Метод фонового поля - Background field method

В теоретическая физика, метод фонового поля полезная процедура для расчета эффективное действие из квантовая теория поля путем расширения квантового поля вокруг классического «фонового» значения B:

${displaystyle phi (x)=B(x)+eta (x)}$.

После этого функции Грина оцениваются как функция фона. Этот подход имеет то преимущество, что калибровочная инвариантность явно сохраняется, если подход применяется к калибровочная теория.

Метод

Обычно мы хотим вычислить такие выражения, как

${displaystyle Z[J]=int {mathcal {D}}phi exp left(mathrm {i} int mathrm {d} ^{d}x({mathcal {L}}[phi (x)]+J(x)phi (x))ight)}$

куда J(Икс) является источником, ${displaystyle {mathcal {L}}(x)}$ это Плотность лагранжиана системы, d это количество измерений и ${displaystyle phi (x)}$ это поле.

В методе фонового поля каждый начинает с разделения этого поля на классическое фоновое поле. B(Икс) и поле η (Икс), содержащий дополнительные квантовые флуктуации:

${displaystyle phi (x)=B(x)+eta (x),.}$

Обычно B(Икс) будет решением классических уравнений движения

${displaystyle left.{frac {delta S}{delta phi }}ight|_{phi =B}=0}$

куда S есть действие, т.е. пространственный интеграл плотности лагранжиана. Включение источника J(Икс) превратит уравнения в δS/ δφ |_{φ = B} + J = 0.

Затем действие расширяется вокруг фона B(Икс):

${displaystyle {egin{aligned}int d^{d}x({mathcal {L}}[phi (x)]+J(x)phi (x))&=int d^{d}x({mathcal {L}}[B(x)]+J(x)B(x))&+int d^{d}xleft({frac {delta {mathcal {L}}}{delta phi (x)}}[B]+J(x)ight)eta (x)&+{frac {1}{2}}int d^{d}xd^{d}y{frac {delta ^{2}{mathcal {L}}}{delta phi (x)delta phi (y)}}[B]eta (x)eta (y)+cdots end{aligned}}}$

Второй член в этом разложении равен нулю по уравнениям движения. Первый член не зависит от каких-либо флуктуирующих полей, поэтому его можно вынести из интеграла по путям. Результат

${displaystyle Z[J]=e^{iint d^{d}x({mathcal {L}}[B(x)]+J(x)B(x))}int {mathcal {D}}eta e^{{frac {i}{2}}int d^{d}xd^{d}y{frac {delta ^{2}{mathcal {L}}}{delta phi (x)delta phi (y)}}[B]eta (x)eta (y)+cdots }.}$

Остающийся интеграл по путям (без учета поправок в точках) имеет гауссову форму и может быть точно проинтегрирован:

${displaystyle Z[J]=Ce^{iint d^{d}x({mathcal {L}}[B(x)]+J(x)B(x))}left(det {frac {delta ^{2}{mathcal {L}}}{delta phi (x)delta phi (y)}}[B]ight)^{-1/2}+cdots }$

где "det" означает функциональный детерминант и C является константой. Степень минус половины естественно будет плюс один для Поля Грассмана.

Приведенный выше вывод дает гауссову приближение функционального интеграла. Поправки к этому можно вычислить, создав схематическое расширение.

Смотрите также

• Теория BF

Рекомендации

• Пескин, Михаил; Шредер, Дэниел (1994). Введение в квантовую теорию поля. Издательство "Персей". ISBN  0-201-50397-2.
• Бём, Манфред; Деннер, Ансгар; Джоос, Ханс (2001). Калибровочные теории сильного и электрослабого взаимодействия. (3-е изд.). Teubner. ISBN  3-519-23045-3.
• Кляйнерт, Хаген (2009). Интегралы по траекториям в квантовой механике, статистике, физике полимеров и финансовых рынках (5-е изд.). World Scientific.
• Эбботт, Л. Ф. (1982). «Введение в метод фонового поля» (PDF). Acta Phys. Pol. B. 13: 33.