Диадики - Dyadics

В математика, конкретно полилинейная алгебра, а диадический или же диадический тензор это второй порядок тензор, записанные в обозначениях, которые соответствуют векторная алгебра.

Есть множество способов умножить два Евклидовы векторы. В скалярное произведение принимает два вектора и возвращает скаляр, в то время как перекрестное произведение возвращает псевдовектор. Оба они имеют различные геометрические интерпретации и широко используются в математике, физика, и инженерное дело. В диадический продукт принимает два вектора и возвращает тензор второго порядка, называемый диадический в контексте. Диадика может использоваться для содержания физической или геометрической информации, хотя, как правило, нет прямого способа ее геометрической интерпретации.

Диадический продукт распределительный над векторное сложение, и ассоциативный с скалярное умножение. Следовательно, диадический продукт линейный в обоих его операндах. В общем, можно добавить две диадики, чтобы получить еще одну диадику, и умноженный по числам для масштабирования диадики. Однако продукт не коммутативный; изменение порядка векторов приводит к другой диадике.

Формализм диадическая алгебра является расширением векторной алгебры, включающим диадическое произведение векторов. Диадическое произведение также ассоциативно со скалярными произведениями, а скрещенные произведения с другими векторами, что позволяет скомбинировать точечные, перекрестные и диадические произведения вместе для получения других скаляров, векторов или диадических чисел.

Он также имеет некоторые аспекты матричная алгебра, так как числовые компоненты векторов могут быть организованы в векторы строк и столбцов, и тензоров второго порядка по квадратные матрицы. Кроме того, точечные, перекрестные и диадические произведения могут быть выражены в матричной форме. Диадические выражения могут сильно напоминать матричные эквиваленты.

Скалярное произведение диадики с вектором дает другой вектор, а скалярное произведение этого результата дает скаляр, полученный из диадики. Влияние данной диадики на другие векторы может давать косвенные физические или геометрические интерпретации.

Диадические обозначения были впервые установлены Джозайя Уиллард Гиббс в 1884 году. Обозначения и терминология сегодня относительно устарели. Его использование в физике включает механика сплошной среды и электромагнетизм.

В этой статье жирным шрифтом верхнего регистра обозначены диадики (включая диады), а жирным строчным шрифтом - векторы. Альтернативное обозначение использует соответственно двойные и одинарные символы подчеркивания или подчеркивания.

Определения и терминология

Диадические, внешние и тензорные произведения

А диада это тензор из порядок два и классифицировать один и является диадическим произведением двух векторов (сложные векторы в целом), тогда как диадический генерал тензор из порядок два (которые могут быть полными или нет).

Для этого продукта существует несколько эквивалентных терминов и обозначений:

• то диадический продукт двух векторов ${displaystyle mathbf {a} }$ и ${displaystyle mathbf {b} }$ обозначается ${displaystyle mathbf {a} mathbf {b} }$ (рядом; без символов, знаков умножения, крестиков, точек и т. д.)
• то внешний продукт из двух вектор-столбец ${displaystyle mathbf {a} }$ и ${displaystyle mathbf {b} }$ обозначается и определяется как ${displaystyle mathbf {a} otimes mathbf {b} }$ или же ${displaystyle mathbf {a} mathbf {b} ^{mathsf {T}}}$, куда ${displaystyle {mathsf {T}}}$ средства транспонировать,
• то тензорное произведение двух векторов ${displaystyle mathbf {a} }$ и ${displaystyle mathbf {b} }$ обозначается ${displaystyle mathbf {a} otimes mathbf {b} }$,

В диадическом контексте все они имеют одинаковое определение и значение и используются как синонимы, хотя тензорное произведение является примером более общего и абстрактного использования этого термина.

Дирака обозначение бюстгальтера делает использование диад и диадиков интуитивно понятным, см. Кэхилл (2013).

Трехмерное евклидово пространство

Чтобы проиллюстрировать эквивалентное использование, рассмотрим трехмерный Евклидово пространство, позволяя:

${displaystyle {egin{aligned}mathbf {a} &=a_{1}mathbf {i} +a_{2}mathbf {j} +a_{3}mathbf {k} mathbf {b} &=b_{1}mathbf {i} +b_{2}mathbf {j} +b_{3}mathbf {k} end{aligned}}}$

быть двумя векторами, где я, j, k (также обозначается е₁, е₂, е₃) являются стандартными базисные векторы в этом векторное пространство (смотрите также Декартовы координаты ). Тогда диадическое произведение а и б можно представить в виде суммы:

${displaystyle {egin{aligned}mathbf {ab} =qquad &a_{1}b_{1}mathbf {ii} +a_{1}b_{2}mathbf {ij} +a_{1}b_{3}mathbf {ik} {}+{}&a_{2}b_{1}mathbf {ji} +a_{2}b_{2}mathbf {jj} +a_{2}b_{3}mathbf {jk} {}+{}&a_{3}b_{1}mathbf {ki} +a_{3}b_{2}mathbf {kj} +a_{3}b_{3}mathbf {kk} end{aligned}}}$

или путем расширения из векторов строк и столбцов, матрица 3 × 3 (также результат внешнего произведения или тензорного произведения а и б):

${displaystyle mathbf {ab} equiv mathbf {a} otimes mathbf {b} equiv mathbf {ab} ^{mathsf {T}}={egin{pmatrix}a_{1}a_{2}a_{3}end{pmatrix}}{egin{pmatrix}b_{1}&b_{2}&b_{3}end{pmatrix}}={egin{pmatrix}a_{1}b_{1}&a_{1}b_{2}&a_{1}b_{3}a_{2}b_{1}&a_{2}b_{2}&a_{2}b_{3}a_{3}b_{1}&a_{3}b_{2}&a_{3}b_{3}end{pmatrix}}.}$

А диада является составной частью диадического (a одночлен суммы или, что то же самое, элемента матрицы) - диадическое произведение пары базисные векторы скалярное умножение по номеру.

Так же, как стандартные базисные (и единичные) векторы я, j, k, имеют представления:

${displaystyle {egin{aligned}mathbf {i} &={egin{pmatrix}1��end{pmatrix}},&mathbf {j} &={egin{pmatrix}01�end{pmatrix}},&mathbf {k} &={egin{pmatrix}0�1end{pmatrix}}end{aligned}}}$

(который можно транспонировать), стандартные базисные (и единичные) диады иметь представление:

${displaystyle {egin{aligned}mathbf {ii} &={egin{pmatrix}1&0&0�&0&0�&0&0end{pmatrix}},&mathbf {ij} &={egin{pmatrix}0&1&0�&0&0�&0&0end{pmatrix}},&mathbf {ik} &={egin{pmatrix}0&0&1�&0&0�&0&0end{pmatrix}}mathbf {ji} &={egin{pmatrix}0&0&01&0&0�&0&0end{pmatrix}},&mathbf {jj} &={egin{pmatrix}0&0&0�&1&0�&0&0end{pmatrix}},&mathbf {jk} &={egin{pmatrix}0&0&0�&0&1�&0&0end{pmatrix}}mathbf {ki} &={egin{pmatrix}0&0&0�&0&01&0&0end{pmatrix}},&mathbf {kj} &={egin{pmatrix}0&0&0�&0&0�&1&0end{pmatrix}},&mathbf {kk} &={egin{pmatrix}0&0&0�&0&0�&0&1end{pmatrix}}end{aligned}}}$

Для простого числового примера в стандартном базисе:

${displaystyle {egin{aligned}mathbf {A} &=2mathbf {ij} +{frac {sqrt {3}}{2}}mathbf {ji} -8pi mathbf {jk} +{frac {2{sqrt {2}}}{3}}mathbf {kk} [2pt]&=2{egin{pmatrix}0&1&0�&0&0�&0&0end{pmatrix}}+{frac {sqrt {3}}{2}}{egin{pmatrix}0&0&01&0&0�&0&0end{pmatrix}}-8pi {egin{pmatrix}0&0&0�&0&1�&0&0end{pmatrix}}+{frac {2{sqrt {2}}}{3}}{egin{pmatrix}0&0&0�&0&0�&0&1end{pmatrix}}[2pt]&={egin{pmatrix}0&2&0{frac {sqrt {3}}{2}}&0&-8pi �&0&{frac {2{sqrt {2}}}{3}}end{pmatrix}}end{aligned}}}$

N-мерное евклидово пространство

Если евклидово пространство N-размерный, и

${displaystyle {egin{aligned}mathbf {a} &=sum _{i=1}^{N}a_{i}mathbf {e} _{i}=a_{1}mathbf {e} _{1}+a_{2}mathbf {e} _{2}+{ldots }+a_{N}mathbf {e} _{N}mathbf {b} &=sum _{j=1}^{N}b_{j}mathbf {e} _{j}=b_{1}mathbf {e} _{1}+b_{2}mathbf {e} _{2}+ldots +b_{N}mathbf {e} _{N}end{aligned}}}$

куда е_я и е_j являются стандартная основа векторов в N-размеры (индекс я на е_я выбирает конкретный вектор, а не компонент вектора, как в а_я), то в алгебраической форме их диадическое произведение:

${displaystyle mathbf {ab} =sum _{j=1}^{N}sum _{i=1}^{N}a_{i}b_{j}mathbf {e} _{i}mathbf {e} _{j}.}$

Это известно как неионная форма диадического. Их внешнее / тензорное произведение в матричной форме:

${displaystyle mathbf {ab} =mathbf {ab} ^{mathsf {T}}={egin{pmatrix}a_{1}a_{2}vdots a_{N}end{pmatrix}}{egin{pmatrix}b_{1}&b_{2}&cdots &b_{N}end{pmatrix}}={egin{pmatrix}a_{1}b_{1}&a_{1}b_{2}&cdots &a_{1}b_{N}a_{2}b_{1}&a_{2}b_{2}&cdots &a_{2}b_{N}vdots &vdots &ddots &vdots a_{N}b_{1}&a_{N}b_{2}&cdots &a_{N}b_{N}end{pmatrix}}.}$

А диадический многочлен А, иначе известный как диадический, состоит из нескольких векторов а_я и б_j:

${displaystyle mathbf {A} =sum _{i}mathbf {a} _{i}mathbf {b} _{i}=mathbf {a} _{1}mathbf {b} _{1}+mathbf {a} _{2}mathbf {b} _{2}+mathbf {a} _{3}mathbf {b} _{3}+ldots }$

Диадика, которая не может быть сведена к сумме менее чем N диады считаются полными. В этом случае образующие векторы не компланарны,^{[сомнительный ]} видеть Чен (1983).

Классификация

Следующая таблица классифицирует диадики:

	Детерминант	Приспосабливать	Матрица и это классифицировать
Нуль	= 0	= 0	= 0; ранг 0: все нули
Линейный	= 0	= 0	≠ 0; ранг 1: хотя бы один ненулевой элемент и все нулевые субдетерминанты 2 × 2 (одиночная диадика)
Планарный	= 0	≠ 0 (одинарное диадическое)	≠ 0; ранг 2: хотя бы один ненулевой субдетерминант 2 × 2
Полный	≠ 0	≠ 0	≠ 0; ранг 3: ненулевой определитель

Идентичности

Следующие тождества являются прямым следствием определения тензорного произведения:^[1]

1. Совместим с скалярное умножение:

   ${displaystyle (alpha mathbf {a} )mathbf {b} =mathbf {a} (alpha mathbf {b} )=alpha (mathbf {a} mathbf {b} )}$

   для любого скаляра ${displaystyle alpha }$.
2. Распределительный над векторное сложение:

   ${displaystyle {egin{aligned}mathbf {a} (mathbf {b} +mathbf {c} )&=mathbf {a} mathbf {b} +mathbf {a} mathbf {c} (mathbf {a} +mathbf {b} )mathbf {c} &=mathbf {a} mathbf {c} +mathbf {b} mathbf {c} end{aligned}}}$

Диадическая алгебра

Произведение диадики и вектора

Есть четыре операции, определенные на векторе, и диадические, построенные из произведений, определенных на векторах.

	Оставили	Правильно
Скалярное произведение	${displaystyle mathbf {c} cdot left(mathbf {a} mathbf {b} ight)=left(mathbf {c} cdot mathbf {a} ight)mathbf {b} }$	${displaystyle left(mathbf {a} mathbf {b} ight)cdot mathbf {c} =mathbf {a} left(mathbf {b} cdot mathbf {c} ight)}$
Перекрестный продукт	${displaystyle mathbf {c} imes left(mathbf {ab} ight)=left(mathbf {c} imes mathbf {a} ight)mathbf {b} }$	${displaystyle left(mathbf {ab} ight) imes mathbf {c} =mathbf {a} left(mathbf {b} imes mathbf {c} ight)}$

Продукт диадического и диадического

Есть пять операций между диадикой и другой диадикой. Позволять а, б, c, d быть векторами. Потом:

		Точка	Крест
Точка	Скалярное произведение ${displaystyle {egin{aligned}left(mathbf {a} mathbf {b} ight)cdot left(mathbf {c} mathbf {d} ight)&=mathbf {a} left(mathbf {b} cdot mathbf {c} ight)mathbf {d} &=left(mathbf {b} cdot mathbf {c} ight)mathbf {a} mathbf {d} end{aligned}}}$	Произведение с двумя точками ${displaystyle mathbf {ab} {}_{,centerdot }^{,centerdot }mathbf {cd} =left(mathbf {a} cdot mathbf {d} ight)left(mathbf {b} cdot mathbf {c} ight)}$ или же ${displaystyle {egin{aligned}left(mathbf {ab} ight){}_{,centerdot }^{,centerdot }left(mathbf {cd} ight)&=mathbf {c} cdot left(mathbf {ab} ight)cdot mathbf {d} &=left(mathbf {a} cdot mathbf {c} ight)left(mathbf {b} cdot mathbf {d} ight)end{aligned}}}$	Точечное произведение ${displaystyle left(mathbf {ab} ight){}_{,centerdot }^{ imes }left(mathbf {c} mathbf {d} ight)=left(mathbf {a} cdot mathbf {c} ight)left(mathbf {b} imes mathbf {d} ight)}$
Крест		Перекрестное произведение ${displaystyle left(mathbf {ab} ight){}_{ imes }^{,centerdot }left(mathbf {cd} ight)=left(mathbf {a} imes mathbf {c} ight)left(mathbf {b} cdot mathbf {d} ight)}$	Двойное поперечное произведение ${displaystyle left(mathbf {ab} ight){}_{ imes }^{ imes }left(mathbf {cd} ight)=left(mathbf {a} imes mathbf {c} ight)left(mathbf {b} imes mathbf {d} ight)}$

Сдача

${displaystyle mathbf {A} =sum _{i}mathbf {a} _{i}mathbf {b} _{i},quad mathbf {B} =sum _{j}mathbf {c} _{j}mathbf {d} _{j}}$

две общие диадики, мы имеем:

		Точка	Крест
Точка	Скалярное произведение ${displaystyle mathbf {A} cdot mathbf {B} =sum _{j}sum _{i}left(mathbf {b} _{i}cdot mathbf {c} _{j}ight)mathbf {a} _{i}mathbf {d} _{j}}$	Произведение с двумя точками ${displaystyle {egin{aligned}mathbf {A} {}_{,centerdot }^{,centerdot }mathbf {B} &=sum _{j}sum _{i}left(mathbf {a} _{i}cdot mathbf {d} _{j}ight)left(mathbf {b} _{i}cdot mathbf {c} _{j}ight)&=sum _{j}sum _{i}left(mathbf {a} _{i}cdot mathbf {c} _{j}ight)left(mathbf {b} _{i}cdot mathbf {d} _{j}ight)end{aligned}}}$	Точечное произведение ${displaystyle mathbf {A} {}_{,centerdot }^{ imes }mathbf {B} =sum _{j}sum _{i}left(mathbf {a} _{i}cdot mathbf {c} _{j}ight)left(mathbf {b} _{i} imes mathbf {d} _{j}ight)}$
Крест		Перекрестное произведение ${displaystyle mathbf {A} {}_{ imes }^{,centerdot }mathbf {B} =sum _{j}sum _{i}left(mathbf {a} _{i} imes mathbf {c} _{j}ight)left(mathbf {b} _{i}cdot mathbf {d} _{j}ight)}$	Двойное поперечное произведение ${displaystyle mathbf {A} {}_{ imes }^{ imes }mathbf {B} =sum _{i,j}left(mathbf {a} _{i} imes mathbf {c} _{j}ight)left(mathbf {b} _{i} imes mathbf {d} _{j}ight)}$

Произведение с двумя точками

Есть два способа определить произведение с двумя точками; нужно быть осторожным, решая, какое соглашение использовать. Поскольку для остальных диадических произведений нет аналогичных матричных операций, не возникает неоднозначности в их определениях:

Существует специальное произведение с двумя точками и транспонировать

${displaystyle mathbf {A} {}_{centerdot }^{centerdot }mathbf {B} ^{mathsf {T}}=mathbf {A} ^{mathsf {T}}{}_{centerdot }^{centerdot }mathbf {B} }$

Другая идентичность:

${displaystyle mathbf {A} {}_{centerdot }^{centerdot }mathbf {B} =left(mathbf {A} cdot mathbf {B} ^{mathsf {T}}ight){}_{centerdot }^{centerdot }mathbf {I} =left(mathbf {B} cdot mathbf {A} ^{mathsf {T}}ight){}_{centerdot }^{centerdot }mathbf {I} }$

Двойное крестное произведение

Мы видим, что для любой диады, составленной из двух векторов а и б, его двойное кросс-произведение равно нулю.

${displaystyle left(mathbf {ab} ight){}_{ imes }^{ imes }left(mathbf {ab} ight)=left(mathbf {a} imes mathbf {a} ight)left(mathbf {b} imes mathbf {b} ight)=0}$

Однако, по определению, двойное двойное произведение на себя, как правило, не равно нулю. Например, диадический А состоит из шести разных векторов

${displaystyle mathbf {A} =sum _{i=1}^{3}mathbf {a} _{i}mathbf {b} _{i}}$

имеет ненулевое самодвойное произведение

${displaystyle mathbf {A} {}_{ imes }^{ imes }mathbf {A} =2left[left(mathbf {a} _{1} imes mathbf {a} _{2}ight)left(mathbf {b} _{1} imes mathbf {b} _{2}ight)+left(mathbf {a} _{2} imes mathbf {a} _{3}ight)left(mathbf {b} _{2} imes mathbf {b} _{3}ight)+left(mathbf {a} _{3} imes mathbf {a} _{1}ight)left(mathbf {b} _{3} imes mathbf {b} _{1}ight)ight]}$

Тензорное сжатие

Основная статья: Тензорное сжатие

В шпора или же коэффициент расширения возникает в результате формального расширения диадики в координатном базисе путем замены каждого диадического произведения скалярным произведением векторов:

${displaystyle {egin{aligned}|mathbf {A} |=qquad &A_{11}mathbf {i} cdot mathbf {i} +A_{12}mathbf {i} cdot mathbf {j} +A_{13}mathbf {i} cdot mathbf {k} {}+{}&A_{21}mathbf {j} cdot mathbf {i} +A_{22}mathbf {j} cdot mathbf {j} +A_{23}mathbf {j} cdot mathbf {k} {}+{}&A_{31}mathbf {k} cdot mathbf {i} +A_{32}mathbf {k} cdot mathbf {j} +A_{33}mathbf {k} cdot mathbf {k} [6pt]=qquad &A_{11}+A_{22}+A_{33}end{aligned}}}$

в индексной записи это сокращение индексов на диадике:

${displaystyle |mathbf {A} |=sum _{i}A_{i}{}^{i}}$

Только в трех измерениях коэффициент вращения возникает при замене каждого диадического произведения на перекрестное произведение

${displaystyle {egin{aligned}langle mathbf {A} angle =qquad &A_{11}mathbf {i} imes mathbf {i} +A_{12}mathbf {i} imes mathbf {j} +A_{13}mathbf {i} imes mathbf {k} {}+{}&A_{21}mathbf {j} imes mathbf {i} +A_{22}mathbf {j} imes mathbf {j} +A_{23}mathbf {j} imes mathbf {k} {}+{}&A_{31}mathbf {k} imes mathbf {i} +A_{32}mathbf {k} imes mathbf {j} +A_{33}mathbf {k} imes mathbf {k} [6pt]=qquad &A_{12}mathbf {k} -A_{13}mathbf {j} -A_{21}mathbf {k} {}+{}&A_{23}mathbf {i} +A_{31}mathbf {j} -A_{32}mathbf {i} [6pt]=qquad &left(A_{23}-A_{32}ight)mathbf {i} +left(A_{31}-A_{13}ight)mathbf {j} +left(A_{12}-A_{21}ight)mathbf {k} end{aligned}}}$

В индексных обозначениях это сокращение А с Тензор Леви-Чивиты

${displaystyle langle mathbf {A} angle =sum _{jk}{epsilon _{i}}^{jk}A_{jk}.}$

Единичный диадический

Существует единичная диадика, обозначаемая я, такое, что для любого вектора а,

${displaystyle mathbf {I} cdot mathbf {a} =mathbf {a} cdot mathbf {I} =mathbf {a} }$

Учитывая базис из 3 векторов а, б и c, с взаимная основа ${displaystyle {hat {mathbf {a} }},{hat {mathbf {b} }},{hat {mathbf {c} }}}$, единичная диадика выражается как

${displaystyle mathbf {I} =mathbf {a} {hat {mathbf {a} }}+mathbf {b} {hat {mathbf {b} }}+mathbf {c} {hat {mathbf {c} }}}$

В стандартной основе

${displaystyle mathbf {I} =mathbf {ii} +mathbf {jj} +mathbf {kk} }$

Явно скалярное произведение справа от диадической единицы равно

${displaystyle {egin{aligned}mathbf {I} cdot mathbf {a} &=(mathbf {i} mathbf {i} +mathbf {j} mathbf {j} +mathbf {k} mathbf {k} )cdot mathbf {a} &=mathbf {i} (mathbf {i} cdot mathbf {a} )+mathbf {j} (mathbf {j} cdot mathbf {a} )+mathbf {k} (mathbf {k} cdot mathbf {a} )&=mathbf {i} a_{x}+mathbf {j} a_{y}+mathbf {k} a_{z}&=mathbf {a} end{aligned}}}$

и налево

${displaystyle {egin{aligned}mathbf {a} cdot mathbf {I} &=mathbf {a} cdot (mathbf {i} mathbf {i} +mathbf {j} mathbf {j} +mathbf {k} mathbf {k} )&=(mathbf {a} cdot mathbf {i} )mathbf {i} +(mathbf {a} cdot mathbf {j} )mathbf {j} +(mathbf {a} cdot mathbf {k} )mathbf {k} &=a_{x}mathbf {i} +a_{y}mathbf {j} +a_{z}mathbf {k} &=mathbf {a} end{aligned}}}$

Соответствующая матрица

${displaystyle mathbf {I} ={egin{pmatrix}1&0&0�&1&0�&0&1end{pmatrix}}}$

Это можно поставить на более тщательную основу (объясняя, что может означать логическое содержание «сопоставления обозначений»), используя язык тензорных произведений. Если V является конечномерным векторное пространство, диадический тензор на V элементарный тензор в тензорном произведении V с этими двойное пространство.

Тензорное произведение V и его двойственное пространство изоморфный в пространство линейные карты из V к V: диадический тензор vf это просто линейная карта, отправляющая любые ш в V к ж(ш)v. Когда V евклидово п-пространство, мы можем использовать внутренний продукт идентифицировать двойное пространство с V сам по себе, что делает диадический тензор элементарным тензорным произведением двух векторов в евклидовом пространстве.

В этом смысле диадическая единица ij это функция от 3-го пространства к себе, отправляющая а₁я + а₂j + а₃k к а₂я, и jj отправляет эту сумму в а₂j. Теперь выясняется, в каком (точном) смысле ii + jj + кк это личность: он отправляет а₁я + а₂j + а₃k к самому себе, потому что его эффект заключается в суммировании каждого единичного вектора в стандартном базисе, масштабированного на коэффициент вектора в этом базисе.

Свойства диадики единиц

${displaystyle {egin{aligned}left(mathbf {a} imes mathbf {I} ight)cdot left(mathbf {b} imes mathbf {I} ight)&=mathbf {ba} -left(mathbf {a} cdot mathbf {b} ight)mathbf {I} mathbf {I} {}_{ imes }^{,centerdot }left(mathbf {ab} ight)&=mathbf {b} imes mathbf {a} mathbf {I} {}_{ imes }^{ imes }mathbf {A} &=(mathbf {A} {}_{,centerdot }^{,centerdot }mathbf {I} )mathbf {I} -mathbf {A} ^{mathsf {T}}mathbf {I} {}_{,centerdot }^{,centerdot }left(mathbf {ab} ight)&=left(mathbf {I} cdot mathbf {a} ight)cdot mathbf {b} =mathbf {a} cdot mathbf {b} =mathrm {tr} left(mathbf {ab} ight)end{aligned}}}$

где "tr" обозначает след.

Примеры

Проекция и отклонение вектора

Ненулевой вектор а всегда можно разделить на две перпендикулярные составляющие, одну параллельную (‖) направлению единичный вектор п, и один перпендикуляр (⊥) к нему;

${displaystyle mathbf {a} =mathbf {a} _{parallel }+mathbf {a} _{perp }}$

Параллельная составляющая находится векторная проекция, что эквивалентно скалярному произведению а с диадическим nn,

${displaystyle mathbf {a} _{parallel }=mathbf {n} (mathbf {n} cdot mathbf {a} )=(mathbf {nn} )cdot mathbf {a} }$

а перпендикулярная составляющая находится из вектор отклонения, что эквивалентно скалярному произведению а с диадическим я − nn,

${displaystyle mathbf {a} _{perp }=mathbf {a} -mathbf {n} (mathbf {n} cdot mathbf {a} )=(mathbf {I} -mathbf {nn} )cdot mathbf {a} }$

Диадика вращения

Дальнейшая информация: Ось – угол представления

2d вращения

Диадический

${displaystyle mathbf {J} =mathbf {ji} -mathbf {ij} ={egin{pmatrix}0&-11&0end{pmatrix}}}$

на 90 ° против часовой стрелки оператор вращения в 2д. Его можно поставить слева точкой с вектором р = Икся + уj создать вектор,

${displaystyle (mathbf {ji} -mathbf {ij} )cdot (xmathbf {i} +ymathbf {j} )=xmathbf {ji} cdot mathbf {i} -xmathbf {ij} cdot mathbf {i} +ymathbf {ji} cdot mathbf {j} -ymathbf {ij} cdot mathbf {j} =-ymathbf {i} +xmathbf {j} ,}$

В итоге

${displaystyle mathbf {J} cdot mathbf {r} =mathbf {r} _{mathrm {rot} }}$

или в матричной записи

${displaystyle {egin{pmatrix}0&-11&0end{pmatrix}}{egin{pmatrix}xyend{pmatrix}}={egin{pmatrix}-yxend{pmatrix}}.}$

Под любым углом θ, диадика 2d вращения для вращения в плоскости против часовой стрелки имеет вид

${displaystyle mathbf {R} =mathbf {I} cos heta +mathbf {J} sin heta =(mathbf {ii} +mathbf {jj} )cos heta +(mathbf {ji} -mathbf {ij} )sin heta ={egin{pmatrix}cos heta &-sin heta sin heta &;cos heta end{pmatrix}}}$

куда я и J такие же, как указано выше, а вращение любого 2d-вектора а = а_Икся + а_уj является

${displaystyle mathbf {a} _{mathrm {rot} }=mathbf {R} cdot mathbf {a} }$

3D вращения

Общее трехмерное вращение вектора а, вокруг оси в направлении единичный вектор ω и против часовой стрелки на угол θ, может быть выполнено с помощью Формула вращения Родригеса в диадической форме

${displaystyle mathbf {a} _{mathrm {rot} }=mathbf {R} cdot mathbf {a} ,,}$

где диадика вращения

${displaystyle mathbf {R} =mathbf {I} cos heta +sin heta {oldsymbol {Omega }}+(1-cos heta ){oldsymbol {omega omega }},,}$

и декартовы записи ω также образуют диадические

${displaystyle {oldsymbol {Omega }}=omega _{x}(mathbf {kj} -mathbf {jk} )+omega _{y}(mathbf {ik} -mathbf {ki} )+omega _{z}(mathbf {ji} -mathbf {ij} ),,}$

Эффект Ω на а это перекрестный продукт

${displaystyle {oldsymbol {Omega }}cdot mathbf {a} ={oldsymbol {omega }} imes mathbf {a} }$

которая является диадической формой матрица кросс-продукта с вектор-столбцом.

Преобразование Лоренца

В специальная теория относительности, то Повышение лоренца со скоростью v в направлении единичного вектора п можно выразить как

${displaystyle t'=gamma left(t-{frac {vmathbf {n} cdot mathbf {r} }{c^{2}}}ight)}$

${displaystyle mathbf {r} '=[mathbf {I} +(gamma -1)mathbf {nn} ]cdot mathbf {r} -gamma vmathbf {n} t}$

куда

${displaystyle gamma ={frac {1}{sqrt {1-{dfrac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}$

это Фактор Лоренца.

Связанные термины

Некоторые авторы делают обобщение из термина диадический к связанным условиям триадный, тетрадный и полиадический.^[2]

Смотрите также

• Кронекер продукт
• Полиадическая алгебра
• Единичный вектор
• Мультивектор
• Дифференциальная форма
• Кватернионы
• Поле (математика)

Примечания

1. Спенсер (1992), стр. 19.
2. Например, И. В. Линделл, А. П. Киселев (2001). «Полиадические методы в эластодинамике» (PDF). Прогресс в исследованиях в области электромагнетизма. 31: 113–154. Дои:10.2528 / PIER00051701.

Рекомендации

• П. Митигуй (2009). «Векторы и диадики» (PDF). Стэнфорд, СОЕДИНЕННЫЕ ШТАТЫ АМЕРИКИ. Глава 2
• Spiegel, M.R .; Lipschutz, S .; Спеллман, Д. (2009). Векторный анализ, контуры Шаума. Макгроу Хилл. ISBN  978-0-07-161545-7.
• А.Дж.М. Спенсер (1992). Механика сплошной среды. Dover Publications. ISBN  0-486-43594-6..
• Морс, Филип М .; Фешбах, Герман (1953), "§1.6: диадика и другие векторные операторы", Методы теоретической физики, Том 1, Нью-Йорк: Макгроу-Хилл, стр. 54–92, ISBN  978-0-07-043316-8, МИСТЕР  0059774.
• Исмо В. Линделл (1996). Методы анализа электромагнитного поля. Вили-Блэквелл. ISBN  978-0-7803-6039-6..
• Холлис С. Чен (1983). Теория электромагнитных волн - безкоординатный подход. Макгроу Хилл. ISBN  978-0-07-010688-8..
• К. Кэхилл (2013). Физическая математика. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-1107005211.

внешняя ссылка

• Векторный анализ, учебник для студентов-математиков и физиков, основанный на лекциях доктора философии Дж. Уилларда Гиббса, доктора юридических наук Эдвинда Бидвелла Уилсона
• Продвинутая теория поля, И. В. Линдел
• Векторный и диадический анализ
• Вводный тензорный анализ
• Nasa.gov, Основы тензорного анализа для студентов физико-технических специальностей с введением в теорию относительности, Дж. К. Колецки
• Nasa.gov, Введение в тензоры для студентов физико-технических специальностей, Дж. К. Колецки