Уравнения Баргмана – Вигнера - Bargmann–Wigner equations

В этой статье используется Соглашение о суммировании Эйнштейна за тензор /спинор индексы и использование шляпы за квантовые операторы.

В релятивистский квантовая механика и квантовая теория поля, то Уравнения Баргмана – Вигнера описывать свободные частицы произвольных вращение j, целое число для бозоны (j = 1, 2, 3 ...) или полуцелое для фермионы (j = ​¹⁄₂, ​³⁄₂, ​⁵⁄₂ ...). Решениями уравнений являются волновые функции, математически в виде многокомпонентных спинорные поля.

Они названы в честь Валентин Баргманн и Юджин Вигнер.

История

Поль Дирак впервые опубликовал Уравнение Дирака в 1928 году, а позже (1936) распространил его на частицы любого полуцелого спина до того, как Фирц и Паули впоследствии нашли те же уравнения в 1939 году, и примерно за десять лет до Баргмана и Вигнера.^[1] Юджин Вигнер написал в 1937 году статью о унитарные представления неоднородного Группа Лоренца, или Группа Пуанкаре.^[2] Заметки Вигнера Этторе Майорана и Дирак использовали инфинитезимальные операторы, применяемые к функциям. Вигнер классифицирует представления как неприводимые, факториальные и унитарные.

В 1948 г. Валентин Баргманн и Вигнер опубликовал уравнения, теперь названные в их честь, в статье о теоретико-групповом обсуждении релятивистских волновых уравнений.^[3]

Постановка уравнений

За свободную частицу спина j без электрический заряд, уравнения BW представляют собой набор 2j соединенный линейный уравнения в частных производных, каждая из которых имеет математическую форму, аналогичную Уравнение Дирака. Полная система уравнений^[1][4][5]

${\displaystyle {\begin{aligned}&\left(-\gamma ^{\mu }{\hat {P}}_{\mu }+mc\right)_{\alpha _{1}\alpha _{1}'}\psi _{\alpha '_{1}\alpha _{2}\alpha _{3}\cdots \alpha _{2j}}=0\\&\left(-\gamma ^{\mu }{\hat {P}}_{\mu }+mc\right)_{\alpha _{2}\alpha _{2}'}\psi _{\alpha _{1}\alpha '_{2}\alpha _{3}\cdots \alpha _{2j}}=0\\&\qquad \vdots \\&\left(-\gamma ^{\mu }{\hat {P}}_{\mu }+mc\right)_{\alpha _{2j}\alpha '_{2j}}\psi _{\alpha _{1}\alpha _{2}\alpha _{3}\cdots \alpha '_{2j}}=0\\\end{aligned}}}$

которые следуют шаблону;

${\displaystyle \left(-\gamma ^{\mu }{\hat {P}}_{\mu }+mc\right)_{\alpha _{r}\alpha '_{r}}\psi _{\alpha _{1}\cdots \alpha '_{r}\cdots \alpha _{2j}}=0}$

(1)

за р = 1, 2, ... 2j. (Некоторые авторы, например, Лоиде и Саар^[4] использовать п = 2j удалить множители 2. Также квантовое число спина обычно обозначается s в квантовой механике, однако в этом контексте j более типичен в литературе). Вся волновая функция ψ = ψ(р, т) имеет компоненты

${\displaystyle \psi _{\alpha _{1}\alpha _{2}\alpha _{3}\cdots \alpha _{2j}}(\mathbf {r} ,t)}$

и имеет ранг-2j 4-х компонентный спинорное поле. Каждый индекс принимает значения 1, 2, 3 или 4, поэтому есть 4^2j компоненты всего спинорного поля ψ, хотя полностью симметричная волновая функция уменьшает количество независимых компонент до 2(2j + 1). Дальше, γ^μ = (γ⁰, γ) являются гамма-матрицы, и

${\displaystyle {\hat {P}}_{\mu }=i\hbar \partial _{\mu }}$

это 4-импульсный оператор.

Оператор, составляющий каждое уравнение, (−γ^μп_μ + MC) = (−яγ^μ∂_μ + MC), это 4 × 4 матрица, из-за γ^μ матрицы, а MC срок скалярные умножители в 4 × 4 единичная матрица (обычно не пишется для простоты). В явном виде в Представление Дирака гамма-матриц:^[1]

${\displaystyle {\begin{aligned}-\gamma ^{\mu }{\hat {P}}_{\mu }+mc&=-\gamma ^{0}{\frac {\hat {E}}{c}}-{\boldsymbol {\gamma }}\cdot (-{\hat {\mathbf {p} }})+mc\\[6pt]&=-{\begin{pmatrix}I_{2}&0\\0&-I_{2}\\\end{pmatrix}}{\frac {\hat {E}}{c}}+{\begin{pmatrix}0&{\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\hat {\mathbf {p} }}\\-{\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\hat {\mathbf {p} }}&0\\\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}I_{2}&0\\0&I_{2}\\\end{pmatrix}}mc\\[8pt]&={\begin{pmatrix}-{\frac {\hat {E}}{c}}+mc&0&{\hat {p}}_{z}&{\hat {p}}_{x}-i{\hat {p}}_{y}\\0&-{\frac {\hat {E}}{c}}+mc&{\hat {p}}_{x}+i{\hat {p}}_{y}&-{\hat {p}}_{z}\\-{\hat {p}}_{z}&-({\hat {p}}_{x}-i{\hat {p}}_{y})&{\frac {\hat {E}}{c}}+mc&0\\-({\hat {p}}_{x}+i{\hat {p}}_{y})&{\hat {p}}_{z}&0&{\frac {\hat {E}}{c}}+mc\\\end{pmatrix}}\\\end{aligned}}}$

куда σ = (σ₁, σ₂, σ₃) = (σ_Икс, σ_у, σ_z) вектор Матрицы Паули, E это оператор энергии, п = (п₁, п₂, п₃) = (п_Икс, п_у, п_z) это 3-импульсный оператор, я₂ обозначает 2 × 2 единичная матрица, нули (во второй строке) на самом деле 2 × 2 блоки из нулевые матрицы.

Вышеупомянутый матричный оператор контракты с одним биспинорным индексом ψ за раз (см. матричное умножение ), поэтому некоторые свойства уравнения Дирака также применимы к уравнениям BW:

• уравнения лоренцевы ковариантны,
• все компоненты решений ψ также удовлетворить Уравнение Клейна – Гордона, и, следовательно, выполнить релятивистское соотношение энергия-импульс,

${\displaystyle E^{2}=(pc)^{2}+(mc^{2})^{2}}$

• второе квантование все еще возможно.

В отличие от уравнения Дирака, которое может включать электромагнитное поле через минимальное сцепление, формализм Ч / Б содержит внутренние противоречия и трудности при учете взаимодействия электромагнитного поля. Другими словами, изменение невозможно. п_μ → п_μ − eA_μ, куда е это электрический заряд частицы и А_μ = (А₀, А) это электромагнитный четырехпотенциальный.^[6][7] Косвенным подходом к исследованию электромагнитных влияний частицы является получение электромагнитного четырехтоковый токи и мультипольные моменты для частицы, а не включать взаимодействия в сами волновые уравнения.^[8][9]

Структура группы Лоренца

В представление группы Лоренца для уравнений BW есть^[6]

${\displaystyle D^{\mathrm {BW} }=\bigotimes _{r=1}^{2j}\left[D_{r}^{(1/2,0)}\oplus D_{r}^{(0,1/2)}\right]\,.}$

где каждый D_р неприводимое представление. Это представление не имеет определенного спина, если только j равно 1/2 или 0. Можно выполнить Разложение Клебша – Гордана найти несводимый (А, B) термины и, следовательно, содержание спина. Эта избыточность требует, чтобы частица определенного спина j что трансформируется под D^BW представление удовлетворяет уравнениям поля.

Представления D^{(j, 0)} и D^{(0, j)} каждая может отдельно представлять частицы спина j. Состояние или квантовое поле в таком представлении не удовлетворяет никакому уравнению поля, кроме уравнения Клейна-Гордона.

Формулировка в искривленном пространстве-времени

Основные статьи: пространство-время и Формализм Картана (физика)

Вслед за М. Кенмоку,^[10] в локальном пространстве Минковского гамма-матрицы удовлетворяют антикоммутация связи:

${\displaystyle [\gamma ^{i},\gamma ^{j}]_{+}=2\eta ^{ij}I_{4}}$

куда η^ij = diag (−1, 1, 1, 1) это Метрика Минковского. Для латинских индексов здесь я, j = 0, 1, 2, 3. В искривленном пространстве-времени они похожи:

${\displaystyle [\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }]_{+}=2g^{\mu \nu }}$

где пространственные гамма-матрицы сжаты с Vierbein б_я^μ чтобы получить γ^μ = б_я^μ γ^я, и грамм^μν = б^яμб_я^ν это метрический тензор. Для греческих индексов; μ, ν = 0, 1, 2, 3.

А ковариантная производная для спиноров дается выражением

${\displaystyle {\mathcal {D}}_{\mu }=\partial _{\mu }+\Omega _{\mu }}$

с связь Ω данные с точки зрения спин-соединение ω к:

${\displaystyle \Omega _{\mu }={\frac {1}{4}}\partial _{\mu }\omega ^{ij}(\gamma _{i}\gamma _{j}-\gamma _{j}\gamma _{i})}$

Ковариантная производная преобразуется как ψ:

${\displaystyle {\mathcal {D}}_{\mu }\psi \rightarrow D(\Lambda ){\mathcal {D}}_{\mu }\psi }$

При такой установке уравнение (1) становится:

${\displaystyle {\begin{aligned}&(-i\hbar \gamma ^{\mu }{\mathcal {D}}_{\mu }+mc)_{\alpha _{1}\alpha _{1}'}\psi _{\alpha '_{1}\alpha _{2}\alpha _{3}\cdots \alpha _{2j}}=0\\&(-i\hbar \gamma ^{\mu }{\mathcal {D}}_{\mu }+mc)_{\alpha _{2}\alpha _{2}'}\psi _{\alpha _{1}\alpha '_{2}\alpha _{3}\cdots \alpha _{2j}}=0\\&\qquad \vdots \\&(-i\hbar \gamma ^{\mu }{\mathcal {D}}_{\mu }+mc)_{\alpha _{2j}\alpha '_{2j}}\psi _{\alpha _{1}\alpha _{2}\alpha _{3}\cdots \alpha '_{2j}}=0\,.\\\end{aligned}}}$

Смотрите также

• Двухчастичное уравнение Дирака
• Обобщения матриц Паули
• D-матрица Вигнера
• Матрицы Вейля – Брауэра
• Гамма-матрицы более высокой размерности
• Уравнение Джооса – Вайнберга, альтернативные уравнения, описывающие свободные частицы любого спина

Рекомендации

Примечания

1. E.A. Джеффри (1978). «Компонентная минимизация волновой функции Баргмана – Вигнера». Австралийский журнал физики. 31 (2): 137. Bibcode:1978AuJPh..31..137J. Дои:10.1071 / ph780137.
2. Э. Вигнер (1937). "Об унитарных представлениях неоднородной группы Лоренца" (PDF). Анналы математики. 40 (1): 149–204. Bibcode:1939AnMat..40..149W. Дои:10.2307/1968551. JSTOR  1968551.
3. Bargmann, V .; Вигнер, Э. П. (1948). «Теоретико-групповое обсуждение релятивистских волновых уравнений». Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки. 34 (5): 211–23. Bibcode:1948ПНАС ... 34..211Б. Дои:10.1073 / pnas.34.5.211. ЧВК  1079095. PMID  16578292.
4. Р.К. Лоиде; I.Ots; Р. Саар (2001). «Обобщения уравнения Дирака в ковариантной и гамильтоновой форме». Журнал физики А. 34 (10): 2031–2039. Bibcode:2001JPhA ... 34.2031L. Дои:10.1088/0305-4470/34/10/307.
5. Х. Ши-Чжун; Р. Ту-Нан; W. Ning; З. Чжи-Пэн (2002). «Волновые функции для частиц с произвольным спином». Сообщения по теоретической физике. 37 (1): 63. Bibcode:2002CoTPh..37 ... 63H. Дои:10.1088/0253-6102/37/1/63.
6. Т. Ярошевич; П.С. Курзепа (1992). «Геометрия пространственно-временного распространения вращающихся частиц». Анналы физики. 216 (2): 226–267. Bibcode:1992AnPhy.216..226J. Дои:10.1016 / 0003-4916 (92) 90176-М.
7. К. Р. Хаген (1970). «Метод Баргмана – Вигнера в теории относительности Галилея». Коммуникации по математической физике. 18 (2). С. 97–108. Bibcode:1970CMaPh..18 ... 97H. Дои:10.1007 / BF01646089.
8. Седрик Лорсе (2009). «Электромагнитные свойства частиц с произвольным спином. Часть 1 - Электромагнитный ток и мультипольный разложение». arXiv:0901.4199 [геп-ph ].
9. Седрик Лорсе (2009). «Электромагнитные свойства частиц с произвольным спином: Часть 2 - Природные моменты и поперечные плотности заряда». Физический обзор D. 79 (11): 113011. arXiv:0901.4200. Bibcode:2009ПхРвД..79к3011Л. Дои:10.1103 / PhysRevD.79.113011.
10. К. Масакацу (2012). "Проблема сверхизлучения бозонов и фермионов для вращающихся черных дыр в постановке Баргмана – Вигнера". arXiv:1208.0644 [gr-qc ].

дальнейшее чтение

Книги

• Вайнберг, S, Квантовая теория полей, том II
• Вайнберг, S, Квантовая теория поля, том III
• Р. Пенроуз (2007). Дорога к реальности. Винтажные книги. ISBN  978-0-679-77631-4.

Избранные статьи

• Э. Н. Лоренц (1941). «Обобщение уравнений Дирака». PNAS. 27 (6): 317–322. Bibcode:1941ПНАС ... 27..317Л. Дои:10.1073 / pnas.27.6.317. ЧВК  1078329. PMID  16588466.
• И. И. Гусейнов (2012). «Использование теории групп и алгебры Клиффорда при изучении обобщенного уравнения Дирака для частиц с произвольным спином». arXiv:0805.1856 [Physics.gen-ph ].
• В. В. Двоеглазов (2011). «Модифицированный формализм Баргмана-Вигнера для полей высших спинов и релятивистской квантовой механики». Дои:10.1142 / S2010194511001218.
• Д. Н. Уильямс (1965). "Алгебра Дирака для любого спина" (PDF). Лекции по теоретической физике. 7А. Университетское издательство Колорадо. С. 139–172.
• Х. Ши-Чжун; З. Пэн-Фэй; Р. Ту-Нан; З. Ю-Цань; З. Чжи-Пэн (2004). «Проекционный оператор и пропагатор Фейнмана для свободной массивной частицы произвольного спина». Сообщения по теоретической физике. 41 (3): 405–418. Bibcode:2004CoTPh..41..405H. Дои:10.1088/0253-6102/41/3/405.
• Незнамов В.П. (2006). «К теории взаимодействующих полей в представлении Фолди-Ваутхойзена». Phys. Часть. Nucl. 37 (2006): 86–103. arXiv:hep-th / 0411050. Bibcode:2004hep.th ... 11050N. Дои:10.1134 / S1063779606010023.
• Х. Штумпф (2004). "Обобщенные уравнения де Бройля – Баргмана – Вигнера, современная формулировка теории синтеза де Бройля" (PDF). Анналы фонда Луи де Бройля. 29 (Добавка). п. 785.
• Д. Г. К. Маккеон; Т. Н. Шерри (2004). "Уравнения Баргмана – Вигнера в сферическом пространстве". arXiv:hep-th / 0411090.
• Р. Кларксон; Д. Г. К. МакКеон (2003). «Квантовая теория поля» (PDF). С. 61–69. Архивировано из оригинал (PDF) на 2009-05-30. Получено 2016-10-27.
• Х. Штумпф (2002). «Собственные состояния обобщенных уравнений де Бройля – Баргмана – Вигнера для фотонов с партонной субструктурой» (PDF). З. Натурфорш. 57. С. 726–736.
• Б. Шроер (1997). "Теория представлений Вигнера группы Пуанкаре, локализация, статистика и S-матрица". Ядерная физика B. 499 (3): 519–546. arXiv:hep-th / 9608092. Bibcode:1997НуФБ.499..519С. Дои:10.1016 / S0550-3213 (97) 00358-1.
• Э. Элизальде; J.A. Лобо (1980). «От галилеево-инвариантных к релятивистским волновым уравнениям» (PDF). Физический обзор D. 22 (4). п. 884. Bibcode:1980ПхРвД..22..884Э. Дои:10.1103 / Physrevd.22.884.
• Д. В. Ахлувалия (1997). "Рецензия на книгу: Квантовая теория полей, том I и II С. Вайнберга". Найденный. Phys. 10 (3): 301–304. arXiv:физика / 9704002. Bibcode:1997ФоФЛ..10..301А. Дои:10.1007 / bf02764211.
• Дж. А. Морган (2005). «Четность и связь спин-статистики». Прамана. 65 (3): 513–516. arXiv:физика / 0410037. Bibcode:2005Прама..65..513M. Дои:10.1007 / BF02704208.

внешняя ссылка

Релятивистские волновые уравнения:

• Матрицы Дирака в более высоких измерениях, Демонстрационный проект Wolfram
• Изучение полей спина 1, П. Кэхилл, К. Кэхилл, Университет Нью-Мексико^{[постоянная мертвая ссылка ]}
• Уравнения поля для безмассовых бозонов из формализма Дирака – Вайнберга, R.W. Davies, K.T.R. Дэвис, П. Зори, Д.С. Нидик, Американский журнал физики
• Квантовая теория поля I, Мартин Мойжиш
• Уравнение Баргмана – Вигнера: уравнение поля для произвольного спина, Фарзад Кассеми, Школа и семинар ИПМ по космологии, ИПМ, Тегеран, Иран

Группы Лоренца в релятивистской квантовой физике:

• Представительства Lorentz Group, indiana.edu
• Приложение C: группа Лоренца и алгебра Дирака, mcgill.ca^{[постоянная мертвая ссылка ]}
• Группа Лоренца, релятивистские частицы и квантовая механика, Д. Э. Сопер, Орегонский университет, 2011 г.
• Представления групп Лоренца и Пуанкаре, Дж. Мацейко, Стэнфордский университет
• Представления группы симметрии пространства-времени, К. Дрейк, М. Файнберг, Д. Гильд, Э. Турецкий, 2009 г.