Каноническая квантовая гравитация - Canonical quantum gravity - Wikipedia

В физика, каноническая квантовая гравитация является попыткой квантовать каноническую формулировку общей теории относительности (или каноническая гравитация). Это Гамильтониан формулировка Эйнштейн с общая теория относительности. Основная теория была изложена Брайс ДеВитт^[1] в основополагающей статье 1967 года и на основе более ранней работы Питер Г. Бергманн^[2] используя так называемый каноническое квантование методы для гамильтоновых систем со связями, изобретенные Поль Дирак.^[3] Подход Дирака позволяет квантовать системы, которые включают калибровочные симметрии используя гамильтоновы методы в фиксированной выбор датчика. Новые подходы, частично основанные на работах ДеВитта и Дирака, включают Штат Хартла – Хокинга, Исчисление Редже, то Уравнение Уиллера – ДеВитта и петля квантовой гравитации.

Каноническое квантование

Основные статьи: Фазовое пространство, Скобки Пуассона, Гильбертово пространство, каноническое коммутационное соотношение, и Уравнение Шредингера

В гамильтоновой формулировке обычной классической механики скобка Пуассона является важным понятием. «Каноническая система координат» состоит из канонических переменных положения и импульса, которые удовлетворяют каноническим соотношениям скобок Пуассона,

${\displaystyle \{q_{i},p_{j}\}=\delta _{ij}}$

где скобка Пуассона имеет вид

${\displaystyle \{f,g\}=\sum _{i=1}^{N}\left({\frac {\partial f}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial p_{i}}}-{\frac {\partial f}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial q_{i}}}\right).}$

для произвольных функций фазового пространства ${\displaystyle f(q_{i},p_{j})}$ и ${\displaystyle g(q_{i},p_{j})}$. С помощью скобок Пуассона Уравнения Гамильтона можно переписать как,

${\displaystyle {\dot {q}}_{i}=\{q_{i},H\},}$

${\displaystyle {\dot {p}}_{i}=\{p_{i},H\}.}$

Эти уравнения описывают "поток" или орбиту в фазовом пространстве, порожденный гамильтонианом ${\displaystyle H}$. Для любой функции фазового пространства ${\displaystyle F(q,p)}$, у нас есть

${\displaystyle {d \over dt}F(q_{i},p_{i})=\{F,H\}.}$

При каноническом квантовании переменные фазового пространства продвигаются к квантовые операторы на Гильбертово пространство а скобка Пуассона между переменными фазового пространства заменяется каноническим соотношением коммутации:

${\displaystyle [{\hat {q}},{\hat {p}}]=i\hbar .}$

В так называемом позиционном представлении это коммутационное отношение реализуется выбором:

${\displaystyle {\hat {q}}\psi (q)=q\psi (q)}$ и ${\displaystyle {\hat {p}}\psi (q)=-i\hbar {d \over dq}\psi (q)}$

Динамика описывается уравнением Шредингера:

${\displaystyle i\hbar {\partial \over \partial t}\psi ={\hat {H}}\psi }$

куда ${\displaystyle {\hat {H}}}$ это оператор, сформированный из Гамильтониан ${\displaystyle H(q,p)}$ с заменой ${\displaystyle q\mapsto q}$ и ${\displaystyle p\mapsto -i\hbar {d \over dq}}$.

Каноническое квантование с ограничениями

Основные статьи: Калибровочная симметрия, Аргумент отверстия, и Диффеоморфизм

Каноническая классическая общая теория относительности - пример полностью ограниченной теории. В теориях с ограничениями существуют различные виды фазового пространства: неограниченное (также называемое кинематическим) фазовое пространство, в котором определены функции ограничений, и сокращенное фазовое пространство, в котором ограничения уже решены. Для канонического квантования в общих чертах фазовое пространство заменяется подходящим Гильбертово пространство а переменные фазового пространства должны быть преобразованы в квантовые операторы.

В подходе Дирака к квантованию неограниченное фазовое пространство заменяется так называемым кинематическим гильбертовым пространством, а функции ограничений заменяются операторами ограничений, реализованными в кинематическом гильбертовом пространстве; затем ищутся решения. Эти квантовые уравнения связи являются центральными уравнениями канонической квантовой общей теории относительности, по крайней мере, в подходе Дирака, который обычно используется.

В теориях со связями существует также сокращенное квантование фазового пространства, где ограничения решаются на классическом уровне, а переменные фазового пространства сокращенного фазового пространства затем переводятся в квантовые операторы, однако этот подход считался невозможным в общей теории относительности, поскольку это казалось равносильным поиску общего решения классических уравнений поля. Однако с недавней разработкой (впервые) Бьянкой Диттрих (Bianca Dittrich) схемы систематической аппроксимации для вычисления наблюдаемых в общей теории относительности, основанной на идеях, внесенных Карло Ровелли, была разработана жизнеспособная схема сокращенного квантования гравитации в фазовом пространстве. пользователя Thomas Thiemann. Однако это не полностью эквивалентно квантованию Дирака, поскольку "часовые переменные" следует рассматривать как классические при квантовании в приведенном фазовом пространстве, в отличие от квантования Дирака.

Распространенное заблуждение состоит в том, что преобразования координат являются калибровочными симметриями общей теории относительности, тогда как на самом деле истинные калибровочные симметрии являются диффеоморфизмами, как это определено математиком (см. Аргумент отверстия ) - гораздо более радикальные. Ограничениями первого класса общей теории относительности являются ограничение пространственного диффеоморфизма и гамильтоново ограничение (также известное как уравнение Уиллера-Де Витта), и они накладывают отпечаток на пространственную и временную инвариантность теории к диффеоморфизму соответственно. Классическое наложение этих ограничений является в основном условиями допустимости исходных данных, а также порождает "эволюционные" уравнения (на самом деле калибровочные преобразования) через скобку Пуассона. Важно отметить, что алгебра скобок Пуассона между ограничениями полностью определяет классическую теорию - это то, что должно быть каким-то образом воспроизведено в полуклассическом пределе канонической квантовой гравитации, чтобы она стала жизнеспособной теорией квантовой гравитации.

В подходе Дирака оказывается, что квантовые ограничения первого класса, накладываемые на волновую функцию, также порождают калибровочные преобразования. Таким образом, двухэтапный процесс в классической теории решения ограничений ${\displaystyle C_{I}=0}$ (эквивалентно решению условий допустимости для начальных данных) и поиск калибровочных орбит (решение "эволюционных" уравнений) заменяется одношаговым процессом в квантовой теории, а именно поиском решений ${\displaystyle \Psi }$ квантовых уравнений ${\displaystyle {\hat {C}}_{I}\Psi =0}$. Это потому, что он, очевидно, решает ограничение на квантовом уровне и одновременно ищет состояния, которые являются калибровочно-инвариантными, поскольку ${\displaystyle {\hat {C}}_{I}}$ квантовый генератор калибровочных преобразований. На классическом уровне решение условий допустимости и эволюционных уравнений эквивалентно решению всех уравнений поля Эйнштейна, что подчеркивает центральную роль квантовых уравнений связи в подходе Дирака к канонической квантовой гравитации.

Каноническое квантование, инвариантность диффеоморфизмов и явная конечность

Основные статьи: Аргумент отверстия, Диффеоморфизм, и Перенормировка

Диффеоморфизм можно рассматривать как одновременное "перетаскивание" полей метрики (гравитационного поля) и материи по голому многообразию, оставаясь в той же системе координат, и поэтому они более радикальны, чем инвариантность при простом преобразовании координат. Эта симметрия возникает из тонкого требования, что законы общей теории относительности не могут зависеть от какой-либо априори данной геометрии пространства-времени.

Эта инвариантность к диффеоморфизму имеет важное значение: каноническая квантовая гравитация будет явно конечной, поскольку способность "тащить" метрическую функцию по голому многообразию означает, что малые и большие "расстояния" между абстрактно заданными координатными точками калибровочно эквивалентны! Ли Смолин привел более строгий аргумент:

«Независимый от фона оператор всегда должен быть конечным. Это связано с тем, что шкала регулятора и фоновая метрика всегда вводятся вместе в процедуре регуляризации. Это необходимо, потому что масштаб, к которому относится параметр регуляризации, должен быть описан в терминах фоновой метрики или координатной диаграммы, введенной при построении регулируемого оператора. По этой причине зависимость регулируемого оператора от параметра отсечки или регулятора связана с его зависимостью от фоновой метрики. Когда кто-то принимает предел параметра регулятора, идущий к нулю, он изолирует ненулевые члены. Если у них есть какая-либо зависимость от параметра регулятора (что было бы в случае, если член увеличивается), то он также должен иметь зависимость от фоновой метрики. И наоборот, если члены, не обращающиеся в нуль в пределе, в котором удаляется регулятор, не зависят от фоновой метрики, она должна быть конечной ».

Фактически, как упоминается ниже, Томас Тиман явно продемонстрировал, что петля квантовой гравитации (хорошо разработанная версия канонической квантовой гравитации) явно конечна даже в присутствии всех форм материи! Так что нет необходимости перенормировка и устранение бесконечностей.

В пертурбативная квантовая гравитация (откуда берутся аргументы, не связанные с перенормировкой), как и в любой пертурбативной схеме, делается предположение, что невозмущенная начальная точка качественно такая же, как и истинное квантовое состояние - поэтому пертурбативная квантовая гравитация делает физически необоснованное предположение, что истинная структура квантовое пространство-время может быть аппроксимировано гладким классическим (обычно Минковским) пространством-временем. С другой стороны, каноническая квантовая гравитация не делает таких предположений и вместо этого позволяет самой теории в принципе сказать вам, какова истинная структура квантового пространства-времени. Давно ожидалось, что в теории квантовой геометрии, такой как каноническая квантовая гравитация, геометрические величины, такие как площадь и объем, станут квантовые наблюдаемые и принимать ненулевые дискретные значения, обеспечивая естественный регулятор, который исключает бесконечности из теории, в том числе те, которые происходят от материальных вкладов. Это "квантование" геометрических наблюдаемых фактически реализуется в петлевой квантовой гравитации (LQG).

Каноническое квантование в метрических переменных

Основная статья: Диффеоморфизм

Квантование основано на разложении метрический тензор следующее,

${\displaystyle g_{\mu \nu }dx^{\mu }\,dx^{\nu }=(-\,N^{2}+\beta _{k}\beta ^{k})dt^{2}+2\beta _{k}\,dx^{k}\,dt+\gamma _{ij}\,dx^{i}\,dx^{j}}$

где суммирование по повторяющимся индексам есть подразумевается, индекс 0 означает время ${\displaystyle \tau =x^{0}}$, Греческие индексы пробегают все значения 0,. . .,, 3 и латинские индексы пробегают пространственные значения 1,. . ., 3. Функция ${\displaystyle N}$ называется функция задержки и функции ${\displaystyle \beta _{k}}$ называются функции сдвига. Пространственные индексы повышаются и понижаются с использованием пространственной метрики ${\displaystyle \gamma _{ij}}$ и его обратное ${\displaystyle \gamma ^{ij}}$: ${\displaystyle \gamma _{ij}\gamma ^{jk}=\delta _{i}{}^{k}}$ и ${\displaystyle \beta ^{i}=\gamma ^{ij}\beta _{j}}$, ${\displaystyle \gamma =\det \gamma _{ij}}$, куда ${\displaystyle \delta }$ это Дельта Кронекера. При таком разложении Лагранжиан Эйнштейна – Гильберта становится, до общие производные,

${\displaystyle L=\int d^{3}x\,N\gamma ^{1/2}(K_{ij}K^{ij}-K^{2}+{}^{(3)}R)}$

куда ${\displaystyle {}^{(3)}R}$ пространственный скалярная кривизна вычисляется относительно Риманова метрика ${\displaystyle \gamma _{ij}}$ и ${\displaystyle K_{ij}}$ это внешняя кривизна,

${\displaystyle K_{ij}=-{\frac {1}{2}}({\mathcal {L}}_{n}\gamma )_{ij}={\frac {1}{2}}N^{-1}\left(\nabla _{j}\beta _{i}+\nabla _{i}\beta _{j}-{\frac {\partial \gamma _{ij}}{\partial t}}\right),}$

куда ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ обозначает Ли-дифференцирование, ${\displaystyle n}$ - единица нормали к поверхностям постоянного ${\displaystyle t}$ и ${\displaystyle \nabla _{i}}$ обозначает ковариантное дифференцирование по метрике ${\displaystyle \gamma _{ij}}$. Обратите внимание, что ${\displaystyle \gamma _{\mu \nu }=g_{\mu \nu }+n_{\mu }n_{\nu }}$. ДеВитт пишет, что лагранжиан «имеет классическую форму:« кинетическая энергия минус потенциальная энергия », при этом внешняя кривизна играет роль кинетической энергии, а отрицательная кривизна внутренней кривизны - потенциальной энергии». Хотя эта форма лагранжиана явно инвариантна относительно переопределения пространственных координат, она делает общая ковариация непрозрачный.

Поскольку функция задержки и функции сдвига могут быть исключены калибровочное преобразование, они не представляют физических степеней свободы. На это указывает на переход к гамильтонову формализму тот факт, что их сопряженные импульсы соответственно ${\displaystyle \pi }$ и ${\displaystyle \pi ^{i}}$, тождественно обращаются в нуль (на оболочке и вне оболочки ). Они называются основные ограничения Дирака. Популярный выбор калибра, называемый синхронный датчик, является ${\displaystyle N=1}$ и ${\displaystyle \beta _{i}=0}$, хотя в принципе их можно выбрать как любую функцию координат. В этом случае гамильтониан принимает вид

${\displaystyle H=\int d^{3}x{\mathcal {H}},}$

куда

${\displaystyle {\mathcal {H}}={\frac {1}{2}}\gamma ^{-1/2}(\gamma _{ik}\gamma _{jl}+\gamma _{il}\gamma _{jk}-\gamma _{ij}\gamma _{kl})\pi ^{ij}\pi ^{kl}-\gamma ^{1/2}{}^{(3)}R}$

и ${\displaystyle \pi ^{ij}}$ это импульс, сопряженный с ${\displaystyle \gamma _{ij}}$. Уравнения Эйнштейна можно восстановить, взяв Скобки Пуассона с гамильтонианом. Дополнительные ограничения на оболочке, называемые вторичные ограничения по Дираку, возникают из согласованности алгебры скобок Пуассона. Это ${\displaystyle {\mathcal {H}}=0}$ и ${\displaystyle \nabla _{j}\pi ^{ij}=0}$. Это теория, которая квантуется в подходах к канонической квантовой гравитации.

Можно показать, что шесть уравнений Эйнштейна, описывающих эволюцию во времени (на самом деле калибровочное преобразование), могут быть получены путем вычисления скобок Пуассона трехметрики и ее сопряженного импульса с линейной комбинацией пространственного диффеоморфизма и гамильтоновой связи. Обнуление ограничений, дающих физическое фазовое пространство, - это четыре других уравнения Эйнштейна. То есть у нас есть:

Ограничения пространственных диффеоморфизмов

${\displaystyle C_{a}(x)=0}$

из которых бесконечное количество - один на значение ${\displaystyle x}$, могут быть размазаны так называемыми функциями сдвига ${\displaystyle {\vec {N}}(x)}$ чтобы дать эквивалентный набор ограничений размазанного пространственного диффеоморфизма,

${\displaystyle C({\vec {N}})=\int d^{3}x\,C_{a}(x)N^{a}(x).}$

Они порождают пространственные диффеоморфизмы вдоль орбит, определяемых функцией сдвига ${\displaystyle N^{a}(x)}$.

Гамильтоновы ограничения

${\displaystyle H(x)=0}$

которых существует бесконечное число, можно размазать так называемыми функциями погрешности ${\displaystyle N(x)}$ чтобы дать эквивалентный набор размытых гамильтоновых ограничений,

${\displaystyle H(N)=\int d^{3}x\,H(x)N(x).}$

Как упоминалось выше, структура скобок Пуассона между (размазанными) ограничениями важна, поскольку они полностью определяют классическую теорию и должны воспроизводиться в полуклассическом пределе любой теории квантовой гравитации.

Уравнение Уиллера – ДеВитта.

Основная статья: Уравнение Уиллера – ДеВитта

Смотрите также: Гамильтонова связь LQG

Уравнение Уиллера-ДеВитта (иногда называемое гамильтоновой связью, иногда уравнением Эйнштейна-Шредингера) является довольно центральным, поскольку оно кодирует динамику на квантовом уровне. Это аналогично уравнению Шредингера, за исключением временной координаты, ${\displaystyle t}$, нефизична, физическая волновая функция не может зависеть от ${\displaystyle t}$ и, следовательно, уравнение Шредингера сводится к ограничению:

${\displaystyle {\hat {H}}\Psi =0.}$

Использование метрических переменных приводит к, казалось бы, неисчислимым математическим трудностям при попытках преобразовать классическое выражение в четко определенный квантовый оператор, и поэтому прошли десятилетия, так и не добившись прогресса с помощью этого подхода. Эту проблему удалось обойти, и формулировка четко определенного уравнения Уиллера-Де-Витта была впервые осуществлена ​​с введением переменных Аштекара-Барберо и представление цикла, этот хорошо определенный оператор, сформулированный как Томас Тиманн^[4].

До этого развития уравнение Уиллера-Де-Витта формулировалось только в моделях с пониженной симметрией, таких как квантовая космология.

Каноническое квантование в переменных Аштекара – Барберо и LQG

Основные статьи: Переменные Аштекара, голономия, Петля Вильсона, и Петлевая квантовая гравитация

Многие технические проблемы канонической квантовой гравитации связаны с ограничениями. Каноническая общая теория относительности изначально была сформулирована в терминах метрических переменных, но казалось, что возникли непреодолимые математические трудности при введении ограничений для квантовых операторов из-за их сильно нелинейной зависимости от канонических переменных. Уравнения были значительно упрощены с введением новых переменных Ashtekars. Переменные Аштекара описывают каноническую общую теорию относительности в терминах новой пары канонических переменных, более близких к таковой в калибровочных теориях. При этом он ввел дополнительное ограничение, помимо пространственного диффеоморфизма и гамильтоновой связи, калибровочное ограничение Гаусса.

Петлевое представление - это квантовое гамильтоново представление калибровочных теорий в терминах петель. Цель представления петель в контексте теорий Янга-Миллса состоит в том, чтобы избежать избыточности, вводимой калибровочными симметриями Гаусса, позволяя работать непосредственно в пространстве калибровочно-инвариантных состояний Гаусса. Использование этого представления естественным образом возникло из представления Аштекара-Барберо, поскольку оно обеспечивает точное непертурбативное описание, а также потому, что ограничение пространственного диффеоморфизма легко обрабатывается в рамках этого представления.

В рамках петлевого представления Тиман представил четко определенную каноническую теорию о присутствии всех форм материи и явно продемонстрировал, что она явно конечна! Так что нет необходимости перенормировка. Однако, поскольку подход LQG хорошо подходит для описания физики в масштабах Планка, существуют трудности с установлением контакта с известной физикой низких энергий и установлением правильного полуклассического предела.

Проблема времени

Все канонические теории общей теории относительности имеют дело с проблема времени. В квантовой гравитации проблема времени представляет собой концептуальный конфликт между общей теорией относительности и квантовой механикой. В канонической общей теории относительности время - это просто еще одна координата в результате общая ковариация. В квантовых теориях поля, особенно в гамильтоновой формулировке, формулировка разделена между тремя измерениями пространства и одним измерением времени. Грубо говоря, проблема времени в том, что его нет в общей теории относительности. Это связано с тем, что в общей теории относительности гамильтониан - это ограничение, которое должно исчезнуть. Однако в любой канонической теории гамильтониан порождает переводы времени. Таким образом, мы приходим к выводу, что «ничего не движется» («нет времени») в общей теории относительности. Поскольку «времени нет», обычная интерпретация измерений квантовой механики в заданные моменты времени не работает. Эта проблема времени - широкое знамя для всех проблем интерпретации формализма.

Проблема квантовой космологии

Проблема квантовой космологии состоит в том, что физические состояния, которые решают ограничения канонической квантовой гравитации, представляют квантовые состояния всей Вселенной и как таковые исключают постороннего наблюдателя, однако внешний наблюдатель является решающим элементом в большинстве интерпретаций квантовой механики.

Смотрите также

• Формализм ADM
• Переменные Аштекара
• Каноническое квантование
• Диффеоморфизм
• Аргумент отверстия
• Исчисление Редже
• Петлевая квантовая гравитация одна из этого семейства теорий.
• Петлевая квантовая космология (LQC) - это конечная модель петлевой квантовой гравитации с уменьшенной симметрией.
• Проблема времени

Примечания

1. ^ Бергманн, П. (1966). «Теория Гамильтона – Якоби и Шредингера в теориях с гамильтоновыми ограничениями первого класса». Физический обзор. 144 (4): 1078–1080. Bibcode:1966ПхРв..144.1078Б. Дои:10.1103 / PhysRev.144.1078.
2. ^ Девитт, Б. (1967). «Квантовая теория гравитации. I. Каноническая теория». Физический обзор. 160 (5): 1113–1148. Bibcode:1967ПхРв..160.1113Д. Дои:10.1103 / PhysRev.160.1113.
3. ^ Дирак, П.А.М. (1958). «Обобщенная гамильтонова динамика». Труды Лондонского королевского общества A. 246 (1246): 326–332. Bibcode:1958RSPSA.246..326D. Дои:10.1098 / rspa.1958.0141. JSTOR  100496.
4. ^ Тиманн, Т. (1996). «Формулировка без аномалий непертурбативной четырехмерной лоренцевой квантовой гравитации». Письма по физике B . B380 (3): 257–264. arXiv:gr-qc / 9606088.

Источники

• Arnowitt, R .; Deser, S .; Миснер, К. В. (2008). «Динамика общей теории относительности». Общая теория относительности и гравитации. 40 (9): 1997–2027. arXiv:gr-qc / 0405109. Bibcode:2008GReGr..40.1997A. Дои:10.1007 / s10714-008-0661-1.
• Виттен, Л. (1962). Гравитация: введение в современные исследования. Джон Уайли и сыновья. С. 227–265.
• Дирак, П.А.М. (1958). «Теория гравитации в гамильтоновой форме». Труды Лондонского королевского общества A. 246 (1246): 333–343. Bibcode:1958RSPSA.246..333D. Дои:10.1098 / rspa.1958.0142. JSTOR  100497.
• Дирак, П.А.М. (1959). «Фиксация координат в гамильтоновой теории гравитации». Физический обзор. 114 (3): 924–930. Bibcode:1959ПхРв..114..924Д. Дои:10.1103 / PhysRev.114.924.
• Дирак, П.А.М. (1964). Лекции по квантовой механике. Ешива университет. ISBN  0-387-51916-5.