Глоссарий тензорной теории - Glossary of tensor theory
Это глоссарий тензорной теории. Для экспозиций тензорная теория с разных точек зрения см .:
Для некоторой истории абстрактной теории см. Также Полилинейная алгебра.
Классическая нотация
Самая ранняя основа тензорной теории - тензорная индексная запись.[1]
Компоненты тензора относительно базиса представляют собой индексированный массив. В порядок тензора - это количество необходимых индексов. Некоторые тексты могут относиться к тензорному порядку, используя термин степень или ранг.
Ранг тензора - это минимальное количество тензора первого ранга, которое необходимо просуммировать для получения тензора. Тензор первого ранга может быть определен как выражаемый как внешнее произведение числа ненулевых векторов, необходимых для получения правильного порядка.
А диадический тензор - это тензор второго порядка, и его можно представить в виде квадрата матрица. Напротив, диада является диадическим тензором первого ранга.
Это обозначение основано на понимании того, что всякий раз, когда срок в выражении, содержащем повторяющуюся индексную букву, интерпретация по умолчанию такова, что произведение суммируется по всем разрешенным значениям индекса. Например, если аij матрица, то по этому соглашению аii это его след. Соглашение Эйнштейна широко используется в текстах по физике и инженерии до такой степени, что, если суммирование не применяется, это нормально указать это явно.
- Ковариантный тензор
- Контравариантный тензор
Классическая интерпретация по компонентам. Например, в дифференциальной форме аяdxя в компоненты ая ковариантный вектор. Это означает, что все показатели ниже; контравариантный означает, что все индексы верхние.
Это относится к любому тензору, имеющему как нижний, так и верхний индексы.
Декартов тензор
Декартовы тензоры широко используются в различных областях механика сплошной среды, такие как механика жидкости и эластичность. В классической механика сплошной среды, интересующее пространство обычно 3-мерное Евклидово пространство, как и касательное пространство в каждой точке. Если ограничить локальные координаты равными Декартовы координаты с той же шкалой с центром в интересующей точке метрический тензор это Дельта Кронекера. Это означает, что нет необходимости различать ковариантные и контравариантные компоненты, а также нет необходимости различать тензоры и тензорные плотности. Все Декартово-тензорный индексы записываются в виде нижних индексов. Декартовы тензоры добиться значительного упрощения вычислений за счет общности и некоторого теоретического понимания.
Алгебраические обозначения
Это позволяет избежать первоначального использования компонентов и отличается явным использованием символа тензорного произведения.
Тензорное произведение
Если v и ш векторы в векторные пространства V и W соответственно, то
тензор в
То есть операция ⊗ - это бинарная операция, но он переносит ценности в новое пространство (в сильном смысле внешний). Операция ⊗ - это билинейная карта; но к нему не применяются никакие другие условия.
Чистый тензор
Чистый тензор V ⊗ W тот, который имеет форму v ⊗ ш
Это может быть написано диадически аябj, а точнее аябj ея ⊗ жj, где ея являются основой для V и жj основа для W. Следовательно, если V и W имеют одинаковую размерность, массив компонентов не обязательно должен быть квадратным. Такие чистый тензоры не являются общими: если оба V и W имеют размерность больше 1, будут тензоры, которые не являются чистыми, и будут нелинейные условия, которым тензор должен удовлетворять, чтобы быть чистым. Подробнее см. Сегре встраивание.
Тензорная алгебра
В тензорной алгебре Т(V) векторного пространства V, операция становится нормальным (внутренним) бинарная операция. Следствием этого является то, что Т(V) имеет бесконечное измерение, если V имеет размерность 0. свободная алгебра на съемочной площадке Икс для практических целей то же самое, что тензорная алгебра в векторном пространстве с Икс в качестве основы.
Звездный оператор Ходжа
Внешняя мощность
В клин - антисимметричная форма операции. Факторное пространство Т(V), на котором он становится внутренней операцией, является внешняя алгебра из V; это градуированная алгебра, с градуированным грузом k называется k-й внешняя сила из V.
Симметричная степень, симметрическая алгебра
Это инвариантный способ построения полиномиальные алгебры.
Приложения
Теория тензорного поля
Абстрактная алгебра
Это операция с полями, которая не всегда создает поле.
Представление алгебры Клиффорда, которое дает реализацию алгебры Клиффорда как матричной алгебры.
Эти производные функторы тензорного произведения и сильно в гомологическая алгебра. Название происходит от торсионная подгруппа в абелева группа теория.
Эти очень абстрактные подходы, используемые в некоторых частях геометрии.
Спиноры
Увидеть:
использованная литература
- ^ Риччи, Грегорио; Леви-Чивита, Туллио (март 1900 г.), "Абсолютные методы расчета и других приложений" [Абсолютные дифференциальные методы расчета и их приложения] (PDF), Mathematische Annalen (на французском языке), Springer, 54 (1–2): 125–201, Дои:10.1007 / BF01454201
Книги
- Бишоп, Р.; Гольдберг, С.И. (1968), Тензорный анализ на многообразиях (Первое издание Dover 1980 г.), The Macmillan Company, ISBN 0-486-64039-6
- Дэниэлсон, Дональд А. (2003). Векторы и тензоры в технике и физике (2 / е изд.). Вествью (Персей). ISBN 978-0-8133-4080-7.
- Димитриенко, Юрий (2002). Тензорный анализ и нелинейные тензорные функции. Kluwer Academic Publishers (Springer). ISBN 1-4020-1015-X.
- Лавлок, Дэвид; Ханно Рунд (1989) [1975]. Тензоры, дифференциальные формы и вариационные принципы. Дувр. ISBN 978-0-486-65840-7.
- Synge, Джон Л.; Шильд, Альфред (1949). Тензорное исчисление. Dover Publications Издание 1978 года. ISBN 978-0-486-63612-2.