Тензорная плотность - Tensor density

В дифференциальная геометрия, а тензорная плотность или же относительный тензор является обобщением тензорное поле концепция. Тензорная плотность трансформируется как тензорное поле при переходе из одной системы координат в другую (см. тензорное поле ), за исключением того, что он дополнительно умножается или взвешенный силой W из Определитель якобиана координатной переходной функции или ее абсолютное значение. Различают (аутентичные) тензорные плотности, псевдотензорные плотности, четные тензорные плотности и нечетные тензорные плотности. Иногда тензорные плотности с отрицательным весом W называются тензорная емкость.^[1][2][3] Тензорную плотность также можно рассматривать как раздел из тензорное произведение из тензорное расслоение с пучок плотности.

Мотивация

В физике и смежных областях часто бывает полезно работать с компонентами алгебраического объекта, а не с самим объектом. Примером может быть разложение вектора на сумму основа векторы, взвешенные некоторыми коэффициентами, такими как

${\displaystyle {\vec {v}}=c_{1}{\vec {e}}_{1}+c_{2}{\vec {e}}_{2}+c_{3}{\vec {e}}_{3}}$

куда ${\displaystyle {\vec {v}}}$ вектор в 3-мерном Евклидово пространство, ${\displaystyle c_{i}\in \mathbb {R} ^{n}{\text{ and }}{\vec {e}}_{i}}$ - обычные стандартные базисные векторы в евклидовом пространстве. Обычно это необходимо для вычислительных целей и часто может быть полезным, когда алгебраические объекты представляют собой сложные абстракции, но их компоненты имеют конкретную интерпретацию. Однако с этой идентификацией нужно быть осторожным, чтобы отслеживать изменения базовой основы, в которой количество увеличивается; в ходе вычислений может оказаться целесообразным изменить основу и вектор ${\displaystyle {\vec {v}}}$ останется фиксированным в физическом пространстве. В более общем смысле, если алгебраический объект представляет геометрический объект, но выражается в терминах определенного базиса, то при изменении базиса необходимо также изменить представление. Физики часто называют такое представление геометрического объекта Тензор если он преобразуется под действием последовательности линейные карты учитывая линейное изменение базиса (хотя другие, что сбивает с толку, называют лежащий в основе геометрический объект, который не изменился при преобразовании координат, «тензором», соглашения, которое эта статья строго избегает). В общем, есть представления, которые преобразуются произвольным образом в зависимости от того, как геометрический инвариант восстанавливается из представления. В некоторых частных случаях удобно использовать представления, которые преобразуются почти как тензоры, но с дополнительным нелинейным фактором при преобразовании. Прототипным примером является матрица, представляющая перекрестное произведение (площадь растянутого параллелограмма) на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$. В стандартном базисе представление дается формулой

${\displaystyle {\vec {u}}\times {\vec {v}}={\begin{bmatrix}u_{1}&u_{2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{bmatrix}}=u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1}}$ Если теперь мы попытаемся выразить это же выражение в базисе, отличном от стандартного, то компоненты векторов изменятся, скажем, согласно ${\displaystyle {\begin{bmatrix}u'_{1}\\u'_{2}\end{bmatrix}}=A{\begin{bmatrix}u_{1}\\u_{2}\end{bmatrix}}}$ куда ${\displaystyle A}$ это некоторая матрица 2 на 2 действительных чисел. Учитывая, что площадь натянутого параллелограмма является геометрическим инвариантом, она не может измениться при смене базиса, поэтому новое представление этой матрицы должно быть:

${\displaystyle (A^{-1})^{T}{\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}}A^{-1}}$которое при раскрытии представляет собой исходное выражение, умноженное на определитель ${\displaystyle A^{-1}}$, который также ${\displaystyle {\frac {1}{\det A}}}$. Фактически это представление можно рассматривать как преобразование тензора с двумя индексами, но вместо этого с вычислительной точки зрения проще представить правило преобразования тензора как умножение на ${\displaystyle {\frac {1}{\det A}}}$, а не как умножение на 2 матрицы (на самом деле в более высоких измерениях естественным продолжением этого является ${\displaystyle n,n\times n}$ матричные умножения, которые для больших ${\displaystyle n}$ совершенно неосуществимо). Объекты, преобразованные таким образом, называются тензорные плотности потому что они возникают естественным образом при рассмотрении проблем, касающихся площадей и объемов, и поэтому часто используются в области интеграции.

Определение

Некоторые авторы классифицируют тензорные плотности на два типа, которые в этой статье называются (аутентичными) тензорными плотностями и псевдотензорными плотностями. Другие авторы классифицируют их по-другому, на типы, называемые четными тензорными плотностями и нечетными тензорными плотностями. Когда вес тензорной плотности является целым числом, между этими подходами существует эквивалентность, которая зависит от того, является ли целое число четным или нечетным.

Обратите внимание, что эти классификации поясняют различные способы, которыми тензорные плотности могут несколько патологически трансформироваться при ориентации -реверсирование преобразования координат. Независимо от их классификации в эти типы, существует только один способ преобразования тензорных плотностей при ориентации -сохранение преобразования координат.

В этой статье мы выбрали соглашение, согласно которому определителю метрического тензора, выраженному как ковариантный индексы. При таком выборе классические плотности, такие как плотность заряда, будут представлены тензорными плотностями веса +1. Некоторые авторы используют знаковое соглашение для весов, которое является отрицанием представленного здесь.^[4]

Тензорная и псевдотензорная плотности

Например, смешанная (аутентичная) тензорная плотность веса второго ранга W преобразуется как:^[5][6]

${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{\beta }^{\alpha }=\left(\det {\left[{\frac {\partial {\bar {x}}^{\iota }}{\partial {x}^{\gamma }}}\right]}\right)^{W}\,{\frac {\partial {x}^{\alpha }}{\partial {\bar {x}}^{\delta }}}\,{\frac {\partial {\bar {x}}^{\epsilon }}{\partial {x}^{\beta }}}\,{\bar {\mathfrak {T}}}_{\epsilon }^{\delta }\,,}$     ((аутентичная) тензорная плотность (целого) веса W)

куда ${\displaystyle {\bar {\mathfrak {T}}}}$ - тензорная плотность второго ранга в ${\displaystyle {\bar {x}}}$ система координат, ${\displaystyle {\mathfrak {T}}}$ - преобразованная тензорная плотность в ${\displaystyle {x}}$ система координат; и мы используем Определитель якобиана. Поскольку детерминант может быть отрицательным, то есть для преобразования координат с изменением ориентации, эта формула применима только тогда, когда W целое число. (Однако см. Четные и нечетные тензорные плотности ниже.)

Мы говорим, что тензорная плотность является псевдотензорной плотностью, когда существует дополнительная смена знака при преобразовании координат с изменением ориентации. Смешанная псевдотензорная плотность веса второго ранга W трансформируется как

${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{\beta }^{\alpha }=\operatorname {sgn} \left(\det {\left[{\frac {\partial {\bar {x}}^{\iota }}{\partial {x}^{\gamma }}}\right]}\right)\left(\det {\left[{\frac {\partial {\bar {x}}^{\iota }}{\partial {x}^{\gamma }}}\right]}\right)^{W}\,{\frac {\partial {x}^{\alpha }}{\partial {\bar {x}}^{\delta }}}\,{\frac {\partial {\bar {x}}^{\epsilon }}{\partial {x}^{\beta }}}\,{\bar {\mathfrak {T}}}_{\epsilon }^{\delta }\,,}$     (псевдотензорная плотность (целого) веса W)

куда sgn () - это функция, которая возвращает +1, если ее аргумент положительный, или -1, если ее аргумент отрицательный.

Четные и нечетные тензорные плотности

Преобразования для четных и нечетных тензорных плотностей имеют то преимущество, что они хорошо определены, даже если W не является целым числом. Таким образом, можно говорить, скажем, о нечетной тензорной плотности веса +2 или четной тензорной плотности веса -1/2.

Когда W является четным целым числом. Вышеупомянутая формула для (аутентичной) плотности тензора может быть переписана как

${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{\beta }^{\alpha }=\left\vert \det {\left[{\frac {\partial {\bar {x}}^{\iota }}{\partial {x}^{\gamma }}}\right]}\right\vert ^{W}\,{\frac {\partial {x}^{\alpha }}{\partial {\bar {x}}^{\delta }}}\,{\frac {\partial {\bar {x}}^{\epsilon }}{\partial {x}^{\beta }}}\,{\bar {\mathfrak {T}}}_{\epsilon }^{\delta }\,.}$     (даже тензорная плотность веса W)

Аналогично, когда W является нечетным целым числом, формулу (аутентичной) тензорной плотности можно переписать как

${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{\beta }^{\alpha }=\operatorname {sgn} \left(\det {\left[{\frac {\partial {\bar {x}}^{\iota }}{\partial {x}^{\gamma }}}\right]}\right)\left\vert \det {\left[{\frac {\partial {\bar {x}}^{\iota }}{\partial {x}^{\gamma }}}\right]}\right\vert ^{W}\,{\frac {\partial {x}^{\alpha }}{\partial {\bar {x}}^{\delta }}}\,{\frac {\partial {\bar {x}}^{\epsilon }}{\partial {x}^{\beta }}}\,{\bar {\mathfrak {T}}}_{\epsilon }^{\delta }\,.}$     (нечетная тензорная плотность веса W)

Вес нуля и единицы

Тензорная плотность любого типа с нулевым весом также называется абсолютный тензор. (Четная) аутентичная тензорная плотность нулевого веса также называется обычный тензор.

Если вес не указан, но слово «относительный» или «плотность» используется в контексте, где требуется конкретный вес, обычно предполагается, что вес равен +1.

Алгебраические свойства

1. Линейная комбинация тензорных плотностей одного типа и веса W это снова тензорная плотность этого типа и веса.
2. Произведение двух тензорных плотностей любых типов и с весами W₁ и W₂ тензорная плотность веса W₁ + W₂.

   Произведение аутентичных тензорных плотностей и псевдотензорных плотностей будет аутентичной тензорной плотностью, когда четное число факторов является псевдотензорными плотностями; это будет псевдотензорная плотность, когда нечетное количество факторов будет псевдотензорной плотностью. Точно так же произведение четных тензорных плотностей и нечетных тензорных плотностей будет четной тензорной плотностью, когда четное число факторов является нечетными тензорными плотностями; это будет нечетная тензорная плотность, когда нечетное количество факторов являются нечетными тензорными плотностями.

3. Сужение индексов на тензорной плотности с весом W снова дает тензорную плотность веса W.^[7]
4. Используя (2) и (3), можно увидеть, что повышение и понижение индексов с использованием метрического тензора (вес 0) оставляет вес неизменным.^[8]

Обращение матриц и определитель матриц тензорных плотностей

Если ${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{\alpha \beta }}$ - невырожденная матрица и тензорная плотность веса второго ранга W с ковариантными индексами, то его обратная матрица будет тензорной плотностью веса второго ранга -W с контравариантными индексами. Аналогичные утверждения применяются, когда два индекса контравариантны или смешаны, ковариантны и контравариантны.

Если ${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{\alpha \beta }}$ тензорная плотность веса второго ранга W с ковариантными индексами, то определитель матрицы ${\displaystyle \det {\mathfrak {T}}_{\alpha \beta }}$ будет иметь вес NW + 2, куда N это количество измерений пространства-времени. Если ${\displaystyle {\mathfrak {T}}^{\alpha \beta }}$ тензорная плотность веса второго ранга W с контравариантными индексами, то определитель матрицы ${\displaystyle \det {\mathfrak {T}}^{\alpha \beta }}$ будет иметь вес NW − 2. Определитель матрицы ${\displaystyle \det {\mathfrak {T}}_{~\beta }^{\alpha }}$ будет иметь вес NW.

Общая теория относительности

Связь детерминанта Якоби и метрического тензора

Любой неособый обыкновенный тензор ${\displaystyle T_{\mu \nu }}$ трансформируется как

${\displaystyle T_{\mu \nu }={\frac {\partial {\bar {x}}^{\kappa }}{\partial {x}^{\mu }}}{\bar {T}}_{\kappa \lambda }{\frac {\partial {\bar {x}}^{\lambda }}{\partial {x}^{\nu }}}\,,}$

где правую часть можно рассматривать как произведение трех матриц. Взяв определитель обеих частей уравнения (используя, что определитель матричного произведения является произведением определителей), разделив обе части на ${\displaystyle \det({\bar {T}}_{\kappa \lambda })}$, и извлечение квадратного корня из них дает

${\displaystyle \left\vert \det {\left[{\frac {\partial {\bar {x}}^{\iota }}{\partial {x}^{\gamma }}}\right]}\right\vert ={\sqrt {\frac {\det({T}_{\mu \nu })}{\det({\bar {T}}_{\kappa \lambda })}}}\,.}$

Когда тензор Т это метрический тензор, ${\displaystyle {g}_{\kappa \lambda }}$, и ${\displaystyle {\bar {x}}^{\iota }}$ - локально инерциальная система координат, где ${\displaystyle {\bar {g}}_{\kappa \lambda }=\eta _{\kappa \lambda }=}$diag (−1, + 1, + 1, + 1), Метрика Минковского, тогда ${\displaystyle \det({\bar {g}}_{\kappa \lambda })=\det(\eta _{\kappa \lambda })=}$ −1 и так

${\displaystyle \left\vert \det {\left[{\frac {\partial {\bar {x}}^{\iota }}{\partial {x}^{\gamma }}}\right]}\right\vert ={\sqrt {-{g}}}\,,}$

куда ${\displaystyle {g}=\det({g}_{\mu \nu })}$ - определитель метрического тензора ${\displaystyle {g}_{\mu \nu }}$.

Использование метрического тензора для управления тензорными плотностями

Следовательно, четная тензорная плотность, ${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{\nu \dots }^{\mu \dots }}$, веса W, можно записать в виде

${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{\nu \dots }^{\mu \dots }={\sqrt {-g}}\;^{W}T_{\nu \dots }^{\mu \dots }\,,}$

куда ${\displaystyle T_{\nu \dots }^{\mu \dots }\,}$ - обычный тензор. В локально инерциальной системе координат, где ${\displaystyle g_{\kappa \lambda }=\eta _{\kappa \lambda }}$, будет так, что ${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{\nu \dots }^{\mu \dots }}$ и ${\displaystyle T_{\nu \dots }^{\mu \dots }\,}$ будут представлены такими же числами.

При использовании метрического подключения (Леви-Чивита связь ), ковариантная производная четной тензорной плотности определяется как

${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{\nu \dots ;\alpha }^{\mu \dots }={\sqrt {-g}}\;^{W}T_{\nu \dots ;\alpha }^{\mu \dots }={\sqrt {-g}}\;^{W}({\sqrt {-g}}\;^{-W}{\mathfrak {T}}_{\nu \dots }^{\mu \dots })_{;\alpha }\,.}$

Для произвольной связи ковариантная производная определяется добавлением дополнительного члена, а именно

${\displaystyle -W\,\Gamma _{~\delta \alpha }^{\delta }\,{\mathfrak {T}}_{\nu \dots }^{\mu \dots }\,}$

в выражение, подходящее для ковариантной производной обычного тензора.

В равной степени соблюдается правило продукта.

${\displaystyle ({\mathfrak {T}}_{\nu \dots }^{\mu \dots }{\mathfrak {S}}_{\tau \dots }^{\sigma \dots })_{;\alpha }=({\mathfrak {T}}_{\nu \dots ;\alpha }^{\mu \dots }){\mathfrak {S}}_{\tau \dots }^{\sigma \dots }+{\mathfrak {T}}_{\nu \dots }^{\mu \dots }({\mathfrak {S}}_{\tau \dots ;\alpha }^{\sigma \dots })\,,}$

где для метрической связности ковариантная производная любой функции от ${\displaystyle g_{\kappa \lambda }}$ всегда равен нулю,

${\displaystyle {\begin{aligned}g_{\kappa \lambda ;\alpha }&=0\\({\sqrt {-g}}\;^{W})_{;\alpha }&=({\sqrt {-g}}\;^{W})_{,\alpha }-W\Gamma _{~\delta \alpha }^{\delta }{\sqrt {-g}}\;^{W}={\frac {W}{2}}g^{\kappa \lambda }g_{\kappa \lambda ,\alpha }{\sqrt {-g}}\;^{W}-W\Gamma _{~\delta \alpha }^{\delta }{\sqrt {-g}}\;^{W}=0\,.\end{aligned}}}$

Примеры

Смотрите также: Уравнения Максвелла в искривленном пространстве-времени

Выражение ${\displaystyle {\sqrt {-g}}}$ - скалярная плотность. По соглашению в этой статье он имеет вес +1.

Плотность электрического тока ${\displaystyle {\mathfrak {J}}^{\mu }}$ (например, ${\displaystyle {\mathfrak {J}}^{2}}$ это количество электрического заряда, пересекающего 3-объемный элемент ${\displaystyle dx^{3}\,dx^{4}\,dx^{1}}$ деленное на этот элемент - не используйте метрику в этом вычислении) - это контравариантная векторная плотность веса +1. Часто его записывают как ${\displaystyle {\mathfrak {J}}^{\mu }=J^{\mu }{\sqrt {-g}}}$ или же ${\displaystyle {\mathfrak {J}}^{\mu }=\varepsilon ^{\mu \alpha \beta \gamma }{\mathcal {J}}_{\alpha \beta \gamma }/3!}$, куда ${\displaystyle J^{\mu }\,}$ и дифференциальная форма ${\displaystyle {\mathcal {J}}_{\alpha \beta \gamma }}$ - абсолютные тензоры, а где ${\displaystyle \varepsilon ^{\mu \alpha \beta \gamma }}$ это Символ Леви-Чивита; Смотри ниже.

Плотность Сила Лоренца ${\displaystyle {\mathfrak {f}}_{\mu }}$ (т.е., линейный импульс, передаваемый от электромагнитного поля к веществу в элементе 4-объема ${\displaystyle dx^{1}\,dx^{2}\,dx^{3}\,dx^{4}}$ деленное на этот элемент - не используйте метрику в этом вычислении) - это ковариантная векторная плотность веса +1.

В N-мерное пространство-время, Символ Леви-Чивита может рассматриваться как ранг-N ковариантная (нечетная) аутентичная тензорная плотность веса −1 (ε_{α1… ΑN}) или звание-N контравариантный (нечетный) аутентичный тензор плотности веса +1 (ε^{α₁… Α_N}). Обратите внимание, что символ Леви-Чивита (так считается) нет подчиняться обычному соглашению о повышении или понижении индексов с помощью метрического тензора. То есть это правда, что

${\displaystyle \varepsilon ^{\alpha \beta \gamma \delta }\,g_{\alpha \kappa }\,g_{\beta \lambda }\,g_{\gamma \mu }g_{\delta \nu }\,=\,\varepsilon _{\kappa \lambda \mu \nu }\,g\,,}$

но в общей теории относительности, где ${\displaystyle g}$ всегда отрицательно, никогда не равно ${\displaystyle \varepsilon _{\kappa \lambda \mu \nu }}$.

В детерминант метрического тензора,

${\displaystyle g=\det \left(g_{\rho \sigma }\right)={\frac {1}{4!}}\varepsilon ^{\alpha \beta \gamma \delta }\varepsilon ^{\kappa \lambda \mu \nu }g_{\alpha \kappa }g_{\beta \lambda }g_{\gamma \mu }g_{\delta \nu }\,,}$

является (четной) аутентичной скалярной плотностью веса +2.

Смотрите также

• Относительный скаляр
• Псевдотензор
• Теорема Нётер
• Вариационный принцип
• Закон сохранения
• Экшен (физика)

Примечания

1. Вайнрайх, Габриэль (6 июля 1998 г.). Геометрические векторы. С. 112, 115. ISBN  978-0226890487.
2. Папаставридис, Джон Г. (18 декабря 1998 г.). Тензорное исчисление и аналитическая динамика. CRC Press. ISBN  978-0849385148.
3. Руис-Толоса, Кастильо, Хуан Р., Энрике (30 марта 2006 г.). От векторов к тензорам. Springer Science & Business Media. ISBN  978-3540228875.
4. Например. Вайнберг 1972 pp 98. Выбранное соглашение включает в формулах ниже Определитель якобиана обратного перехода Икс → Икс, в то время как противоположное соглашение рассматривает прямой переход Икс → Икс что приводит к изменению знака веса.
5. М. Р. Шпигель; С. Липчутц; Д. Спеллман (2009). Векторный анализ (2-е изд.). Нью-Йорк: серия набросков Шаума. п. 198. ISBN  978-0-07-161545-7.
6. К. Б. Паркер (1994). Энциклопедия физики Макгроу Хилла (2-е изд.). п.1417. ISBN  0-07-051400-3.
7. Вайнберг 1972 С. 100.
8. Вайнберг 1972 С. 100.

Рекомендации

• Спивак Михаил (1999), Комплексное введение в дифференциальную геометрию, том I (3-е изд.), С. 134.
• Купцов, Л.П. (2001) [1994], «Тензорная плотность», Энциклопедия математики, EMS Press.
• Чарльз Миснер; Кип С Торн & Джон Арчибальд Уиллер (1973). Гравитация. В. Х. Фриман. п. 501ff. ISBN  0-7167-0344-0.
• Вайнберг, Стивен (1972), Гравитация и космология, John Wiley & sons, Inc, ISBN  0-471-92567-5