Тензорный оператор - Tensor operator

«Сферический тензорный оператор» перенаправляется сюда. Для тесно связанной концепции см. сферическое основание.

В чистый и Прикладная математика, квантовая механика и компьютерная графика, а тензорный оператор обобщает понятие операторы которые скаляры и векторов. Особый класс из них сферические тензорные операторы которые применяют понятие сферическое основание и сферические гармоники. Сферическая основа тесно связана с описанием угловой момент в квантовой механике и сферических гармонических функциях. В безкоординатный обобщение тензорного оператора известно как оператор представления.^[1]

Общее понятие о скалярных, векторных и тензорных операторах

В квантовой механике физические наблюдаемые, которые являются скалярами, векторами и тензорами, должны быть представлены скалярными, векторными и тензорными операторами соответственно. Является ли что-то скаляром, вектором или тензором, зависит от того, как это рассматривается двумя наблюдателями, системы координат которых связаны друг с другом посредством вращения. В качестве альтернативы можно спросить, как для одного наблюдателя физическая величина трансформируется, если состояние системы меняется. Рассмотрим, например, систему, состоящую из молекулы массы ${\displaystyle M}$, путешествуя с определенным центром масс импульса, ${\displaystyle p{\mathbf {\hat {z}} }}$, в ${\displaystyle z}$ направление. Если повернуть систему на ${\displaystyle 90^{\circ }}$ о ${\displaystyle y}$ ось, импульс изменится на ${\displaystyle p{\mathbf {\hat {x}} }}$, который находится в ${\displaystyle x}$ направление. Однако кинетическая энергия центра масс молекулы не изменится при ${\displaystyle p^{2}/2M}$. Кинетическая энергия - это скаляр, а импульс - вектор, и эти две величины должны быть представлены скаляром и векторным оператором соответственно. Под последним, в частности, понимается оператор, ожидаемые значения которого в начальном и повернутом состояниях равны ${\displaystyle p{\mathbf {\hat {z}} }}$ и ${\displaystyle p{\mathbf {\hat {x}} }}$. С другой стороны, кинетическая энергия должна быть представлена ​​скалярным оператором, ожидаемое значение которого должно быть одинаковым в начальном и повернутом состояниях.

Точно так же тензорные величины должны быть представлены тензорными операторами. Примером тензорной величины (второго ранга) является электрический квадрупольный момент указанной выше молекулы. Точно так же октупольные и гексадекапольные моменты будут тензорами третьего и четвертого ранга соответственно.

Другими примерами скалярных операторов являются оператор полной энергии (чаще называемый Гамильтониан ), потенциальной энергии и энергии диполь-дипольного взаимодействия двух атомов. Примеры векторных операторов: импульс, положение, орбитальный угловой момент, ${\displaystyle {\mathbf {L} }}$, а спиновый угловой момент ${\displaystyle {\mathbf {S} }}$. (Мелкий шрифт: угловой момент - это вектор, если речь идет о вращении, но в отличие от положения или количества движения он не меняет знак при пространственной инверсии, и когда кто-то желает предоставить эту информацию, он называется псевдовектором.)

Скалярные, векторные и тензорные операторы также могут быть образованы произведениями операторов. Например, скалярное произведение ${\displaystyle {\mathbf {L} }\cdot {\mathbf {S} }}$ двух векторных операторов, ${\displaystyle {\mathbf {L} }}$ и ${\displaystyle {\mathbf {S} }}$, является скалярным оператором, который занимает важное место при обсуждении спин-орбитальное взаимодействие. Точно так же тензор квадрупольного момента молекулы нашего примера имеет девять компонентов

${\displaystyle Q_{ij}=\sum _{\alpha }q_{\alpha }(3r_{\alpha ,i}r_{\alpha ,j}-r_{\alpha }^{2}\delta _{ij})}$.

Здесь индексы ${\displaystyle i}$ и ${\displaystyle j}$ может независимо принимать значения 1, 2 и 3 (или ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$, и ${\displaystyle z}$), соответствующего трем декартовым осям, индекс ${\displaystyle \alpha }$ пробегает все частицы (электроны и ядра) в молекуле,${\displaystyle q_{\alpha }}$ это заряд частицы ${\displaystyle \alpha }$, и${\displaystyle r_{\alpha ,i}}$ это ${\displaystyle i}$-я составляющая положения этой частицы. Каждый член в сумме является тензорным оператором. В частности, девять продуктов ${\displaystyle r_{\alpha ,i}r_{\alpha ,j}}$ вместе образуют тензор второго ранга, образованный прямым произведением векторного оператора ${\displaystyle {\mathbf {r} }_{\alpha }}$ с собой.

Вращения квантовых состояний

Квантовый оператор вращения

В оператор вращения о единичный вектор п (определяя ось вращения) на угол θ является

${\displaystyle U[R(\theta ,{\hat {\mathbf {n} }})]=\exp \left(-{\frac {i\theta }{\hbar }}{\hat {\mathbf {n} }}\cdot \mathbf {J} \right)}$

куда J = (J_Икс, J_у, J_z) - генераторы вращения (также матрицы углового момента):

${\displaystyle J_{x}={\frac {\hbar }{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}}\,\quad J_{y}={\frac {\hbar }{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}0&i&0\\-i&0&i\\0&-i&0\end{pmatrix}}\,\quad J_{z}=\hbar {\begin{pmatrix}-1&0&0\\0&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}}}$

и разреши ${\displaystyle {\widehat {R}}={\widehat {R}}(\theta ,{\hat {\mathbf {n} }})}$ быть матрица вращения. Согласно Формула вращения Родригеса, тогда оператор вращения составляет

${\displaystyle U[R(\theta ,{\hat {\mathbf {n} }})]=1\!\!1-{\frac {i\sin \theta }{\hbar }}{\hat {\mathbf {n} }}\cdot \mathbf {J} -{\frac {1-\cos \theta }{\hbar ^{2}}}({\hat {\mathbf {n} }}\cdot \mathbf {J} )^{2}.}$

Оператор ${\displaystyle {\widehat {\Omega }}}$ инвариантен относительно унитарного преобразования U если

${\displaystyle {\widehat {\Omega }}={U}^{\dagger }{\widehat {\Omega }}U;}$

в этом случае для вращения ${\displaystyle {\widehat {U}}(R)}$,

${\displaystyle {\widehat {\Omega }}={U(R)}^{\dagger }{\widehat {\Omega }}U(R)=\exp \left({\frac {i\theta }{\hbar }}{\hat {\mathbf {n} }}\cdot \mathbf {J} \right){\widehat {\Omega }}\exp \left(-{\frac {i\theta }{\hbar }}{\hat {\mathbf {n} }}\cdot \mathbf {J} \right).}$

Собственные наборы углового момента

Ортонормированный базис для полного углового момента: ${\displaystyle |j,m\rangle }$, куда j - квантовое число полного углового момента и м - квантовое число магнитного углового момента, которое принимает значения -j, −j + 1, ..., j − 1, j. Общее состояние

${\displaystyle |\psi \rangle =\sum _{m}|j,m\rangle }$

в пространстве переходит в новое состояние ${\displaystyle |j,m\rangle }$ к:

${\displaystyle |{\bar {\psi }}\rangle =U(R)|\psi \rangle }$

С использованием условие полноты:

${\displaystyle I=\sum _{m'}|j,m'\rangle \langle j,m'|}$

у нас есть

${\displaystyle |{\bar {\psi }}\rangle =IU(R)|\psi \rangle =\sum _{mm'}|j,m'\rangle \langle j,m'|U(R)|j,m\rangle }$

Представляем Матрица Вигнера D элементы:

${\displaystyle {D(R)}_{m'm}^{(j)}=\langle j,m'|U(R)|j,m\rangle }$

дает матричное умножение:

${\displaystyle |{\bar {\psi }}\rangle =\sum _{mm'}D_{m'm}^{(j)}|j,m'\rangle \quad \Rightarrow \quad |{\bar {\psi }}\rangle =D^{(j)}|\psi \rangle }$

На одну основу кет:

${\displaystyle |{\overline {j,m}}\rangle =\sum _{m'}{D(R)}_{m'm}^{(j)}|j,m'\rangle }$

В случае орбитального углового момента собственные состояния ${\displaystyle |l,m\rangle }$ орбитального оператор углового момента L и решения Уравнение Лапласа на трехмерной сфере находятся сферические гармоники:

${\displaystyle Y_{\ell }^{m}(\theta ,\phi )=\langle \theta ,\phi |\ell ,m\rangle ={\sqrt {{(2\ell +1) \over 4\pi }{(\ell -m)! \over (\ell +m)!}}}\,P_{\ell }^{m}(\cos {\theta })\,e^{im\phi }}$

куда п_ℓ^м является связанный многочлен Лежандра, ℓ - квантовое число орбитального углового момента, а м орбитальный магнитный квантовое число который принимает значения −ℓ, −ℓ + 1, ... ℓ - 1, ℓ Формализм сферических гармоник имеет широкое применение в прикладной математике и тесно связан с формализмом сферических тензоров, как показано ниже.

Сферические гармоники зависят от полярного и азимутального углов, ϕ и θ соответственно, которые удобно собрать в единичный вектор п(θ, ϕ), указывающий в направлении этих углов, в декартовой системе координат это:

${\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}(\theta ,\phi )=\cos \phi \sin \theta \mathbf {e} _{x}+\sin \phi \sin \theta \mathbf {e} _{y}+\cos \theta \mathbf {e} _{z}}$

Таким образом, сферическую гармонику также можно записать ${\displaystyle Y_{l}^{m}=\langle \mathbf {n} |lm\rangle }$. Сферические гармонические состояния ${\displaystyle |m,l\rangle }$ повернуть согласно обратной матрице вращения U(р⁻¹), пока ${\displaystyle |l,m\rangle }$ вращается на исходную матрицу вращения ${\displaystyle {\widehat {U}}(R)}$.

${\displaystyle |{\overline {\ell ,m}}\rangle =\sum _{m'}D_{m'm}^{(\ell )}[U(R^{-1})]|\ell ,m'\rangle \,,\quad |{\overline {\hat {\mathbf {n} }}}\rangle =U(R)|{\hat {\mathbf {n} }}\rangle }$

Вращение тензорных операторов

Мы определяем вращение оператора, требуя, чтобы математическое ожидание исходного оператора ${\displaystyle {\widehat {\mathbf {A} }}}$ относительно начального состояния быть равным математическому ожиданию повернутого оператора относительно повернутого состояния,

${\displaystyle \langle \psi '|{\widehat {A'}}|\psi '\rangle =\langle \psi |{\widehat {A}}|\psi \rangle }$

Теперь, когда

${\displaystyle |\psi \rangle }$ → ${\displaystyle |\psi '\rangle =U(R)|\psi \rangle \,,\quad \langle \psi |}$ → ${\displaystyle \langle \psi '|=\langle \psi |U^{\dagger }(R)}$

у нас есть,

${\displaystyle \langle \psi |U^{\dagger }(R){\widehat {A}}'U(R)|\psi \rangle =\langle \psi |{\widehat {A}}|\psi \rangle }$

поскольку, ${\displaystyle |\psi \rangle }$ произвольно,

${\displaystyle U^{\dagger }(R){\widehat {A}}'U(R)={\widehat {A}}}$

Скалярные операторы

Скалярный оператор инвариантен относительно поворотов:^[2]

${\displaystyle U(R)^{\dagger }{\widehat {S}}U(R)={\widehat {S}}}$

Это эквивалентно тому, что скалярный оператор коммутирует с генераторами вращения:

${\displaystyle \left[{\widehat {S}},{\widehat {\mathbf {J} }}\right]=0}$

Примеры скалярных операторов включают

• то оператор энергии:

${\displaystyle {\widehat {E}}\psi =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi }$

• потенциальная энергия V (только в случае центрального потенциала)

${\displaystyle {\widehat {V}}(r,t)\psi (\mathbf {r} ,t)=V(r,t)\psi (\mathbf {r} ,t)}$

• кинетическая энергия Т:

${\displaystyle {\widehat {T}}\psi (\mathbf {r} ,t)=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}(\nabla ^{2}\psi )(\mathbf {r} ,t)}$

• то спин-орбитальная связь:

${\displaystyle {\widehat {\mathbf {L} }}\cdot {\widehat {\mathbf {S} }}={\widehat {L}}_{x}{\widehat {S}}_{x}+{\widehat {L}}_{y}{\widehat {S}}_{y}+{\widehat {L}}_{z}{\widehat {S}}_{z}\,.}$

Векторные операторы

Векторные операторы (а также псевдовектор операторы) представляют собой набор из 3 операторов, которые можно вращать в соответствии с:^[2]

${\displaystyle {U(R)}^{\dagger }{\widehat {V}}_{i}U(R)=\sum _{j}R_{ij}{\widehat {V}}_{j}}$

отсюда и оператор бесконечно малого вращения и его эрмитово сопряженное, и игнорируя член второго порядка в ${\displaystyle (\delta \theta )^{2}}$, можно вывести коммутационное соотношение с генератором вращения:

${\displaystyle \left[{\widehat {V}}_{a},{\widehat {J}}_{b}\right]\approx i\hbar \varepsilon _{abc}{\widehat {V}}_{c}}$

куда ε_ijk это Символ Леви-Чивита, которому по построению должны удовлетворять все векторные операторы. Как символ ε_ijk это псевдотензор, псевдовекторные операторы инвариантны вплоть до знак: +1 для правильные вращения и −1 для неправильные вращения.

Векторные операторы включают

• то оператор позиции:

${\displaystyle {\widehat {\mathbf {r} }}\psi =\mathbf {r} \psi }$

• то оператор импульса:

${\displaystyle {\widehat {\mathbf {p} }}\psi =-i\hbar \nabla \psi }$

и операторы пеусодовектора включают

• орбитальный оператор углового момента:

${\displaystyle {\widehat {\mathbf {L} }}\psi =-i\hbar \mathbf {r} \times \nabla \psi }$

• а также оператор вращения S, а значит, и полный угловой момент

${\displaystyle {\widehat {\mathbf {J} }}={\widehat {\mathbf {L} }}+{\widehat {\mathbf {S} }}\,.}$

В обозначениях Дирака:

${\displaystyle \langle {\bar {\psi }}|{\widehat {V}}_{a}|{\bar {\psi }}\rangle =\langle \psi |{U(R)}^{\dagger }{\widehat {V}}_{a}U(R)|\psi \rangle =\sum _{b}R_{ab}\langle \psi |{\widehat {V}}_{b}|\psi \rangle }$

и с тех пор | Ψ > - любое квантовое состояние, следует тот же результат:

${\displaystyle {U(R)}^{\dagger }{\widehat {V}}_{a}U(R)=\sum _{b}R_{ab}{\widehat {V}}_{b}}$

Обратите внимание, что здесь термин «вектор» используется двумя разными способами: кеты, такие как |ψ⟩ являются элементами абстрактных гильбертовых пространств, а векторный оператор определяется как величина, компоненты которой определенным образом преобразуются при поворотах.

Сферические векторные операторы

Векторный оператор в сферическая основа является V = (V₊₁, V₀, V₋₁) где компоненты:^[2]

${\displaystyle V_{+1}=-{\frac {1}{\sqrt {2}}}(V_{x}+iV_{y})\,\quad V_{-1}={\frac {1}{\sqrt {2}}}(V_{x}-iV_{y})\,,\quad V_{0}=V_{z}\,,}$

а коммутаторами с генераторами вращения являются:

${\displaystyle \left[J_{z},V_{q}\right]=qV_{q}}$

${\displaystyle \left[J_{\pm },V_{0}\right]={\sqrt {2}}V_{\pm }}$

${\displaystyle \left[J_{\pm },V_{\mp }\right]={\sqrt {2}}V_{0}}$

${\displaystyle \left[J_{\pm },V_{\pm }\right]=0}$

куда q является заполнителем для меток сферического базиса (+1, 0, −1) и:

${\displaystyle J_{\pm }=J_{x}\pm iJ_{y}\,,}$

(некоторые авторы могут помещать множитель 1/2 в левой части уравнения) и увеличивать (J₊) или ниже (J₋) общая магнитная квантовое число м на одну единицу. В сферическом основании образующими являются:

${\displaystyle J_{\pm 1}=\mp {\frac {1}{\sqrt {2}}}J_{\pm }\,,\quad J_{0}=J_{z}}$

Тогда преобразование вращения в сферическом базисе (первоначально записанное в декартовом базисе) выглядит следующим образом:

${\displaystyle {U(R)}^{\dagger }{\widehat {V}}_{q}U(R)=\sum _{q'}{{D(R)}_{qq'}^{(1)}}^{*}{\widehat {V}}_{q'}}$

Можно обобщить вектор концепция оператора легко тензорные операторы, показано далее.

Тензорные операторы и их приводимые и неприводимые представления

Тензорный оператор можно вращать в соответствии с:^[2]

${\displaystyle U(R)^{\dagger }{\widehat {T}}_{pqr\cdots }U(R)=R_{pi}R_{qj}R_{rk}\cdots {\widehat {T}}_{ijk\cdots }}$

Рассмотрим диадический тензор с компонентами Т_ij = а_яб_j, это бесконечно малое вращение согласно:

${\displaystyle U(R)^{\dagger }{\widehat {T}}_{pq}U(R)=R_{pi}R_{qj}{\widehat {T}}_{ij}=R_{pi}{\widehat {a}}_{i}R_{qj}{\widehat {b}}_{j}}$

Декартовы диадические тензоры вида

${\displaystyle {\hat {\mathbf {T} }}=\mathbf {e} _{i}{\widehat {a}}_{i}\otimes \mathbf {e} _{j}{\widehat {b}}_{j}=\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}{\widehat {a}}_{i}{\widehat {b}}_{j}}$

куда а и б два векторных оператора:

${\displaystyle {\hat {\mathbf {a} }}=\mathbf {e} _{i}{\widehat {a}}_{i}\,,\quad {\hat {\mathbf {b} }}=\mathbf {e} _{j}{\widehat {b}}_{j}}$

приводимы, что означает, что они могут быть повторно выражены в терминах а и б как тензор ранга 0 (скаляр), плюс тензор ранга 1 (антисимметричный тензор), плюс тензор ранга 2 (симметричный тензор с нулем след ):

${\displaystyle \mathbf {T} =\mathbf {T} ^{(0)}+\mathbf {T} ^{(1)}+\mathbf {T} ^{(2)}}$

где первый член

${\displaystyle {\widehat {T}}_{ij}^{(0)}={\frac {{\widehat {a}}_{k}{\widehat {b}}_{k}}{3}}\delta _{ij}}$

включает только один компонент, скаляр, эквивалентно записанный (а·б) / 3, второй

${\displaystyle {\widehat {T}}_{ij}^{(1)}={\frac {1}{2}}[{\widehat {a}}_{i}{\widehat {b}}_{j}-{\widehat {a}}_{j}{\widehat {b}}_{i}]={\widehat {a}}_{[i}{\widehat {b}}_{j]}}$

включает три независимых компонента, что эквивалентно компонентам (а×б) / 2, а третий

${\displaystyle {\widehat {T}}_{ij}^{(2)}={\frac {1}{2}}({\widehat {a}}_{i}{\widehat {b}}_{j}+{\widehat {a}}_{j}{\widehat {b}}_{i})-{\frac {{\widehat {a}}_{k}{\widehat {b}}_{k}}{3}}\delta _{ij}={\widehat {a}}_{(i}{\widehat {b}}_{j)}-T_{ij}^{(0)}}$

включает пять независимых компонентов. На протяжении, δ_ij это Дельта Кронекера, компоненты единичная матрица. Число в надстрочных скобках обозначает тензорный ранг. Эти три члена неприводимы, что означает, что они не могут быть разложены дальше и по-прежнему являются тензорами, удовлетворяющими определяющим законам преобразования, при которых они должны быть инвариантными. Они также соответствуют количеству сферических гармонических функций 2ℓ + 1 для ℓ = 0, 1, 2, так же, как ранги для каждого тензора. Каждое из неприводимых представлений Т⁽¹⁾, Т⁽²⁾ ... преобразовать как собственные состояния углового момента согласно количеству независимых компонентов.

Пример тензорного оператора,

• В Квадруполь оператор момента,

${\displaystyle Q_{ij}=\sum _{\alpha }q_{\alpha }(3r_{\alpha i}r_{\alpha j}-r_{\alpha }^{2}\delta _{ij})}$

• Два тензорных оператора можно умножить, чтобы получить еще один тензорный оператор.

${\displaystyle T_{ij}=V_{i}W_{j}}$

в целом,

${\displaystyle T_{i_{1}i_{2}\cdots j_{1}j_{2}\cdots }=V_{i_{1}i_{2}\cdots }W_{j_{1}j_{2}\cdots }}$

Примечание: Это всего лишь пример, в общем, тензорный оператор не может быть записан как произведение двух тензорных операторов, как указано в приведенном выше примере.

Сферические тензорные операторы

Продолжая предыдущий пример диадического тензора второго порядка Т = а ⊗ б, кастинг каждого из а и б в сферический базис и подставив в Т дает сферические тензорные операторы второго порядка, а именно:

${\displaystyle {\widehat {T}}_{\pm 2}^{(2)}={\widehat {a}}_{\pm 1}{\widehat {b}}_{\pm 1}}$

${\displaystyle {\widehat {T}}_{\pm 1}^{(2)}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left({\widehat {a}}_{\pm 1}{\widehat {b}}_{0}+{\widehat {a}}_{0}{\widehat {b}}_{\pm 1}\right)}$

${\displaystyle {\widehat {T}}_{0}^{(2)}={\frac {1}{\sqrt {6}}}\left({\widehat {a}}_{+1}{\widehat {b}}_{-1}+{\widehat {a}}_{-1}{\widehat {b}}_{+1}+2{\widehat {a}}_{0}{\widehat {b}}_{0}\right)}$

Используя оператор инфинитезимального вращения и его эрмитово сопряжение, можно вывести коммутационное соотношение в сферическом базисе:

${\displaystyle \left[J_{a},{\widehat {T}}_{q}^{(2)}\right]=\sum _{q'}{D(J_{a})}_{qq'}^{(2)}{\widehat {T}}_{q'}^{(2)}=\sum _{q'}\langle j{=}2,m{=}q|J_{a}|j{=}2,m{=}q'\rangle {\widehat {T}}_{q'}^{(2)}}$

а преобразование конечного вращения в сферическом базисе:

${\displaystyle {U(R)}^{\dagger }{\widehat {T}}_{q}^{(2)}U(R)=\sum _{q'}{{D(R)}_{qq'}^{(2)}}^{*}{\widehat {T}}_{q'}^{(2)}}$

В общем случае тензорные операторы можно строить с двух точек зрения.^[3]

Один из способов - указать, как сферические тензоры преобразуются при физическом вращении - теоретическая группа определение. Собственное состояние повернутого углового момента может быть разложено на линейную комбинацию начальных собственных состояний: коэффициенты в линейной комбинации состоят из элементов матрицы вращения Вигнера. Сферические тензорные операторы иногда определяют как набор операторов, которые преобразуются так же, как собственные узлы при вращении.

Сферический тензор Т_q^(k) ранга k определено, чтобы повернуть в Т_q′^(k) в соответствии с:

${\displaystyle {U(R)}^{\dagger }{\widehat {T}}_{q}^{(k)}U(R)=\sum _{q'}{D(R)_{qq'}^{(k)}}^{*}{\widehat {T}}_{q'}^{(k)}}$

куда q = k, k − 1, ..., −k + 1, −k. Для сферических тензоров k и q являются метками, аналогичными ℓ и м соответственно для сферических гармоник. Некоторые авторы пишут Т_k^q вместо Т_q^(k), с или без скобки включив порядковый номер k.

Другая связанная процедура требует, чтобы сферические тензоры удовлетворяли определенным коммутационным соотношениям относительно генераторов вращения J_Икс, J_у, J_z - алгебраическое определение.

Коммутационные соотношения компонент углового момента с тензорными операторами следующие:

${\displaystyle \left[J_{\pm },{\widehat {T}}_{q}^{(k)}\right]=\hbar {\sqrt {(k\mp q)(k\pm q+1)}}{\widehat {T}}_{q\pm 1}^{(k)}}$

${\displaystyle \left[J_{z},{\widehat {T}}_{q}^{(k)}\right]=\hbar q{\widehat {T}}_{q}^{(k)}}$

Для любого трехмерного вектора, а не только единичного вектора, и не только вектор положения:

${\displaystyle \mathbf {a} =a_{x}\mathbf {e} _{x}+a_{y}\mathbf {e} _{y}+a_{z}\mathbf {e} _{z}}$

сферический тензор является сферической гармоникой как функция этого вектора а, а в обозначениях Дирака:

${\displaystyle T_{q}^{(k)}=Y_{\ell =k}^{m=q}(\mathbf {a} )=\langle \mathbf {a} |k,q\rangle }$

(верхний индекс и нижний индекс меняют местами соответствующие метки ℓ ↔ k и м ↔ q которые используют сферические тензоры и сферические гармоники).

Сферические гармонические состояния и сферические тензоры также могут быть построены из Коэффициенты Клебша – Гордана. Неприводимые сферические тензоры могут строить сферические тензоры более высокого ранга; если А_q1^(k1) и B_q2^(k2) - два сферических тензора рангов k₁ и k₂ соответственно, тогда:

${\displaystyle T_{q}^{(k)}=\sum _{q_{1}q_{2}}\langle k_{1},k_{2},q_{1},q_{2}|k,q,q_{1},q_{2}\rangle A_{q_{1}}^{(k_{1})}B_{q_{2}}^{(k_{2})}}$

сферический тензор ранга k.

В Эрмитово сопряженный сферического тензора можно определить как

${\displaystyle (T^{\dagger })_{q}^{(k)}=(-1)^{k-q}(T_{-q}^{(k)})^{\dagger }.}$

В выборе фазового множителя есть некоторый произвол: любой фактор, содержащий (−1)^±q будет удовлетворять коммутационным соотношениям.^[4] Приведенный выше выбор фазы имеет то преимущество, что он действителен и тензорное произведение двух коммутирующих Эрмитский операторы по-прежнему эрмитовские.^[5] Некоторые авторы определяют его другим знаком. q, без k, или используйте только этаж из k.^[6]

Угловой момент и сферические гармоники

Орбитальный угловой момент и сферические гармоники

Операторы орбитального углового момента имеют операторы лестницы:

${\displaystyle L_{\pm }=L_{x}\pm iL_{y}}$

которые повышают или понижают орбитальное магнитное квантовое число м_ℓ на одну единицу. Он имеет почти ту же форму, что и сферический базис, за исключением постоянных мультипликативных множителей.

Сферические тензорные операторы и квантовый спин

Смотрите также: Спин-взвешенные сферические гармоники и спинорные сферические гармоники

Сферические тензоры также могут быть образованы из алгебраических комбинаций спиновых операторов S_Икс, S_у, S_zв качестве матриц для спиновой системы с полным квантовым числом j = ℓ + s (и ℓ = 0). Операторы вращения имеют лестничные операторы:

${\displaystyle S_{\pm }=S_{x}\pm iS_{y}}$

которые повышают или понижают спиновое магнитное квантовое число м_s на одну единицу.

Приложения

Сферические основы имеют широкое применение в чистой и прикладной математике и физических науках, где встречаются сферические геометрии.

Дипольные излучательные переходы в одноэлектронном атоме (щелочи)

Амплитуда перехода пропорциональна матричным элементам дипольного оператора между начальным и конечным состояниями. Мы используем электростатическую бесспиновую модель атома и рассматриваем переход с начального уровня энергии E_n до финального уровня E_{n′ ′}. Эти уровни вырождены, поскольку энергия не зависит от магнитного квантового числа m или m ′. Волновые функции имеют вид

${\displaystyle \psi _{nlm}(r,\theta ,\phi )=R_{nl}(r)Y_{lm}(\theta ,\phi )}$

Дипольный оператор пропорционален оператору положения электрона, поэтому мы должны вычислить матричные элементы вида,

${\displaystyle \langle n'l'm'|\mathbf {r} |nlm\rangle }$

где начальное состояние находится справа, а конечное - слева. Оператор позиции р состоит из трех компонентов, а начальный и конечный уровни состоят из 2ℓ + 1 и 2ℓ ′ + 1 вырожденных состояний соответственно. Следовательно, если мы хотим оценить интенсивность спектральной линии так, как она наблюдалась бы, нам действительно необходимо оценить 3 (2ℓ ′ + 1) (2ℓ + 1) матричных элемента, например, 3 × 3 × 5 = 45 в Переход 3d → 2p. Как мы увидим, на самом деле это преувеличение, потому что многие матричные элементы обращаются в нуль, но есть еще много ненулевых матричных элементов, которые необходимо вычислить.

Сильного упрощения можно достичь, выразив компоненты r не относительно декартовой основы, а относительно сферической основы. Сначала мы определяем,

${\displaystyle r_{q}={\hat {\mathbf {e} }}_{q}\cdot \mathbf {r} }$

Затем, проверив таблицу Y_ℓm′ S, находим, что при ℓ = 1 имеем

${\displaystyle rY_{11}(\theta ,\phi )=-r{\sqrt {\frac {3}{8\pi }}}\sin(\theta )e^{i\phi }={\sqrt {\frac {3}{4\pi }}}\left(-{\frac {x+iy}{\sqrt {2}}}\right)}$

${\displaystyle rY_{10}(\theta ,\phi )=r{\sqrt {\frac {3}{4\pi }}}\cos(\theta )={\sqrt {\frac {3}{4\pi }}}z}$

${\displaystyle rY_{1-1}(\theta ,\phi )=r{\sqrt {\frac {3}{8\pi }}}\sin(\theta )e^{-i\phi }={\sqrt {\frac {3}{4\pi }}}\left({\frac {x-iy}{\sqrt {2}}}\right)}$

где мы умножили каждый Y_{1 мес.} радиусом r. В правой части видны сферические компоненты r_q вектора положения р. Результаты можно резюмировать следующим образом:

${\displaystyle rY_{1q}(\theta ,\phi )={\sqrt {\frac {3}{4\pi }}}r_{q}}$

для q = 1, 0, −1, где q явно появляется как магнитное квантовое число. Это уравнение показывает связь между векторными операторами и значением углового момента = 1, о чем нам еще предстоит сказать сейчас. Теперь матричные элементы становятся произведением радиального интеграла на угловой интеграл,

${\displaystyle \langle n'l'm'|r_{q}|nlm\rangle =\left(\int _{0}^{\infty }r^{2}drR_{n'l'}^{*}(r)rR_{nl}(r)\right)\left({\sqrt {\frac {4\pi }{3}}}\int \sin {(\theta )}d\Omega Y_{l'm'}^{*}(\theta ,\phi )Y_{1q}(\theta ,\phi )Y_{lm}(\theta ,\phi )\right)}$

Мы видим, что вся зависимость от трех магнитных квантовых чисел (m ′, q, m) содержится в угловой части интеграла. Более того, угловой интеграл можно оценить с помощью трех-Y_ℓm формула, после чего она становится пропорциональной коэффициенту Клебша-Гордана,

${\displaystyle \langle l'm'|l1mq\rangle }$

Радиальный интеграл не зависит от трех магнитных квантовых чисел (m ', q, m), и трюк, который мы только что использовали, не помогает нам его вычислить. Но это только один интеграл, и после того, как это будет сделано, все остальные интегралы можно вычислить, просто вычислив или найдя коэффициенты Клебша-Гордана.

Правило выбора m ′ = q + m в коэффициенте Клебша-Гордана означает, что многие интегралы обращаются в нуль, поэтому мы преувеличили общее количество интегралов, которые необходимо выполнить. Но если бы мы работали с декартовыми компонентами r_я из р, это правило выбора могло быть неочевидным. В любом случае, даже при соблюдении правила выбора, может быть еще много ненулевых интегралов (девять в случае 3d → 2p). Только что приведенный нами пример упрощения вычисления матричных элементов для дипольного перехода действительно применение теоремы Вигнера-Эккарта, которое мы рассмотрим позже в этих заметках.

Магнитный резонанс

Формализм сферического тензора обеспечивает общую платформу для рассмотрения когерентности и релаксации в ядерный магнитный резонанс. В ЯМР и EPR, сферические тензорные операторы используются для выражения квантовой динамики вращение частицы, с помощью уравнения движения для матрица плотности записи, или сформулировать динамику в терминах уравнения движения в Пространство Лиувилля. Уравнение движения в пространстве Лиувилля определяет наблюдаемые средние спиновых переменных. Когда релаксация формулируется с использованием сферического тензорного базиса в пространстве Лиувилля, понимание становится возможным, потому что матрица релаксации напрямую демонстрирует кросс-релаксацию спиновых наблюдаемых.^[3]

Обработка изображений и компьютерная графика

Смотрите также

• Теорема Вигнера – Эккарта
• Структурный тензор
• Коэффициенты Клебша – Гордана для SU (3)

Рекомендации

Примечания

1. Дживанджи, Надир (2015). Введение в тензоры и теорию групп для физиков (2-е изд.). Бирхаузер. ISBN  978-0-8176-4714-8.
2. Э. Аберс (2004). «5». Квантовая механика. Эддисон Уэсли. ISBN  978-0-13-146100-0.
3. Р. Д. Нильсен; B.H. Робинсон (2006). "Сферический тензорный формализм в применении к релаксации в магнитном резонансе" (PDF). С. 270–271. Архивировано из оригинал (PDF) на 2014-04-07. Получено 2013-06-13.
4. Маккарти, Ян Э .; Вейголд, Эрих (2005). Электрон-атомные столкновения (том 5 кембриджских монографий по атомной, молекулярной и химической физике). Издательство Кембриджского университета. п. 68. ISBN  9780521019682.
5. Эдмондс, А. Р. (1957). Угловой момент в квантовой механике. Издательство Принстонского университета. п.78. ISBN  9780691025896.
6. Дегл'Инноченти, М. Ланди; Ландольфи, М. (2006). Поляризация в спектральных линиях. Springer Science & Business Media. п. 65. ISBN  9781402024153.

Источники

• П. Т. Каллаган (2011). Поступательная динамика и магнитный резонанс: принципы импульсного градиентного спинового эхо ЯМР. Издательство Оксфордского университета. ISBN  978-0-191-621-048.
• В. В. Балашов; А. Н. Грум-Гржимайло; Н.М. Кабачник (2000). Явления поляризации и корреляции в атомных столкновениях: курс практической теории. Springer. ISBN  9780306462665.
• Я. А. Тушинский (1990). Сферические тензорные операторы: таблицы матричных элементов и симметрий. World Scientific. ISBN  978-981-0202-835.
• Л. Кастеллани; Дж. Весс (1996). Квантовые группы и их приложения в физике: Варенна на озере Комо, Вилла Монастеро, 28 июня - 8 июля 1994 г.. Società Italiana di Fisica, IOS. ISBN  978-905-199-24-72.
• Введение в графическую теорию углового момента. Springer. 2009 г. ISBN  978-364-203-11-99.
• А. Р. Эдмондс (1996). Угловой момент в квантовой механике (2-е изд.). Издательство Принстонского университета. ISBN  978-0-691-025-896.
• Л.Дж. Мюллер (2011). «Тензоры и вращения в ЯМР». Концепции магнитного резонанса Часть A. 38А (5): 221–235. Дои:10.1002 / cmr.a.20224. S2CID  8889942.
• РС. Анвар (2004). «Сферические тензорные операторы в ЯМР» (PDF).
• П. Каллаган (1993). Принципы ядерной магнитно-резонансной микроскопии. Издательство Оксфордского университета. С. 56–57. ISBN  978-0-198-539-971.

дальнейшее чтение

Сферические гармоники

• G.W.F. Дрейк (2006). Справочник Springer по атомной, молекулярной и оптической физике (2-е изд.). Springer. п. 57. ISBN  978-0-3872-6308-3.
• Ф.А. Дален; Дж. Тромп (1998). Теоретическая глобальная сейсмология (2-е изд.). Издательство Принстонского университета. п. приложение С. ISBN  978-0-69100-1241.
• ДЕЛАТЬ. Томпсон; D.E. Chimenti (1997). Обзор прогресса в количественной неразрушающей оценке. Обзор прогресса в количественной неразрушающей оценке. 16. Springer. п. 1708. ISBN  978-0-3064-55971.
• Х. Паец; Г. Шик (2011). Ядерная физика с поляризованными частицами. Конспект лекций по физике. 842. Springer. п. 31. ISBN  978-364-224-225-0.
• В. Деванатан (1999). Методы углового момента в квантовой механике. Фундаментальные теории физики. 108. Springer. С. 34, 61. ISBN  978-0-7923-5866-4.
• В.Д. Клейман; R.N. Заре (1998). "5". Компаньон для Angular Momentum. Джон Вили и сыновья. п. 112. ISBN  978-0-4711-9249-7.

Угловой момент и спин

• Деванатан, V (2002). «Векторы и тензоры в сферическом базисе». Методы углового момента в квантовой механике. Фундаментальные теории физики. 108. С. 24–33. Дои:10.1007 / 0-306-47123-X_3. ISBN  978-0-306-47123-0.
• К. Hecht (2000). Квантовая механика. Тексты для выпускников по современной физике. Springer. ISBN  978-0-387-989-198.

Физика конденсированного состояния

• J.A. Меттес; Дж. Б. Кейт; Р. Б. Макклерг (2002). "Глобальные фазовые диаграммы молекулярных кристаллов: I метод построения" (PDF).
• Б. Хендерсон, Р. Х. Бартрам (2005). Технология кристаллического поля твердотельных лазерных материалов. Кембриджские исследования в современной оптике. 25. Издательство Кембриджского университета. п. 49. ISBN  978-0-52101-8012.
• Эдвард У. Кондон, и Халис Одабаши (1980). Атомная структура. КУБОК Архив. ISBN  978-0-5212-98933.
• Мелинда Дж. Дуэр, изд. (2008). "3". ЯМР-спектроскопия твердого тела: принципы и применение. Джон Вили и сыновья. п. 113. ISBN  978-0-4709-9938-7.
• К.Д. Бонин; В.В. Кресин (1997). "2". Электродипольные поляризуемости атомов, молекул и кластеров. World Scientific. С. 14–15. ISBN  978-981-022-493-6.
• Макдермотт А.Е., Поленова Т. (2012). Исследования биополимеров методом твердотельного ЯМР. Справочники по ЭМИ. Джон Вили и сыновья. п. 42. ISBN  978-111-858-889-5.

Магнитный резонанс

• Л.Дж. Мюллер (2011). «Тензоры и вращения в ЯМР». Концепции магнитного резонанса Часть A. 38А (5): 221–235. Дои:10.1002 / cmr.a.20224. S2CID  8889942.
• РС. Анвар (2004). «Сферические тензорные операторы в ЯМР» (PDF).
• П. Каллаган (1993). Принципы ядерной магнитно-резонансной микроскопии. Издательство Оксфордского университета. С. 56–57. ISBN  978-0-198-539-971.

Обработка изображений

• М. Рейсерт; Х. Буркхардт (2009). С. Аха-Фернандес (ред.). Тензоры в обработке изображений и компьютерном зрении. Springer. ISBN  978-184-8822-993.
• Д. Х. Лэйдлоу; Дж. Вайкерт (2009). Визуализация и обработка тензорных полей: достижения и перспективы. Математика и визуализация. Springer. ISBN  978-354-088-378-4.
• М. Фельсберг; Э. Йонссон (2005). Тензоры энергии: квадратичные, фазовоинвариантные операторы изображения. Конспект лекций по информатике. 3663. Springer. С. 493–500.
• Э. Кениг; С. Кремер (1979). «Тензорная операторная алгебра для точечных групп». Диаграммы магнетизма для ионов переходных металлов.. Конспект лекций по информатике. 3663. Springer. С. 13–20. Дои:10.1007/978-1-4613-3003-5_3. ISBN  978-1-4613-3005-9.

внешняя ссылка

• (2012) Коэффициенты Клебша-Гордона (sic) и тензорные сферические гармоники
• Тензорные сферические гармоники
• (2010) Неприводимые тензорные операторы и теорема Вигнера-Эккарта
• Тензорные операторы^{[постоянная мертвая ссылка ]}
• М. Фаулер (2008), Тензорные операторы
• Tensor_Operators
• (2009) Тензорные операторы и теорема Вигнера Эккарта
• Теорема Вигнера-Эккарта^{[постоянная мертвая ссылка ]}
• (2004) Вращательные преобразования и сферические тензорные операторы
• Тензорные операторы
• Оценка матричных элементов радиационных переходов
• Д.К. Гош, (2013) Угловой момент - III: Теорема Вигнера-Эккарта
• Б. Бараджола (2002) Тензорные операторы
• Сферические тензоры