g^{33}}}=1}$

что показывает ортогональность базиса.

Ненулевые компоненты символа Кристоффеля второго рода равны

${\displaystyle \Gamma _{12}^{2}=\Gamma _{21}^{2}={\cfrac {1}{r}}~;~~\Gamma _{22}^{1}=-r}$

Представление физического векторного поля

Нормализованные контрвариантные базисные векторы в цилиндрических полярных координатах имеют вид

${\displaystyle {\hat {\mathbf {b} }}^{1}=\mathbf {e} _{r}~;~~{\hat {\mathbf {b} }}^{2}=\mathbf {e} _{\theta }~;~~{\hat {\mathbf {b} }}^{3}=\mathbf {e} _{z}}$

и физические компоненты вектора v находятся

${\displaystyle ({\hat {v}}_{1},{\hat {v}}_{2},{\hat {v}}_{3})=(v_{1},v_{2}/r,v_{3})=:(v_{r},v_{\theta },v_{z})}$

Градиент скалярного поля

Градиент скалярного поля, ж(Икс), в цилиндрических координатах теперь может быть вычислено из общего выражения в криволинейных координатах и ​​имеет вид

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}f={\cfrac {\partial f}{\partial r}}~\mathbf {e} _{r}+{\cfrac {1}{r}}~{\cfrac {\partial f}{\partial \theta }}~\mathbf {e} _{\theta }+{\cfrac {\partial f}{\partial z}}~\mathbf {e} _{z}}$

Градиент векторного поля

Аналогично градиент векторного поля, v(Икс), в цилиндрических координатах можно показать как

${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {v} &={\cfrac {\partial v_{r}}{\partial r}}~\mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{r}+{\cfrac {1}{r}}\left({\cfrac {\partial v_{r}}{\partial \theta }}-v_{\theta }\right)~\mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{\theta }+{\cfrac {\partial v_{r}}{\partial z}}~\mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{z}\\[8pt]&+{\cfrac {\partial v_{\theta }}{\partial r}}~\mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{r}+{\cfrac {1}{r}}\left({\cfrac {\partial v_{\theta }}{\partial \theta }}+v_{r}\right)~\mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{\theta }+{\cfrac {\partial v_{\theta }}{\partial z}}~\mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{z}\\[8pt]&+{\cfrac {\partial v_{z}}{\partial r}}~\mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{r}+{\cfrac {1}{r}}{\cfrac {\partial v_{z}}{\partial \theta }}~\mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{\theta }+{\cfrac {\partial v_{z}}{\partial z}}~\mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{z}\end{aligned}}}$

Дивергенция векторного поля

Используя уравнение для расходимости векторного поля в криволинейных координатах, можно показать, что расходимость в цилиндрических координатах равна

${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} &={\cfrac {\partial v_{r}}{\partial r}}+{\cfrac {1}{r}}\left({\cfrac {\partial v_{\theta }}{\partial \theta }}+v_{r}\right)+{\cfrac {\partial v_{z}}{\partial z}}\end{aligned}}}$

Лапласиан скалярного поля

Лапласиан легче вычислить, если учесть, что ${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}^{2}f={\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {\nabla }}f}$. В цилиндрических полярных координатах

${\displaystyle \mathbf {v} ={\boldsymbol {\nabla }}f=\left[v_{r}~~v_{\theta }~~v_{z}\right]=\left[{\cfrac {\partial f}{\partial r}}~~{\cfrac {1}{r}}{\cfrac {\partial f}{\partial \theta }}~~{\cfrac {\partial f}{\partial z}}\right]}$

Следовательно,

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} ={\boldsymbol {\nabla }}^{2}f={\cfrac {\partial ^{2}f}{\partial r^{2}}}+{\cfrac {1}{r}}\left({\cfrac {1}{r}}{\cfrac {\partial ^{2}f}{\partial \theta ^{2}}}+{\cfrac {\partial f}{\partial r}}\right)+{\cfrac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}={\cfrac {1}{r}}\left[{\cfrac {\partial }{\partial r}}\left(r{\cfrac {\partial f}{\partial r}}\right)\right]+{\cfrac {1}{r^{2}}}{\cfrac {\partial ^{2}f}{\partial \theta ^{2}}}+{\cfrac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}}$

Представление физического тензорного поля второго порядка

Физические компоненты тензорного поля второго порядка получаются, когда тензор выражается в терминах нормированного контравариантного базиса. В цилиндрических полярных координатах этими компонентами являются:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {S}}_{11}&=S_{11}=:S_{rr},&{\hat {S}}_{12}&={\frac {S_{12}}{r}}=:S_{r\theta },&{\hat {S}}_{13}&=S_{13}=:S_{rz}\\[6pt]{\hat {S}}_{21}&={\frac {S_{21}}{r}}=:S_{\theta r},&{\hat {S}}_{22}&={\frac {S_{22}}{r^{2}}}=:S_{\theta \theta },&{\hat {S}}_{23}&={\frac {S_{23}}{r}}=:S_{\theta z}\\[6pt]{\hat {S}}_{31}&=S_{31}=:S_{zr},&{\hat {S}}_{32}&={\frac {S_{32}}{r}}=:S_{z\theta },&{\hat {S}}_{33}&=S_{33}=:S_{zz}\end{aligned}}}$

Градиент тензорного поля второго порядка

Используя приведенные выше определения, мы можем показать, что градиент тензорного поля второго порядка в цилиндрических полярных координатах может быть выражен как

${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\nabla }}{\boldsymbol {S}}&={\frac {\partial S_{rr}}{\partial r}}~\mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{r}+{\cfrac {1}{r}}\left[{\frac {\partial S_{rr}}{\partial \theta }}-(S_{\theta r}+S_{r\theta })\right]~\mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{\theta }+{\frac {\partial S_{rr}}{\partial z}}~\mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{z}\\[8pt]&+{\frac {\partial S_{r\theta }}{\partial r}}~\mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{r}+{\cfrac {1}{r}}\left[{\frac {\partial S_{r\theta }}{\partial \theta }}+(S_{rr}-S_{\theta \theta })\right]~\mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{\theta }+{\frac {\partial S_{r\theta }}{\partial z}}~\mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{z}\\[8pt]&+{\frac {\partial S_{rz}}{\partial r}}~\mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{r}+{\cfrac {1}{r}}\left[{\frac {\partial S_{rz}}{\partial \theta }}-S_{\theta z}\right]~\mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{\theta }+{\frac {\partial S_{rz}}{\partial z}}~\mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{z}\\[8pt]&+{\frac {\partial S_{\theta r}}{\partial r}}~\mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{r}+{\cfrac {1}{r}}\left[{\frac {\partial S_{\theta r}}{\partial \theta }}+(S_{rr}-S_{\theta \theta })\right]~\mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{\theta }+{\frac {\partial S_{\theta r}}{\partial z}}~\mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{z}\\[8pt]&+{\frac {\partial S_{\theta \theta }}{\partial r}}~\mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{r}+{\cfrac {1}{r}}\left[{\frac {\partial S_{\theta \theta }}{\partial \theta }}+(S_{r\theta }+S_{\theta r})\right]~\mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{\theta }+{\frac {\partial S_{\theta \theta }}{\partial z}}~\mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{z}\\[8pt]&+{\frac {\partial S_{\theta z}}{\partial r}}~\mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{r}+{\cfrac {1}{r}}\left[{\frac {\partial S_{\theta z}}{\partial \theta }}+S_{rz}\right]~\mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{\theta }+{\frac {\partial S_{\theta z}}{\partial z}}~\mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{z}\\[8pt]&+{\frac {\partial S_{zr}}{\partial r}}~\mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{r}+{\cfrac {1}{r}}\left[{\frac {\partial S_{zr}}{\partial \theta }}-S_{z\theta }\right]~\mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{\theta }+{\frac {\partial S_{zr}}{\partial z}}~\mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{z}\\[8pt]&+{\frac {\partial S_{z\theta }}{\partial r}}~\mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{r}+{\cfrac {1}{r}}\left[{\frac {\partial S_{z\theta }}{\partial \theta }}+S_{zr}\right]~\mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{\theta }+{\frac {\partial S_{z\theta }}{\partial z}}~\mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{z}\\[8pt]&+{\frac {\partial S_{zz}}{\partial r}}~\mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{r}+{\cfrac {1}{r}}~{\frac {\partial S_{zz}}{\partial \theta }}~\mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{\theta }+{\frac {\partial S_{zz}}{\partial z}}~\mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{z}\end{aligned}}}$

Дивергенция тензорного поля второго порядка

Дивергенция тензорного поля второго порядка в цилиндрических полярных координатах может быть получена из выражения для градиента путем сбора членов, в которых скалярное произведение двух внешних векторов в диадических произведениях не равно нулю. Следовательно,

${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {S}}&={\frac {\partial S_{rr}}{\partial r}}~\mathbf {e} _{r}+{\frac {\partial S_{r\theta }}{\partial r}}~\mathbf {e} _{\theta }+{\frac {\partial S_{rz}}{\partial r}}~\mathbf {e} _{z}\\[8pt]&+{\cfrac {1}{r}}\left[{\frac {\partial S_{r\theta }}{\partial \theta }}+(S_{rr}-S_{\theta \theta })\right]~\mathbf {e} _{r}+{\cfrac {1}{r}}\left[{\frac {\partial S_{\theta \theta }}{\partial \theta }}+(S_{r\theta }+S_{\theta r})\right]~\mathbf {e} _{\theta }+{\cfrac {1}{r}}\left[{\frac {\partial S_{\theta z}}{\partial \theta }}+S_{rz}\right]~\mathbf {e} _{z}\\[8pt]&+{\frac {\partial S_{zr}}{\partial z}}~\mathbf {e} _{r}+{\frac {\partial S_{z\theta }}{\partial z}}~\mathbf {e} _{\theta }+{\frac {\partial S_{zz}}{\partial z}}~\mathbf {e} _{z}\end{aligned}}}$

Смотрите также

• Ковариация и контравариантность
• Базовое введение в математику искривленного пространства-времени
• Ортогональные координаты
• Формулы Френе – Серре
• Ковариантная производная
• Тензорная производная (механика сплошной среды)
• Криволинейная перспектива
• Del в цилиндрических и сферических координатах

Рекомендации

Примечания

1. Green, A.E .; Зерна, В. (1968). Теоретическая эластичность. Издательство Оксфордского университета. ISBN  0-19-853486-8.
2. Огден, Р. В. (2000). Нелинейные упругие деформации. Дувр.
3. Нагди, П. М. (1972). «Теория оболочек и пластин». В С. Флюгге (ред.). Справочник по физике. VIa / 2. С. 425–640.
4. Симмондс, Дж. Г. (1994). Краткое описание тензорного анализа. Springer. ISBN  0-387-90639-8.
5. Basar, Y .; Вейхерт, Д. (2000). Численная механика сплошной среды твердого тела: фундаментальные концепции и перспективы. Springer.
6. Чиарлет, П. Г. (2000). Теория оболочек. 1. Elsevier Science.
7. Эйнштейн, А. (1915). «Вклад в общую теорию относительности». В Laczos, C. (ред.). Десятилетие Эйнштейна. п. 213. ISBN  0-521-38105-3.
8. Misner, C.W .; Thorne, K. S .; Уиллер, Дж. А. (1973). Гравитация. W.H. Freeman and Co. ISBN  0-7167-0344-0.
9. Greenleaf, A .; Lassas, M .; Ульманн, Г. (2003). «Анизотропные проводимости, которые не могут быть обнаружены EIT». Физиологическое измерение. 24 (2): 413–419. Дои:10.1088/0967-3334/24/2/353. PMID  12812426.
10. Leonhardt, U .; Филбин, Т. (2006). «Общая теория относительности в электротехнике». Новый журнал физики. 8: 247. arXiv:cond-mat / 0607418. Bibcode:2006NJPh .... 8..247л. Дои:10.1088/1367-2630/8/10/247.
11. «Дивергенция тензорного поля». Введение в эластичность / тензоры. Викиверситет. Получено 2010-11-26.

дальнейшее чтение

• Шпигель, М. Р. (1959). Векторный анализ. Нью-Йорк: серия набросков Шаума. ISBN  0-07-084378-3.
• Арфкен, Джордж (1995). Математические методы для физиков. Академическая пресса. ISBN  0-12-059877-9.

внешняя ссылка

• Вывод единичных векторов в криволинейных координатах.
• Страница MathWorld о криволинейных координатах
• Электронная книга профессора Р. Браннона по криволинейным координатам